Modulo de Fisica 2011-Ucv
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Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
1
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERIA
AUTOR:
Lic. JORGE LUIS RONDO VÁSQUEZ
– 2011 –
MÓDULO DE FÍSICA
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
2
I. FUNDAMENTACIÓN
La asignatura de Física tiene como objetivo presentar en forma clara y lógica las
definiciones básicas y principios que permiten explicar, como los fenómenos
mecánicos, energéticos, termodinámicos, de mecánica de fluidos, eléctricos y
magnéticos.
El proceso de enseñanza aprendizaje de esta asignatura se realiza en un marco de
diálogo entre el estudiante y el docente, fortaleciendo la comprensión de las
definiciones y principios, a través de una amplia gama de interesantes aplicaciones al
mundo real.
El desarrollo del curso permite erradicar el conocimiento Intuitivo e irracional, para
hacer madurar un conocimiento racional y despertar así actitudes científicas que deben
ser el fundamento de toda carrera de ingeniería.
Se desarrollará en cuatro unidades: la primera unidad relacionada a la estática y
cinemática; la segunda unidad comprende dinámica, trabajo y a la energía de los
cuerpos rígidos; tercera unidad a la mecánica de fluidos y procesos termodinámicos y
la cuarta unidad, electricidad y magnetismo.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
3
Según acuerdo de la conferencia general de pesas y medidas que tuvo lugar en los años
1967 y 1971. Esta conferencia tuvo por objetivo, perfeccionar y unificar los sistemas de
unidades empleadas por la ciencia, la industria y el comercio. Se ideo el sistema
Internacional (S.I.) de unidades.
1. Estructura del S.I: El S.I. consiste en 7 unidades de base o fundamentales y 2 unidades
suplementarias y una serie de unidades derivadas congruentes con las unidades
fundamentales y suplementarias, y una serie fe prefijos aprobados para la formación de
múltiplos y submúltiplos de las diferentes unidades
a. Unidades de Base o Fundamentales: son:
MAGNITUD FISICA UNIDAD SIMBOLO
Longitud metro m
Tiempo segundo S
Masa Kilogramo Kg.
Intensidad de corriente
eléctrica Ampere A
Temperatura
Termodinámica Kelvin K
Intensidad Luminosa Candela Cd
Cantidad de sustancia mol mol
b. Unidades Derivadas: Son:
MAGNITUD FISICA UNIDAD SIMBOLO
Angulo Plano Radian rad
Angulo Sólido Estereorradián sr
c. Unidades Derivadas: Las unidades para otras magnitudes físicas pueden ser derivadas
de las unidades fundamentales y de las suplementarias, mediante las ecuaciones físicas
que definen a estas magnitudes.
Ejemplo: La unidad de superficie se deriva de la unidad de Longitud mediante la
definición: Superficie= Longitud x Ancho
Lo que hace que la unidad de superficie sea: 1m x 1m = 1m2
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
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MAGNITUD FISICA UNIDAD SIMBOLO
Área Metro Cuadrado m2
Volumen Metro Cúbico m3
Densidad Kilogramo por
metro cúbico Kg./m
3
Velocidad Metro por segundo m/s
Fuerza Newton N
Presión Pascal Pa.
2. Múltiplos y Submúltiplos del S.I: Tanto los múltiplos como los submúltiplos tienen su
propio nombre que consiste en el nombre de la unidad y del prefijo.
MULTIPLOS
PREFIJO SIMBOLO FACTOR
Exa E 1018
Peta P 1015
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo K 103
Hecto h 102
Deca da 101
SUBMULTIPLO
Deci d 10-1
Centi c 10-2
Mili m 10-3
Micro u 10-6
Nano n 10-9
Pico P 10-12
Femto f 10-15
Atto a 10-18
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MAGNITUDES FISICAS
1. Concepto: Es todo aquello que es susceptible a ser medido, teniendo en cuenta que
esta es inmaterial.
Ejemplo: La Longitud, superficie, masas, velocidad, etc.
2. Clasificación: Se agrupan por:
A. Su origen: Son:
a. Fundamentales: Son las que sirven de base para escribir las demas
magnitudes. Las Cuales son: la Longitud (L), la Masa (M), el Tiempo (T).
b. Derivadas: Son las que se definen o expresan en función de las magnitudes
fundamentales.
Ejemplo: Area, volumen, aceleración, velocidad, potencia, trabajo, presión,
fuerza, densidad, etc.
B. Su Naturaleza: Son:
a. Escalares: Son aquellas magnitudes que están determinadas por un
número y por una unidad correspondiente. Ejemplo: Longitud →30 m,
Tiempo→80min, Masa → 20 Kg., Área →40 cm2, etc.
b. Vectoriales: Son aquellas magnitudes que están determinadas por su
valor o modulo y su unidad, se necesita conocer su dirección y
sentido. Ejemplo:
MAGNITUD VALOR DIRECCION
Fuerza 50 N 30º
Velocidad 60 Km. / h Al norte
Aceleración 5 m / s2 90º
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CONVERSION DE UNIDADES
Para transformar una unidad en otra se utiliza el método denominado factores de conversión,
que consiste en colocar a partir del dato, equivalencias en forma de fracción, de modo que la
unidad a eliminarse debe estar en forma opuesta.
EQUIVALENCIAS PARA OTROS SISTEMAS DE UNIDADES
CANTIDAD FÍSICA UNIDAD SI CONVERSION DE UNIDADES
LONGITUD Metro (m)
1 m= 39,37 pulg
1 pulg = 2,54 cm
1 nm =100
1 yarda = 0,9144 m
1 milla = 1,609 km
1 pie = 0,3048 m = 12 pulg
MASA Kilogramo (Kg.)
1 kg = 2,205 lb
1 onza = 28,35 g
1 Tn métrica = 1000 kg
1 libra = 453,6 g
1 g = 1000 mg
VOLUMEN Metro cúbico (m3)
1 m3= 1000 L = 35,315 pies
3 = 264,17 gal
1 dm3 = 1 L
1 L = 1000 cm3 = 1000 mL
1 gal (USA) = 3,785 L
1 pie3 = 28,32 L = 0,0283 m
3
1 pulg3 = 16,387 mL
1 onza líquida = 29,57 mL
ENERGIA Joule (J)
1 J = 107 ergios
1 Joule = 0,23901 cal
1 Joule = 2,777x10-7
kw.h
1 Caloria = 4,184 J
1 BTU = 252 cal
1 BTU = 1054,3 J
1 eV = 1,6022x10-19
J
PRESION Pascal (Pa.)
1 atm = 14,7 lb/pulg2 = 14,7 psi
1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg
1 torr = 1 mmHg
1 bar = 105 Pa
1 atm = 1,033 kg-f / cm2
.101 80
1 cmxAnstrong 1h=60 min 1min=60 s 1h=3600 s
Ejémplo:
1. Expresar el volumen de 50 galones de gasolina en litros.
Lgal
Lgal 5.189
1
79.350
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Cuando termine de estudiar la presente unidad debe haber alcanzado los siguientes
objetivos.
OBJETIVOS:
1. Describir e interpretar gráficamente las operaciones con vectores.
2. Componer y descomponer vectores.
3. Realizar operaciones con vectores.
1.1. INTRODUCCION:
Para muchos fines de la física, la dirección de una cantidad es de igual importancia
que su magnitud. Esta unidad está dedicada al uso de cantidades que tienen
dirección y magnitud. Estas cantidades se denominan vectores.
Gráficamente un vector es una flecha dibujada para representar una cantidad. Su
longitud es
1.2. OPRERACIONES CON VECTORES:
1.2.1. SUMA DE EVCTORES:
Dados dos vectores y , la suma se obtiene utilizando la REGLA
DEL PARALELOGRAMO, que consiste en dibujar los vectores y
coincidiendo en su origen y luego trazar paralelas a estos vectores hasta formar
un paralelogramo. La diagonal mayor representa la suma y la diagonal
menor la diferencia .
Nota: una forma sencilla de hallar es también dibujado un triangulo
con los vectores , y , como se indica a continuación es la grafica.
SESIÓN Nº 01: ANÁLISIS VECTORIAL
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1.2.2. SUMA DE MÁS DE DOS VECTORES:
Para sumar mas de dos vectores, digamos , sumamos primeros dos de
ellos por el método del triangulo, digamos y finalmente sumamos a
.
Gráficamente se obtiene un polígono.
1.2.3. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR.
El producto de un vector por un escalar “K”, es un vector , con magnitud
veces la magnitud de . El sentido de depende del signo de “K”, tiene el
mismo sentido de si K es positivo y sentido opuesto a si K es negativo.
1.3. MUDULO Y DIRECCION DE LA RESULTANTE DE DOS VECTORES.
1.3.1. MODULO DE LA RESULTANTE:
Dados dos vectores y , y la resultante . Se llama módulo de la
resultante al valor definido por:
……………………. (1.1)
Donde “θ” es el ángulo entre los vectores .
Nota: en (1.1) y en lo que sigue del Manual por comodidad utilizaremos las
siguientes notaciones:
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9
1.3.2. DIRECCION DE LA RESULTANTE:
Se determina con el ángulo que forma la resultante con el vector , como
sigue:
………………..…………… (1.2)
1.4. DESCOMPOCICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES
RECTANGULARES.
1.4.1. CASOS DE UN VECTOR EN EL PLANO.
Si por el origen de un vector trazamos un sistema de coordenadas
rectangulares, entonces tendremos que las componentes rectangulares del vector
y .
En donde se tiene las siguientes definiciones:
(i) Vector en términos de sus componentes:
(ii) Modulo o longitud del vector a.
…………………….. (1.3)
(iii) Longitud de las componentes del vector a.
; ……………….. (1.4)
(iv) Dirección de un vector .
…………………………..(1.5)
0
Y
X
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1.4.2. CASO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO:
Las componentes ortogonales del vector son:
, y
1.5. MODULO Y DIRECION DE LA RESULTANTE DE MAS DE DOS
VECTORES
Módulo de la Resultante.-
Para calcular el módulo de la resultante de un conjunto de vectores, se dibujan todos
los vectores en sistemas de coordenadas rectangulares, de modo que su origen
coincida con el origen del sistema, luego se calculan las componentes horizontal y
vertical de cada uno de los vectores. Finalmente el módulo de la resultante se
calcula por formula:
………………………………(1.6)
Donde:
Suma de las componentes en la dirección del eje X.
Suma de las componentes en la dirección del eje Y.
X
Y
Z
β
γ
α
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Gráficamente:
Nota: El signo negativo de algunas componentes se debe al sentido de los ejes
del sistema de coordenadas rectangulares.
1.6. VECTORES UNITARIOS:
1.6.1. Definición: se dice que un vector es unitario si su longitud es igual a 1, es
decir, si .
Nota: si es un vector no nulo, el vector unitario en la dirección de esta
dado por:
De donde se deduce que todo vector es igual al producto de su longitud por su
vector unitario, es decir:
……………………………….. (1.7)
1.6.2. Vectores Unitarios Rectangulares.
Son los vectores unitarios en la dirección de los ejes de un sistema de
coordenadas rectangulares y se les denota por .
X
Y
X
X
Y
Z
X
X
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1.7. ALGEBRA VECTORIAL.
Sean los vectores:
Definamos las siguientes operaciones en términos de sus componentes
rectangulares:
1.7.1. Suma de Vectores.
…………….(1.8)
Es una cantidad vectorial.
1.7.2. Diferencia de Vectores.
……………. (1.9)
Es una cantidad vectorial.
1.7.3. Producto escalar de vectores.
…………………………(1.10)
Es una cantidad escalar.
Este producto también se define como sigue:
…..………………………………… (1.11)
Donde “θ” es el ángulo que hacen los vectores .
De acuerdo a esta definición se deduce que el producto escalar de los vectores
unitarios rectangulares i, j y k arroja los siguientes resultados:
(a)
(b)
1.7.4. Producto vectorial de dos vectores.
Sean los vectores , el producto vectorial de estos vectores se
define por:
Si no se conoce el ángulo se usa:
…...(1.12)
Es una cantidad vectorial. Este resultado también se obtiene desarrollando el
siguiente “Determinante”:
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Nota: formalmente no se trata de un determinante, pero es un buen artificio para
retener en la memoria los cálculos en (1.12). Que puede resolverse usando
métodos conocidos.
PRACTICA DE CLASE
1. Los módulos de dos vectores son de 3
y 5 u nida des; ha l l a r e l ve ctor
resultante, cuando éstos forman
un ángulo de 60°.
2. ¿Cuál debe ser el valor de "m"
para qu e el vector A (1 , m, 2 )
forme u n ángulo de 60° con el eje z?
3. Calcular la resultante y la
dirección d e l s i s t e m a
f o r m a d o s p o r l o s ve ct ore s
A (3 , -2 ,3 ) ;B(1 ,1 , -2 ) y C(2,2,-1)
4. D a d o e l v e c t o r A ( 2 , 6 , - 4 ) ,
Determinar un vector unitario en
la misma dirección y sentido.
Además calcular 3/2 A
5. S e a n l o s v e c t o r e s A( 3 , -2 , 4 )
y B(1,1,-2). Determinar:
A) Proyección de A sobre B
B) Proyección de B sobre A
C) E l á n g u l o f o r m a d o p o r
l o s vectores A y B.
6. Da dos lo s ve ctor es U(1 , -1 ,0 )
V(2,0,-2) y W(1,-2,-3), hallar:
A) Producto escalar de U y V.
B) El ángulo que forman U y V
C) Un vector unitario ortogonal a
U y V.
D) El valor de x para que el
vector (2, 5, x) sea ortogonal a W.
E ) E l á n g u l o fo r m a d o p o r l o s
vectores W y V.
7. Un vector A tiene de
componentes (1 ,2 ,3 ) . O t r o
v e ct or B t i e n e d e módulo 3 1/2
y
su componente x (Bx) vale 1.
determinar B para que sea
perpendicular a A.
8. Sie nd o l os v ect or e s A ( A x , 5 ,3 )
y B (3 ,1 ,0) y sabiendo que A-B
= 4j+3k y que el módulo de su
suma vale 9. Determinar Ax.
9. Hallar el producto vectoria l de
los vectores A(3,-3,2) y B(3,4,0)
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LABORATORIO Nº 01: “ANÁLISIS VECTORIAL”
1. Un vector situado en el plano XY tiene
una magnitud de 25 unidades y forma
un ángulo de 37º con la abscisa.
Determine sus componentes
rectangulares.
2. La componente x de un vector que está
en el plano XY es de 12 unidades, y la
componente y es de 16 unidades.
¿Cuál es la magnitud y dirección del
vector?
3. Un vector tiene una magnitud de 9
[cm] y está dirigido hacia +X. Otro
vector tiene una magnitud de 6 [cm] y
forma un ángulo de 45º respecto de la
abscisa positiva. El vector tiene una
magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo
de 75º respecto del eje +X. Determine el
vector resultante.
4. Dado el vector
, determine sus
ángulos directores.
5. Dados los vectores:
Encontrar:
a. b.
c. d.
e. Los ángulos directores de
6. Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5
que forman un ángulo de 60º entre sí.
7. Dados los vectores A = 3ˆi - 2ˆj y B = ˆi
- 2ˆj, encontrar su producto vectorial.
8. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las
coordenadas:
a) 2u, b) 0v, c) –u, d) 2u +v,
e) u –v, f) 5u – 3v.
9. En una base ortonormal tenemos
a (1, 2, 2) y b (–4, 5, –3). Calcula:
a) a · b b) y
c) La proyección de b sobre a.
10. Calcula el volumen del paralelepípedo
determinado por u (1, 2, 3), v (–2, 1, 0)
y w = u × v.
11. Calcula el volumen del paralelepípedo
determinado por a(3, –1, 1), b(1, 7, 2) y
c(2, 1, –4).
12. Hallar un vector unitario
perpendicular al plano formado por
los vectores:
P = 2i – 6j – 3k y
Q = 4i + 3j – k
13. Hallar el área de un triángulo cuyos
vértices son: P(1,2,3), Q(2,-1,1) y
R(4,5,6)
14. Hallar los ángulos directores de la
recta que pasa por los puntos (3,2.-
4) y (1,-1,2)
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15. Hallar la proyección del vector A =
2i – 3j + 6k sobre el vector B = i +
2j + 2k.
16. Hallar la proyección del vector M =
4i – 3j + k sobre la recta que pasa
por los puntos (2,3,-1) y (-2,-4,3).
17. Si el producto vectorial de dos
vectores es a x b = 3i – 6j + 2k,
siendo a = 4 y b = 7. Calcular el
producto escalar a.b
18. Que ángulo forma las fuerza F(5,9)
y P(-3,6)
19. Calcular x para que el vector a =
(1,3) sea ortogonal a b = (x,2)
20. Buscar un vector perpendicular al
vector a = 3i – 4j y de módulo 10.
21. Dados los vectores a = 7i + 4j –
5k y b = -3i + k, Calcular: a) el
ángulo que forman ambos
vectores, b) los cosenos
directores de los dos vectores, y
c) el área del paralelogramo
formado por ambos vectores.
22. Una caja de 16 cm de largo, 18
cm de ancho y 10 cm de alto.
Encuentre la longitud de la
diagonal de la caja y el ángulo
que ésta forma con cada uno de
los ejes.
23. Dados los vectores a = 5i + 2j +
3k, b = bxi + 2j + bzk y c = 3i +
cxj + k. Determinas bx, by y cy
para que los vectores sean
mutuamente ortogonales
24. Los puntos A(1,1,1), B(3,1,1),
C(0,4,0) y D(1,0,5) delimitan un
tetraedro. Calcular: a) la longitud
del lado AB, b) el área del
triángulo ABC, y c) el volumen
del tetraedro.
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CONCEPTO:
Rama de la mecánica, cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste se encuentre en equilibrio.
ESTATICA
EQUILIBRIO TORQUE
2ªCONDICION
DE EQUILIBRIO
APLICACIONES
1ªCONDICION
DE EQUILIBRIO
SESION Nº 02: ESTATICA
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LAS LEYES DE NEWTON
I. Ley de inercia
Al estructurar los principios de la Mecánica, Newton se basó en
los estudios realizados por los físicos que lo precedieron, entre
ellos Galileo. Así la primera ley de Newton no es más que una
síntesis de las ideas de Galileo referentes a la inercia, y por eso
mismo, también se le denomina ley de la inercia:
“Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento
uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza externa”.
II. Ley de acción-reacción
En sus estudios, Newton se dio cuenta de que las fuerzas siempre aparecen como
resultado de la interacción de dos cuerpos. En otras palabras, la acción de una fuerza
sobre un cuerpo no se puede manifestar sin que haya otro cuerpo que lo provoque.
Además Newton pudo comprobar que en la interacción de dos cuerpos, las fuerzas
siempre aparecen en pares: para cada acción de un cuerpo sobre otro siempre existirá
una reacción igual y contraria de éste sobre el primero. Tales observaciones de
Newton se pueden sintetizar en el enunciado de su tercera ley, que también se conoce
como ley de la acción y la reacción:
"Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (Acción); entonces el otro le aplica una
fuerza igual y en sentido contrario al primero (Reacción)".
Ejemplo:
a. Si soltamos desde una altura una pelotita de jebe, esta llega al suelo aplicándole
una fuerza ; pero en ese instante el suelo reacciona y le aplica otra fuerza a la
pelotita (en sentido contrario y de una misma magnitud y dirección). Por cada
acción hay una reacción igual y de signo opuesto.
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b. Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, entonces B ejerce sobre A
una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta. FA + FB = 0
Definición de fuerza
La fuerza es igual a la masa por la aceleración producida en el cuerpo.
Fuerzas fundamentales de la naturaleza
a. La fuerza gravitatoria hace que los planetas giren en torno a una estrella o que los
objetos caigan.
b. La fuerza electromagnética mantiene cohesionados átomos, moléculas y sistemas
macroscópicos.
c. La fuerza débil es la responsable de la transformación de unas partículas en otras (ej:
protón en neutrón).
d. La fuerza fuerte mantiene unido al núcleo atómico.
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INTERACCIONES Y FUERZAS:
Fuerzas de contacto.
Son de origen electromagnético debidas a interacciones entre las moléculas de cada objeto.
1. Objetos deslizándose sobre superficies
Fuerza Normal : fuerza perpendicular a una superficie que se opone a su deformación.
Fuerza de rozamiento:
Es la fuerza que se opone al desplazamiento de un cuerpo sobre otro y que es devida a la
irregularidades de las superficies de contacto y las fuerzas de adherencias entre moleculas de
los 2 superficies en contacto.
Experimentalmente:
Fuerzas elásticas
W
g
N
F
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Ley de Hooke : Un muelle ( o cuerda elástica) se opone a su deformación.
Constante elástica F = −k x del muelle
FUERZAS INERCIALES: En algunos casos, el movimiento es tal que su estudio se
simplifica haciedo uso de un sistema de referencia No inercial. Si es así, al aplicar las leyes
de Newton, añadimos a las fuerzas reales una fuerza inercial o ficticia.
DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE
EQUILIBRIO TRESLACIONAL:
1ª Condición de Equilibrio
"Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él sea
igual a cero; para eso, las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y
concurrentes".
Si la resultante de un sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado.
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(3)
En este caso, por la 1ª ley de Newton, el cuerpo permanece en reposo (equilibrio estático), o
esta en movimiento con velocidad constante [a=0] (equilibrio cinético).
Ejemplo:
Ejemplo para cuerpos en rozamiento.
Como el cuerpo tiene aceleración nula entonces
es decir la fuerza de roce es igual a la fuerza aplicada F. Si se aumenta F aumenta la fuerza
de roce de la misma manera. Pero eso tiene un límite. La fuerza de roce no puede crecer
indefinidamente. Este límite tiene que ver con propiedades de las superficies en contacto y
con el grado en que las superficies están apretadas entre sí. El modelo que utilizaremos es:
, donde se denomina coeficiente de roce estático entre las
superficies.
Si la fuerza aplicada supera al máximo valor de la fuerza de roce o si el cuerpo está
en movimiento relativo, la fuerza de roce, llamada ahora fuerza de roce cinética, está
dada por:
donde se denomina coeficiente de roce cinético. Normalmente que
pone de manifiesto que cuesta menos mantener el movimiento que iniciarlo.
EJEMPLOS
1. Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura.
Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.
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SOLUCIÓN:
El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre:
Al sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos:
Al simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos:
-0.5A + 0.7660B = 0 (1)
Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto
tenemos:
En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de
sustitución. Si despejamos A tenemos:
Ahora vamos a sustituir esta igualdad en la ecuación 2
Para B tenemos:
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Para calcular la tensión en A sustituimos
La tensión en la cuerda C es 300N, puesto que debe ser igual al peso.
2. Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma
horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un
ángulo de 30° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.
SOLUCIÓN
Primero dibujamos le diagrama cuerpo libre:
Ahora se aplica la primera condición de equilibrio. La suma de las fuerzas a lo largo del eje
X:
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24
Ahora al sumar las componentes en Y:
Por lo que: A sen 60° = 100N
Ahora se despejan las fuerzas desconocidas:
0
Conocemos el valor de A, ahora despejamos B de la ecuación 1:
TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO.
En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente. De
traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se está trasladando, en este caso
la rotación puede ser sobre un eje que pase por el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando
en torno a un eje vertical, a la rotación del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de
precesión (por ejemplo un trompo), y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se
traslada y gira. Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy complejo,
por esta razón se estudia cada movimiento en forma independiente.
Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de otro punto
del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de manera similar, por lo que ya
no se puede representar por una partícula. Pero se puede representar como un objeto
extendido formado por un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y
aceleración. Al tratar la rotación del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un
objeto rígido y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.
Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman)
tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no
deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento
de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales
la deformación del objeto es despreciable.
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El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación
y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos
movimientos.
TORQUE DE UNA FUERZA.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar
un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al
cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se
prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos
al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes
físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.
Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede producir sobre un
cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla fija en un punto O ubicado en
un extremo de la regla, como se muestra en la figura 1, sobre el cual pueda tener una
rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en
distintos puntos, produce sobre la regla fija en O. La fuerza F1 aplicada en el punto a
produce en torno a O una rotación en sentido antihorario, la fuerza F2 aplicada en el punto b
produce una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, la fuerza F3 aplicada
en b, pero en la dirección de la línea de acción que pasa por O, no produce rotación (se
puede decir que F3 „empuja‟ a la regla sobre O, pero no la mueve), F4 que actúa inclinada en
el punto b produce una rotación horaria, pero con menor rapidez de rotación que la que
produce F2; F5 y F6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de
la figura respectivamente, no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que
produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos
como el torque de la fuerza.
Figura 1
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
26
Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una
posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se
produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza
aplicada F, por la siguiente expresión:
…………….……………………………..(1)
El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor numérico, por
definición del producto vectorial, es:
……………………………………(2)
su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama vectorial
se muestra en la figura 2, su sentido esta dado por la regla del producto vectorial, la regla
del sentido de avance del tornillo o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano
derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F
a través del ángulo α , la dirección del pulgar derecho estirado da la dirección del torque y en
general de cualquier producto vectorial.
