Movimiento en el plano. 2do Físico

UNIDAD 7

MOVIMIENTO EN EL PLANO

miércoles, 07 de septiembre de 2011Dr. Segundo Morocho C.

MOVIMIENTO PARABOLICO

Es curvilíneo, plano, con trayectoria parabólica y aceleración totalconstante.

Un ejemplo típico de éste movimiento es el lanzamiento deproyectiles, que tiene las siguientes características:

La aceleración total es igual a la aceleración de la gravedad

La velocidad inicial no puede ser nula

La dirección de la velocidad inicial es diferente a la de laaceleración

2)8,9(

s

mjga

00

v

av UU

0


0v

La posición de la partícula en cualquier punto de la trayectoriaesta determinada por:

El análisis del movimiento de un proyectil se realiza en función desu velocidad inicial. (α generalmente es un ángulo agudo)

La velocidad inicial en función de sus componentes es:

Y su dirección:


jrirr yx

jvivv oyox

0

jsenvivv

000 cos

ox

oy

v

v1tan

y

Vo

Vosenα

x

Vocosα

La velocidad en cualquier punto de la trayectoria es:


α

jvivv yx

Vx

VyV

Como:

se tiene:

Igualando las componentes en x e y:

El movimiento parabólico es compuesto, resulta de la sumasimultánea de un MRU en el eje horizontal y un MRUV en el ejevertical.


tgvv

0

jtgjvivjviv yxyx

00

jtgviv oyx

0

MRUVtgvv luego

oyy

MRUvv significa

oxx

En el eje horizontal El en eje vertical

Si α = 0 es un lanzamiento horizontal donde voy = 0

En el eje horizontal El en eje vertical


0xa gay

ctevvv xx cos00

tvx x0

senvvtgvv y

donde

yy 000

2

02

1tgtvy y

0xa

ctevvv xx00

tvx 0

gay

tgvy

2

2

1tgy

La ecuación cartesiana del movimiento parabólico es:


tvx x

2

02

1tgtvy y

22

0

2

cos2

1

cos v

xg

xseny

2

22

0 cos2)(tan x

v

gxy

cos0v

x

v

xt

x

2

00

0cos2

1

cos v

xg

v

xsenvy

Varía simultáneamente en módulo y dirección, por lo que segeneran aceleración tangencial y centrípeta; estasaceleraciones son variables pero en cada instante su suma(aceleración total) es constante.

y

x


α

Vo

VELOCIDAD.

VV

Va

a

a

Ta

Ta

Ca

Ca

CT aaa

Caa

ga

ACELERACION.

Para cualquier posición la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la dirección de la velocidad.

Por tanto:


vv Uaa

cos

vT Uav

vaaa

vvT UUga

TC aga

EJERCICI

OS

1. Desde lo alto de un edificio se dispara un proyectil conuna velocidad de . Determinar a los 5s:

a) La aceleración total

b) La posición del cuerpo

c) La distancia recorrida horizontal y verticalmente

d) La velocidad de la partícula

e) La aceleración tangencial y centrípeta

2. Un cuerpo rueda por el tablero horizontal de una mesa de1,55m de altura y abandona ésta con una velocidad de

Determinar:

a) A qué distancia del borde de la mesa, el cuerpo golpea elsuelo

b) La posición del cuerpo cuando llega al suelo

c) La velocidad con que golpea contra el suelo

d) La aceleración total, tangencial y centrípeta en elmomento de llegar al suelo


1)12( msi

s

mi )14(

EJERCICI

OS

3. Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 75cm de altura caetocando el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de1,5m del borde de la mesa. ¿Cuál era la velocidad de la bola en elmomento de abandonar la mesa?

