Tenemos que:

|∫σ ( t )

❑

f ( z )dz|≤∫σ (t )

❑

|f ( z )|dz ≤∫b

a

|σ (t )|dz

Entonces:

∫σ (t )

❑

|f ( z )|dz ≤∫b

a

|σ (t)|dz

∫1( t )

i

|e z−1|dz

Utilizando la serie de Taylor:

f ( z )=e1z=∫

1

i |∑k=0

∞ ( 1z )k

k ! |∫1

i

|ez−1|dz=∫1

i |∑k=0

∞ ( 1z )k

k ! |∫1

i |∑k=0

∞ ( 1z )k

k ! |=∫1

i

∑k=0

∞ 1k !|1z

k|dz

∑k=0

∞ 1k !∫1

i |1zk|dz

Por la igualdad:ç

z (t )=cos ( t )+isen(t )

∑k=0

∞ 1k !∫1

i

( 1

|(cos (t )+isen(t ))k|)dz

∑k=0

∞ 1k !∫1

i

( 1|(cos ( tk )+isen(tk ))|)dz

∑k=0

∞ 1k !∫1

i

( 1

√ (cos ( tk )+isen(tk)) )dt

∑k=0

∞ 1k !∫1

i

( 11 )dt=∑k=0

∞ 1k ! ( t| i1)

∑k=0

∞ 1k ! ( t|i1)=¿

∑k=0

∞ 1k !

( i−1 )

∑k=0

∞ 1k !

( i−1 )≤∈ π2=e( i−1)≤∈ π

2

Sacamos ahora el modulo por no poder sacar la deigualdad en complejos:

|e (i−1)|≤|¿ π2|=|e(i−1)|≤|¿ π

2|

e √2≤N π2=2e √2

π<N

2.4473<N∈N

Tenemos que:

∮σ 1

❑

f (z )dz=¿∮σ 2

❑

f (z )dz ¿

Entonces:

Luego:

H : [0,1 ] [0,1 ]→C

H (s ,t )=( s+t )+¿s

H (1, t )=σ 1 ( t )=(1+t )+¿0≤t ≤1

H ( 12 , t)=σ2 ( t )=( 12+ t)+¿12 0≤ t ≤1

H (s ,0 )=z0 ( t )= (s+0 )+¿0=s 0≤ s≤1

H (s ,1 )=z1 (t )=(s+1 )+i1s=s+1+i1s0≤ s ≤1

Nos queda entonces:

s+1+i1s∈C yla curvaσ 2 ( t )=(2+t )+¿2

Su derivada:

σ 2 (t )=( 12 +t)+¿12=1+ 1

2¿

−12

Integrando:

∫σ2

❑

( z2+1z )

2

dz=∫z 0

z 1

f (σ ( t ))σ ´ dt

∫0

1 (((12 +t)+¿12)2

+1

( 12 +t)+¿12 )

2

1+ 12 ¿−12 dt

u=( 12+ t)+¿12

dudt

=1+ 12¿

−12

∫0

1

( u2+1u )2

du=¿∫0

1 u4+2u2+1u2

du¿

¿∫0

1

(u2+2+ 1u2 )du

∫0

1

u2+∫0

1

2du+∫0

1 1u2

du

u3

3|10+2u|10+−u−1|10

(( 12 +t)+¿12 )

3

3

|10+2(( 12+t )+¿12)|10+¿

(( 12 +t)+¿12 )

3

3

|10=((12 +1)+ i112)

3

3

−((12+0)+i 0

12)

3

3

=−512

+ i 2312

2(( 12 +t)+¿12 )|10=2(( 12+1)+i 112 )−2(( 12+0)+i 012)=2+i

¿

−512

+i 2312

+2+i+ 2013

+i 413

= 487156

+ 503156

i

487156

+ 503156

i

Seanh , k :(X , x0)→(Y , y0) dos aplicaciones continuas. Si h y k son homotópicas y si la imagen del punto base x0 de X permanece fija en y0 durante la homotopía , entonces los morfismos h y k coinciden.

Demostración.

Por hipótesis, existe una homotopíaa H :X ×I→Y entre h y ktal que H (x0 , t)= y0, para todo t. Por lo tanto, si f esun lazoe n X basadoen x0, la composición

I × I⟶f ×id X ×I⟶

H Y

es una homotopía entre h ◦ f y k ◦ f; es una homotopía de caminos porque f es un lazo en x0 y H aplicax0×I en y0.