Figura 2
Por convención se considera el torque positivo (negativo) si la rotación que produciría la
fuerza es en sentido antihorario (horario); esto se ilustra en la figura 3. La unidad de medida
del torque en el SI es el Nm (igual que para trabajo, pero no se llama joule).
Figura 3
El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación
respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque es cero. Si
, es decir, F está sobre la línea de acción de r, y el torque es
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
27
cero. es la componente de F perpendicular a r, sólo esta componente realiza torque,
y se le puede llamar De la figura 3 también se ve que es la distancia
perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a se le llama
brazo de palanca de F.
Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como:
TEOREMA DE VARIGNON:
“El momento de la resultante de dos fuerzas concurrentes, con respecto a un centro en su
plano, es igual a la suma algebraica de los momentos de los componentes con respecto al
mismo centro”.
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE VARINGNON*.
Para determinar el momento resultante de dos o más fuerzas paralelas, se obtiene sumando
sus módulos algebraicamente:
mFFFFFR
000000 ....4321
Convención de signos en torque:
1) El signo de la resultante depende del sentido con respecto al eje de giro, si es
antihorario será positivo y si es horario negativo.
2) El signo de las fuerzas depende que sentido tienen con respecto al eje de giro. Si es
horario (-); antihorario (+).
Por ejemplo en la figura:
54321 F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
R
A
Tomando como referencia al punto A, y siendo R la resultante de las fuerzas.
O
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Luego: xFxFaFaFFR
A 54321 2.2..0. ......... (1)
EJEMPLOS SOBRE “N” FUERZAS PARALELAS
1. Calcular la resultante y el punto de aplicación del sistema mostrado.
b) Cálculo del punto de aplicación con respecto al punto “A” usando el teorema de
Varignon.
82645
AAAAA
R
A
)5(8)2(2)6(6)4(4)0(5xR
40436165x
2ª CONDICIÓN DE EQUILIBRIO:
Un cuerpo esta en equilibrio rotacional si la suma de los torques que actúan sobre el es
CERO.
En este caso, el objeto rotacionalmente en reposo o rota con velocidad angular constante
[α=0].
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.
Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de
las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con
Solución:
a) Cálculo de la Resultante
Luego la resultante apunta hacia arriba.
El punto de aplicación se encuentra a 1,6cm del punto “A”.
cmxx 6,15
8
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29
velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio
estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación.
En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el
cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en
reposo, estará en equilibrio estático. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio
estático de los cuerpos se llama estática.
Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos
simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es
la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. La segunda condición
de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “la
suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de
cualquier origen es cero”.
Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible
tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la
pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una mano, extiendes y levantas el otro
brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de
gravedad y su aplicación al equilibrio estático.
Centro de gravedad.
Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes
actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar
actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se
concentra el peso total del cuerpo.
Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro
geométrico, pero no para un objeto irregular.
Centro de masa.
Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda
su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el
cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un
eje se simetría.
Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta
aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una
partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de
gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es
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30
equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante, esto
es, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.
Existen métodos de cálculo integral para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las
detallaremos.
Ahora se pueden responder las preguntas anteriores. Respecto a la Torre de Pisa, la respuesta
a la pregunta de porque no se cae, es porque su centro de gravedad está geométricamente
dentro de su base, que se llama “área de sustentación”.
Si la torre continúa inclinándose hasta que su centro de gravedad caiga fuera del área de
sustentación, entonces se derrumbará. Pero se le han puesto apoyos en su base para evitar
que continué inclinándose. Las otras preguntas ahora las puedes responder tu.
Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes
instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido:
a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.
b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las
fuerzas efectivamente actúan.
c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde
dibujar la componente perpendicular a la posición.
d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques
de (algunas) fuerzas desconocidas.
EJEMPLO
1. Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza ,
que se aplica a un objeto en la posición
Solución:
Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:
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2. Calcular el torque neto por los puntos A y por B en el sistema de la figura mostrada,
donde
Solución:
El torque neto es la suma de los torques realizados por cada fuerza. Los puntos A y B
se consideran ejes de rotación en forma independiente, por supuesto no
simultáneamente, por lo tanto los torque se calculan en forma separada en cada
punto.
Para rotación en torno al punto A, considerando el sentido de la rotación que produce
cada fuerza, lo que le da el signo al torque, se tiene:
los valores de las distancias son:
Para rotación en torno al punto B, considerando el sentido de la rotación:
ahora los valores de las distancias son:
3. Una barra uniforme de longitud L y peso P está articulada en A en una pared. Un
alambre fijo en la pared a una distancia D sobre la articulación, sujeta a la barra por
el extremo superior, como se muestra en la figura 6.5a. El alambre permanece
horizontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el extremo superior de la barra.
Calcular la tensión del alambre y la fuerza de reacción en la articulación de la barra.
Solución
Se elige como eje de rotación la articulación de la barra en la pared, en el punto A, se
identifican las fuerzas que actúan sobre la barra, se dibuja el DCL de la barra (figura
adjunta) y se aplican las condiciones de equilibrio.
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a) izquierda, b) derecha.
1ª condición de equilibrio:
Eje x: (1)
Eje y: (2)
2ª condición de equilibrio:
(3)
De la geometría de la figura se obtienen en términos de los valores
conocidos D y L:
que se reemplazan en (3), luego se despeja T:
Ahora se calculan FAx y FAy de las ecuaciones (1) y (2).
De (1):
De (2):
4. En el sistema de la figura adjunta, una fuerza horizontal F, cuya línea de acción pasa
por el centro de un tambor de radio R y peso P, se aplica sobre el tambor, para
hacerlo subir por un escalón de alto R/2. Hacer las suposiciones necesarias para
calcular el valor de la: a) fuerza F, b) fuerza del borde del escalón en A, c) dirección
de la fuerza en A.
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33
a) izquierda, b) derecha.
Solución
Se conocen sólo el peso P y el radio del cilindro R. Hay que calcular la fuerza
aplicada F y la fuerza del borde del escalón en A, FA.
Las condiciones de equilibrio son:
Se hace el DCL (figura b), se elige como eje de rotación el punto A, y al aplicar las
condiciones de equilibrio se obtiene:
Eje x: (1)
Eje y: (2)
(3)
donde d es la distancia perpendicular, o brazo de palanca, desde A hasta las fuerzas
peso P y normal N, y el brazo de palanca de F es R/2. De la geometría de la figura, se
calcula d:
De (3) se obtiene el valor de la fuerza aplicada:
De (1):
De (2):
El vector fuerza es:
Su magnitud:
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Dirección de FA:
Notar que no se conoce N, se puede suponer que N = 0 cuando F es la fuerza mínima
para hacer subir al tambor.
APLICACIONES DEL TORQUE AL CUERPO HUMANO.
La técnica para calcular el valor de las fuerzas sobre cuerpos en equilibrio, puede ser
aplicada al cuerpo humano, donde existen fuerzas en músculos, huesos y
articulaciones, que permiten las diferentes posturas y movimientos.
El torque producido por la fuerza de gravedad juega un papel importante en el
equilibrio de un cuerpo. La fuerza de gravedad produce un torque cero en torno al
centro de gravedad (c.g.) El c.g. de una persona en posición firme está sobre una
línea vertical que toca el suelo a 3 cm delante de los tobillos (figura a). Si se inclina
para tocar la punta de los pies, su c.g. tiende a moverse hacia delante, más allá del
área de contacto, perdiéndose el equilibrio. Para evitar esto, sus piernas y nalgas se
mueven hacia atrás, con lo cual el cuerpo vuelve a estar en equilibrio (figura b). Los
centros de gravedad de la mayoría de las partes del cuerpo no están encima de las
articulaciones de apoyo y hacen falta fuerzas musculares para mantener el equilibrio.
Es así que para mantener el equilibrio y evitar que el cuerpo vuelque hacia adelante
teniendo como eje la articulación del tobillo, se necesita una fuerza aplicada por el
músculo del tendón de Aquiles que va unido al tobillo (figura c).
El problema de mantener el equilibrio cuando caminamos es aún mayor. Al levantar
un pie del suelo, el c.g. del cuerpo tiene que desplazarse por encima del pie apoyado.
Esto exige que todo el cuerpo se mueva lateralmente. Es así que al caminar el cuerpo
se mueve de un lado a otro para mantener el c.g. sobre su área de apoyo, en continuo
movimiento. Una buena estabilidad se obtiene teniendo el c.g. de un objeto en una
posición debajo de su área de sustentación.
Para un cuadrúpedo, el área de apoyo es el área que hay entre las patas, lo cual hace
que el animal tenga gran estabilidad. Si el c.g. está realmente debajo del área de
apoyo se logra una gran estabilidad. A lo largo de la evolución, los animales han
desarrollado posturas cada vez más inestables. La inestabilidad permite a los
animales moverse más rápidamente, pero requiere un control neuromuscular
complejo para mantener el equilibrio. La posición humana es tan mecánicamente
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inestable que a un niño le cuesta mas de un año desarrollar el control neuromuscular
suficiente para mantenerse en pie sin ayuda.
Figura a) b) c)
La columna vertebral humana consta de 24 vértebras separadas por discos
impregnados de un fluido. Cuando una persona se agacha para recoger aunque sea un
objeto liviano, se produce una gran fuerza sobre el disco sacro lumbar que separa la
última vértebra del sacro, el hueso que sostiene la columna vertebral.
Si este disco se debilita puede deformarse o romperse y ejercer presión sobre los
nervios próximos produciendo grandes dolores.
Para comprender por qué esta fuerza es tan grande podemos usar un modelo que trata
la columna como una barra con pivote que corresponde al sacro (figura 8a). Los
diversos músculos de la espalda los representaremos como un solo músculo que
produce una fuerza . Si la espalda está horizontal, el ángulo α que forma respecto a
la columna es aproximadamente 12º. Representa el peso del torso, cabeza y
brazos, que corresponde aproximadamente al 65% del peso total del cuerpo.
Obsérvese que como el ángulo α es pequeño, la línea de acción de pasa cerca del
pivote (sacro), por lo cual su distancia perpendicular es pequeña. El peso P r actúa en
ángulo recto respecto a la columna y su distancia perpendicular es mucho mayor. Por
lo tanto, para que se equilibren los torques, la fuerza muscular T r debe ser mucho
mayor que el peso P r. Como T r es grande, también lo es su componente horizontal,
por lo tanto la fuerza R r debida al sacro debe tener una componente de igual valor y
sentido opuesto. La fuerza debida al sacro también debe ser mayor que el peso P r.
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Ejemplo. Realicemos los cálculos para una persona que pesa 700 N (masa de 70kg).
El valor de P es 65% de 700 = 455N. Se supone que P y T actúan a una distancia del
sacro de ½ y 2/3 del largo l de la columna (figura 8a). Para determinar el valor de T
y R se aplican las condiciones de equilibrio.
Figura 8 a). b)
2ª condición de equilibrio, considerando el eje O en el hueso sacro:
1ª condición de equilibrio:
Luego:
Tales fuerzas en los músculos y en el disco son potencialmente peligrosas, pues el valor de
dichas fuerzas son grandes aún sin levantar un cuerpo. Si se flexionan las rodillas
manteniendo la espalda vertical, los centros de gravedad de todos los pesos están
aproximadamente en la vertical del sacro, por lo tanto sus torques respecto al sacro son
pequeños y los músculos no deben realizar gran fuerza (figura 8b). La fuerza sobre el disco
respectivo es entonces aproximadamente, igual al peso que sostiene. El diagrama de la
figura 9 ilustra los valores de presión (fuerza) sobre el tercer disco lumbar, en atmósferas, si
la persona está de pie (A), de pie y sostiene 20kg (B), levantando correctamente un bulto de
20kg (C), levantando incorrectamente un bulto de 20kg (D). Notar como aumenta la fuerza
„lumbar‟ en los distintos casos.
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LABORATORIO Nº 02: ESTATICA
Resuelva los siguientes ejercicios en hojas blancas en forma clara y ordenada.
1. Una pelota de 250N cuelga atada a otras dos cuerdas,
como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en
las cuerdas A, B Y C.
2. Una pelota de 250N suspendida por una cuerda A es
tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda
B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo
de 40° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las
cuerdas A y B.
3. Una pelota de 300N suspendida por una cuerda A es tirada
hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y
sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de
45° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las
cuerdas A y B.
4. Encuentre la tensión el cable “A” y la compresión en el soporte “B” en la siguiente
figura, si el peso es de 95 N.
5. Un bloque de masa m= 4 Kg. se abandona sobre un plano inclinado 30º respecto a la
horizontal perfectamente liso. En la parte inferior del plano se encuentra un resorte fijo de
constante elástica igual a k= 2 000 N/m. El bloque se detiene luego de recorrer una
distancia de 2 m. La máxima deformación del resorte, es: (Tómese g=10 m/s)
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6. El extremo de una tabla de madera se ha levantado
gradualmente hasta el instante en que está a una altura “h” del
piso y la moneda está a punto de resbalar, la tabla mide 60 cm
y e = 0.75. Calcular “h”.
7. En el siguiente diagrama el bloque A pesa 4 N y el bloque B
8N. Si el coeficiente cinético entre todas las superficies es de
0.25, calcúlese la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque
B hacia la izquierda con velocidad constante, si A y B están
unidos por una cuerda ligera que pasa por una polea sin
rozamiento.
8. Una barra homogénea de masa m = 20 Kg se apoya sobre dos superficies lisas (sin
rozamiento) como se muestra en la figura. Determinar el valor de F necesaria para
mantener el equilibrio de la barra.
9. Determine el momento resultante respecto de A.
10. Sabiendo que la esfera mostrada pesa 60N y se encuentra
en equilibrio, calcular la reacción en el piso horizontal.
No hay rozamiento.
11. En el sistema mostrado, calcular la reacción de la pared y el plano inclinado
sobre la esfera. No hay rozamiento.
12. Un bloque de 80N de peso esta sostenido mediante dos cuerdas que forman con el techo
ángulos de 37º y 53º. Hallar las tensiones en cada una de las cuerdas.
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13. Determinar la reacción del piso sobre la barra mostrada en la
figura si su peso es 40N. La fuerza horizontal es de 30N y el
sistema se encuentra en equilibrio.
14. En el sistema mostrado, la barra pesa 100N y la carga Q, 200N. Calcular la tensión de la
cuerda.
15. Sabiendo que el cuerpo mostrado se encuentra en reposo, se pide encontrar la fuerza de
rozamiento.
16. El collarín A de 10 Kg se mantiene en equilibrio sobre la barra vertical lisa por el resorte.
¿Qué valor tiene la altura h, en m, si: K=300 N/m, la longitud del resorte no estirado es
30cm?
17. En el sistema mostrado, el peso de la barra es despreciable y tiene un metro de longitud.
La comprensión, en N, de dicha barra es:.
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18. En la viga de peso despreciable que se muestra en la figura,
Determine las reacciones, en N, en los puntos A y C. BC = 0,7m,
AB = 0,5m, la Fuerza F = 400N actúa sobre el punto medio de AB.
19. El peso total de la carretilla y su carga es 900N. (a). si F = 0, ¿Qué valor, en N tiene la
reacción en A? (b) ¿Qué fuerza “F” en N, mínima es necesaria para levantar del suelo el
soporte A?
20. Suponga que la fuerza ejercida por el martillo sobre la cabeza del clavo es vertical, e
ignore su peso. Si F = 50N, ¿Qué valor tiene la fuerza ejercida por el martillo sobre el
clavo, en N?
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1. CONCEPTO: Es una parte de la mecánica que estudia única y exclusivamente el
movimiento de los cuerpos prescindiendo de las causas que lo producen (masas y fuerzas
aplicadas)
La cinemática trata sobre el movimiento de los cuerpos con respecto a un sistema de
referencia.
2. SISTEMA DE REFRENCIA: Es aquel lugar del espacio donde se encuentra un
observador (real o imaginario) inmóvil, este “Observador” se debe ubicar dentro del tiempo
y espacio.
3. MOVIMIENTO: Es aquel fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que
realiza en cada instante con respecto a un sistema de referencia el cual se considera fijo.
SESIÓN Nº 03: CINEMATICA DE UNA PARTICULA
Movimiento
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4. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO:
4.1. Móvil.- Es todo cuerpo o partícula en movimiento.
4.2. Trayectoria.- Línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas ocupadas por
un móvil durante su movimiento.
4.3. Espacio recorrido (d).- Es la longitud de la trayectoria.
4.4. Desplazamiento (x).- Sentido Vectorial que define la posición final de un móvil
respecto a su origen o punto de partida.
4.5. Velocidad.- Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez con que el
móvil cambia de posición.
Las unidades de la velocidad son: .,,, etcs
cm
h
Km
s
m
5. Clasificación del movimiento:
I. Según su trayectoria:
1. Por su Trayectoria:
Rectilíneo
Circular
Parabólico
Elíptico
II. Por su rapidez:
2.1. Uniforme: Cuando su modulo de la velocidad permanece constante.
2.2. Variado: Cuando el modulo de la velocidad cambia al transcurrir el tiempo.
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
MRU
1. CONCEPTO: Llamamos movimiento rectilíneo uniforme, al movimiento de un punto
material que recorre espacios iguales en tiempos iguales. Dado que hemos definido la
velocidad como la variación del vector posición con relación al tiempo, en este tipo de
movimiento la velocidad será constante:
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43
0 velocidad instantánea
En el caso unidimensional, si queremos establecer la ecuación que nos dé la posición del
punto material (x), en un instante cualquiera (t), sabiendo que la posición inicial es ( ) para
el instante (t = 0), tendremos:
de donde:
Vemos que obtenemos para x una función lineal de t, en la cual v es el coeficiente de la
variable independiente y es la abscisa para el instante .
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
MRUV
Se ha denominado movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a aquel movimiento que
describe una partícula de modo que son constantes las variaciones del vector velocidad en la
unidad de tiempo, es decir aquel cuya aceleración permanece constante.
Dado que la velocidad no permanece constante pero sí sus variaciones podremos escribir:
Si consideramos que en un instante cualquiera (t) el móvil lleva una velocidad (v), y fue ( )
la velocidad con la que inició el movimiento, es decir la que tuvo en el instante t = 0,
tendremos:
o lo que es igual v = v0 + at
Obteniendo para la velocidad una función lineal de en la cual es la aceleración el
coeficiente de la variable. Al representar la recta obtenida tendremos en cuenta que su
pendiente igual a (a).
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Por otra parte, podremos calcular la velocidad media vm de la partícula dividiendo el espacio
total recorrido por el tiempo empleado en recorrerlo, es decir:
y por lo tanto
Por otra parte, dado que las variaciones de la velocidad son directamente proporcionales al
tiempo, podremos escribir para la velocidad media:
y sustituyendo en la ecuación precedente:
Sustituyendo v por su valor en función de la aceleración y del tiempo:
Con lo cual
Como vemos, la ecuación obtenida para el espacio recorrido en un instante es una función
del cuadrado del tiempo, y su representación gráfica en función del tiempo será una
parábola, cuya tangente en cada punto tendrá por pendiente el valor de la velocidad.
Si eliminamos el tiempo entre las ecuaciones de la velocidad y del espacio:
Sustituyendo t por el valor obtenido en la ecuación de la velocidad
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CAIDA LIBRE
Con la experiencia de Galileo Galilei, se comprobó que la caída libre de los cuerpos, es un
movimiento vertical uniforme variado y que todos los cuerpos, en el vacio, caen con la
misma aceleración, siendo esta la aceleración de la gravedad .
De la figura:
a) Hacia arriba: movimiento desacelerado.
b) Hacia abajo: movimiento acelerado.
1. Al mismo nivel:
2. En la altura máxima:
3. Para iguales desplazamientos:
Por lo tanto las formulas deducidas para tal movimiento son las mismas que utilizaremos
para caída libre, con las siguientes consideraciones:
a=g (aceleración de la gravedad)
x=h (altura de caida)
como la aceleración de la gravedad varia inversamente con la altura, de modo que a mayor
altura “g” es menor; asi tenemos que en los polos:
Y en el Ecuador:
Sin embargo, para nuestro propósito utilizaremos un valr promedio:
Formulas:
B
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Son las mismas que las de MRUV, con las consideraciones de que: y se
desprecia la resistencia del aire.
Calculo de la altura máxima
Cálculo de tiempo de vuelo:
MOVIMIENTO PARABOLICO
El movimiento de un proyectil es aquel que tiene una trayectoria parabólica en un plano.
Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal (MRU) y un
movimiento vertical de caída libre (MRUV).
donde:
Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con
aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del
proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A.
Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:
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FORMULAS:
Tiempo de vuelo:
Alcance máximo:
Altura máxima:
Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-
parabólico.
Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:
X = Vxi t
y = yo - ½ gt2
CASOS:
Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad
dada el máximo alcance se logra con una inclinación de 45o respecto a la horizontal.
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MOVIMIENTO CIRCULAR
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez
situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes
magnitudes.
Posición angular,
En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su
posición angular viene dada por el ángulo , que hace el
punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de
ángulos O.
El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el
radio de la circunferencia r, . La posición angular
es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene
dimensiones.
Velocidad angular,
En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P'
dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado
Dq=q ' -q en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido
entre t y t'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se
obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
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Aceleración angular, a
Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en
el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La
velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w' -w en el
intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el
intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en
un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Movimiento circular uniforme
Un movimiento circular uniforme es aquél cuya
velocidad angular w es constante, por tanto, la
aceleración angular es cero. La posición angular del
móvil es:
Gráficamente se representa w en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento
circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme
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50
Movimiento circular uniformemente acelerado
Un movimiento circular uniformemente acelerado es
aquél cuya aceleración a es constante.
Dada la aceleración angular podemos obtener el
cambio de velocidad angular w -w0 entre los instantes
t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad angular w en función del tiempo,
obtenemos el desplazamiento q -q0 del móvil entre
los instantes t0 y t, gráficamente (área de un
rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento
circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos
la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0
Aceleración
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro,
aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya que, en
virtud de la relación , resulta
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
51
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad
constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro
mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como
correspondería por la ley de inercia.
Período y frecuencia
El periodo representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa
y viene dado por:
La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la
unidad de tiempo y viene dada por:
Obviamente, la frecuencia la inversa del período:
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52
LABORATORIO Nº 03: CINEMATICA
MRU - MRUV
1. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x se localiza en
. Encuentre su desplazamiento,
velocidad promedio y rapidez promedio durante este intervalo de tiempo.
2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x. su coordenada x varia con el
tiempo de acuerdo con la expresión , donde x esta en metros y t en
segundos. La grafica posición – tiempo para este movimiento se muestra en la figura.
advierta que la partícula se desplaza en la dirección de x en t > 1 s.
a. Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo t=0 a t=1 s
y t=1 a t=3 s.
b. La velocidad promedio en los intervalos de tiempo antes mencionados.
c. La velocidad instantánea de la partícula en t=2.5 s.
x(m)
m=2m/s2
m=4m/s2
t (s)
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
53
3. Un fabricante de cierto automóvil afirma que su auto deportivo de superlujo
acelerara desde el reposo hasta una rapidez de 42m/s en 8 s. en el improbable caso de
que la aceleración sea constante:
a) Determine la aceleración del automóvil en m/ s2.
b) Encuentre la distancia que el automóvil recorre en los primeros 8 s.
c) ¿Cuál es la rapidez del automóvil 10 s después de que inicia su movimiento?
Suponga que continua acelerando a la tasa promedio de 5.25 m/s2.
4. Un motociclista debe llegar a su destino a las 10 am. Si viaja a 15 km/h
llegaría a la 1 pm y si viaja a 40 km/h llegaría a las 8 am. ¿Con qué velocidad debe
viajar para llegar a las 10 am exactamente?
5. Una moto y un auto se encuentran separados una distancia de 1000 m. Si
parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s,
respectivamente. ¿A qué distancia del punto de partida de la moto, se produce el
alcance?
6. Un tren tarda 40 s en cruzar totalmente un túnel de 500 m y tarda 1 minuto en
pasar completamente por otro túnel de 800 m. Hallar el valor de la velocidad del tren
(Considerar que le tren posee MRU).
7. Dos móviles están separados 1 600 m y parten simultáneamente al encuentro
con velocidades de 10 y 15 m/s. ¿Después de qué tiempo máximo estarán separados 400
m?
8. Un coche parte con una velocidad de 2 m/s y con una aceleración de 2 m/s2.
Hallar la velocidad del coche luego de 2 s.
9. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 24 s/m . Hallar la
distancia que recorre durante los cuatro primeros segundos.
10. Un coche viaja a la velocidad de 20 m/s desacelera uniformemente y luego de
20 s se detiene. Hallar la distancia que recorre.
11. Un coche se desplaza con una aceleración de 22 s/m , si en 3 s logra triplicar su
velocidad. ¿Qué distancia recorrió en dicho intervalo de tiempo?
12. Un móvil que se mueve con MRUV pasa por un punto A con una velocidad
de 3 m/s y 2 s después se encuentra a 16 m del punto A. Determinar a qué distancia de
A se encontrará cuando su velocidad sea de 23 m/s.
13. Un conductor de un automóvil ve a una persona en la pista y aplica los frenos,
su reacción para frenar tarda 0.60 s el coche avanza con una velocidad uniforme de 80
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
54
km/h. Al aplicar los frenos desacelera a razón de 5 m/s2. A que distancia del punto en
que el chofer vió a la persona se detendrá en coche.