4. Los peldaños de una escalera miden 12cm de altura y 30cmhorizontalmente. Determinar:

a) Cuál es la velocidad en dirección horizontal que debe comunicarse auna bola para que su primer rebote sea en la mitad del cuartoescalón

b) Qué velocidad tiene la bola en el instante del primer impacto

5. Un jugador de tenis comunica a una bola una velocidad horizontal demódulo . La bola toca el suelo a una distancia de 20m deljugador. ¿ A qué altura fue golpeada la bola?

6. Un proyectil es lanzado con una rapidez v0 y su dirección forma unángulo α sobre la horizontal. Determinar:

a) El vector velocidad inicial

b) El vector velocidad en función del tiempo t


s

m40

EJERCICI

OS

y

x

c) El vector posición en función del tiempo t

d) El tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta que el proyectilalcanza la altura máxima (tiempo de subida) y el necesario pararegresar al nivel horizontal del lanzamiento (tiempo de vuelo)

e) El valor de la altura máxima alcanzada

f) La distancia horizontal cubierta por el proyectil hasta regresar al niveldel lanzamiento (alcance)

g) El valor del ángulo α para que el alcance sea el máximo posible.miércoles, 07 de septiembre de 2011Dr. Segundo Morocho C.

0v

xv0

yv0

Altura máxima

ALCANCE

EJERCICI

OS

7. Halle el ángulo α de lanzamiento para el cual el alcance es igual a laaltura máxima.

8. Determine los ángulos de lanzamiento para los cuales el alcance deun proyectil sea 240m si la velocidad inicial tiene módulo

9. Un proyectil lanzado oblicuamente con un ángulo de 45° y unavelocidad de cae a una distancia x del sitio de lanzamiento.Calcule la altura, si es disparado horizontalmente con la mismavelocidad para que caiga en el mismo sitio.

10. Se lanza un proyectil desde el punto de coordenadas (4,3)m con unavelocidad de . Determinar.

a) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo

b) El tiempo de vuelo

c) El alcance horizontal

d) La altura máxima

e) La velocidad del proyectil en 1s

f) La aceleración tangencial y la centrípeta en 1s


160ms

112ms

1)1215( msji

EJERCICI

OS

11. Una partícula parte del origen con una rapidez de en ladirección positiva del eje de las y. Su aceleración es constante e iguala . Determinar:

a) La forma de la trayectoria

b) La posición de la partícula para cualquier tiempo t

c) La velocidad de la partícula en t = 3s

d) La rapidez de la partícula en t = 3s

12. Un jugador de golf comunica a su pelota una velocidad inicialhorizontal de y una velocidad inicial vertical de .Escribir las ecuaciones cinemáticas del movimiento y calcular laaltura máxima y el alcance de la pelota

13. Se lanza una pelota con una velocidad inicial de que haceun ángulo de 37° con la horizontal. Escribir las ecuacionescinemáticas del movimiento y calcular la altura máxima y el alcancede la pelota


s

m10

2)43(

s

mji

110ms 120ms

120ms

EJERCICI

OS

14. Un jugador de básquetbol lanza desde el suelo la pelota conuna velocidad inicial de que hace un ángulo de 53con la horizontal. La canasta esta situada a 6m del jugador ytiene una altura de 3m. ¿Podrá encestar?

15. Un futbolista comunica a una pelota una velocidad decon dirección de 37 con la horizontal.

Encontrándose a 8m de distancia del arco de 2,5m de altura.¿Habrá posibilidad de gol?

16. Una pelota de béisbol abandona el bate a una altura de 1,20msobre el suelo, formando un ángulo de 45 con la horizontal ycon una velocidad inicial tal que el alcance horizontal hubierasido de 120m. A los 108m de distancia desde la plataforma dellanzamiento se encuentra una valla de 9m de altura. ¿Pasarála pelota por encima de la valla?


