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Laboratorio de física experimental IMomento de inercia
PRACTICA DE LABORATORIO N° 5
MOMENTO DE INERCIA
I. OBJETIVOS
Determinar experimentalmente el momento de inercia de los sólidos de diversas
geometrías
Determinar los errores teóricos-experimentales
II. FUNDAMENTO TEÓRICO
MOMENTO DE INERCIA
La inercia rotacional es una medida de la oposición que ofrece un cuerpo al cambio de su
estado de movimiento rotacional, el momento de inercia depende de la masa del cuerpo de
su geometría y la distribución de las masas del mismo.
El momento de inercia de un objeto depende de sus masas y de la distribución de su mas en
general, cuanto mas compacto en el objeto, menor en su momento de inercia.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se
define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de
1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el
momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a
través de
Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa
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El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas)
es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de
forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB,
sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de
masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema
d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
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MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La
fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
Aplicación directa del concepto de momento de inercia
Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla
de masa M y longitud L respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el
momento de inercia de la varilla respecto de un eje
perpendicular a la misma que pasa por uno de sus
extremos.
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Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un
eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de
radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un
rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L
respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa
cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la
figura. La masa dm que contiene esta capa es
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El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular
delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la
placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El
elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa
de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de
uno de sus diámetros
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Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada
uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los
discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la
figura x2+z2=R2
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TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento
de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es
igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;
I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de
masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de
coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:
donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en
torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa. El centro de
gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo
depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo
gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
III. EQUIPOS Y MATERIALES
Computadora personal
Sensor de movimiento rotacional (CI-6538)
Set de masas (ME-8967)
Accesorio adaptador de base rotacional (CI-6690)
Sistema rotacional completo(ME-8990)
2.0 m de hilo negro
Balanza analógica
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Regla de nivel
Vernier
CALIBRADOR VERNIER O PIE DE REY
El calibre, también denominado cartabón de corredera o pie de rey, es un instrumento
para medir dimensiones de objetos relativamente pequeños, desde centímetros hasta
fracciones de milímetros (1/10de milímetro, 1/20 de milímetro, 1/50 de milímetro).
En la escala de las pulgadas tiene divisiones equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su
nonio, de 1/128 de pulgadas.
Consta de una "regla" con una escuadra en un extremo, sobre la cual se desliza otra
destinada a indicar la medida en una escala. Permite apreciar longitudes de 1/10, 1/20 y
1/50 de milímetro utilizando el nonio.
Mediante piezas especiales en la parte superior y en su extremo, permite medir
dimensiones internas y profundidades.
Posee dos escalas: la inferior milimétrica y la superior en pulgadas.
Tipos de medidas
Mediante piezas especiales colocadas en la parte móvil, en la parte superior y en su
extremo, el calibre permite realizar tres tipos de medidas:
Medidas exteriores
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Medidas interiores
Profundidades
Historia
Pedro Nunes, conocido también por su nombre latino como Petrus Nonius (Alcácer do
Sal, Portugal, 1492 - Coimbra, 1577), matemático, astrónomo y geógrafo portugués, del
siglo XVI. Inventó en 1514 el nonio, un dispositivo de medida de longitudes que
permitía, con la ayuda de un astrolabio, medir fracciones de grado de ángulos, no
indicadas en la escala de los instrumentos.
Pierre Vernier (Ornans, 1580 - Ornans, 1637) matemático francés, es conocido por la
invención en 1631 de la escala vernier para medir longitudes con gran precisión y basado
en el de Pedro Nunes.
Dada la primera invención de Pedro Nunes (1514) y el posterior desarrollo de Pierre
Vernier (1631), en la actualidad esta escala se suele denominar como nonio o vernier,
siendo empleado uno u otro termino en distintos ambientes, en la rama técnica industrial
suele ser más utilizado nonio.
Por lo tanto se puede atribuir el invento del calibre pie de rey tanto a Pedro Nunes
como a Pierre Vernier.
Partes de un pie de rey
1. Mordazas para medidas exteriores (Outside jaws: used to measure external length).
2. Mordazas para medidas interiores (Inside jaws: used to measure internal length).
3. Coliza para medida de profundidades (Depth probe: used to measure depth).
4. Escala con divisiones en centímetros y milímetros (Main scale, cm).
5. Escala con divisiones en pulgadas y fracciones de pulgada (Main scale, inch).
6. Nonio para la lectura de las fracciones de milímetros en que esté dividido (Nonio,
cm).
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7. Nonio para la lectura de las fracciones de pulgada en que esté dividido (Nonio, inch).
8. Botón de deslizamiento y freno (Retainer: used to block/release movable part).
Aplicación
Calibre de precisión utilizado en mecánica por lo general, que se emplea para la medición
de piezas que deben ser fabricadas con la tolerancia mínima posible. Las medidas que toma
pueden ser las de exteriores, interiores y de profundidad.
Lecturas:
Existen en el mercado calibres de pie de rey de tres tipos, los de lectura grabada directa,
los de lectura con reloj analógico y los de lectura digital.