14. Para atravesar el puente de Virú, de 150 m de longitud, un ómnibus
de la empresa Virú que se mueve con v el o ci da d c o n sta nt e d e m ó du lo
5 6,88 Km/h em plea 1 0 s. ¿Qu é longitud tiene el ómnibus, en m.?
15. Dos automóviles, que se mueven en vías paralelas en la misma dirección pero
de sentido opuesto y con M.R.U, pasan simultáneamente por dos estaciones A y B,
separadas 108 Km. S i cua ndo se cru za n, un automóvil habrá recorrido 36 Km
más que el otro, y a partir de ese instante el primero tarda 1 h en llegar a B y el
segundo 4 h en llegar a A; determine la velocidad con que se mueven ambos
automóviles.
16. Un t r en par te del r eposo con a celera ción consta nte. En un
momento dado, lleva una velocidad de 9 m/s, y 50 m más adelante, su velocidad es de 15
m/s. Calcúlese la aceleración del tren, en m/s2.
17. La velocidad de un punto móvil q u e d a d e t e r m i n a d a p o r l a s ecuaciones
paramétricas siguientes: Vx =3; vy =3t; vz =2+ 8t. Sabiendo que en t =O estaba en el
punto (4,5,0), calcular el vector posición, velocidad y aceleración en t =1s.
18. Simul tá nea mente, desde los extremos opuestos de una piscina de 1 0 0 m d e
l a r g o p a r t e n d o s nadadores con velocidades de 2 y 3 m/s respectivamente, los
cuales al llegar al otro extremo voltean instantáneamente. ¿Qué tiempo, en s, es
necesario para el segundo encuentro?.
20. Un atleta debe correr entre dos puntos separados en 300 m para lo cual dispone de
1 minuto, habiendo recorrido 200 m observa que su velocidad es 1 m/s menos que la
necesaria. ¿Qué velocidad, en m/s, debe tener el atleta en el tramo restante de manera
que llegue justo a tiempo?
21. Una partícula con MRUV recorre 15 m en 1 s, ¿Qué espacio, en m, recorrerá la
partícula en el segundo siguiente, si la aceleración es de 4 m/s2 ?
22. Un auto se mueve sobre una carretera recta y plana. De la gráfica, determinar el
desplazamiento en km entre t = 2h y t = 8h y la aceleración media en km/h2
entre t = 2h y t = 3h.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
55
0
80
t(h)
V(km/h)
53
40
1 2 6 8
23. Un cohete se dispara verticalmente con aceleración constante de 20 m/s2, durante 1
min. Entonces se agota el combustible y el cohete sigue subiendo como partícula
libre. ¿Cuál es la máxima altura , en Km, que alcanza respecto del piso?.
24. Desde el borde de un precipicio, se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una
velocidad inicial de 2m/s. ¿Cuántos metros a recorrido en el 3er
segundo.
25. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad de 12 m/s desde la
cima de un edificio, inclinado el lanzador sobre el borde de modo tal que la pelota no
choque con el edificio en su viaje de regreso. La pelota llega al piso 6.4 s después de
haber sido lanzada. a) Halle la altura máxima que alcanza la pelota. b) Encuentre la altura
del edificio. c) Calcule la velocidad de la pelota en el instante en que llega al piso.
26. Se deja caer un objeto al mismo tiempo que otro es lanzado hacia abajo con una
velocidad de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo pasará para que la distancia entre ellos sea de 18
metros?
27. Se deja caer una piedra en el pozo de un aljibe. El sonido de la piedra al golpear el agua
se escucha 6.5 s después. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcule la profundidad
del pozo.
28. Desde una de las torres de una fortaleza de altura desconocida, una catapulta lanza
continuamente grandes piedras con una velocidad de salida de 20 m/s y con una
inclinación hacia arriba de 37º con la horizontal. Si cada piedra tarda 5 s en caer. a) ¿Cuál
es la altura de la torre? b) ¿A qué distancia horizontal del lanzamiento caen al piso? c)
¿Cuál es la altura máxima que alcanzan las piedras? d) ¿Con qué velocidad caen las
piedras al piso?
29. Natalia arroja horizontalmente una pelota desde la ventana de su dormitorio que da a la
calle en los altos de un edificio, y Federico lo recibe a 1.8 m de altura sobre el piso, 1.2
segundos después. Sabiendo que Federico se encuentra a 6 m del frente del departamento
de Natalia, hallar: a)¿Desde qué altura del piso partió la pelota? b)¿Con qué velocidad
llegó a las manos de Federico? c)¿Cuál es la ecuación de la trayectoria de la pelota?
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
56
30. Guillermo Cañas se encuentra a 8 m de la red, e inicia el juego lanzando la pelota con
una velocidad inicial horizontal, desde una altura de 2.15 m. Es tan hábil que logra que la
pelota pase justo por el borde superior de la red que tiene 0.90 m de altura. a) Haga un
esquema de la situación y halle el tiempo que dura el vuelo de la pelota desde que es
lanzada por el tenista hasta que pasa justo por encima de la red. b) Halle la velocidad
inicial de la pelota. c) ¿A qué distancia de la red la pelota toca el suelo?
1. CONCEPTO: La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo
de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico
y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de
producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de
movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación
2º SEGUNDA LEY: “cada vez que sobre un cuerpo de masa “m” actue una fuerza exterior
resultante, el cuerpo adquiere una aceleracion proporcional y del mismo sentido que dicha
fuerza”.
SESION Nº 04: DINAMICA LINEAL Y CIRCULAR
DINAMICA
2ªLEY DE
NEWTON
APLICACIONES
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
58
SISTEMA MASA ACELERACION FUERZA
c.g.s gr Cm/s2 Dina
M.k.s. kg m/s2 Newton
tecnico kg 9.8 m/s2 Kg – f
ingles slug Pie/s2 libra
Kg-f=9.8Newton y 1Newton=105dinas
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
La fuerza que resulta de este movimiento entonces también debe apuntar hacia el centro. No
hay que olvidar que esta es la dirección adecuada de la fuerza, si solo nos imaginamos
girando un objeto fijo a una cuerda de longitud fija. La cuerda tiene tensión constante, y es
la que “fuerza” al objeto a seguir su movimiento circular. De acuerdo a la experiencia
cotidiana, se sabe que el objeto en movimiento jala hacía afuera la mano que sostiene la
cuerda. De la tercera ley de Newton, se concluye que la fuerza que debe ejercer la mano
sobre el objeto, a través de la cuerda, será un tirón hacia adentro igual. Esta fuerza que se
dirige hacia el centro, y que gira sobre el objeto, se denomina fuerza centrípeta y la
aceleración que se dirige hacia el centro de giro del objeto se llama aceleración centrípeta a.
FUERZA CENTRÍPETA
La segunda ley de Newton determina el movimiento circular y los demás movimientos de
una partícula. La aceleración, dirigida el centro del circulo, que tiene una partícula con
movimiento circular uniforme ha de ser producida por una fuerza dirigida también hacia
el centro. Como la magnitud de la aceleración normal es igual a v2
/ R, y su dirección es
hacia su centro, la magnitud de la fuerza normal sobre una partícula de masa m es
R
vmmaF
2
Generalmente hay varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo con movimiento circular
uniforme. En este caso, el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo ha
de tener la magnitud dada por la ecuación y de estar dirigido directamente hacia el centro
del circulo.
La fuerza que aparece en la ecuación se denomina a veces fuerza centrípeta. El termino
no es un afortunado, puesto que parece implicar que esta fuerza es de alguna manera
diferente de las demás fuerzas ordinarias, o que el movimiento circular genera de algún
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
59
modo una fuerza adicional; nada de este es correcto. El término de centrípeta se refiere al
efecto de la fuerza, es decir, al hecho de que ocasionan un movimiento circular en el cual
cambia la dirección de la velocidad, pero no su magnitud.
Centrífuga significa <<escapar de un centro>> examinemos esta opinión. En primer
lugar, el cuerpo no permanece en esa posición. Un instante después ocupara una posición
distinta sobre su trayectoria circular. En el instante considerado esta moviéndose en la
dirección del vector velocidad v y a menos que actué una fuerza resultante sobre él,
continuará moviendo en esta dirección, según la primera ley de Newton. Si estuviera
actuando sobre él una fuerza hacia fuera, igual y opuesta a la componente hacia dentro de
la fuerza T, no habría fuerza resultada hacia dentro para desviarlo lateralmente de su
dirección de movimiento actual.
Cuando se hace girar en círculo una pelota, ésta es acelerada „hacia dentro‟. La
aceleración se debe a una fuerza centrípeta (que tiende hacia el centro): la tensión de la
cuerda. La fuerza necesaria es igual a mv2/r, donde m es la masa de la pelota, v su
velocidad y r el radio de la circunferencia descrita. La mano que tira de la cuerda
experimenta una fuerza de reacción centrífuga (dirigida hacia fuera).
FUERZA CENTRÍFUGA
El sistema de rotor de un helicóptero depende principalmente de su rotación para generar
la sustentación necesaria para el vuelo. Debido a su rotación y peso, el rotor esta sujeto a
fuerzas y momentos característicos de todas las masas en rotación. Una de las fuerzas
producidas es la Fuerza Centrífuga. Esta, es definida como la fuerza que tiende a que
todos los cuerpos en rotación traten de alejarse de su eje.
Otra de la fuerza que se generan es la Fuerza Centrípeta. Esta es la fuerza opuesta a la
centrífuga, que hace que los componentes de un sistema en rotación traten de acercarse a
su eje.
La rotación de las palas de un helicóptero producen una muy alta fuerza centrífuga,
cargando la misma sobre el rotor y el conjunto de las palas. Imaginen que la carga sobre
la raíz de la pala puede estar en el orden de las 6 a las 12 toneladas, en un helicóptero de
2 a 4 pasajeros. Helicópteros más grandes pueden experimentar, en cada pala, unas 40
toneladas sobre la raíz.
La fuerza Centrífuga es una de las fuerzas dominantes en el estudio de las alas rotativas.
Cuando las palas del rotor de un helicóptero no están girando, caen hacia abajo debido a
su propio peso. Cuando comienza la rotación de¡ conjunto las palas comienzan a elevarse
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
60
de su posición de descanso debido a la fuerza centrifuga. A velocidad operacional,
debido a su ángulo de ataque, las palas se encuentran en posición "recta", todavía no
están generando sustentación.
Cuando el rotor comienza a generar sustentación. Las palas abandonan su posición
"recta" y comienzan a generar una posición de "cono". La medida de este cono depende
de las RPM, el peso total, y las fuerzas G experimentadas en el vuelo. Si las RPM
permanecen constantes, el cono aumenta si, el peso total y las fuerzas G son aumentadas.
También, si las RPM disminuyen, manteniendo el peso y las G constantes, el cono va a
aumentar.
Excesivo "cono" (coning) causa fatiga sobre las palas además de una disminución de la
sustentación al disminuir el área del disco rotor.
Note que el diámetro efectivo del disco del rotor, con el coning incrementando, es menor
que el otro disco sin coning. A menor diámetro de disco obtendremos menor
sustentación.
La fuerza centrífuga y los efectos de la sustentación pueden ser mejor entendidos con un
gráfico. Primero mire un eje de rotor y una pala rotando.
DISMINUCIÓN DE SUSTENTACIÓN POR
DISMINUCIÓN DEL ÁREA DISCAL
b LOWER CONING
INCREASED CONING
A
Fuerza centrífuga
Eje del rotor
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
61
Ahora observe el mismo rotor cuando una fuerza vertical le es aplicada en la puntera de
la pala.
La fuerza aplicada es la sustentación producida cuando las palas aumentan su ángulo de
ataque. La fuerza horizontal es la fuerza centrifuga generada por el rotor al girar. Debido
a que la raíz de la pala esta sujeta al árbol, solo el otro extremo tiene la libertad de
moverse y se obtiene una resultante en la pala.
La posición de la pala es la resultante de dos fuerzas: La sustentación y la fuerza
centrífuga.
LABORATORIO Nº04: DINÁMICA
1. Los valores de las aceleraciones de los bloques, en m/s2, en los casos a), b) y c),
respectivamente, son (no existe rozamiento y g= 10 m/s2):
b)60N 40N5Kg40N 8 Kg
a)
12N4Kg
50N
37°
c)
2. Sobre una superficie horizontal y lisa se mueve un bloque de 6 kg con una velocidad
constante de 5 m/s. ¿Qué fuerza se le debe aplicar horizontalmente para triplicar su
velocidad en 2,5 segundos?
3. Para el sistema mostrado, calcular la tensión en la cuerda que une a los bloques, si mA =
12 Kg. y mB = 8 Kg . Considere F = 100N y desprecie la fricciòn.
A BF
4. Determinar la masa, en Kg, del bloque que sube por el plano inclinado liso con una
aceleración de 4m/s2 ( g = 10 m/s
2).
Fuerza centrífuga
Eje del rotor
Fuerza de tentación
Fuerza centrífuga
Eje del rotor
Resultante de la pala
Sustentación
sobre la pala
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
62
30°
90 N
5. Hallar la aceleración, en m/s
2, del sistema que se muestra. Considere m1 = 4m2 = 4 kg, F
= 120 N, y g = 10m/s2. Desprecie la fricción.
F2
1
30° 6. Dos bloques están unidos por una cuerda que contiene un resorte de rigidez
K = 700 N/m, si no es considerable la fricción y el sistema tiene aceleración constante,
determinar, en cm, el estiramiento del resorte (g = 10 m/s2).
50 N
53°175 N
7. Una partícula de 5 Kg.. avanza con la velocidad v = i – 4 j + 8 k. Se le aplica la fuerza
constante F = i + 5 j - k. Calcular la velocidad al cabo de 10 s
8. En el sistema de la figura la masa de A es 20 Kg. y el coeficiente de rozamiento con el
plano inclinado es 0,4. Determina: el valor máximo de la masa de B para que ésta
ascienda; y valor mínimo de la masa de B para que descienda.
9. Se desea subir un cuerpo de 20 Kg. por una rampa de 37º de inclinación. ¿Qué fuerza
horizontal se necesita para que ascienda con velocidad constante? Despreciar el
rozamiento.
10. Un cuerpo se encuentra en el punto A de la figura. Se
le comunica una velocidad inicial de 6 m/s hacia la
derecha de forma que rebasa el punto B, siguiendo la
trayectoria que se indica. Calcular la velocidad con
que llega al suelo teniendo en cuenta que el
coeficiente de rozamiento en el tramo AB es 0,1; las distancias AB y BD miden 10 y 1,25
m, respectivamente. Considere g = 10 m/s2.
11. Por un suelo horizontal se dispara un cuerpo con velocidad de 6 m/s. Si el coeficiente de
rozamiento entre el suelo y el cuerpo es 0,3, calcular la distancia que recorre hasta
detenerse.
12. A un cuerpo de 20 Kg. en reposo sobre un suelo horizontal,
con un coeficiente de rozamiento 0,2, se le aplica una fuerza
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
63
de 100 N formando un ángulo de 37º por debajo de la horizontal (ver la figura). Calcular
la distancia que recorre al cabo de 10 s.
13. Un cubo está atado a una cuerda de 60 cm. El cubo contiene agua; la masa del cubo más
el agua es 3 Kg. Hallar la velocidad mínima para que no se derrame el agua al pasar el
cubo por la posición más desfavorable de su trayectoria circular en el plano vertical.
14. En el sistema de la figura las masas son: A = 2 Kg, B = 3 Kg, C = 5 Kg. El
coeficiente de rozamiento entre A, B y el suelo es 0,2. Calcular la aceleración del sistema.
15. Con los datos del problema 14 calcular las tensiones en cada cuerda.
16. Un avión vuela a 900 km/h y «riza el rizo», es decir, describe una circunferencia en un
plano vertical. ¿Qué radio debe tener el rizo si la fuerza que ejerce el piloto contra el
asiento es diez veces su peso, al pasar por el punto más bajo?
17. La figura muestra a un hombre que tira de una cuerda y arrastra un bloque m1
= 5 Kg. con
una aceleración de 2 m/s2
. Sobre m1
yace otro bloque más pequeño m2
= 2 Kg. Si los
coeficientes de fricción estática y cinética entre m1
y m2
son respectivamente μe = 0.2 y μ
c
= 0.1. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (no hay roce con el suelo). ¿Cuál es la aceleración
del bloque de 2 Kg?
18. Al dejarse libres a partir del reposo se observa que los tres bloques de la figura anexa
adquieren una aceleración cuya magnitud es 1.5 m/s2
. Si M = 2 Kg., calcula la
magnitud de la fuerza de roce que actúa sobre el bloque que se desliza
horizontalmente.
19. Suponga que la rapidez de un bloque m en la parte inferior de un plano inclinado θ =
20º es 10 m/s y en sentido ascendente. Tomando en cuenta que el coeficiente de roce
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
64
cinético entre el bloque y el plano es 0.15, determina la altura h hasta la que asciende
el bloque.
20. Las fuerzas F1
y F2
mostradas en la figura, le imprimen a una partícula de masa m
(ubicada en el origen) una aceleración paralela al eje X. Si m = 8 Kg., Θ1
= 40º y Θ2
= 70º y la magnitud de la aceleración es 3 m/s2
; encuentra las fuerzas F1
y F2.
21. Las fuerzas F1
y F2
mostradas en la figura anexa, actúan sobre una partícula de masa
m. Si F1
= 20 N y F2
= 15 N; determina las aceleraciones en los casos a) y b)
22. En el sistema mostrado en la figura anexa, determina M2
tomando en cuenta que la
tensión de la cuerda es de 35 N. En estas condiciones ¿En qué sentido se moverá la
masa de 4 Kg? Determina la magnitud de la aceleración. Asume que los planos son
lisos y que la polea es ideal.
R.- M2 = 7.1 Kg.; a = 0.09 m/s2
; la masa de 4 Kg. ascenderá por el plano
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
65
23. La figura muestra una máquina de Atwood (polea). Suponga que inicialmente el
sistema se encuentra en reposo. Al comenzar a moverse, se observa que la masa m1
=
8 Kg. desciende 1 m en exactamente 1 s. a) Determina la masa m2.
R.- m2 = 5.3 Kg.
24. Suponga que se impulsa un cajón cuya masa es 115.47 Kg. por un plano inclinado
30º. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cajón y el plano son
respectivamente μe
= 0.4 y μc
= 0.3; determina: a) La magnitud dela fuerza mínima
Fm
, paralela al plano que debe aplicarse para que el cajón comience a moverse. b) Si
se continua aplicando la misma fuerza luego de que el cajón ya está en movimiento,
¿Cuál es la magnitud de la aceleración? c) Si queremos que luego de que el cajón
comienza a moverse, lo haga con velocidad constante ¿Qué fuerza debemos aplicar?
d) Si después que hemos ascendido un trecho por el plano inclinado queremos tomar
un descanso ¿Podemos dejar el cajón con seguridad sobre el plano? Explica e) De no
ser así, ¿Qué fuerza es necesaria aplicar para impedir que resbale?
R.- a) Fm
= 977.35 [N]; b) a = 0.866 [m/s2
]; c) F1
= 877.35 [N]; d) No; e) F1
= 177.35
[N]
25. Suponga que un hombre pesa un pescado de masa m con un dinamómetro que está
fijo al techo de un ascensor. a)
Muestra de manera general, que
si el ascensor acelera
verticalmente en cualquier
sentido el dinamómetro produce
una lectura diferente al peso real
del pescado. b) Suponga que m
= 76 Kg. y que el ascensor parte
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
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del reposo descendiendo con aceleración constante y que en 4 s alcanza una rapidez
de 10 m/s; seguidamente continua con rapidez constante durante 10 s.y finalmente se
detiene en 5 s. Determina el peso del pescado en cada lapso (primeros 4 s; 10
ssiguientes y 5 s finales)
TRABAJO
Definiremos trabajo elemental, dW, como el producto escalar entre la fuerza aplicada en un
punto, F y el desplazamiento diferencial en ese punto, ds.
Ejemplo de trabajo
La fuerza normal, n y la fuerza gravitatoria, mg, no realizan trabajo sobre el objeto.
= 0
La fuerza F sí realiza trabajo sobre el objeto
SESION Nº 05: TRABAJO – POTENCIA Y ENERGIA
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67
Unidades del trabajo (y de energía)
El trabajo es una magnitud escalar
La unidad del trabajo en el S.I. es el julio (J)
1 julio = 1 newton. 1 metro
J = N · m
El trabajo es una transferencia de energía
Si se realiza un trabajo positivo sobre un sistema, se transfiere energía al sistema.
Si se realiza un trabajo negativo sobre un sistema, se transfiere energía del sistema al
exterior del mismo.
Trabajo realizado por una fuerza variable
Cuando la fuerza que actúa sobre un sistema es variable, es necesario integrar el
trabajo elemental .
El trabajo realizado es el área de la figura
Ley de Hooke
La fuerza ejercida por el muelle es Fs = - Kx
- x es la posición del bloque con respecto a la posición de equilibrio (x = 0)
- K es la constante elástica o del muelle y mide la respuesta del muelle
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
68
Esta ley se conoce como ley de Hooke
Ley de Hooke, cont.
Cuando x es positivo (el muelle se estira),
F es negativo.
Cuando x es 0 (en la posición de
equilibrio), F es 0
Cuando x es negativo (el muelle se
comprime), F es negativa.
Trabajo realizado por un muelle
Tomaremos el bloque como el sistema
Calcularemos el trabajo desde xi = -
xmax hasta xf = 0
El trabajo total hecho por el bloque
desde –xmax a xmax es nulo
Energía cinética
La energía cinética es la energía que tiene una partícula por el hecho de estar en
movimiento
- EK es la energía cinética
- m es la masa de la partícula
- v es la velocidad de la partícula
Un cambio en la energía cinética es uno de los posibles resultados de realizar un
trabajo para transferir energía al sistema.
Teorema de las “fuerzas vivas”
El teorema de las “fuerzas vivas” establece que
En el caso de que el trabajo sea realizado en un sistema y que el único cambio en el
sistema sea en su velocidad, el trabajo hecho por la fuerza neta es igual al cambio en
la energía cinética.
Ejemplo del teorema de las “fuerzas vivas”
La fuerza normal y la gravitatoria no
realizan trabajo, ya que son
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69
perpendiculares a la dirección del desplazamiento.
Fuerzas conservativas
Se dice que una fuerza es conservativa (en una determinada región) cuando el trabajo
realizado
a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo
Esta definición es equivalente a que el trabajo realizado entre dos puntos
cualesquiera no depende del camino. Y también equivale a que el campo de fuerzas
deriva de un potencial
Fuerzas conservativas y energía potencial
Energía mecánica
Fig. El trabajo de una
fuerza F conservativa que
se calcula con caminos
C1, C2 etc. entre puntos r0
y r es siempre el mismo.
Se dice que una fuerza es conservativa cuando la integral de trabajo que se le asocia no
depende del camino C escogido.
Si se integra por diversos caminos entre un puntor0, que se fija arbitrariamente y un punto r,
siempre se obtiene el mismo valor W(r).
Resulta natural, entonces, definir la función asociada a la integral trabajo.
Supongamos que se escoge un punto arbitrario r0 y se hace la integral de trabajo desde este
punto a un punto cualquiera r. En general esta integral depende del camino escogido. Si la
fuerza que se está considerando es tal que el trabajo que se le asocia no depende del camino
de integración, sino que da el mismo valor cada vez que se integra desder0 hasta r.
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LABORATORIO Nº 05: TRABAJO – POTENCIA Y ENERGIA
Trabajo hecho por una fuerza constante
26. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo equivalente a
6.00 kJ, ¿Cuál es la profundidad del pozo? Suponga que cuando se levanta la cubeta su
velocidad permanece constante.
27. Una gota de lluvia (m = 3.35 x 10-5
kg) cae verticalmente a velocidad constante bajo la
influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Después de que la gota ha descendido
100 m, ¿Cuál es (a) el trabajo realizado por la gravedad y (b) la energía disipada por la
resistencia del aire?
28. Un bloque de 2.5 kg de masa es empujado 2 m a lo largo de una mesa horizontal sin
fricción por una fuerza constante de 16 N dirigida a 37° debajo de la horizontal.
Encuentre el trabajo efectuado por: (a) la fuerza aplicada, (b) la fuerza normal ejercida
por la mesa, (c) la fuerza de la gravedad, y (d) la fuerza neta sobre el bloque.
29. Dos objetos que tienen masas m1 = 10.0 kg y m2 = 8.0 kg cuelgan de una polea sin
fricción, como muestra la figura. (a) Determine el trabajo realizado por la fuerza de la
gravedad sobre cada objeto por separado cuando la masa de 10.0 kg se desplaza 0.50 m
hacia abajo. (b) ¿cuál es el trabajo total realizado sobre cada objeto, incluido el efectuado
por la fuerza de la cuerda?
30. Un grupo de perros arrastra un trineo de 100 kg en un tramo de 2.0 km sobre una
superficie horizontal a velocidad constante. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y
la nieve es 0.15, determine (a) el trabajo efectuado por los perros y (b) la energía perdida
debido a la fricción.