110ms

110ms

EJERCICI

OS

17. Un proyectil es disparado formando un ángulo de tiro igual a

60 y choca contra un edificio situado a 24m del punto del

disparo en un punto del edificio situado a 14,4m por encima de

la proyección del lanzamiento. Calcular:

a) La velocidad inicial el proyectil

b) La velocidad al momento del impacto

c) La dirección que tiene el proyectil al momento del impacto


MOVIMIENTO CIRCULAR

Decimos que un cuerpo tiene movimiento circular cuando sutrayectoria es una circunferencia.

y

θ

x

Mientras la partícula se desplaza por la trayectoria circular suvector posición barre ángulos centrales Δθ


r

r

POSICION ANGULAR

Es el ángulo θ que existe entre el vector posición de la partícula yel eje x

y

θ

x

El ángulo θ generalmente se expresa en radianes


r

rad0180

NOTA 1. Todo ángulo medidoen grados se puede convertir aradianes multiplicando por:

NOTA 2. Todo ángulo medidoen radianes se puede convertira grados multiplicando por:

Convertir en radianes:

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

Convertir en grados:


rad0180 rad

0180

rad6

rad4

rad3

rad2

rad rad2

3

rad2

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

Es la variación de la posición angular de una partícula

y

x

Se expresa en radianes


0

θoθ

ΔθP(to)P(t)

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA

Es el cociente entre el desplazamiento angular efectuado por la

partícula y el tiempo

UNIDADES:


0

0

tttm

2

0m

s

rad

RPMrev

min

radrev 21

ACELERACION ANGULAR

Cociente entre la variación de la velocidad angular que

experimenta una partícula y el intervalo de tiempo en que se

produjo

UNIDADES


t 0

0

tt

s

s

rad

2s

rad

EJERCICI

OS

1. Una partícula parte del punto (-3,4) cm, moviéndose ensentido antihorario sobre una trayectoria circular con centro enel origen, con una velocidad angular constante de

. Determinar

a) La posición angular inicial

b) El desplazamiento angular en 10s

c) La posición angular final

d) La posición final

2. Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidadangular constante de . Determinar:

a) El tiempo necesario para girar un ángulo de 620

b) El tiempo necesario para dar 12 revoluciones

c) El ángulo (en grados) girado en 9s

d) El número de vueltas que da en 2min.


s

rad4

s

rad5

EJERCICI

OS

3. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto

(5,-2) cm en sentido antihorario con una velocidad angular de

y se mueve durante 5s con una aceleración

angular de . Determinar:

a) La velocidad angular final

b) La velocidad angular media

c) El desplazamiento angular

d) La posición angular inicial

e) La posición final


1.4 srad2.1 srad

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Es el de una partícula cuya velocidad angular es constante

y

x


θoθ

Δθ

R

Av

Bv

ctet

t

t0

El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales (todas las vueltasserán recorridas en tiempos iguales)

PERIODO (T)Tiempo empleado en recorrer una vuelta completa

Si Δθ = 2πrad entonces Δt = T; por tanto:

UNIDADES


t 0

0

tt0

t

T

rad2 radT

2

sT

FRECUENCIA (f)

Es el número de revoluciones por unidad de tiempo

UNIDADES

DISTANCIA (d)

Es la longitud del arco que se determina por:


Tf

1

sf

1 1s Hertz

Rd

Rtt

d

Rv

T

Rv

2

Hz

ACELERACION CENTRIPETA

Si ω es cte entonces v = cte; por lo tanto aT = 0

La variación en la dirección genera ac

Módulo

Dirección

Hacia el centro de la trayectoria, opuesta a la de la posición y

perpendicular a la velocidad


cT aaa

caa

R

vaac

2

R2 v

rUUca

)( rcc Uaa

EJERCICI

OS

1. Una Partícula que se mueve por una trayectoria circular de

1,6m de radio, gira un ángulo de 125 cada 7s. Determinar:

a) La velocidad angular de la partícula

b) La rapidez de la partícula

c) El período

d) La frecuencia

e) El módulo de la aceleración centrípeta.