Tipos especiales:
Existen diversas formas de calibres pie de rey en el mercado, según sea la utilización que
se le tenga que dar, las longitudes de las patas y de la regla son especiales y de grandes
longitudes, (hasta 2000 mm de regla y 200 mm de patas) en la siguiente lista están los
más habituales:
Con patas en escuadras hacia el interior o hacia el exterior.
Con la pata de la regla escalada cilíndrica.
Con las patas paralelas largas y estrechas.
Con la pata de la regla escalada desplazable.
Con puntas en la escuadra hacia el exterior.
Para trazar.
Con reloj e indicador de precisión constantes.
Con partas terminadas en punta o puntas cónicas.
Calibre para zurdos.
Con la pata de la corredera, girable o inclinable.
Tornero normal y de patas largas (no el tornero).
Para medición de 3 y 5 labios, que se utiliza para la medición de fresas,
escariadores, brocas y ejes de cuñas por ejemplo.
Con patas intercambiables.
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Para controlar los discos de freno de los vehículos.
Para pedidas de ranuras.
IV. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES
a. Encienda el computador, ingrese al data studio e instale el sensor de la
rotación y apertura los graficos de aceleración angular y anate el las tablas
correspondientes.
MASAS(gr) LONGITUD(cm)
Masa eje rodante 250 Radio del eje solo 0.65
Masa de plataforma de aluminio 585 Radio del disco 11.40
Masa de disco 1444 Radio interno del cilindro hueco R1 5.37
Masa del cilindro hueco 1427 Radio externo del cilindro hueco R2 6.39
Masa del elemento puntual 272 Longitud de la varilla 24.00
Diametro de la polea(m) 5.23x10-2 otras variables -
b. Instale el equipo de acuerdo a la figura
PRIMERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL EJE ROTANTE)
EVENTO Aceleracion angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento
respecto al centro de giro(cm)
1 0.29 55 65
2 0.32 60 65
3 0.44 65 65
SEGUNDA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE LA VARILLA Y EJE ROTANTE)
EVENTO Aceleración angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento
respecto al centro de giro(cm)
1 0.29 55 24
2 0.32 60 24
3 0.44 65 24
TERCERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA PUNTUAL, VARILA Y EJE ROTANTE)
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EVENTO Aceleracion angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento
respecto al centro de giro(cm)
1 0.16 55 20
2 0.20 60 20
3 0.20 65 20
CUARTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO Y EJE ROTANTE)
EVENTO Aceleracion angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento
respecto al centro de giro(cm)
1 0.43 55 11.4
2 0.60 60 11.4
3 0.83 65 11.4
QUINTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL CILINDRO HUECO DISCO Y EJE ROTANTE)
EVENTO Aceleracion angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento
respecto al centro de giro(cm)
1 0.37 55 6.39
2 0.66 60 6.39
3 1.04 65 6.39
V. CUESTIONARIO
1. Determine el momento de inercia teórico para cada elemento empleado
2. Determine el momento de inercia experimental para el eje solo para cada
evento y estime el promedio aritmético como resultado final.
3. Determine el momento de inercia experimental de la varilla para cada
evento y estime el promedio aritmético como resultado final.
4. Determine el momento de inercia experimental de la masa puntual y estime
el promedio aritmético como resultado final.
5. Determine el momento de inercia experimental del disco y estime el
promedio aritmético como resultado final.
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6. Determine el momento de inercia experimental del cilindro hueco y estime
el promedio aritmético como resultado final.
7. Calcule el error relativo porcentual de los resultados de inercia para cada
elemento con los resultados experimentales de las preguntas 2, 3, 4, 5, 6 y el
teórico calculando en la pregunta 1.
8. Aplicando el razonamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el
disco calcule el momento de inercia de la placa rectangular delgada de la
masa M de lados a y b respecto al eje que pasa por la placa.
9. ¿Cuál es la di9ferencia entre la aceleración angular, tangencial y la
aceleración lineal?
10. Simule el experimento realizado, empleando el software interactivee
physics 5.0 y adjunte el grafico como prueba de ello, asumiendo los datos
tomados en laboratorio.
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VI. CONCLUSIONES
Este trabajo ayudó a entender mejor la ley de la inercia, en todos los aspectos; también a aplicar lo aprendido de velocidad angular y momento angular.
Además nos ayudó a comprender mejor que son las fuerzas de inercia o momento de inercia, para su posterior estudio y comprensión ya que es parte fundamental del estudio de la física.
También comprendimos y entendimos mejor el comportamiento de las fuerzas de inercia en los ejemplos prácticos donde nos muestra que con diferentes materiales y formas físicas tienes menor o mayor velocidad, ya sea en el momento del disco, el cilindro o una masa puntual.
VII. BIBLIOGRAFIA
-(Física, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, México (1985).
-(Física, Resnick, Robert; Holliday, David; Krane, Kenneth S, edit. CECSA) (1993)
-(Física I, Mecánica, Alonso, M y Finn E. J., Edit. Fondo Educativo Interamericano)
-http://www.monografias.com/trabajos98/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular.shtml#ixzz389p15uZ7
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