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31. Un bloque de 15 kg es arrastrado con velocidad constante sobre una superficie horizontal
rugosa por una fuerza de 70 N que actúa a 37o sobre la horizontal. El bloque se desplaza
5.0 m y el coeficiente de fricción cinético es 0.30. Determine el trabajo realizado por (a)
la fuerza de 70 N, (b) la fuerza normal, y (c) la fuerza de la gravedad. (d) ¿Cuál es la
energía perdida debido a la fricción?
32. Una carretilla cargada con ladrillos tiene una masa total m y se jala con velocidad
constante por media de una cuerda. La cuerda está inclinada a un angula θ; sobre la
horizontal y la carretilla se mueve una distancia d sobre una superficie horizontal. El
coeficiente de fricción cinético entre el suelo y la carretilla es μc (a) ¿Cuál es la tensión
en la cuerda? (b) ¿Cuánto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla? (c) ¿Cuál es la
energía perdida debido a la fricción?
Trabajo hecho por una fuerza variable
33. Una fuerza F = (4x + 3) N actúa sobre una partícula conforme el objeto se mueve en la
dirección del eje x desde el origen hasta x = 5.0 m. Encuentre el trabajo efectuado sobre
el objeto por la fuerza.
34. Una partícula se somete a una fuerza F que varia con la posición, como se ve en la figura.
Determine el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo cuando este se mueve: (a)
desde x = 0 hasta x = 5.0 m, (b) desde x = 5.0 m hasta x = 10 m, y (c) desde x = 10 m
hasta x = 15 m. (d) ¿Cuál es el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de una
distancia desde x = 0 hasta x = 15 m?
35. Una arquera jala la cuerda de su arco una distancia de 30 cm, ejerciendo una fuerza que
aumenta de manera uniforme desde cero hasta 230 N. (a) ¿Cuál es la constante de resorte
equivalente del arco? (b) ¿Cuánto trabajo se efectúa al jalar el arco?
36. Una bala de 100 g se dispara de un rifle de gas que tiene un cañón de 0.60 m de largo. Se
considera que el origen se sitúa donde la bala empieza a moverse, la fuerza (en Newton)
ejercida sobre la bala por la expansión del gas es (1,5 + x)104 donde x se mide en metros.
(a) Determine el trabajo hecho por el gas sobre la bala cuando esta recorre la longitud del
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cañón. (b) Si este tiene una longitud de 1.00 m, ¿Cuánto trabajo se realiza y como se
compara este valor con el trabajo calculado en (a)?
Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía
37. Una partícula de 0.6 kg tiene una velocidad de 2 m/s en el punto A y una energía
cinética de 7.5 J en B ¿Cuál es (a) su energía cinética en A? (b) ¿su velocidad en B? (c)
¿el trabajo total realizado sobre la partícula cuando se mueve de A a B?
38. Un cinescopio de cierto televisor mide 36 cm de largo. La fuerza eléctrica acelera un
electrón en el tubo desde el reposo hasta 1% de la velocidad de la luz a lo largo de esta
distancia. Determine: (a) la energía cinética del electrón cuando incide sobre la pantalla al
final del cinescopio, (b) la magnitud de la fuerza eléctrica promedio que actúa sobre el
electrón en esta distancia, (c) la magnitud de la Aceleración promedio del electrón a lo
largo de esta distancia, y (d) el tiempo de vuelo.
39. Una bola de boliche de 7.00 kg se mueve a 3.00 m/s, ¿Qué tan rápido se debe mover una
bola de golf de manera que las dos tengan la misma energía cinética?
40. Un mecánico empuja un auto de masa m desde el reposo hasta alcanzar una velocidad v,
efectuando un trabajo de 5000 J durante el proceso. Durante este tiempo, el auto se
mueve 25.0 m. Ignore la fricción entre el auto y el camino, y encuentre: (a) ¿Cuál es la
velocidad final, v, del auto? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza horizontal ejercida sobre el
auto?
41. Una masa de 3.0 kg tiene una velocidad inicial v0 = (6.0i + 22.0j) m/s. (a) ¿Cuál es la
energía cinética en este tiempo? (b) Determine el cambio en su energía cinética si su
velocidad cambia a (8.0i + 4.0j) m/s. (Sugerencia: Recuerde que v2 = v⋅v)
42. Un bloque de masa m cuelga del extremo de una cuerda, y está conectado a un bloque de
masa M por medio de un juego de poleas, como el que se presenta en la figura. Utilizando
consideraciones de energía, (a) encuentre una expresión para la velocidad de m Como
una función de la distancia que ha descendido. Suponga que el bloque se encuentra
inicialmente en reposo y que no hay fricción. (b) Repita (a) suponiendo una fricción de
deslizamiento (coeficiente k μ ) entre M y la mesa. (c) Muestre que el resultado obtenido
en (b) se reduce a lo encontrado en (a) en el límite cuando k μ tiende a cero.
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43. Una maquina de Atwood tiene una masa de 3.00 kg y una masa de 2.00 kg en los
extremos de la cuerda. La masa de 2.00 kg se deja caer al piso desde el reposo, 4.00 m
abajo de la masa de 3.00 kg. (a) Si la polea no ofrece fricción, ¿Cuál será la velocidad de
las masas cuando pasen una frente a la otra? (b) Suponga que la polea no gira y que la
cuerda desliza sobre ella. Si la fuerza de fricción total entre la polea y la cuerda es 5.00 N,
¿Cuáles son la velocidades cuando las masas pasan una frente a la otra?
44. Una ciclista que, junto con su bicicleta, tiene una masa combinada de 75 kg, desciende a
4.0 m/s por un camino inclinado 2.0° con la horizontal, y desciende a 8.0 m/s por otro
camino inclinado 4.0°. Luego se sostiene de un vehículo en movimiento y viaja sobre un
camino pIano. ¿Qué potencia debe consumir el vehículo para mantener su velocidad en
3.0 m/s? Suponga que la fuerza de la resistencia del aire es proporcional a su velocidad y
suponga que las demás fuerzas friccionantes permanecen constantes.
Conservación de la energía
45. Una bola de 250g se suelta desde una altura de 1m y, después de chocar con el suelo
rebota 0,8m. Determine la energía mecánica antes y después del choque determinando el
% que se ha perdido.
46. Una fuerza conservativa aislada, F = 2x+4 actúa sobre una partícula de 5 Kg, donde x se
mide en metros y F en Newton. Cuando la partícula se mueve a lo largo del eje x, desde x
= 1 m hasta x = 5 m. Calcule:
El trabajo efectuado por esta fuerza
El cambio en energía potencial
La energía cinética en x = 5 m si la velocidad en x = 1 m es de 3 m/s
47. Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción y sin
masa. El otro extremo de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio de
Conservación de la Energía para determinar la velocidad final de la masa de 3 Kg
después de haber caído (desde reposo) 4 m. Encuentre la altura máxima a la cual sube la
masa de 3 Kg.
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48. Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción y sin
masa. El otro extremo de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio de
Conservación de la Energía para determinar la velocidad final de la masa de 5 Kg
después de haber caído (desde reposo) 2,5 m.
49. Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado de 30 º con
la horizontal. La velocidad inicial del lanzamiento es de 8 m/s. El bloque se detiene
después de recorrer 3 m a lo largo del plano. Determinar:
El cambio de energía cinética
El cambio de energía potencial
La fuerza de fricción ejercida sobre él
El coeficiente de fricción cinético
50. Una masa de 3 Kg parte del reposo y se desliza por una pendiente, sin fricción de 30o ,
una distancia d y hace contacto con un resorte no deformado de masa despreciable. La
masa se desliza 0,20 m adicionales cuando alcance momentáneamente el reposo y
comprime un resorte (K = 400 N/m). Encuentre la separación inicial d entre la masa y el
resorte.
51. Una bala con masa m y una velocidad v penetra un árbol hasta una distancia d. Utilice
consideraciones de energía para encontrar la fuerza de fricción promedio que detiene la
bala. Suponga que la fuerza de fricción es constante y determine cuanto tiempo transcurre
entre el momento en que la bala entra en el árbol y el momento en que se detiene.
52. Un paracaidista de 50 Kg de masa salta desde un avión a una altura de 1000 m y llega al
suelo con una velocidad de 5,00 m/s. ¿Cuánta energía perdió por la fricción del aire
durante el salto?
53. Una partícula de masa m=2 kg es abandonada en “A”. Calcular la reacción normal
cuando pasa por la posición “C”, sobre la superficie de curvatura “2 R”. No existe
rozamiento. (Tómese g= 10 m/s2).
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54. Una cadena uniforme de longitud “L”, se abandona sobre una superficie horizontal
perfectamente liso, como indica la figura. Calcular la velocidad de la cadena en el
instante en que el ultimo eslabón se desprende de la superficie horizontal.
SESIÓN Nº 06: MECANICA DE FLUIDOS
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OBJETIVO: Analizar los métodos que permiten describir la estática y la dinámica de
fluidos.
6.1. INTRODUCCION
Mecánica de fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en
reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que
utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones
navales y la oceanografía.
La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de
fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos,
que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de
líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas
es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del
comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo
suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad.
Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las
turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería
de la presión del agua o del aceite.
6.2. ESTATICA DE FLUIDOS
6.2.1. FUERZA DISTRIBUIDA Y FUERZA CONCENTRADA
Hasta este momento se han considerado fuerzas que
están aplicadas sobre una partícula de un cuerpo. A
este tipo de fuerza se le conoce como fuerza
concentrada por el hecho de actuar sobre un punto del
cuerpo. Otro tipo de fuerza se conoce como fuerza
distribuida, donde a diferencia de las fuerzas
concentradas, éstas actúan sobre una superficie determinada de un cuerpo o
sustancia.
Esta situación se presenta cuando en un recipiente que contiene un fluido, se dispone
de un émbolo hermético y móvil, como se muestra en la figura 6.1, donde el peso del
émbolo está distribuido sobre toda la superficie en contacto con el fluido.
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77
Para un fluido en reposo, la fuerza distribuida en la superficie siempre debe estar
dirigida perpendicularmente a la superficie. En efecto, un fluido en reposo no puede
resistir una fuerza tangencial ya que las capas del fluido resbalarían unas sobre las
otras cuando se las sometiera a tal fuerza. Por otra parte, es precisamente la
incapacidad de los fluidos de resistir tales fuerzas tangenciales (o esfuerzos
cortantes) lo que les da la propiedad característica de cambiar su forma y por ende de
fluir. Lo anterior se ilustra en las figuras 6.2 y 6.3.
6.2.2. PRESION EN UN FLUIDO
Se define la presión en un fluido como la magnitud de la fuerza “normal” por unidad
de área de la superficie. La presión se transmite a los límites sólidos o a través de
secciones arbitrarias de un fluido en tal forma que la fuerza de presión es
perpendicular a esos límites o secciones en todos sus puntos. Así, como en la figura
6.4 la presión en cualquier punto se define como la razón de la magnitud de la fuerza
normal Fd , ejercida sobre una pequeña superficie dA que incluya dicho punto, al
área dA, como se muestra en la figura 6.5.
Matemáticamente, lo anterior se puede escribir en la forma
(6.1.a)
donde por la definición dada en la ecuación (6.1.a), se tiene
que la presión es una cantidad escalar. Por otro lado, si la
presión es la misma en todos los puntos de una superficie
plana finita de área A, como en la figura 6.6, se obtiene
(6.1.b)
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78
Dimensiones y unidad de presión
De acuerdo con la definición dada por las ecuaciones (6.1), las dimensiones de
presión están dadas por [p] = [F] [A] 1 . Por ello, la unidad en el sistema SI de
unidades es el N m 2 , unidad conocida como Pascal (Pa), es decir, 1Pa=1Nm-2
. Esta
es la unidad más utilizada de presión.
6.2.3. PRINCIPIO DE PASCAL
Como se indica en la figura 6.7, mediante un
émbolo se ejerce una presión al fluido que se
encuentra en el interior de un recipiente de forma
rectangular. Se considerará la presión sobre el
elemento infinitesimal de fluido de forma triangular.
Sólo se consideran las tres caras (lados) al trabajar
en el plano, pero el resultado es válido para las otras
dos caras.
En realidad, las fuerzas están uniformemente distribuidas sobre las caras, pero por
simplicidad se consideran como si estuvieran concentradas en el centro de las caras
sobre las cuales actúan.
Como el fluido está en equilibrio estático, el
elemento infinitesimal de volumen, de la figura
6.8, está igualmente en equilibrio estático. Esto
ocurre si la fuerza neta que actúa sobre el
elemento de volumen es cero. Por ello se trata este
elemento como cuerpo libre, donde el diagrama de cuerpo libre se muestra en la
figura 6.8.
Aplicando las condiciones de equilibrio, se tiene
(6.2)
(6.3)
Por la ecuación (6.1.a), se tiene que la presión del fluido sobre la cara vertical, está
dada por
, (6.4)
donde, de acuerdo con la figura 6.8
(6.5)
Igualmente, la presión del fluido en la cara horizontal, es
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79
, (6.6)
Con
. (6.7)
Mediante las ecuaciones (6.2), (6.4) y (6.5) se obtiene el resultado
(6.8)
Similarmente, mediante las ecuaciones (6.3), (6.6) y (6.7) se obtiene
(6.9)
De las ecuaciones (6.8) y (6.9), se puede concluir que
resultado que es válido sólo si no se consideran efectos gravitacionales.
Así, la presión sobre el elemento infinitesimal de fluido situado en una posición dada
cualquiera dentro del fluido en reposo, es independiente de la orientación de sus
superficies, es decir, la presión es isótropa, o sea, igual en todas las direcciones. Este
es un resultado conocido como principio de Pascal.
La presión ejercida sobre un fluido, que se encuentra en el interior de un recipiente,
se transmite sin disminución a cada punto del fluido y a las paredes del recipiente
que lo contiene. En síntesis, el principio de Pascal se expresa en la forma: la presión
se transmite a todos los puntos en el interior del fluido, de manera uniforme en todas
las direcciones.
6.2.4. DENSIDAD
Cuando se trata de determinar la presión en el interior de un fluido, sometido al
efecto de la gravedad, se hace necesario considerar el fluido que se encuentra por
encima del punto de interés y por tanto la masa de ese fluido. En este caso, es de
utilidad definir la densidad, que es una cantidad relacionada con la masa m del
fluido, pero independiente del volumen V de la muestra particular que se considere.
Se define la densidad como la masa por unidad de volumen, o sea
(6.10)
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80
Dimensiones y unidades de densidad
La ecuación (5.10) muestra que las dimensiones de densidad son 3ML . De este
modo, la unidad en el sistema de unidades SI es el kg m 3 y en el sistema gaussiano
el g cm 3 .
Tabla 6.1. Densidades de varias sustancias.
SUSTANCIA DENSIDAD (Kg m
-3)
SUSTANCIA DENSIDAD (Kg m
-3)
SUSTANCIA DENSIDAD (Kg m
-3)
SÓLIDOS
Hielo 9.17x102 Alcohol etílico 7.91x102
Platino 21.4x103 Ladrillo 1.7x102 Gasolina 6.7x10
2
Oro 19.3x103
FLUIDOS
Oxígeno 1.429
Plomo 11.3x103 Núcleo Sol 1.6x105 Aire(nivel mar) 1.29
Cobre 8.93x103 Mercurio 13.6x105 Nitrógeno 1.25
Hierro 7.86x103 Núcleo tierra 9.5x103 Vapor gua(100ºC) 0.6
Acero 7.85x103 Glicerina 1.26x103 Aire (20ºC) 0.20
Tierra (prom) 5.52x103 Agua de mar 1.025x103 Helio 1.78x10
-1
Aluminio 2.7x103 Agua 1.00x103 Hidrógeno 8.98x10
-2
Vidrios 2.5x103 Aceite oliva 0.92x103
Hueso 2.0x103 Aire(-147ºC) 9.2x102
En la tabla 6.1 se muestran las densidades de algunas sustancias.
. Densidad relativa
6.2.5. VARIACION DE LA PRESION CON LA
PROFUNDIDAD
En esta sección, se desea determinar la relación
general entre la presión p en cualquier punto del
interior de un fluido situado en un campo
gravitacional y a la profundidad h. El fluido de la
figura 6.9 se encuentra encerrado en un recipiente provisto de un émbolo hermético y
móvil.
La pregunta a responder es ¿Cuál es la presión en un punto arbitrario Q situado a
una profundidad h por debajo de la parte superior del fluido?
La presión en el punto Q depende de dos fuentes, la primera tiene que ver con la
fuerza externa F ejercida sobre el pistón de área A y la segunda con la fuerza hacia
abajo ejercida por el fluido que se encuentra por encima del punto Q. Ambas dan
lugar a presiones isótropas en el fluido, esto es, igual presión en todas las
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direcciones. De este modo, la presión Qp en el punto Q, se puede expresar como la
suma de dos términos, uno externo y otro interno, en la forma
,
donde la presión externa ext p está dada por
.
La presión interna , se puede obtener mediante el siguiente procedimiento.
Como el fluido se encuentra en reposo, necesariamente cualquier elemento de
volumen se encuentra en reposo. Por ello, se considera el elemento en forma de
lámina delgada representado en la figura 6.10, cuyo espesor es dy y cuyas caras
superior e inferior tienen área a. Si es la densidad del fluido, la masa del elemento
es y su peso .
Ahora, la fuerza ejercida sobre el elemento por el
fluido que lo rodea, en cualquier punto, es normal
a la superficie. Por simetría, la fuerza horizontal
resultante sobre los lados laterales es cero ya que
está en reposo.
En cuanto a la vertical se tiene
,
donde al simplificar se encuentra que
. (6.11)
Como y g son cantidades positivas, de la
ecuación (6.11) se deduce que a una dy positiva
(aumento de y) corresponde una dp negativa
(disminución de p), y viceversa.
Si en la figura 6.11, p1 y p2 son las presiones a las
alturas y1 e y2 respecto al origen de coordenadas, la
ecuación (6.11) se puede transformar en
,
donde luego de integrar y evaluar se obtiene
(6.12)
Para el caso de interés mostrado en la figura 5.13, con
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82
, la ecuación (6.12) adquiere la forma
, (6.13)
con .
Cuando se trata de un líquido contenido en un recipiente abierto, como en la figura
6.14 y de acuerdo con la ecuación (6.13), la presión externa es la presión
atmosférica ap y la presión interna en el punto de interés es p, esto es
ghpp a . (6.14)
En la ecuación (5.14) se observa que la forma del recipiente no influye en la presión
y que esta sólo depende de la profundidad. Igualmente, se tiene que la presión
externa ap , es la misma a cualquier profundidad, como lo exige el principio de
Pascal, es decir, en un fluido la presión varía con la profundidad debido a la fuerza
gravitacional.
6.2.6. PRESION EN LA INTERFASE DE DOS FLUIDOS
Para determinar la presión en la interfase dos fluidos, se considera el tubo en U como
se ilustra en la figura 6.14.a, donde inicialmente se deposita un fluido de densidad
1 , y luego se deposita otro fluido de densidad menor 2 en la rama izquierda del
tubo, como se ilustra en la figura 6.14.b.
Como la presión es independiente de la forma del recipiente, en todos los puntos de
la base del tubo se debe tener el mismo valor. Por otro lado, en el punto C la presión
es la misma independientemente que se considere la rama derecha o la rama
izquierda de la figura 6.14.b, pues de lo contrario los dos líquidos estarían en
movimiento. De este modo, de acuerdo con la ecuación (6.14), se satisface la
igualdad
Fig. 6.13. Presión en la interface de dos líquidos.
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gdghpgdghp 111a122a , (6.15)
donde al cancelar el término común a ambos lados de la igualdad en la ecuación
(6.15), con 22aA ghpp y 11aB ghpp , se obtiene
BA pp ;
por consiguiente, la presión al nivel de la interface entre los dos fluidos, es la misma
a ambos lados del tubo en U. Igualmente, este resultado es válido para puntos por
debajo de la interface que se encuentren a la misma altura respecto a base.
6.2.7. MEDICION DE LA PRESION
Barómetro de mercurio
Este dispositivo, que permite medir
la presión atmosférica, consiste en un
tubo largo de vidrio que se ha
llenado completamente de mercurio
y luego se ha invertido en una
cubeta con mercurio, como en la figura 6.15. El espacio que se forma arriba de la
columna de mercurio contiene sólo vapor de mercurio, cuya presión es tan pequeña a
temperaturas ordinarias, que se puede despreciar.
De acuerdo con la ecuación (6.12), para este caso, hyy 12 , a1 pp y 02p .
De este modo,
ghpa ,
donde ap es la presión atmosférica.
La mayoría de los instrumentos que miden presiones, utilizan la presión atmosférica
como nivel de referencia y miden la diferencia entre la presión real o absoluta y la
presión atmosférica, llamándose a este valor presión manométrica o diferencial. La
presión real, en un punto de un fluido, se llama presión absoluta. Es decir, en la
expresión ghpp a , p es la presión absoluta y app la presión manométrica o
diferencial. La presión manométrica se da ya sea sobre la presión atmosférica o
debajo de ella.
Al nivel del mar, la columna de mercurio tendrá una altura cerca de
mm760cm76 , variando con la presión atmosférica. Una presión equivalente a la
ejercida por Hgmm760 a o0 en las condiciones de aceleración de la gravedad
normal, 2scm665.980g , se llama una atmósfera (1 atm), esto es
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84
Pa100131atm1 5. .
Otras unidades de presión que también son utilizadas, se definen mediante las
relaciones Pa10bar1 5, Pa106.9psi1pullb1 32
y Pa133.32torr1 , que
es la presión debida a una columna de mercurio de un milímetro de altura.
A menudo se especifican las presiones dando la altura de la columna de mercurio,
que es el origen de la expresión “presión en mm Hg”; sin embargo, una presión es la
relación de fuerza entre área y no es una longitud.
El manómetro
Es un dispositivo que permite medir la
presión de un gas dentro de un
recipiente, como el mostrado en la
figura 6.16.
Un tubo en forma de U contiene un
líquido tal como mercurio, que se
encuentra a distintos niveles en cada lado una vez que se abre la llave. La presión en
el punto A es la presión atmosférica ap , ya que el tubo es abierto por encima de A.
Así, la presión en el punto B es ghpa , donde es la densidad del fluido
manométrico. La presión en la interface C es igual a la presión en el punto B, ya que
están al mismo nivel. Por lo tanto, la presión de salida en el recipiente de la figura
6.16 es
ghpp a ,
donde de nuevo p es la presión absoluta y ghpp a es la presión manométrica o
diferencial.
6.2.8. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
El empuje de los líquidos es un
fenómeno muy conocido. Un cuerpo
sumergido en agua parece pesar
menos que en aire, y un cuerpo cuya
densidad media es menor que la del
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85
fluido en que está sumergido puede flotar en él. Son ejemplos de este fenómeno un
globo lleno de helio en el aire, un pedazo de corcho en agua, hielo en agua. Así,
cuando un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido (ya sea líquido o
gas) en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas las partes de la superficie del
cuerpo en contacto con el fluido. La presión es mayor en las porciones sumergidas a
mayor profundidad, por ello, la resultante de todas las fuerzas de presión es una
fuerza ascendente llamada fuerza de flotación (EMPUJE) del cuerpo sumergido. Se
puede determinar la magnitud y dirección de esta fuerza resultante de una manera
simple, mediante el principio de Arquímedes que es, al igual que el principio de
Pascal, una consecuencia de las leyes de la estática de fluidos.
Se considera una porción de un fluido en reposo de forma arbitraria. El contorno
irregular de la figura 6.17. (a) representa la superficie que limita esta porción del
fluido. Las flechas representan las fuerzas ejercidas por el fluido envolvente sobre
pequeños elementos de la superficie límite. Como todo el fluido está en reposo, la
componente horizontal de la resultante de estas fuerzas superficiales es nula. En
cambio, la componente vertical de la resultante EBFv , ha de ser compensada
por la magnitud del peso mg del fluido contenido dentro de dicha superficie y su
línea de acción ha de pasar por el centro de gravedad de la porción de fluido, es
decir,
gVgmF ffv , (6.16)
donde fm es la masa de la porción de fluido y fV su volumen.
Como la presión, en cada punto de la superficie de un cuerpo sumergido en un fluido,
no depende del material que está hecho el cuerpo, al reemplazar la porción de fluido
por un cuerpo sólido, figura 6.17.(b), de forma y volumen exactamente igual a la de
la porción de fluido considerada, la presión en cada punto será exactamente la misma
que antes, esto es, la fuerza ejercida sobre el sólido por el fluido envolvente
permanecerá inalterada y, por lo tanto, será igual al peso gmf del fluido desalojado
o desplazado por dicho cuerpo. La única diferencia es que la línea de acción de esta
fuerza pasa por el centro de gravedad del fluido desalojado, que no coincide
necesariamente con el centro de masa del cuerpo. De este resultado se deduce el
principio de Arquímedes que se expresa en la forma
Un cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia
arriba por una fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado y dirigida
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86
verticalmente según una línea que pasa a través del centro de gravedad del fluido
desalojado.