2. Una partícula da 415 RPM en una circunferencia de 1,2m de

radio. Determinar:

a) Su velocidad angular

b) Su período

c) La rapidez de la partícula

d) El módulo de la aceleración centrípeta

e) La distancia recorrida en 5s


EJERCICI

OS

3. Un cuerpo parte del punto (-2,6) m y gira en sentido antihorario

a 500RPM durante 4s. Si el centro de la circunferencia esta en

el origen, determinar:

a) La velocidad angular

b) La posición angular inicial

c) La posición angular final

d) La posición final

e) Cuántas vueltas da en los 4s

f) El período

g) La velocidad en la posición inicial

h) La aceleración centrípeta en la posición final


EJERCICI

OS

4. Una partícula animada de MCU se encuentra en la posición que

indica la figura en t = 3s. Si se mueve en sentido horario 7s,

determinar:

a) La velocidad angular

b) El desplazamiento angular

c) Cuántas vueltas da en los 7s

d) La distancia recorrida


f) El período

g) La velocidad en t = 10s

h) La aceleración centrípeta en t = 3s


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Es el de una partícula cuya aceleración angular es constante.


ctet

t

t0

t0

Recordando las expresiones para la velocidad media:


2

0

t

2

0 tt

2

)( 00 ttt

2

2 2

0 tt

2

02

1tt

Por otro lado:

Si el movimiento es acelerado ω y α tienen signos iguales(mismo sentido de giro)

Si el movimiento es retardado ω y α tienen signos opuestos(distinto sentido de giro)


2

0

t

t2

0

00 .2

2

2

0

2

22

0

2

ACELERACIONACELERACIÓN TANGENCIAL:

MODULO:

DIRECCION:

Si el movimiento es acelerado, la aT tiene igual dirección y

sentido que la velocidad

Si el movimiento es retardado, la aT tiene la misma dirección pero

sentido contrario


v

Ta

Rv

Rv

Rtt

v

RaT

va UUT

va UUT

ACELERACIONACELERACIÓN CENTRIPETA:

MODULO:

DIRECCION:

ACELERACION TOTAL

MODULO:


v

Ta

Ca

a

R

vac

2

R2v

ra UUc

cT aaa

222

cT aaa

EJERCICI

OS

1. Una partícula parte del reposo desde el punto C en sentido antihorariocon una aceleración tangencial constante de y gira unángulo de en una trayectoria circular de 2m de radio.

Determinar:

a) La aceleración angular

b) La velocidad angular final

c) El tiempo empleado

d) La posición angular final


f) La velocidad final

g) La aceleración total finalmiércoles, 07 de septiembre de 2011Dr. Segundo Morocho C.

23ms

rad3

13

45º

C

x

y

EJERCICI

OS

2. Un cuerpo que esta girando por una trayectoria circular de

0,75m de radio, demora 3s en girar un ángulo de y

alcanza una velocidad angular de 50RPM.

Determinar:

a) La velocidad angular media

b) La velocidad angular inicial

c) La aceleración angular

d) La rapidez inicial

e) La rapidez final

f) La distancia recorrida


rad3

10

EJERCICI

OS

3. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura. Si

parte del punto A con una rapidez de y, luego de

girar un ángulo de , llega al punto B con una rapidez

de

Determinar:

a) La velocidad angular inicial y final

b) La aceleración angular

c) El tiempo transcurrido

d) La posición angular final


f) La velocidad final

g) La aceleración total final


40º

R= 1,3m

x

y

136Kmhrad

3

11

h

Km8,10

ov

EJERCICI

OS

4. Una partícula que se mueve con movimiento circular se

encuentra en la posición que indica la figura en t = 5s. Si gira

18s con una aceleración angular de

Determinar:

a) El desplazamiento angular

b) El espacio angular recorrido

c) El espacio lineal recorrido

d) La posición cuando v = 0


f) La aceleración total en t = 15smiércoles, 07 de septiembre de 2011Dr. Segundo Morocho C.

65º R= 1,5mx

y 15msvo

25,1

s

rad

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