De este modo, teniendo en cuenta la ecuación (6.16), el empuje debido al principio
de Arquímedes se expresa por
gVB sf ,
donde B es el empuje o fuerza ejercida por el fluido sobre el cuerpo, f la densidad
del fluido y sV el volumen de fluido que ha desalojado o desplazado el cuerpo. Este
volumen no siempre coincide con el volumen total del cuerpo, ya que este puede
estar parcialmente sumergido.
Se sabe entonces que el empuje obra verticalmente hacia arriba pasando por el centro
de gravedad del fluido antes de ser desalojado; al punto correspondiente en el cuerpo
sumergido se le conoce como centro de flotación.
6.3. DINÁMICA DE LOS FLUIDOS
Flujo de los fluidos
Se puede estudiar el movimiento de un fluido especificando la densidad
y la velocidad en un punto . De esta forma estudiaremos lo
que esta sucediendo en un punto del espacio en un instante determinado y no lo que
está ocurriendo a una partícula de flujo determinada. Aun cuando esta descripción
del movimiento del fluido enfoca la atención de un punto del espacio más que en una
partícula, no podemos evitar seguir a las partículas mismas, cuando menos, durante
cortos intervalos de tiempo , puesto que es a las partículas a las que se les aplican
las leyes de la mecánica.
Analicemos ahora ciertas características que presenta el flujo de los fluidos.
El flujo de los fluidos puede ser:
a) de régimen estable o inestable c) compresible o incompresible
b) rotacional o irrotacional d) viscoso o no viscoso
a) Se entiende por flujo de régimen estable cuando en cada punto del fluido la
velocidad permanece constante a través del tiempo, de tal manera que cada
partícula que pasa por ese punto tendrá dicha velocidad. En caso contrario el flujo
es de régimen inestable.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
87
b) Se entiende por flujo irrotacional aquel movimiento de fluido que en cada punto
no tiene velocidad angular neta con respecto a ese punto. En caso contrario el
flujo se denomina rotacional.
c) El flujo de un fluido se considera incompresible si su densidad no varía o varía
muy poco. En caso contrario se considera compresible. En general se puede
considerar que los líquidos son incompresibles.
d) La viscosidad, en el movimiento de los fluidos, es el fenómeno análogo al
rozamiento en el movimiento de los sólidos. La viscosidad introduce fuerzas
tangenciales entre las capas del fluido en movimiento relativo y da lugar a pérdida
de energía mecánica.
En el estudio que se realizará de la dinámica de los fluidos se harán simplificaciones
en su naturaleza. El estudio se limitará fundamentalmente a fluidos de régimen
estable, irrotacional, incompresible y no viscoso. A pesar de lo restringido de este
análisis veremos que tiene amplias aplicaciones en la práctica.
Líneas de corriente
La trayectoria de una partícula en un fluido
determina una línea de corriente. Una línea de
corriente es paralela a la velocidad de la partícula
en todos los puntos.
En un régimen estable cualquier partícula que pase
por P se moverá a través de la misma línea de
corriente.
En un fluido en régimen estable se entiende
por tubo de flujo a una región tubular que
está formada por un número finito de líneas
de corriente que forman un haz.
Ecuación de continuidad
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
88
Consideremos un tubo de flujo delgado como
el que se muestra en la fig. Designemos por r
la velocidad de la partícula en P y por la
velocidad de las partículas en Q.
Tenemos que un fluido en un tiempo
recorre una distancia donde
Tenemos entonces que por el área transversal en un intervalo de tiempo pasa
un volumen de fluido
por lo tanto la masa de fluido que atraviesa dicha área está dada por
se debe considerar el intervalo de tiempo suficientemente pequeño para que la
velocidad y el área no varíen de forma apreciable.
Tenemos entonces que la cantidad de masa que atraviesa el área por
unidad de tiempo está dada por
De igual manera para el área
Si en el tubo de flujo no hay fuentes ni sumideros en los que se pueda crear o destruir
fluidos, entonces el flujo de fluido que pasa por P debe ser igual al que pasa por Q,
tenemos entonces que
Si se trata de un líquido incompresible en ese caso podemos escribir la
ecuación de continuidad como
De donde podemos ver que la velocidad de un fluido incompresible de régimen
estable varía en relación inversa al área de la sección transversal, por lo cual la
velocidad será mayor en la parte angosta del tubo.
Apliquemos la expresión (6.18) al tubo de flujo que estamos analizando
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
89
Este efecto se puede observar en los rápidos de los ríos. En las partes en las cuales el
cause del río es muy angosto las aguas se deslizan con bastante velocidad, en cambio
en las partes que el cause es muy ancho se forman verdaderas lagunas con una baja
velocidad de la corriente.
En este caso tenemos que la velocidad del fluido disminuye desde P a Q, por lo cual
debe existir una fuerza que actúe sobre las partículas de fluido y que desacelere su
movimiento. Lo cual puede ser debido a una diferencia de presión o a la acción de la
gravedad. Si tenemos un tubo horizontal la fuerza gravitacional no cambia por lo
tanto este efecto sólo puede deberse a una diferencia de presión.
Analicemos un tubo de flujo horizontal
como se muestra en la fig.
Puesto que entonces de
acuerdo a la ecuación (10T).
Por lo cual para que el fluido
desacelere desde .
Considerando que tenemos entonces que
Podemos entonces concluir que en un flujo horizontal de régimen estable la presión
es máxima donde la velocidad es mínima.
Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli se deduce de las leyes fundamentales de la mecánica
Newtoniana. Se deduce del teorema del trabajo y la energía, porque esencialmente es
un enunciado del teorema del trabajo y la energía para el flujo de los fluidos.
Analizaremos el flujo de un fluido que tiene las siguientes características, es: no
viscoso, de régimen estable e incompresible y se desplaza por una tubería como se
muestra en las fig. a) y b). Esta tubería está compuesta por dos tramos horizontales
de distinta área unidos por un tramo inclinado.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
90
Se estudiará la porción de fluido, que aparece sombreada en la fig. a), al moverse
desde la posición indicada en esa fig. a la posición indicada en la fig.
b) Consideraremos como sistema a la porción de fluido que se desplaza desde
la posición 1 a la posición 2.
Tenemos que en el lado izquierdo, del tubo de flujo que estamos analizando, actúa
una fuerza sobre el área lo cual produce una presión ; de igual manera
sobre el extremo derecho actúa una fuerza sobre el área lo cual produce una
presión .
Sobre el fluido que estamos analizando actúan las fuerzas y la fuerza
gravitacional. Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza resultante está dado por
Calculemos cada uno de estos trabajos
Tenemos que la fuerza gravitacional no realiza trabajo en los desplazamientos
horizontales por lo cual
Remplazando las expresiones tenemos
Puesto que hemos considerado que el fluido es incompresible
tenemos entonces que
Remplazando esta expresión en (6.23) tenemos
Recordemos el Teorema del trabajo y la energía: El trabajo efectuado por la fuerza
resultante que actúa sobre un sistema es igual al cambio de energía cinética del
sistema.
Por lo tanto la expresión (6.24) podemos escribirla como
Agrupando las variables de las posiciones 1 y 2 y simplificando la masa tenemos
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
91
Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a puntos cualesquiera en el tubo podemos
escribir esta expresión como
Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación de Bernoulli para el flujo de régimen
estable, no viscoso e incompresible.
La ecuación de Bernoulli señala que la suma de la presión , la energía cinética
por unidad de volumen y la energía gravitacional por unidad de volumen
tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.
En la ecuación Ecuación de Bernoulli la presión , que existe cuando ,
recibe el nombre de presión estática y el término recibe el nombre de presión
dinámica.
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad
1) Ley de Torricelli
La figura muestra un líquido que está saliendo por un
orificio en un gran tanque a una profundidad h bajo el
nivel del agua.
Se puede demostrar que la velocidad de salida del
líquido está dada por:
Esta expresión es conocida como la Ley de Torricelli.
Para demostrar la expresión (6.27) se aplica la ecuación de Bernoulli a la línea de
corriente que une los puntos 1,2 y 3.
En primer lugar aplicaremos la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2
Puesto que la superficie del líquido en el tanque es mucho mayor que el área del
orificio de salida, la velocidad con la cual desciende la superficie del líquido es muy
pequeña. Por lo tanto podemos considerar que la superficie del líquido está en reposo
.
Entonces considerando que tenemos
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92
Aplicaremos ahora la ecuación de Bernoulli a los puntos 2 y 3
Puesto que tenemos
Remplazando y teniendo en cuenta que y se
tiene
2) Medidor de Venturi
El medidor de Vénturi se usa para medir la
velocidad de flujo de un fluido.
Consta de un tubo que tiene dos diámetros diferentes
y por el cual se desplaza un fluido. A dicho tubo se
conecta un manómetro como se muestra en la fig.
Para determinar la velocidad v del fluido podemos
aplicar la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 que
se muestran en la fig.
Sean las coordenadas verticales del fluido en esas posiciones.
Sean y las coordenadas del nivel del líquido en el manómetro.
Considerando tenemos por Bernoulli
Podemos escribir esta expresión como
Aplicando a los mismos puntos la ecuación de
continuidad tenemos
Remplazando (6.34) en (6.33) y considerando que tenemos
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93
Llamemos p1 a la presión en la rama a izquierda del manómetro y a la presión
en la rama derecha.
Tenemos que las presiones y las presiones están relacionadas como
Por otra parte tenemos que las presiones en las ramas del manómetro están
relacionadas como
Remplazando estas expresiones en (6.35) tenemos
Considerando que tenemos que la velocidad del fluido está dada por
3) Fuerza ascensional dinámica
Se llama fuerza ascensional dinámica a la fuerza que obra sobre un cuerpo debido a
su movimiento a través de un fluido. Esta fuerza aparece por ejemplo: en el ala de un
avión en movimiento, en una pelota de fútbol o béisbol que va girando.
Se debe distinguir la fuerza ascensional dinámica de la fuerza ascensional estática.
La fuerza ascensional estática es la fuerza de flotación que obra sobre un objeto
como consecuencia del principio de Arquímedes. Esta fuerza aparece por ejemplo en
un globo de aire, en un cuerpo que flota en el agua.
Para explicar el origen de la fuerza ascensional dinámica, analicemos las situaciones
físicas planteadas en las fig. a) y b). Para realizar este análisis es más conveniente
examinar la situación tomando como marco de referencia aquél en el cual la pelota se
encuentra en reposo y es el aire el que se mueve con respecto a ella. Esto se puede
conseguir en un túnel de aire.
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94
Fig. a) En ella se muestra una pelota de béisbol que se mueve hacia la izquierda, por
lo tanto el aire que rodea la pelota se desplaza con respecto a ésta hacia la derecha,
teniendo una velocidad rv en los puntos 1 y 2 que quedan sobre y bajo ella.
Fig. b) Se muestra una pelota que gira en sentido horario, puesto que la pelota no es
perfectamente lisa ella arrastra algo de aire consigo en el mismo sentido, por lo tanto
la velocidad del aire en las posiciones 1 y 2 está dada que se muestran en
la fig. b).
Fig. c) Se muestra la superposición de ambos movimientos. En ella podemos ver que
la velocidad del fluido en el punto 1 es mayor que la velocidad en el punto 2.
Apliquemos la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 de la fig. c
Considerando que la densidad del aire y la separación entre los puntos 1 y 2 es
pequeña tenemos
Puesto que entonces tenemos que
La presión del aire en la parte inferior de la pelota es mayor que en la parte superior.
Recordando que tenemos entonces que donde la fuerza 1actúa
sobre la pelota empujándola hacia abajo y la fuerza actúa empujándola hacia
arriba. Resultando entonces una fuerza ascendente que apunta hacia arriba.
LABORATORIO Nº 06: HIDROSTATICA E HIDRODINAMICA
1. Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene 0,250m3 de queroseno, con una
masa de 205Kg. La presión de la superficie del queroseno es 2,01x105Pa. El queroseno
ejerce una fuerza de 18KN sobre el fondo del tanque (área= 0,08m2). Calcule la
profundidad del queroseno.
2. Un corto circuito deja sin electricidad a un submarino que está 50m debajo de la
superficie del mar (ρagua del mar=1, 03x103 Kg/m
3). Para escapar la tripulación debe
empujar hacia fuera una escotilla en el fondo con 0, 8m2 de área y 300N de peso. Si la
presión interior es de 1atm. ¿Qué fuerza se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?
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95
3. El líquido en un manómetro de tubo abierto, como se muestra en la figura donde y1 =
4cm; y2 = 7cm y la presión atmosférica es de 970milibares. (a) Qué presión absoluta hay
en la base del tubo en U. (b) y en el tubo abierto 3cm por debajo de la superficie libre. (c)
Cuál es la presión absoluta del gas en el tanque. (d) ¿Qué presión manométrica tiene el gas
en pascales? [Considere ρHg = 13,6gr/cm3, 1bar = 10
5Pa]
Problema 03 Problema 04
4. En la figura se tienen dos balones de gas A y B que se comunican con el mercurio. Siendo
la lectura del barómetro A: 180Kpa. Determinar la lectura del barómetro B.
5. La presión barométrica es de 91Kpa. Calcular la presión de vapor del
líquido y la lectura del manómetro (Densidad relativa de líquido: 0,9).
6. Un bloque de Latón cúbico con lados “L” flota en mercurio. (a) ¿Qué fracción del bloque
está sobre el mercurio? (b) Si se vierte agua sobre el mercurio, qué espesor (en términos de
L) debe de tener la capa de agua para que la superficie esté al nivel de la cara superior del
bloque. [ρLatón=8,6x103Kg/m
3]
7. Un trozo de madera de 0,5m de largo; 0,2m de ancho y 0,04 de espesor tiene una densidad
de 600Kg/m3. (a) ¿Qué volumen de plomo debe sujetarse a su base para hundir la madera
en el agua tranquila de modo que su cara superior esté al nivel del agua? (b) ¿Qué masa
tiene el plomo? [ρPlomo=11,3x103Kg/m
3]
8. Una esfera hueca de radio interior “R” y radio exterior “2R” está formado de un material
de densidad ρ0 y flota en un líquido de densidad 2ρ0. El interior se llena ahora de
material de densidad ρ de tal modo que la esfera flota justamente totalmente
sumergido. Determinar ρ .
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96
9. Una barra uniforme de 6m de longitud se mantiene en la posición mostrada en la figura,
apoyada en un borde rugoso (fijo) del recipiente que mantiene agua. Determine el peso
específico de la barra
Problema 09 Problema 10
10. El listón de madera de 0,05mx0,05m.x3m. (Densidad = 400Kg. /m3) como se muestra en
la figura. Manteniéndose en la posición mostrada por la cuerda fija A. Calcular: (a) El
ángulo θ cuando h = 0,9m. (b) El valor mínimo de h para que el ángulo θ sea 90°.
11. El tapón circular de 0,25m de diámetro y 0,025m de espesor, tiene un peso especifico de
76000 N / m3. Calcular el diámetro (D) de la esfera de peso despreciable para que la
válvula se abra cuando el agua tenga 1,5m de profundidad.
Considerar que el peso del cable es despreciable.
12. Si el manómetro indica lo mostrado, calcular Px. [Densidad
relativa del aceite 0,85 y del mercurio 13,6]
HIDRODINÁMICA
1. Está fluyendo agua a 3m/s por una tubería horizontal bajo una presión de 200KPa. La
tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro original. (a) ¿Cuál es la velocidad del
flujo en la sección estrecha? (b) ¿Cuál es la presión en la sección más estrecha de la
tubería? (c) ¿Qué relación existe entre el volumen del agua que fluye por la sección
estrecha cada segundo, con el que circula a través de la sección más ancha?
2. Se descarga agua por un tubo horizontal a una razón de 5x10-3
m3/s. En un punto del tubo
donde el área transversal es de 1x10-3
m2, la presión absoluta es de 1,6x10
5Pa. ¿Qué área
transversal tiene una constricción en el tubo donde la presión se reduce a 1,2x105Pa?
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97
3. A través de este sistema como se muestra en la figura, fluye agua a lo largo de ésta tubería
de diámetro 9,5cm que en el estrechamiento se reduce a 5,6cm. El manómetro en U está
parcialmente lleno de mercurio. Determinar la velocidad de flujo del agua en la tubería de
9,5cm de diámetro si la diferencia en los niveles de mercurio del tubo en U es de 2,4cm.
Problema 03 Problema 04
4. En un medidor de Venturi como se muestra en la figura tiene un diámetro de 20cm. en la
sección de la entrada y de 10cm. en la sección más angosta, circula, circula gasolina
(ρr=0,82). La caída o deferencia de presiones entre la sección mayor y la garganta, medido
en el aparato es de 0,3kp/cm2. Hallar el valor del caudal en m
3/min.
5. El chorro pasa a través del punto A. Calcular el régimen de flujo.
Problema 05 Problema 0
6. Demostrar que para los dos orificios que descargan como se muestra en la figura: h1 y1 =
h2 y2
7. Aceite (ρr=0.9) está fluyendo hacia abajo por el medidor de Venturi que se muestra en la
figura. Si la velocidad del flujo en la sección de 2pulgadas es de 10pies/seg. Calcular la
desviación “h” del manómetro (en pies).
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98
Problema 07 Problema 08
8. Dos láminas de acero de sección 0,72m2 están inclinadas a 30° con respecto a la
horizontal y se encuentra separados por 1cm de aceite de viscosidad η=0,0306Kgf.seg./m2
y γaceite=7,8grf/cm3. Si se ejerce una fuerza horizontal de 20Kgf sobre la plancha superior.
Calcular la velocidad del desplazamiento del líquido. (Considerando su peso y movimiento
hacia abajo)
9. Una bola emerge con velocidad constante de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor
que la del material de que está hecho la bola ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de
rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de esta?
10. ¿Cuál será la velocidad máxima que puede alcanzar una gota de lluvia de diámetro
d=0,3mm si la viscosidad dinámica del aire es igual a 1,2x10-4
gr/cm.seg?
11. En una pared lateral de un recipiente va mostrado horizontalmente un tubo capilar de
radio interior es 1mm y longitud L=1,5cm. El recipiente contiene glicerina, cuya
viscosidad dinámica en las condiciones del experimento es η=1,0Nseg/m2. El nivel de la
glicerina se mantiene constante a una altura h=0,18m sobre el tubo capilar. ¿Cuanto
tiempo será necesario para que el tubo capilar salga 5cm3 de glicerina?
SESION Nº 07: TERMODINAMICA
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
99
OBJETIVO: Analizar y aplicar las leyes de la termodinámica, en situaciones físicas donde
intervienen fenómenos térmicos.
7.1. INTRODUCCION
En esta unidad se analizara el comportamiento de un sistema al
interactuar con sus alrededores.
Un ejemplo de esto se ilustra en la figura 7.1, donde si el gas
encerrado en el depósito es el sistema, su medio ambiente lo
conforman el pistón móvil y el mechero.
En esta situación particular, el objetivo es analizar el
comportamiento del gas cuando interactúa con el pistón y el
mechero.
En el ejemplo de la figura 7.1 y en los procesos donde interviene el concepto de calor,
las Leyes que relacionan las cantidades macroscópicas: presión, volumen, temperatura,
energía interna y entropía, conforman la base de la termodinámica.
Ahora, como es de esperarse, en un sistema cualquiera las cantidades macroscópicas y
microscópicas deben estar físicamente relacionadas ya que estas son sólo dos formas
diferentes de describir o analizar la misma situación.
Para analizar fenómenos en los que interviene el calor, es decir fenómenos térmicos o
caloríficos, se requiere la utilización de una cantidad física como lo es la temperatura.
Por ello se inicia con un estudio de la temperatura.
7.2. TEMPERATURA Y LEY CERO DE LA TERMODINAMICA
Las conocidas sensaciones de calor y frío se expresan con
adjetivos tales como fresco, tibio, cálido, caliente, etc.
Cuando se toca un objeto, se utiliza el sentido del tacto para
atribuirle una propiedad denominada temperatura, que
determina si se percibe caliente o frío al tacto. Cuanto más
caliente se percibe, más alta es la temperatura. Este es un
procedimiento bastante subjetivo para determinar la
temperatura de un cuerpo, que no es muy útil para los fines científicos buscados en esta
unidad.
Por tanto; definiremos a la temperatura como la magnitud física que mide el estado de
agitación de las partículas de un cuerpo, caracterizando su estado térmico.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
100
7.2.1. LEY CERO
Suponiendo que dos sistemas A y B se
separan entre sí por medio de una pared
adiabática, pero simultáneamente en
contacto térmico con un tercer sistema C,
mediante una pared diatérmica;
igualmente, el conjunto formado por los
tres sistemas está rodeado por una pared adiabática, como se muestra en la figura
7.2. El experimento muestra que luego de un tiempo, los sistemas A y B alcanzarán
el equilibrio térmico con C, y que no tendrá lugar ningún cambio posterior en sus
estados, si se retira la pared adiabática y se cambia por una pared diatérmica.
Si en lugar de permitir que los sistemas A y B alcancen el equilibrio con C al mismo
tiempo, se hace que C alcance primero el equilibrio térmico con A y luego con B,
donde el estado del sistema C es el mismo en ambos casos, entonces al poner A y B
en comunicación mediante una pared diatérmica, se encontrará que los tres sistemas
están en equilibrio térmico entre sí.
En lo que sigue se utilizará la expresión, dos sistemas están en equilibrio térmico,
para indicar que ambos sistemas se encuentran en estados tales que si se conectaran a
través de una pared diatérmica, el sistema constituido por ellos estaría en equilibrio
térmico.
Los hechos experimentales anteriores, se pueden resumir en la forma: dos sistemas
en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio térmico entre sí; principio
conocido como ley cero de la termodinámica.
En síntesis, cuando dos o más sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre
sí, se dice que tienen la misma temperatura.
7.2.2. TERMOMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURA
Escalas Termométricas
Para conocer cuantitativamente el
valor de una temperatura,
generalmente se emplea la escala
fundamental de temperaturas,
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
101
también conocida como escala Kelvin o absoluta. Esta escala de temperaturas es la
que se emplea con fines científicos.
Otra escala de temperatura conocida como Celsius, emplea un grado de igual
magnitud que la escala Kelvin, pero el punto cero está desplazado de tal forma que el
cero en la escala Celsius equivale a 273.15 en la escala Kelvin, como se ilustra en la
figura 7.3. Por consiguiente, si Tc representa la temperatura Celsius, su relación con
la temperatura T en la escala absoluta es:
De este modo, la temperatura Kelvin a la cual se condensa el vapor de agua a 1 atm
de presión es , lo que en la escala Celsius equivale a
. Normalmente se toman como válidas las
aproximaciones y .
Relación entre escalas absolutas y relativas
7.2.3. TERMÓMETRO DE GAS
El termómetro de gas de volumen constante, mencionado al hablar del
establecimiento de la escala termodinámica de temperaturas, pertenece a la categoría
de termómetros llenos de gas y es el más exacto de este tipo. Para usos industriales,
un termómetro por presión de gas consta de un elemento que mide la presión. El
sistema se llena, a presión, con un gas inerte, ordinariamente el nitrógeno. Como el
gas del elemento medidor y del tubo de conexión no está a la temperatura del bulbo,
el volumen de éste tiene que ser grande para que los errores introducidos por la
diferencia de temperatura del elemento medidor de la presión y del tubo capilar
resulten insignificantes. El bulbo debe tener por lo menos cuarenta veces el volumen
del resto del sistema. Por ello, y a causa del retardo en la transmisión de los cambios
Relación entre las Escalas
Termométricas
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
102
de presión por el tubo capilar, la longitud de éste se limita a un máximo de 60 m, y es
preferible mucho menos.
El termómetro de gas a volumen constante
Las lecturas de temperatura en un termómetro de gas son
casi independientes de la substancia utilizada, para bajas
densidades y presiones (gas ideal). La propiedad que
define la temperatura es el cambio de presión con la
temperatura. Ver figura 7.4.
Se hace un gráfico P versus T (Celsius) y se extrapola a
P nulo. Se obtiene T (Celsius)= -273.15. A esta
temperatura el gas tiene presión cero. Se llama el cero
absoluto de temperatura. Así se introduce la escala
absoluta de temperatura, que se mide en grados Kelvin (K):
A partir de 1954 se usa como referencia el punto triple del agua: En este punto
coexisten el gas, el líquido y el sólido. Se da para una única presión y temperatura:
, .
En algunos países se usa la escala Fahrenheit:
Ejemplo:
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
103
1. La temperatura de ebullición del oxígeno es de 90,19 K. Determine dicha
temperatura en las escalas Celsius, Fahrenheit y Rankine.
Datos:
2. Expresar la temperatura normal del cuerpo, 37°C, en las escalas: Fahrenheit, Kelvin.
Datos:
7.3. EXPANSION TERMICA DE SOLIDOS Y LIQUIDOS
Cuando la temperatura de una sustancia cambia, se
puede presentar bien sea un cambio en su volumen o un
cambio de fase. En esta sección, sólo se consideran los
cambios de tamaño sin cambio de fase.
Como ejemplo, se considera el modelo simple de un
sólido cristalino, donde los átomos están unidos entre sí
con un ordenamiento regular, mediante fuerzas de tipo
eléctrico. Dentro de un modelo mecánico, las fuerzas entre los átomos son similares a las
ejercidas por un conjunto de resortes que unen los átomos, de manera que se puede
imaginar el cuerpo sólido como un colchón de resortes, idéntico al mostrado en la figura
7.5. Estos resortes son muy rígidos y hay aproximadamente resortes por .
Además, a una temperatura cualquiera, diferente de 0 K, los átomos de los sólidos vibran
con amplitud de vibración del orden de m c10 9
y frecuencia del orden de Hz10 13.
Ahora, cuando la temperatura aumenta, la distancia media entre los átomos también se
incrementa, lo que conduce a una dilatación del cuerpo sólido como un todo conforme se
eleva la temperatura. En este caso, el cambio en cualquiera de las dimensiones lineales
del sólido, tales como su longitud, anchura o profundidad, se denomina dilatación
lineal.
Para expresar cuantitativamente este efecto de la temperatura sobre el sólido, se supone
que una de sus dimensiones tiene longitud L0 a una temperatura inicial T0, y que una vez
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
104
que la temperatura se incrementa en una cantidad , su longitud aumenta en una
cantidad .
Por consiguiente, y , es decir, . Así, cuando se
introduce la constante de proporcionalidad , que es distinta para diferentes materiales
como se muestra en la tabla Nº 02, se obtiene la relación
donde la constante , que caracteriza las propiedades de dilatación térmica de un
material determinado, se denomina coeficiente de dilatación lineal.
Tabla Nº 02. Coeficientes de expansión térmica para algunas sustancias.
SUSTANCIA
Sustancia
Hielo 52 Helio ( C0 o) 3.665
Plomo 29 Aire a 1 atm 3.5
Zinc 26 Gasolina 0.95
Aluminio 24 Glicerina 0.485
Latón 19 Agua 0.21
Bronce 19 Mercurio 0.18
Cobre 17 Acetona 0.15
Concreto 12 Benceno 0.124
Acero 11 Alcohol etílico 0.112
Hierro 11
Vidrio 9
Pyrex 3.2
Cuarzo 0.4
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
105
De manera general, para cualquier
temperatura el coeficiente de dilatación
térmica se puede definir mediante la
expresión
de acuerdo con la ecuación (2), el
coeficiente de dilatación lineal se expresa
en . En el caso de un sólido
bidimensional, tal como una lámina
rectangular isotrópica y de espesor
despreciable, se puede demostrar con alto
grado de exactitud, que la fracción de
cambio del área A por cambio de
temperatura de un grado es 2 , es decir
Igualmente, para un cuerpo tridimensional e isotrópico, igualmente es posible
demostrar que la fracción de cambio de volumen V, por cada grado que varía la
temperatura, es 3 , es decir
7.4. CALOR
Hasta este momento se ha tratado el concepto de
temperatura en conexión con el equilibrio
térmico, esto es, cuando dos cuerpos que no
están inicialmente en equilibrio térmico se ponen
en contacto térmico, sea directo o por medio de
una pared diatérmica, sus temperaturas varían
hasta alcanzar el equilibrio térmico, que se logra
cuando los cuerpos adquieren la misma temperatura En esta sección se tratará la
interacción que tiene lugar entre los cuerpos mientras tienden a dicho equilibrio; el
tratamiento cuantitativo de esta interacción conduce al concepto de calor que constituye
el tema presente.
En la figura 7.6 se supone que el sistema A, inicialmente a mayor temperatura que el
sistema B, se pone en contacto térmico directo con este.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
106
Al alcanzar el equilibrio térmico, el sistema A habrá experimentado una disminución en
su temperatura y B un aumento. Por lo tanto, parece, natural suponer que algo se
transfiere de A a B, mientras los sistemas interactúan térmicamente. Cuando se producen
estas variaciones de temperatura, es habitual referirse a ello diciendo que existe una
transferencia de calor de A a B.
De una forma experimental, fue posible establecer que el flujo de calor es una
transferencia de energía generada exclusivamente en virtud de una diferencia de
temperatura; a dicha transferencia de energía se le denomina flujo calorífico. De acuerdo
con esto, hay dos formas de transferir energía; la primera, denominada flujo calorífico,
corresponde a una transferencia de energía térmica cuando se presentan diferencias de
temperatura, y la segunda conocida como trabajo, la cual no es más que una
transferencia de energía mecánica, pero en los casos que no se presentan a diferencias de
temperatura.
Unidad de calor
La unidad de calor se define cuantitativamente en función de cierto cambio producido en
el agua durante un proceso específico. Así, si se eleva la temperatura de un kilogramo de
agua de 514. a C15.5 o, calentándolo, se dice que se ha agregado al sistema una
kilocaloría (Kcal). Otra unidad definida en función de la anterior es la caloría (cal) que
equivale a 310 Kcal, la cual también se utiliza como unidad de calor.
PROBLEMAS
1. Considere el aparato de Joule descrito en la figura. Las dos
masas son de 1.50 kg cada una y el tanque se llena con 200
g de agua. ¿Cuál es el aumento de la temperatura del agua
después de que las masas descienden una distancia de 3.00
m?
Solución:
Suponiendo que toda la energía potencial se convierte en calor, el aumento en la
temperatura es ΔT = 2mgh/magua C = 2(1.5 kg)( 9.81 m/s2)(3 m)/(0.2 kg)(1480 J/kg
ºC) = 0.29 ºC
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107
2. Una persona de 80 kg que intenta de bajar de peso desea subir una montaña para
quemar el equivalente a una gran rebanada de pastel de chocolate tasada en 700
calorías (alimenticias). ¿Cuánto debe ascender la persona?
Solución:
3. El agua en la parte superior de las cataratas del Niágara tiene una temperatura de
10°C. Si ésta cae una distancia total de 50 m y toda su energía potencial se emplea
para calentar el agua, calcule la temperatura del agua en el fondo de la catarata.
Solución:
Energía potencial: Ep = mgh
Calor absorbido por el agua para elevar su temperatura: Q = mcΔT
La energía potencial se transforma en calor: Ep = Q
mcΔT = mgh
ΔT = gh/c = (9.81 m/s2)(50 m)/4186 J/kg ºC) = 0.117 ºC
Tf – Ti = 0.117
Tf = Ti + 0.117 = 10.117 ºC
7.5. CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECIFICO
Las sustancias difieren unas de las otras en la
cantidad de calor que se necesita para producir un
aumento de temperatura en una masa determinada.
Como se muestra en la figura 7.7, la relación entre
la cantidad de calor Q suministrada a una
sustancia y su correspondiente incremento de temperatura T , se define como
capacidad calorífica C de la sustancia, esto es
La palabra capacidad se debe entender como la cantidad de calor agregada por
unidad de elevación de temperatura.
Por otro lado, si la sustancia tiene masa m, la capacidad calorífica de un cuerpo por
unidad de masa se define como el calor específico de la sustancia y es característica
del material que esté hecho el cuerpo, o sea, teniendo en cuenta la ecuación (4), se
tiene
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108
donde el calor se suministra a presión constante.
Por ello, se habla de la capacidad calorífica de un bloque metálico y del calor
específico del cobre, si el bloque es de este material.
La capacidad calorífica de un cuerpo y el calor específico de un material no son
cantidades constantes, sino que dependen de la temperatura inicial y del intervalo de
temperatura. Las ecuaciones (4) y (5) dan solamente valores aproximados de estas
cantidades en el intervalo de temperatura T .
Generalizando la relación dada por la ecuación (5) se tiene que el calor específico de
un material a cualquier temperatura está dado por
donde de nuevo la presión permanece constante.
De acuerdo con la ecuación (6), la cantidad de calor infinitesimal Q , necesaria
para aumentar la temperatura de una masa m de sustancia en una cantidad Td es
Entonces, por la ecuación (6.7), la cantidad de calor que se debe suministrar a una
sustancia con masa m y de calor específico c, para elevar su temperatura de 1T a 2T ,
es:
donde )T(cc , esto es, el calor específico es una cantidad que depende de la
temperatura.
Ahora, si el calor específico es constante en el intervalo de temperatura comprendido
entre 1T y 2T , de la ecuación (8) se deduce que la cantidad de calor Q que se debe
suministrar a un cuerpo de masa m para que su temperatura varíe desde 1T hasta 2T
es:
Si en la ecuación (6.9) 12 TT se tiene que 0Q , lo
que indica que se transfiere calor desde el sistema
hacia los alrededores. Ahora, si se transfiere calor
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109
desde los alrededores hacia el sistema 0Q , es decir, cuando 12 TT . Estas dos
situaciones se ilustran en figura 7.8 mediante flechas que atraviesan el sistema.
Para los fines de esta unidad, a temperaturas ordinarias y en intervalos de
temperaturas ordinarios, los calores específicos se pueden considerar como
constantes.
Las ecuaciones (5) a (9), no definen el calor específico en forma unívoca, ya que
también se deben especificar las condiciones bajo las cuales se suministra calor a la
muestra. En dichas ecuaciones se impone como condición que la muestra se
mantenga a la presión atmosférica normal ( constantep ) mientras se agrega el
calor. Aunque esta es una condición común, hay otras posibilidades, donde cada una
de ellas conduce generalmente a un valor diferente del calor específico. De este
modo, para obtener un valor determinado del calor específico, se deben especificar
condiciones tales como calor específico a presión constante pc , o calor específico a
volumen constante Vc .
Unidades de la capacidad calorífica y el calor específico
De acuerdo con las ecuaciones (4) a (9), la capacidad calorífica se expresa en
1oCcal ó 1oCJ y el calor específico por
1o1 Cgcal ó 1o1 CkgJ . Como ambas
cantidades se definen en función de un cambio de temperatura, también son válidas
las unidades 1Kcal ó
1KJ y 11 Kgcal ó
11 KkgJ , ya que un cambio de
temperatura tiene igual valor en ambas escalas de temperatura.
En al tabla 03 se dan los calores específicos de algunas sustancias, donde se aprecia
que para el agua su valor es grande comparado con la mayoría de las sustancias.
Tabla Nº03. Calor específico y capacidad calorífica molar de algunas sustancias.
SUSTANCIA K)(cal/gc K)(cal/molcV
Agua 1.000 18.0
Agua de mar 0.930
Helio gaseoso 0.750 3.00
Argón gaseoso 0.750 3.00
Alcohol etílico 0.580
Hielo (-10 oC) 0.500
Berilio 0.430 3.85
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110
Madera (promedio) 0.400
Aire (-5 oC) 0.250
Aluminio 0.220 5.82
Vidrio 0.200
Granito 0.190
Nitrógeno gaseoso (N2) 0.176 4.94
Silicio 0.170 4.78
Oxígeno Gaseoso (O2) 0.155 4.97
Diamante 0.120 1.46
Hierro o acero 0.110
Cobre 0.092 5.85
Latón 0.091
Plata 0.056 6.09
Mercurio 0.033 6.70
Tungsteno 0.032 5.92
Plomo 0.031 6.32
Ejemplos:
1. ¿Cuántas calorías de calor son necesarias para aumentar la temperatura de 3.0 kg de
aluminio de 20°C a 50°C.
Solución:
2. La temperatura de una barra de plata aumenta 10.0°C cuando absorbe 1.23 kJ de
calor. La masa de la barra es de 525 g. Determine el calor específico de la plata.
Solución:
7.6. EQUIVALENTE MECANICO DEL
CALOR
Como el calor es otra forma de transferir energía,
necesariamente cualquier unidad de energía
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111
también puede ser unidad de calor. Por esto fue posible encontrar la relación entre la
unidad de energía mecánica y la unidad de calor, es decir, el número de Joules
equivalentes a una caloría. Esta relación se puede hallar llevando a cabo experimentos
en los cuales una cierta cantidad de energía mecánica se transforme en calor.
En el experimento más conocido se utiliza el montaje de la figura 7.9, donde la caída
del bloque hace girar un conjunto de aspas que se encuentran en el interior de un
recipiente con agua. La energía inicial del bloque, potencial gravitacional, se transforma
en energía cinética del bloque y energía cinética de rotación de las aspas al caer este.
La rotación de las aspas le comunican energía a las moléculas de agua y se tiene como
resultado un aumento en la temperatura del agua. Así, una parte de la energía mecánica
se transforma en calor, donde la pérdida de energía mecánica se calcula conociendo,
además del peso, la altura desde la cual cae el bloque, y la ganancia de energía calorífica
se obtiene, conociendo la masa de agua y la variación en la temperatura, mediante la
ecuación (9). El resultado aceptado es J4186cal10Kcal1 3, relación conocida
como el equivalente mecánico del calor.
De lo anterior y de acuerdo con la definición de la unidad de calor, mediante 4186 J de
energía mecánica, es posible elevar la temperatura de 1 kg de agua de 14.5 a C515 o. .
Ejemplo:
1. En un termo con paredes internas adiabáticas, se
tienen 100 g de agua a C30 o. Determinar la
temperatura inicial de un trozo de plomo de 500 g,
para que la temperatura final del sistema agua-plomo
sea de C60 o.
Solución
Como la temperatura final del agua es mayor que la inicial, esta absorbe energía en
forma de calor, en la cantidad
Ahora, el trozo de plomo debe perder la energía térmica
Por otro lado, de acuerdo con la conservación de la energía, el calor neto transferido
en el proceso es nulo, esto es
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112
0QQ 21 .
Mediante las ecuaciones anteriores y luego de reemplazar valores con ayuda de la
tabla 03 se encuentra que la temperatura inicial del trozo de plomo, está dada por
C55.253T o
Pbo,,
que es una temperatura mayor que la del agua como es de esperar y menor que la
temperatura de fusión del plomo (ver tabla Nº 04).
2. Si 100 g de agua a 100°C se vierten dentro de una taza de aluminio de 20 g que
contiene 50 g de agua a 20°C, ¿cuál es temperatura de equilibrio del sistema?
Solución:
Sean m1 = 100 g, m2 = 50 g, m3 = 20 g, CH2O= 1 cal/ g ºC, el calor específico del
agua, CAl = 0.215 cal/ g ºC, el calor especifico del aluminio y Tf la temperatura final
del sistema:
Despejando Tf, se obtiene
Sustituyendo los valores de los parámetros conocidos, se obtiene que
3. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio final cuando l0 g de leche a 10°C se agregan a
160 g de café a 90°C? (Suponga que las capacidades caloríficas de los dos líquidos
son las mismas que las del agua, e ignore la capacidad calorífica del recipiente).
Solución:
Sea mleche = 10 g, Tleche = 10 ºC, Cleche la capacidad calorífica de la leche, mcafe = 60
g, Ccafe la capacidad calorífica del cafe, Tcafe = 90ºC, Tf, la temperatura final de la
mezcla. El balance de energía nos da como resultado que
Despejando la temperatura final de la mezcla, Tf, resulta
Como , la ecuación se simplifica a la siguiente
Sustituyendo los valores, de obtiene
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113
7.7. CAPACIDAD CALORIFICA MOLAR
Cuando el calor específico de una sustancia se multiplica por su masa molecular M,
la capacidad calorífica molar está dada por
donde nM/m es el número de moles de la sustancia. Así que la ecuación (10)
adquiere la forma
Unidades de la capacidad calorífica molar
La capacidad calorífica molar, de acuerdo con la definición dada por la ecuación
(6.10), se expresa en 1o1 Cmolcal ó
11 Kmolcal y 1o1 CmolJ ó
11 KmolJ .
En la tabla Nº 03 se muestran las capacidades caloríficas molares de algunas
sustancias, obtenidas a temperatura ambiente.
Teóricamente se ha encontrado que la capacidad calorífica molar en la mayoría de
los sólidos es del orden de 1o1 Cmolcal6 o lo que es equivalente
1o1 CmolJ25 .
Este resultado conocido como la ley de Dulong y Petit, aunque sólo es una regla
aproximada, contiene el germen de una idea muy importante. Se sabe que el número
de moléculas que hay en un mol es el mismo para todas las sustancias, cuyo valor
está dado por molmoléculas/100236 23. , que corresponde al número de Avogadro.
7.8. CAMBIOS DE FASE
En esta sección se analiza el efecto de la temperatura sobre una sustancia, que está
relacionado con los cambios de fase macroscópicos que se pueden generar.
Cuando se transfiere o extrae calor a una sustancia, la variación de temperatura puede
generar un cambio de fase macroscópico, como por ejemplo pasar de la fase sólida a la
líquida o viceversa.
Así, la absorción o liberación de calor puede ir acompañada de un cambio de fase y
generalmente de una variación de volumen. Aunque la temperatura a la que tiene lugar la
transición también depende de la presión, no se tiene en cuenta esta situación por ahora,
ya que se asume que es constante.
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114
En este punto se hace necesario distinguir entre calor sensible y calor latente. Calor
sensible es el que siempre implica una variación de la temperatura y calor latente el que
no conlleva a una variación de temperatura, es decir, mientras se suministra o extrae
calor latente a una sustancia, la temperatura permanece constante.
Cuantitativamente, si se suministra o extrae calor a una sustancia, a presión constante, la
ecuación (6.9) es válida si este es sensible, pero si es latente se
habla de un calor de transformación, el cual se aplica al calor de
fusión (sólido a líquido), al calor de congelación (líquido a
sólido), al calor de vaporización (líquido a vapor) y al calor de
condensación (vapor a líquido). En todos los casos se designa por
la letra L, que representa el calor absorbido o liberado en un
cambio de fase por unidad de masa. El calor latente absorbido o
liberado por una masa m en el cambio de fase, se define por ,
donde si se funde un sólido o entra en ebullición un líquido, se suministra calor a la
sustancia y Q>0; en cambio, cuando se condensa un vapor o se solidifica un líquido, la
sustancia libera calor y Q<0.
La diferencia entre estos tipos de calor se puede explicar mediante el siguiente ejemplo.
En la figura 7.10 el recipiente inicialmente contiene hielo triturado a -25ºC, al cual se le
puede suministrar calor a ritmo constante mediante una fuente de calor y un control de
temperatura. El recipiente se aísla de tal forma que no llegue otro calor al hielo y se
introduce un termómetro en el mismo. Cuando el experimento se lleva a cabo, se observa
que la temperatura del hielo aumenta uniformemente, como lo indica el segmento ab de
la figura 7.11, hasta que la temperatura es 0ºC. En este caso el calor suministrado es
sensible y se cumple la relación
.
Tabla Nº 04. Calor latente, temperaturas de fusión (Tf) y ebullición (Te) de algunas
sustancias.
SUSTANCIA fT (K) fL (
1gcal ) eT (K) vL (
1gcal )
Hierro 1808 69.04 3023 1509.8
Silicio 1685 395.13 2628 2528.43
Cobre 1356 48.97 2840 1145.72
Oro 1337 15.29 3080 376.73
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115
Plata 1235 26.52 2485 562.83
Aluminio 933 95.32 2740 2515.53
Zinc 693 24.37 1180 401.1
Plomo 601 5.49 2013 205.21
Estaño 508 14.33 2540 463.45
Sodio 371 27.47 1156 242.95
Agua 273 80 373 542.76
Mercurio 234 2.63 630 70.47
Amoníaco 198 107.98 240 326.8
Alcohol etílico 159 24.84 351 204.01
Nitrógeno 63.18 6.09 77 48.02
Oxigeno 55 3.34 90 50.88
Hidrógeno 14 14.1 20 107.98
Helio 3.5 1.25 4.22 4.99
Tan pronto como se ha alcanzado esta temperatura, se observará algo de agua líquida
en el recipiente, esto es, el hielo empieza a fundirse. Así, el proceso de fusión es un
cambio de fase, pues el hielo pasa de la fase sólida a la líquida. Sin embargo, durante
un tiempo el termómetro no indicará aumento de temperatura aunque continúa el
suministro calor al mismo ritmo, es decir, la temperatura permanecerá a C0 o hasta
que se funda todo el hielo, lo cual ocurre en el punto c de la figura 7.11, manteniendo
constante la presión a una atmósfera. En este caso, se suministra calor latente de
fusión y se cumple la expresión .
Una vez que se ha fundido la última porción de hielo, la temperatura comienza a
elevarse de nuevo a ritmo constante, desde c hasta d en la figura 7.11, aunque más
despacio que en el segmento ab, por ser el calor específico del agua (1o1 Cgcal1 )
mayor que el del hielo (1o1 Cgcal50. ). Cuando se alcanza la temperatura de
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116
C100 o, punto d en la figura 7.11, comienzan a escapar de la superficie del agua
burbujas de vapor (agua gaseosa o vapor de agua); así, el agua empieza a hervir y el
calor es sensible por lo que se satisface la relación
.
En forma similar, la temperatura permanecerá constante a C100 o y a presión
atmosférica constante, hasta que se evapora toda el agua. De este modo, se ha
producido un cambio de fase, de la líquida a la gaseosa y se tiene calor latente de
vaporización, por lo que se cumple la igualdad . Del punto e en
adelante sólo se tiene vapor recalentado o sea que el calor suministrado es sensible.
En síntesis, es necesario suministrar la cantidad neta de calor 4321 QQQQQ ,
para que el hielo pase desde la fase sólida a la fase gaseosa. Si se desea llevar el
vapor de agua desde 100ºC hasta hielo a -25ºC, será necesario extraer la misma
cantidad de calor, es decir, se debe realizar el proceso inverso.
Ejemplo:
1. En el interior de un termo, con paredes adiabáticas, se mezclan 50 g de agua a
C30 o, con cierta cantidad de hielo a C3 o
. Determinar la masa de hielo que
permite al sistema alcanzar una temperatura final de C2 o.
Solución
El hielo debe absorber calor sensible que le permita pasar de C3 o hielo a C0 o
hielo, en una cantidad
C)3C(0cmQ oo
hh1 .
Adicionalmente debe absorber calor latente para que pueda fundirse, en un valor
dado por
hf,h2 LmQ .
Finalmente, para pasar de C0 o agua a C2 o
agua, absorbe el calor
C)0C(2cmQ oo
OHh3 2. (3)
Por otro lado, el agua emite calor sensible para pasar de C30 o agua a C2 o
agua,
dado por
C)30C(2cmQ oo
OHOH4 22.
Ahora, como la energía se conserva, el calor neto transferido es nulo, esto es
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117
0QQQQ 4321 .
Por medio de las ecuaciones anterirores y luego de reemplazar valores con ayuda
de las tablas 03 y 04, se obtiene el valor
g77.16mh .
LABORATORIO Nº 08: CALORIMETRÍA
1- El calor de combustión de la leña es 4 x 103 cal /g. ¿Cuál es la cantidad de leña que
debemos quemar para obtener 12 x 107 cal?
2- Para calentar 800 g de una sustancia de 0 °C a 60° °C fueron necesarias 4.000 cal.
Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.
3- Para calentar 2.000g de una sustancia desde 10°C hasta 80°C fueron necesarias 12.000
cal. Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.
4- ¿Cuál es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 200 g de cobre de
10 °C a 80 °C?.calor específico del cobre igual a 0,093 cal /g °C.
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118
5- Considere un bloque de cobre de masa igual a 500 g a la temperatura de 20 °C. Siendo: c
cobre = 0,093 cal /g °C. Determine: a) la cantidad de calor que se debe ceder al bloque
para que su temperatura aumente de 20 °C a 60 °C y b) ¿cuál será su temperatura cuando
sean cedidas al bloque 10.000 cal?
6- Un bloque de 300 g de hierro se encuentra a 100 °C. ¿Cuál será su temperatura cuando
se retiren de él 2.000 cal? Sabiendo que: c hierro = 0,11 cal /g °C.
7- Sean 400 g de hierro a la temperatura de 8 °C. Determine su temperatura después de
haber cedido 1.000 cal. Sabiendo que: c hierro = 0,11 cal /g °C.
8- Para calentar 600 g de una sustancia de 10 °C a 50 °C fueron necesarias 2.000 cal.
Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.
9- ¿Cuál es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 300 g de cobre de
20 °C a 60 °C?. Siendo: c cobre = 0,093 cal /g °C.
10- Sea 200 g de hierro a la temperatura de 12 °C. Determine su temperatura después de
haber cedido 500 cal. Siendo: c hierro = 0,11 cal /g °C.
11- Suministrando una energía de 10 J a un bloque de una aleación de aluminio de 5 g; su
temperatura varía de 20 °C a 22 °C. Determine el calor específico de este material.
12- Un recipiente térmicamente aislado contiene 200 g de agua, inicialmente a 5 °C. Por
medio de un agitador, son suministrados 1,26x 104 J a esa masa de agua. El calor
específico del agua es 1 cal /g °C; el equivalente mecánico de la caloría es de 4,2 J/cal.
Considere despreciable la capacidad térmica
13- Se colocan 200 g de hierro a 120 °C en un recipiente conteniendo 500 g de agua a 20 °C.
Siendo el calor específico del hierro igual a 0,114 cal /g °C y considerando despreciable
el calor absorbido por el recipiente. Determine la temperatura de equilibrio térmico.
14- Se colocan 400 g de cobre a 80 °C en un recipiente conteniendo 600 g de agua a 22 °C.
Determine la temperatura de equilibrio térmico sabiendo que el calor específico del
cobre es de 0,092 cal /g °C.
15- Un calorímetro de cobre de 80 g contiene 62 g de un líquido a 20 °C. En el calorímetro
es colocado un bloque de aluminio de masa 180 g a 40 °C. Sabiendo que la temperatura
de equilibrio térmico es de 28 °C, determine el calor específico del líquido. Considere: c
Cu = 0,092 cal /g °C y c Al = 0,217 cal /g °C.
16- Un calorímetro de cobre de 60 g contiene 25 g de agua a 20 °C. En el calorímetro es
colocado un pedazo de aluminio de masa 120 g a 60 °C. Siendo los calores específicos
del cobre y del aluminio, respectivamente iguales a 0,092 cal /g °C y 0,217 cal /g °C;
determine la temperatura de equilibrio térmico.
17- Un calorímetro de equivalente en agua igual a 9 g contiene 80 g de agua a 20 °C. Un
cuerpo de masa 50 g a 100 °C es colocado en el interior del calorímetro. La temperatura
de equilibrio térmico es de 30 °C. Determine el calor específico del cuerpo.
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119
18- Un calorímetro de cobre con masa igual a 50 g contiene 250 g de agua a 100 °C. Un
cuerpo de aluminio a la temperatura de 10 °C se coloca en el interior del calorímetro. El
calor específico del cobre es c Cu = 0,094 cal /g °C y el de aluminio es c Al = 0,22 cal /g
°C. Sabiendo que la temperatura de equilibrio es 50 °C. ¿Cuál es la masa del cuerpo de
aluminio (aproximadamente)?.
19- Sea un calorímetro de agua de capacidad térmica 50 cal /g °C. Tomamos un pedazo de
hierro con masa de 70 g; lo calentamos en un reservorio lleno de vapor de agua en
ebullición, lo introducimos seguidamente en el calorímetro que contiene 412 g de agua a
la temperatura de 12,4 °C. Sabiendo que la temperatura final del sistema fue de 13,9 °C.
Determine el calor específico del hierro.
20- Un bloque de platino de masa 60 g es retirado de un horno e inmediatamente colocado
en un calorímetro de cobre de masa igual a 100 g y que contiene 340 g de agua. Calcular
la temperatura del horno, sabiendo que la temperatura inicial del agua era de 10 °C y que
subió a 13 °C, ¿cuando se alcanzó el equilibrio térmico?. El calor específico del platino
es de 0,035 cal /g °C y el calor específico del cobre es de 0,1 cal /g °C.
21- Un joyero vendió un anillo que dijo contener 9 g de oro y 1 g de cobre. Se calienta el
anillo a 500 °C (temperatura inferior a la temperatura de fusión del oro y del cobre). Se
introduce el anillo caliente en un calorímetro con agua, cuya capacidad calorífica es 100
cal /g °C y cuya temperatura inicial es 20 °C; se constata que la temperatura en el
equilibrio térmico es de 22 °C. Los calores específicos del oro y del cobre son 0,09 y
0,031 cal /g °C, respectivamente. Determine las masas del oro y del cobre en el anillo.
22- Calcular la velocidad que debe llevar una bala de plomo para que funda al chocar contra
un obstáculo, suponiendo que toda su energía se transforma en calor y que éste actúa
solamente sobre la bala, cuya temperatura inicial era de 20°C. DATOS: Calor específico
del plomo: 0,031 cal/gºC ; Calor latente de fusión del plomo: 5,8 cal/g. Tª de fusión del
plomo: 326ºC
26.Un estudiante de 70 Kg sueña con poder subir en un ascensor de 200 Kg hasta una altura
de 15 m solamente con la energía acumulada en un mol de agua cuando ésta pasa de líquido
a 0ºC hasta vapor a 100º C a la presión de 1 atm. ¿Es termodinámicamente posible?
DATOS: Calor latente vaporización del agua: 540 cal/g Calor específico medio del agua
líquida entre 0º C º y 100º C = 1 cal/g. ºC
26.Calcula la altura desde la que es necesario dejar caer un bloque de hielo, inicialmente a
0°C, para que funda al chocar contra el suelo suponiendo que toda la energía se transforma
en calor y despreciando el rozamiento con el aire. ¿Con qué velocidad llegaría al suelo?
(Despreciar la variación de "g")
27. Una bala choca contra un obstáculo a una velocidad de 200 m/s. Si toda su energía se
transforma en calor y si éste calentara solamente a la bala, ¿Cuanto aumentaría su
temperatura?. DATOS: Calor específico de la bala: 0,1 cal/°C.g
28. Se tiene una mezcla de dos moles de hidrógeno y un mol de oxígeno a 0°C y 1 atm. Se
hace saltar una chispa eléctrica con lo que se forma agua, volviéndose después a las
condiciones iniciales de presión y temperatura. Calcular la variación de energía interna que
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120
tiene lugar en el proceso. DATOS: Calor de formación del agua a esa temperatura.: ÄH = -
288,42 Kj/mol
29. Calcular la variación de energía interna que tiene lugar durante la vaporización de 1 Kg
de agua a 150°C y 1atm, suponiendo un comportamiento ideal para el vapor de
agua.DATOS: Calor latente de vaporización a esa T°: 504,6 cal/g.
30. Calcular la variación de energía interna que tiene lugar cuando calentamos 1 Kg de hielo
desde 0°C hasta 4°C a 1 atm. DATOS: Densidad del hielo a 0°C: 0,917 g/ml Calor latente
de fusión del hielo: 80 cal/g ; Densidad del agua a 4 °C: 1 g/ml.
31.. Un Kg de agua cuando se hace hervir a 100ºC y presión atmosférica, produce 1594
litros de vapor. Calcular: el trabajo exterior realizado y la variación de energía interna del
sistema. DATOS: Calor de vaporización del agua a esa temperatura = 539 cal/g
32. En cierto proceso se suministran a un sistema 50 Kcal y, simultáneamente el sistema se
expande venciendo la presión exterior, constante, de 7,2 Kg/cm2. Si la energía interna del
sistema es la misma al comienzo que al final del proceso, ¿Cuál será el incremento de
volumen del sistema?
7.9. ECUACIONES DE ESTADO
El estado de cierta masa m de sustancia queda determinado por su presión p, su
volumen V y su temperatura T, donde en general, estas cantidades no pueden variar
de manera independientemente. Hasta este momento sólo se ha considerado la
variación del volumen únicamente con la presión y con la temperatura.
En términos matemáticos existe una relación funcional entre estas cantidades, que
simbólicamente se puede representar por
)m ,T ,p(fV , (11)
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121
o en función del número de moles n
)n ,T ,p(fV , (12)
Así, las ecuaciones (11) y (12) muestran que el volumen de la cantidad de sustancia
depende de p, T y m, o de p, T y n.
Generalizando, se tiene que cualquier relación de esta forma se conoce como
ecuación de estado, donde el término estado utilizado aquí implica un estado de
equilibrio, lo que significa que la temperatura y la presión tienen igual valor en todos
los puntos en el interior de un sistema dado. Por consiguiente, si se suministra calor
en algún punto de un sistema en equilibrio, hay que esperar hasta que el proceso de
transferencia de calor dentro del sistema haya producido una nueva temperatura
uniforme, para que este se encuentre de nuevo en un estado de equilibrio.
Igualmente, cuando se produce una expansión o una compresión hay una masa en
movimiento que requiere aceleración y presión no uniforme, y solo cuando se
restablece el equilibrio mecánico queda descrito el estado del sistema por una presión
fija. En general, se dice que un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico
cuando se presenta tanto equilibrio térmico como equilibrio mecánico.
7.10. GAS IDEAL
Como ejemplo de un sistema termodinámico se
considera un gas a baja presión, en cuyo caso la
ecuación de estado es bastante sencilla.
Se estudiará el comportamiento del gas por medio de
un cilindro provisto de un pistón móvil y equipado con
un manómetro y un termómetro. Se puede variar la
presión, el volumen y la temperatura, y bombear en el cilindro la masa deseada de
cualquier gas, para investigar las relaciones existentes entre p, V, T y m. A menudo
conviene medir la cantidad de gas en función del número de moles n en lugar de
hacerlo en función de la masa m. Si la masa molecular es M, la masa total m está
dada por
nMm .
A partir de la medición de p, V, T y n en diferentes gases, se llega a varias
conclusiones como se considera en lo que sigue.
Se supone que en el interior del recipiente mostrado en la figura 7.12 se tiene un gas,
al cual se le pueden variar a voluntad el número de moles, la presión, el volumen y la
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
122
temperatura. El número de moles varía al introducir o extraer gas por el orificio, la
presión cambia al variar la masa M, el volumen lo hace al permitir que el émbolo
ascienda o descienda y la temperatura se varía mediante el control de temperatura.
Generando cambios en estas cantidades físicas, puede ocurrir
a) Si se duplica el número de moles, manteniendo constantes la presión y la
temperatura, el volumen se duplica, es decir nV .
b) Si se aumenta la presión, manteniendo constantes el número de moles y la
temperatura, el volumen disminuye, esto es .
c) Si se aumenta la temperatura, manteniendo constante el número de moles y el
volumen, la presión aumenta, es decir Tp .
Las relaciones anteriores, se pueden resumir de forma compacta mediante la ecuación
de estado
nRTpV , (6.13)
donde la constante de proporcionalidad R tiene el mismo valor para todos los gases, a
temperaturas suficientemente altas y presiones bajas y es conocida como la constante
universal de los gases.
Así, en el sistema internacional de unidades tiene el valor 11KmolJ3148.R ,
y en el sistema gaussiano 117 Kmol ergios103148.R .
Teniendo en cuenta el equivalente mecánico del calor, en función de unidades térmicas,
la constante adquiere el valor 11Kmol cal991.R .
En química generalmente el volumen se expresa en litros (l) y la presión en atmósferas.
Con estas unidades y haciendo las respectivas conversiones, la constante universal de
los gases adquiere el valor
11Kmol l atm0820710.R .
En este punto, se define un gas ideal como aquel que verifica exactamente la ecuación
de estado dada por la ecuación (13), para todas las presiones y temperaturas.
Para un número de moles dado, en un gas ideal el producto nR es constante, es decir,
TpV / también es constante. Entonces, si los subíndices 1 y 2 designan dos estados
diferentes del mismo gas, pero con presión, volumen y temperatura diferentes, de
acuerdo con la ecuación (13), se satisface la relación:
ConstantenRT
Vp
T
Vp
2
22
1
11. (614)
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
123
Ahora, si adicionalmente las temperaturas 1T y 2T son iguales, entonces la ecuación
(14) se transforma en:
ConstantenRTVpVp 2211 .
El hecho que a temperatura constante el producto de la presión por el volumen de una
masa de gas sea constante, se conoce como ley de Boyle. Aunque por definición es
exactamente cierta para una gas ideal, solamente es aproximada en el caso de los gases
reales y no es una ley fundamental como las leyes de Newton o la de conservación de la
energía.
Ejemplo:
1. n moles de un gas ideal se encuentran en un estado caracterizado por una presión 1p
y un volumen 1V . Si al sistema se le triplica la presión cuando el volumen se reduce
a la mitad, determinar la relación entre las temperaturas de los dos estados.
SOLUCIÓN
Mediante la ecuación de estado de un gas ideal se encuentra que
111 TRnVp , (1)
222 TRnVp . (2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene que la relación entre las temperaturas
está dada por
123
2 TT ,
lo que indica que la temperatura del sistema debe aumentar cuando el sistema pasa
de un estado a otro.
7.11. CALOR Y TRABAJO
En la sección 7.4 se vio que el calor es energía que fluye de un cuerpo a otro sin
cambio de fase, debido a que hay entre ellos una diferencia de temperatura.
Solamente cuando fluye debido a una diferencia de temperaturas, a esta energía se le
llama energía calorífica.
El trabajo igual que el calor, requiere de una transmisión de energía. En mecánica, se
considera el trabajo desarrollado cuando hay transmisiones de energía, pero donde la
temperatura no juega ningún papel. Si la energía calorífica se transmite por
diferencias de temperatura, es posible distinguir entre calor y trabajo, definiendo el
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124
trabajo como energía que se transmite de un sistema a otro, de forma que no
interviene directamente una diferencia de temperatura. Esta definición está de
acuerdo con el uso que anteriormente se le ha dado a este término, es decir, en la
expresión rF dWd , la fuerza F puede provenir de fuentes eléctricas,
magnéticas, gravitacionales, etc.
Por otro lado, el calor y el trabajo no son cantidades físicas que caracterizan el estado
de equilibrio de un sistema sino, más bien que caracterizan el proceso termodinámico
en virtud del cual el sistema pasa de un estado de equilibrio a otro, al interactuar con
su medio ambiente. Por ello, sólo durante el proceso termodinámico se puede dar un
significado físico a calor y trabajo. De esta forma, se puede identificar a Q con el
calor transmitido o extraído del sistema y a W con el trabajo efectuado sobre o por el
sistema.
7.12. TRABAJO EN UN PROCESO TERMODINAMICO
En la figura 7.13 se tiene un gas en el interior
de un depósito provisto de un émbolo móvil. El
sistema es el gas, que inicialmente se
encuentra en equilibrio con su medio ambiente,
depósito de calor y émbolo, y tiene una presión
ip , un volumen iV y se supone que las
paredes del recipiente son las fronteras del
sistema. Por otro lado, puede fluir calor desde el sistema o hacia el sistema por la
base del depósito y se puede realizar trabajo sobre el sistema, comprimiendo el gas, o
el sistema puede efectuar trabajo expandiendo el gas.
Ahora se lleva a cabo un proceso en el cual el sistema interactúa con su medio
ambiente y alcanza un estado final de equilibrio caracterizado por una presión fp y
un volumen fV . Suponiendo que el depósito tiene una sección transversal A y que la
presión ejercida por el gas en la cara del pistón es )(Vpp , la fuerza ejercida por el
sistema es pA y si además el pistón se desplaza una distancia infinitesimal Sd , el
trabajo realizado por esta fuerza de presión es VpSpAW dddrF , donde
SAV dd es la variación de volumen del sistema. Por lo tanto, para una variación
finita de volumen desde iV hasta fV , el trabajo total realizado por el gas es
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125
f
i
V
V
VdpW . (15)
En general, la presión del sistema puede variar durante el cambio de volumen, y la
integral sólo se puede calcular si se conoce la presión como función del volumen.
Como se ilustra en la figura 7.15, es habitual representar gráficamente la ecuación
(15) en un diagrama de presión en función del volumen, conocido como diagrama p-
V.
De este modo, se puede interpretar gráficamente la expresión para W como el área
comprendida bajo la curva limitada por iV y fV .
De acuerdo con la ecuación (15) el trabajo es positivo cuando el sistema se expande,
esto es, si el sistema se expande de i a f, el área se considera positiva ya que el
cambio de volumen es positivo ( 0dV ). Por otro lado, una compresión desde f
hasta i genera un área negativa, o sea que cuando el sistema se comprime su volumen
disminuye ( 0dV ) y este realiza un trabajo negativo sobre los alrededores.
En el caso particular que la presión permanezca constante mientras el volumen varía,
la ecuación (15) permite mostrar que el trabajo está dado por:
)( if VVpW ,
pero sólo si la presión es constante.
En el diagrama Vp de la figura 7.16 se ha representado un estado inicial 1
caracterizado por la presión 1p y el volumen 1V , y un estado final 2 caracterizado
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
126
por la presión 2p y el volumen 2V . Hay muchas formas de pasar del estado 1 al
estado 2, esto es, mediante diferentes procesos termodinámicos es posible llevar el
sistema de un estado a otro.
Uno de tales procesos se consigue al mantener constante la presión desde 1 hasta 3 y
después dejar constante el volumen desde 3 hasta 2, en cuyo caso el trabajo realizado
es igual al área comprendida bajo la línea 1-3. Otra posibilidad es mantener constante
el volumen desde 1 hasta 4 y luego dejar constante la presión entre 4 y 2, situación
en la cual el trabajo es igual al área comprendida bajo la línea 4-2. Otra posibilidad
es la representada por la línea que une directamente los puntos 1 y 2, pero el trabajo
realizado es diferente al de las trayectorias anteriores. Se puede concluir entonces,
que el trabajo efectuado por un sistema, o sobre el sistema, depende no solo de los
estados inicial y final sino también de los estados intermedios, es decir, de la
trayectoria seguida en el proceso. Este resultado está de acuerdo con el hecho que el
trabajo no es una cantidad física que caracteriza el estado de un sistema.
7.13. FLUJO DE CALOR EN UN PROCESO
Si el estado termodinámico 1 se caracteriza por la temperatura 1T y el estado 2 por la
temperatura 2T , el calor que fluye al sistema o desde el sistema, depende de la forma
como este se calienta o enfría. Una forma es hacer que la presión 1p permanezca
constante, hasta alcanzar la temperatura 2T , para luego cambiar la presión, a
temperatura constante, hasta llegar al valor final 2p . O bien, se puede cambiar
primero la presión a 2p , con 1T constante, y posteriormente variar la temperatura
hasta 2T , con 2p constante. O se pueden seguir otros recorridos, pero cada recorrido
da un resultado diferente para el valor del calor que fluye en el proceso. Lo anterior
significa que el calor absorbido o emitido por el sistema, igual que el trabajo, no
depende solamente de los estados inicial y final sino también de la trayectoria
seguida en el proceso.
Se ha encontrado entonces que tanto el calor como el trabajo dependen del recorrido
que se siga en el proceso termodinámico y ninguno de los dos es independiente de la
trayectoria, esto es, ninguno de ellos se conserva por sí solo.
7.14. ENERGIA INTERNA Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
Como se encontró en la sección 7.11, la transferencia de calor y la realización de
trabajo constituyen dos formas diferentes de suministrar o extraer energía a un
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127
sistema. Una vez que ha tenido lugar la transferencia de energía, se dice que el
sistema, en general, ha experimentado una variación de energía interna. Así que un
proceso termodinámico generalmente genera un cambio en la energía interna del
sistema.
Se supone que un sistema pasa del estado 1 al estado 2 siguiendo una trayectoria
definida, y que se mide el calor absorbido por el sistema y el trabajo realizado por el
sistema. Expresando Q y W en las mismas unidades, térmicas o mecánicas, entonces
se puede calcular la diferencia WQ . Si ahora se hace lo mismo entre los estados 1
y 2, pero siguiendo trayectorias diferentes, experimentalmente se encuentra que la
diferencia WQ es idéntica a la obtenida en el caso anterior.
Como Q es la energía suministrada al sistema por transferencia de calor y W la
energía generada por el sistema al efectuar trabajo, la diferencia WQ representa la
variación de energía interna del sistema, esto es, por definición es el cambio de
energía interna del sistema. De ello se deduce que la variación de energía interna de
un sistema es independiente de la trayectoria, y es igual a la energía interna del
sistema en el estado 2 menos la energía interna del sistema en el estado 1. La energía
interna se designa generalmente con la letra U, o sea que si 1U es la energía interna
en el estado 1 y 2U en el estado 2, entonces
WQUUU 12 , (16)
expresión conocida como la primera ley de la termodinámica.
Si a cierto estado normal de referencia se le asigna un valor arbitrario a la energía
interna, su valor en cualquier otro estado queda bien determinado, porque WQ es
igual para cualquier proceso que lleve el sistema de un estado a otro.
Al aplicar la primera ley de la termodinámica se debe tener presente que
1. Todas las magnitudes se deben expresar en las mismas unidades, térmicas ó
mecánicas.
2. Q es positivo cuando se transfiere calor de los alrededores al sistema (gana energía
térmica) y negativo cuando el sistema emite calor hacia los alrededores (pierde
energía térmica).
3. W es positivo cuando el sistema se expande y realiza
trabajo sobre el medio ambiente, es decir, cuando pierde
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
128
energía por trabajo realizado, y es negativo cuando el sistema se comprime ya que el
sistema gana energía.
Escribiendo la ecuación (16) en la forma
WUQ , de acuerdo con la figura, se puede decir que cuando un sistema recibe
una cantidad de calor Q durante un proceso, parte de esta energía permanece en el
sistema como incremento de la energía interna UΔ , mientras que el resto abandona
de nuevo el sistema en forma de trabajo W.
La energía interna así definida, se puede interpretar en función de energía mecánica
microscópica, es decir, de energía cinética y potencial de cada una de las moléculas
de la sustancia. Sin embargo, desde el punto de vista macroscópico o de la
termodinámica, esto no es necesario. La expresión de la primera ley es la definición
de energía interna de un sistema o de forma más precisa, de la variación de su
energía interna en cualquier proceso. Como sucede con otras formas de energía, sólo
se definen diferencias de energía interna, pero no valores absolutos, ya que la energía
interna es una cantidad física que define el estado de un sistema.
Por otro lado, en el caso particular de un gas ideal monoatómico, es posible
demostrar que la energía interna o energía cinética media de las moléculas, está dada
por
nRTU23 .
O sea que si la temperatura de un gas ideal cambia en T , su energía interna cambia
en U .
Si el proceso realizado en el sistema, es tal que eventualmente regresa a su estado
inicial, se dice que el proceso es cíclico y por la ecuación (16) se tiene que
0UóWQyUU 21 .
En este caso particular, aunque durante el proceso se haya realizado un trabajo neto
W, no se ha variado la energía interna ya que el sistema ha recibido una cantidad
igual de energía en forma de calor Q.
Como en un sistema aislado no se realiza trabajo, paredes rígidas, ni se transfiere
calor, paredes adiabáticas, en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema de este
tipo, la ecuación (6.16) adquiere la forma
0UóUUy0WQ 21 .
Es decir, la energía interna en un sistema aislado permanece constante, enunciado
correspondiente al resultado más general del principio de conservación de la
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
129
energía. La energía interna de un sistema aislado no cambia mediante ningún
proceso, mecánico, eléctrico, químico, nuclear o biológico, que tenga lugar dentro
del sistema. La energía de un sistema sólo puede variar por un flujo calorífico a
través de la superficie que lo limita o por la realización de trabajo. Si tiene lugar
cualquiera de estos procesos, el sistema ya no es aislado y el incremento de energía
interna del sistema es igual a la energía que recibe en forma de calor, menos la
energía que sale del sistema en forma de trabajo.
Hasta ahora se ha utilizado la primera ley de la termodinámica sólo en la forma finita
dada por la ecuación (16), que se refiere a un proceso en el que los estados 1 y 2
difieren en presión, volumen y temperatura en una cantidad finita. Suponiendo ahora
que los estados 1 y 2 difieren infinitesimalmente, entonces al transferir una pequeña
cantidad de calor Q , se realiza una pequeña cantidad de trabajo W y la pequeña
variación de energía interna es Ud . En estas condiciones, la primera ley de la
termodinámica se convierte en
WQUd .
En sistemas como el considerado antes, depósito de gas, el trabajo está dado por
VdpW y la primera ley en forma diferencial es
VdpQUd .
7.15. APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
7.15.1. PROCESO ADIABATICO
Este es un proceso en el cual el sistema no gana ni pierde energía en forma de
calor, es decir, 0Q . Este impedimento de flujo de calor se puede lograr
rodeando el sistema de una capa gruesa de material aislante (corcho, asbesto) o
realizando rápidamente el proceso, ya que como el flujo de calor es lento, un
proceso cualquiera se puede hacer prácticamente adiabático si se efectúa con
suficiente rapidez. Aplicando la primera ley a un proceso adiabático, se tiene:
WUUU 12 .
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
130
Así, la variación de energía interna en un proceso adiabático, es igual en
magnitud al trabajo realizado por o sobre el sistema, donde si 0W , como
sucede cuando hay una compresión, entonces 0W y 12 UU , esto es, la
energía interna del sistema aumenta, y en caso contrario si 0W , como ocurre
en una expansión, la energía interna del sistema disminuye. Aunque no siempre,
en el caso particular de un gas, un aumento en la energía interna va acompañado
normalmente de una elevación de temperatura, y una disminución de energía
interna por un descenso de temperatura. Si en la figura se varía la masa m, el gas
se puede expandir o comprimir adiabáticamente, solo si las paredes son aislantes
del calor y el émbolo tiene contacto sin fricción y es hermético. O sea que es
posible realizar trabajo y así la energía interna puede aumentar o disminuir, lo
cual permite que en algunos casos se puedan obtener altas o bajas temperaturas
mediante procesos de este tipo y sin transferencia de calor.
7.15.2. PROCESO ISOCORO
Es un proceso que ocurre a volumen constante ( 0V ), como se muestra en la
figura. El aumento de presión y temperatura que provoca un flujo de calor hacia
el interior de una sustancia contenida en un recipiente rígido o de volumen
constante, es un ejemplo de proceso isocoro. Como no varía el volumen, en este
caso no se realiza trabajo y la primera ley de la termodinámica indica que
QUUU 12 ,
es decir, el calor añadido al sistema se ha utilizado en aumentar su energía
interna. En caso contrario, si el sistema emite energía en forma de calor, la
presión y la temperatura disminuyen, generando una disminución en la energía
interna.
7.15.3. PROCESO ISOTERMICO
Es un proceso realizado a temperatura constante, y para que esta no cambie, las
variaciones de presión y volumen se deben llevar a cabo muy lentamente a fin de que
el estado del sistema se aproxime al equilibrio térmico durante todo el proceso.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
131
Generalmente ninguna de las magnitudes Q, W o U es nula en este tipo de
procesos.
En algunos casos la energía interna del sistema sólo depende de la temperatura y no
de la presión o el volumen, como ocurre en un gas ideal. Cuando un sistema como
este pasa por un proceso isotérmico, su energía interna no varía ( 0U ) y por lo
tanto la primera ley de la termodinámica tiene la forma WQ , que es de validez
únicamente para el sistema mencionado. En la figura, se muestra el diagrama Vp
en un proceso isotérmico.
6.15.4. PROCESO ISOBARICO
Ocurre cuando un proceso tiene lugar a presión
constante, esto es, cuando el trabajo realizado por
un sistema es dado por
)VV(pW 12 .
En este proceso ninguna de las cantidades físicas
que intervienen en la primera ley de la termodinámica es nula.
En la figura, se muestra el diagrama Vp de un proceso isobárico.
Un ejemplo sencillo de un proceso isobárico, es la evaporación de una masa m de
líquido a presión y temperatura constantes. Si LV es el volumen de líquido y VV el
volumen del vapor, el trabajo realizado por el sistema al aumentar el volumen de LV
a VV , a la presión constante p, es
)VV(pW LV .
Ahora, el calor absorbido por unidad de masa es el calor de vaporización VL , y el
calor neto está dado por VmLQ , donde en virtud de la primera ley de la
termodinámica se tiene
)VV(pmLU LVV .
Ejemplo:
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132
1. El estado inicial de dos moles de nitrógeno ( 2N ), considerado como un gas ideal, es
tal que la presión es op y el volumen oV . El sistema se somete a un ciclo reversible
constituido por los procesos: Proceso AB, isotérmico y mediante el cual se duplica el
volumen del sistema. Proceso BC, isocoro el cual permite reducir la temperatura a la
mitad de la inicial. Proceso CD, isobárico que lleva el sistema al volumen inicial.
Proceso DA, isocoro que regresa el sistema al estado inicial.
a) Encontrar, en función de op y oV , la temperatura del sistema al final de cada
proceso.
b) Hacer el diagrama Vp del ciclo.
c) Determinar, en función de op y oV , el trabajo neto realizado en el ciclo.
Solución
a) De acuerdo con el enunciado, el nitrógeno se considera como un gas ideal y por
ello mediante la ecuación de estado y la información dada, se encuentra que la
temperatura al final de cada proceso está dada por
R2
VpTT oo
BA , R4
VpTT oo
A21
C , R8
VpT oo
D .
b) En el siguiente diagrama se muestran los cuatro procesos que conforman el ciclo
reversible descrito en el enunciado.
c) Para determinar el trabajo neto realizado en el ciclo, primero se obtiene el trabajo
efectuado en cada uno de los diferentes procesos partiendo de la ecuación (6-15).
De este modo, el trabajo neto realizado se obtiene mediante la expresión
DAABneto WWWWW CDBC . (1)
Como el proceso AB es isotérmico, mediante las ecuaciones (6-13) y (6-15) es
posible llegar a
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133
2lnVpW ooAB . (2)
La ecuación (2) indica que el trabajo realizado en este proceso es positivo por
tratarse de una expansión, lo que significa que el sistema pierde energía por
trabajo realizado sobre los alrededores.
En el proceso BC no cambia el volumen del sistema por tratarse de un proceso
isocoro. Por ello, y de acuerdo con la ecuación (6-15), no se realiza trabajo en el
proceso, esto es
0WBC , (3)
Lo cual muestra que en este proceso el sistema no gana ni pierde energía por
trabajo realizado.
A diferencia de los casos anteriores, como el proceso CD es isobárico, el trabajo
realizado corresponde al área bajo la recta CD en el diagrama Vp del ciclo, es
decir,
ooCD Vp25.0W . (4)
Como el trabajo es negativo por tratarse de una compresión, el sistema gana
energía en el proceso CD ya que los alrededores realizan trabajo sobre el sistema.
En el último proceso del ciclo, igual que en el proceso BC, el trabajo realizado es
nulo ya que el volumen no cambia por tratarse de un proceso isocoro, así
0WDA , (5)
donde por ser nulo el trabajo realizado, el sistema no gana ni pierde energía en el
proceso DA.
Finalmente, reemplazando las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), se
encuentra que el trabajo neto realizado en el ciclo completo está dado por
)25.02(lnVpW ooneto .
Este resultado indica que en el ciclo completo el sistema gana energía por trabajo
realizado, ya que este es positivo. Esto también se puede ver en el diagrama
Vp , donde el área positiva en la expansión AB es mayor que el área negativa
en la compresión CD.
2. Resolver el ejemplo 6.7 para atm2po y lt8Vo . Dar las respuestas en el sistema
de unidades SI.
7.15.4. EXPANSION LIBRE
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134
Este es un proceso adiabático en el cual no se efectúa trabajo sobre el sistema, ni este
hace trabajo sobre los alrededores. Un fenómeno de este tipo se puede lograr
conectando un depósito que contiene gas con otro en el cual se ha hecho el vacío,
estando todo el sistema encerrado y aislado térmicamente, es decir, las paredes son
rígidas y adiabáticas, como se indica en la figura.
Si la llave se abre repentinamente, el gas se precipita o difunde en el vacío y se
expande libremente. Debido al aislamiento de calor, este proceso es adiabático, y
como las paredes de los depósitos son rígidas, no se realiza trabajo externo sobre el
sistema. Por consiguiente, en la primera ley de la termodinámica se tiene 0Q y
0W , de manera que 21 UU , para este proceso, esto es, la energía interna inicial
y final es la misma en la expansión libre.
La expansión libre difiere de los procesos que se han analizado hasta ahora, en que
no hay forma de llevarla a cabo lentamente, esto es, casi estáticamente, ya que una
vez abierta la llave no se tiene ningún dominio sobre el proceso. Mientras ocurre el
proceso, la presión, el volumen y la temperatura carecen de valores únicos
característicos del sistema en conjunto, es decir, el sistema pasa por estados de no
equilibrio, de manera que no se puede trazar la trayectoria seguida en el proceso,
mediante una curva en el diagrama Vp . En síntesis, únicamente es posible
representar los estados inicial y final como puntos en esa gráfica, ya que son estados
bien definidos como se ilustra en la figura. La expansión libre es un buen ejemplo de
un proceso irreversible, como se verá en la sección 6.18.
7.16. CAPACIDAD CALORIFICA MOLAR DE UN GAS IDEAL
La temperatura de una sustancia se puede variar bajo condiciones diversas, pues se
puede mantener la presión o el volumen constante, o permitir que ambas cantidades
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
135
físicas varíen de alguna manera definida. La cantidad de calor por mol, necesaria
para elevar la temperatura en una unidad, es diferente en cada caso, es decir, una
sustancia tiene muchas capacidades caloríficas molares diferentes. Sin embargo, las
correspondientes a volumen constante y presión constante son especialmente útiles, y
se designan, respectivamente, por VC y pC . En lo que sigue, la sustancia
correspondiente es un gas ideal.
Cuando en un gas ideal se varía la temperatura a volumen constante, no se realiza
trabajo, 0W , y la variación de energía interna es igual al calor suministrado,
esto es VQUd . Por el contrario, si se varía la temperatura a presión constante, el
volumen debe cambiar ya que de otra forma la presión no permanecerá constante, y
así el gas realiza trabajo, o sea que se cumple la expresión WUQ p d .
Por ello, para una variación dada de la temperatura, el suministro de calor en un
proceso a presión constante debe ser mayor, que en un proceso a volumen constante,
pues en el primer caso se debe suministrar una energía adicional que de cuenta del
trabajo W realizado en la expansión, en otras palabras, la capacidad calorífica
molar a presión constante es mayor que la capacidad calorífica a volumen constante.
De hecho, como se deducirá a continuación, para un gas ideal existe una relación
sencilla entre las dos capacidades caloríficas molares a volumen constante y presión
constante, que permite llegar a la misma conclusión.
Se encierra cierto número de moles de un gas ideal en un depósito provisto de un
émbolo y un control de temperatura, como se muestra en la figura anterior.
El depósito descansa sobre el control de temperatura, que permite variar la
temperatura del gas a voluntad, esto es, se puede elevar o reducir a voluntad, de
manera que es posible agregar o extraer calor del sistema. El gas tiene una presión p
tal que la fuerza hacia arriba
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136
sobre el é mbolo sin rozamiento, es exactamente la que puede equilibrar el peso del
émbolo y su carga m. El estado inicial del sistema se representa por el punto a en el
diagrama Vp de la segunda figura. En este diagrama se muestran dos isotermas,
correspondiendo todos los puntos de una de ellas a la temperatura T y todos los
puntos de la otra a la temperatura superior TT d .
Ahora se eleva la temperatura del sistema en una cantidad Td , aumentando
lentamente la temperatura con ayuda del control. A medida que se hace esto, se
aumenta la masa m de manera que no cambie el volumen V, y este proceso a
volumen constante lleva el sistema del estado inicial al estado final, que en la figura
equivale a llevar el sistema del estado a al estado c en el diagrama Vp .
Cabe recordar, que en forma diferencial, la primera ley de la termodinámica para un
proceso tiene la forma
WUQ d . (17)
Con TnCQ VV d y 0dVpW , la ecuación (6.17) se convierte en
TnCU V dd . (18)
Ahora se regresa el sistema a su estado inicial y nuevamente se eleva la temperatura
en una cantidad Td , pero dejando esta vez la masa sobre el émbolo sin alterar, de
manera que la presión p no varíe. En esta forma el proceso va del punto a al punto b
en el diagrama Vp de la segunda figura.
Aplicando la ecuación (6.17) a este proceso, donde TnCQ pp d y VpW d ,
se tiene
VpTnCU p ddd . (19)
Como los procesos de a a b y de a a c representados en la figura, se refieren al
mismo cambio de temperatura Td , también se deben referir al mismo cambio de
energía interna Ud , ya que en un gas ideal la energía interna depende solamente de
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
137
la temperatura, pues esta es totalmente cinética. Así, igualando las ecuaciones (18) y
(19) se obtiene
VpTnCTnC pV ddd . (20)
Además, mediante la ecuación de estado para un gas ideal, es posible transformar la
ecuación (6.20) en la forma
TnRTnCTnC Vp ddd ,
donde al simplificar, se llega finalmente a la relación
RCC Vp . (21)
Como se predijo inicialmente, la capacidad calorífica molar de un gas ideal a presión
constante es mayor que a volumen constante ( Vp CC ) y la diferencia entre ellas es
la constante universal de los gases. Aunque la ecuación (21) se ha deducido para un
gas ideal, es válida con bastante aproximación para muchos gases reales a presiones
moderadas (baja presión).
Con el fin de comparar los resultados de este modelo teórico, con los resultados
experimentales, se acostumbra definir la cantidad por medio de la relación
1V
p
C
C,
la cual permite conocer el valor teórico para diferentes gases reales, así
- Para gases monoatómicos donde RCV 23 , 671
35 . .
- Para gases diatómicos con RCV 25 , 41
57 . .
Tabla Nº 05. Capacidades caloríficas de algunos gases y los correspondientes valores
de .
TIPO GAS PC
(cal/mol K)
VC
(cal/mol K)
Vp CC VP CC /
Monoatómico He 4.97 2.98 1.99 1.67
Monoatómico Ar 4.97 2.98 1.99 1.67
Diatómico H2 6.87 4.88 1.99 1.41
Diatómico O2 7.03 5.03 2.00 1.40
Diatómico N2 6.95 4.96 1.99 1.40
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138
Diatómico Cl2 8.29 6.15 2.14 1.35
Poliatómico CO2 8.83 6.80 2.03 1.30
Poliatómico SO2 9.65 7.50 2.15 1.29
En el caso de gases poliatómicos, esta cantidad no presenta regularidad en el valor
teórico ni experimental, como se muestra en la tabla 05, donde adicionalmente se tienen
los valores experimentales para gases monoatómicos y diatómicos, medidos a
temperatura ambiente.
Ejemplo :
1. Encontrar, en función de op y oV , el calor neto transferido para el ciclo descrito en
el ejemplo 6.7.
Solución
El calor neto transferido corresponde a la suma de los calores transferidos en cada
uno de los procesos del ciclo, o sea
DACDBCABneto QQQQQ . (1)
Como en el proceso AB la temperatura permanece constante por ser un proceso
isotérmico, se tiene que la energía interna del sistema no cambia durante el proceso
ya que se trata de un gas ideal y en este caso la energía interna del sistema es
directamente proporcional a la temperatura. Así, la primera ley de la termodinámica
adquiere la forma
2lnooABAB VpWQ . (2)
Debido a que el calor transferido en este proceso es positivo, el sistema gana energía
absorbiéndola desde los alrededores.
En el proceso BC que es isocoro, y teniendo en cuenta que para un gas ideal
diatómico la capacidad calorífica molar a volumen constante es RC25
V , se
encuentra que el calor transferido está dado por
oo45
BC VpQ . (3)
Debido a que el calor es negativo, en este proceso el sistema pierde energía
emitiéndola hacia los alrededores.
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139
Como para un gas ideal diatómico la capacidad calorífica molar a presión constante
está dada por RC p 27 , el calor transferido en el proceso a presión constante CD, es
oo87
CD VpQ . (4)
Idéntico al caso anterior, el sistema emite energía hacia los alrededores ya que el
calor transferido es negativo.
Igual que en el proceso BC, en el proceso DA se satisface la relación RC25
V , por
lo que el calor transferido en este caso está dado por
oo815
DA VpQ , (5)
El cual es transferido desde los alrededores hacia el sistema ya que este es positivo.
Finalmente, mediante las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se encuentra que el calor
neto transferido en el ciclo es
)2502(lnooneto .VpQ . (6)
El resultado dado por la ecuación (6), al ser comparado con el obtenido en el ejemplo
6.7, indica que el calor neto transferido en el ciclo es igual al trabajo neto realizado
en él. Físicamente significa que el calor neto absorbido por la máquina térmica en el
ciclo, es empleado para realizar trabajo, es decir, se presenta una transformación de
energía térmica a energía mecánica.
Ejercicio 6.9.
Resolver el ejemplo 6.8 para atm2op y lt8oV . Dar las respuestas en el sistema
de unidades SI.
7.17. PROCESO ADIABATICO EN UN GAS IDEAL
Como el nombre lo indica, es un proceso en el que no fluye calor desde o hacia el
sistema, constituido en este caso por un gas ideal. Para que el proceso tenga lugar, el
sistema se debe rodear con una pared adiabática, o el medio externo se debe
mantener a la misma temperatura que el sistema. Sin embargo, se sabe que cuando
un proceso como la compresión o expansión de un gas se realiza muy rápidamente,
este es prácticamente adiabático, ya que el flujo de calor que entra o sale del sistema
requiere un tiempo finito para poderse propagar.
En un proceso adiabático se satisface la condición matemática 0Q y la primera
ley de la termodinámica, ecuación (16), se transforma en
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
140
WUd . (22)
Por consiguiente, cuando un gas ideal se expande adiabáticamente, el trabajo es
positivo y disminuye tanto su energía interna como la temperatura, ya que la energía
interna de este sistema únicamente depende de la temperatura. En caso contrario, la
compresión adiabática de un gas ideal aumenta la energía interna y también la
temperatura.
Para el análisis de procesos adiabáticos, es útil establecer relaciones matemáticas
entre el volumen y la temperatura, o el volumen y la presión. Con este fin, en primer
lugar se considera una pequeña variación en el estado del gas ideal variando la
temperatura en una cantidad infinitesimal Td y el volumen en Vd . Es posible
demostrar que la expresión
TnCU V dd , (23)
da la variación en la energía interna del gas ideal en cualquier proceso, sea adiabático
o no, teniendo como única excepción los procesos isotérmicos. Igualmente, el trabajo
realizado por el gas durante el proceso viene dado por
VpW d . (24)
Entonces, para el proceso adiabático, al reemplazar las ecuaciones (23) y (24) en la
ecuación (22), se encuentra que
VpTnCV dd . (25)
Para obtener una relación que contenga solamente las variaciones de temperatura y
volumen, se elimina la presión en la ecuación (25), utilizando la ecuación de estado
del gas ideal, lo que permite llegar a
.V
V
C
R
T
T
V
0dd
(6.26)
Como
1V
Vp
V C
CC
C
R,
es posible escribir la ecuación (26) en la forma
.V
V
T
T0
d)1(
d (27)
La ecuación (27) proporciona la relación entre dT y dV en un proceso infinitesimal.
Ahora, para una variación finita, se integran de manera indefinida los dos términos
de la ecuación (27), lo que permite obtener
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141
Constanteln)1(ln VT . (28)
Luego de aplicar propiedades de los logaritmos en la ecuación (28), se llega a la
primera relación buscada que tiene la forma
Constante1VT . (29)
Entonces, cuando en un proceso adiabático el gas ideal pasa del estado inicial
caracterizado por las variables termodinámicas ( 11 ,TV ) al estado final caracterizado
por las variables termodinámicas ( 22 , TV ), la ecuación (6.29), exige que
1
22
1
11 VTVT ,
donde las temperaturas están dadas en la escala absoluta, o lo que es igual, en la
escala Kelvin.
La ecuación (29) se puede transformar en una relación entre la presión y el volumen,
eliminando T, mediante la ecuación de estado del gas ideal. Como R y n son
constantes, es posible obtener
ConstanteVp . (30)
Así, entre un estado inicial caracterizado por las variables termodinámicas ( 11 ,Vp ) y
un estado final caracterizado por( 22 ,Vp ), la ecuación (30) indica que se cumple la
condición
2211 VpVp .
Como en un proceso adiabático y finito UW , es fácil calcular el trabajo
realizado por un gas ideal, cuando la temperatura cambia de 1T a 2T , empleado la
igualdad TCnU V . Cuando se lleva a cabo el procedimiento se obtiene la
expresión
)( 21 TTCnW V , (31)
donde 1T y 2T son, respectivamente, las temperaturas inicial y final.
Adicionalmente, si se conocen la presión o el volumen, se utiliza la ecuación de
estado de los gases ideales, para obtener
)(1
12211 VpVpW . (32)
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142
Se observa que si el proceso es una expansión, donde la temperatura desciende,
entonces 21 TT y 2211 VpVp por lo que el trabajo es positivo, como era de
esperarse. En caso contrario, si se trata de una compresión el trabajo será negativo.
Ejemplo.
Obtener, para un gas ideal, el valor de la capacidad calorífica molar a volumen
constante.
SOLUCIÓN
Como se sabe, la energía interna de un gas ideal depende de la temperatura en la
forma
nRTU23 .
Diferenciando esta expresión y comparando con la ecuación (23), se encuentra que la
capacidad calorífica molar de un gas ideal, a volumen constante, está dada por
RCV 23 ,
donde al reemplazar 11KmolJ3148.R , se obtiene el valor
11KmolJ47112.CV .
7.18. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES
Se considera un sistema constituido por una masa m de un gas real, en el interior de
un recipiente provisto de un émbolo y en un estado caracterizado por un volumen V,
una presión p y una temperatura T. En este estado de equilibrio las variables
termodinámicas permanecen constantes con el tiempo. Igualmente se supone que las
paredes son adiabáticas, a excepción de la base que es diatérmica. Ahora se coloca en
un gran depósito de ca
lor que se mantiene a la misma temperatura T, como se observa en la primera figura.
A continuación se pasa el sistema a otro estado de equilibrio, mediante un proceso
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
143
isotérmico, y de tal manera que el volumen se reduzca a la mitad. De las muchas
formas como puede llevar a cabo este proceso, a continuación se discuten dos casos.
Se introduce el émbolo con gran rapidez y se espera a que el equilibrio se restablezca
en el depósito. Mientras ocurre el proceso, el gas presenta turbulencia y tanto la
presión como la temperatura no están bien definidas.
Esto es, no se puede hacer una gráfica del proceso mediante una línea continua en el
diagrama Vp de la segunda figura. (a), ya que no es posible saber el valor de la
presión ni de la temperatura para un volumen determinado. El sistema pasa entonces
de un estado de equilibrio i a otro estado f, por una serie de estados de no equilibrio.
Un proceso de este tipo se llama irreversible, pues no es posible que en el proceso
inverso se siga una trayectoria que regrese el sistema a la situación inicial.
1. Partiendo del estado inicial i se introduce el émbolo lentamente, que se supone
carece de rozamiento. Esto se puede lograr agregando granos de arena en la parte
superior del émbolo, de manera que la presión, el volumen y la temperatura del
gas, sean en todo momento cantidades bien definidas. Al depositar primero unos
cuantos granos de arena en el recipiente que se encuentra sobre el émbolo, se
reducirá el volumen del sistema un poco y la temperatura tenderá a elevarse,
permitiendo con esto que el sistema se aleje del equilibrio sólo ligeramente. En
este proceso, se comunicará una pequeña cantidad de calor al gas y en un tiempo
corto el sistema alcanzará un nuevo estado de equilibrio, quedando la
temperatura nuevamente igual a la del depósito. Después de depositan otros
cuantos granos de arena sobre el émbolo, reduciendo algo más el volumen y
nuevamente se espera a que se restablezca el nuevo estado de equilibrio y así
sucesivamente. Mediante muchas repeticiones de este procedimiento, se reduce
finalmente el volumen a la mitad, de tal modo que en todo el proceso el sistema
nunca se encontrará en un estado que difiera notablemente de un estado de
equilibrio. Si se imagina que el proceso se efectúa mediante aumentos
consecutivos de presión todavía más pequeños, los estados intermedios se
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
144
alejarán aún menos del equilibrio. Aumentando indefinidamente el número de
cambios y disminuyendo correspondientemente la magnitud de cada cambio, se
llega a un proceso ideal en el cual el sistema pasará por una sucesión continua de
estados de equilibrio que es posible representar como una línea continua en un
diagrama p-V, como la mostrada en la segunda figura. (b). Necesariamente,
durante este proceso se ha transferido cierta cantidad de calor del sistema al
depósito. Procesos de este tipo reciben el nombre de reversibles, ya que mediante
un cambio diferencial del medio ambiente, se puede hacer que el sistema recorra
la trayectoria en sentido inverso. Así, en el proceso reversible, el émbolo se
mueve lentamente hacia abajo y la presión externa del mismo excede a la presión
que produce el gas sobre él sólo en una cantidad diferencial dp. Si en un instante
cualquiera se reduce la presión exterior en un valor también muy pequeño,
quitando unos cuantos granos de arena, de manera que la presión interna del gas
sea menor en un valor dp, el gas se expande en lugar de contraerse y el sistema
volverá a pasar por los estados equilibrio a través de los cuales acababa de pasar.
Aunque en la práctica todos los procesos termodinámicos son irreversibles, se
puede lograr la reversibilidad hasta el grado que se desee, mediante refinamientos
experimentales adecuados. El proceso estrictamente reversible es una abstracción
útil, que guarda con los procesos reales, una relación semejante a la que existe
con procesos en un gas ideal comparados con de los un gas real.
7.19. CICLO DE CARNOT
Asumiendo que se tiene como sistema el gas
real de la figura, se emplea la posibilidad de
efectuar cambios pequeños en el medio
ambiente del sistema, para llevar a cabo una
gran variedad de procesos. Se puede dejar que
el gas se expanda o se comprima, se le puede agregar o quitar energía al sistema en
forma de calor, es decir, se pueden hacer estas cosas y otras más de forma reversible
o irreversible. Igualmente, se pueden llevar a cabo una serie de procesos
consecutivos de tal forma que el sistema regrese a su estado inicial de equilibrio, esto
es, la trayectoria es cerrada y se conoce como un ciclo.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
145
Por otro lado, si todos los procesos que intervienen son reversibles, en este caso se
habla de un ciclo reversible.
La figura siguiente muestra un ciclo reversible en el diagrama p-V, ya que mediante
la curva abc se permite que el gas se expanda y el área bajo esta curva representa el
trabajo efectuado por el sistema durante tal expansión. Siguiendo la curva cda que
regresa el sistema a su estado inicial, se comprime el gas y el área bajo esta curva
representa el trabajo que se debe hacer sobre el sistema durante la compresión. Por
consiguiente, el trabajo neto efectuado por el sistema queda representado por el área
encerrada dentro de la curva y en este caso es positivo. Si se decide recorrer el ciclo
en sentido opuesto, es decir, expandiendo el gas según adc y comprimiéndolo según
cba, el trabajo neto efectuado sobre el sistema sería igual al del caso anterior pero
negativo.
Un ciclo reversible muy importante es el ciclo de Carnot, que determina el límite de
la capacidad para convertir calor en trabajo. El sistema consiste en una sustancia que
trabaja, tal como un gas, y el ciclo lo constituyen dos procesos isotérmicos
reversibles y dos procesos adiabáticos reversibles. La sustancia que trabaja, que para
concretar corresponde a un gas ideal, está en el interior de un recipiente que tiene una
base diatérmica y sus paredes y émbolo adiabáticos. También se proporciona, como
parte del medio ambiente, un receptáculo de calor en forma de un cuerpo de gran
capacidad calorífica a una temperatura T, Otro receptáculo de gran capacidad
calorífica a una temperatura 2T , y dos bases adiabáticas. Como se ilustra en lo que
sigue, se lleva a cabo el ciclo de Carnot mediante las cuatro etapas mostradas en la
figura.
Etapa I: El gas se encuentra en un estado de equilibrio inicial caracterizado por las
variables termodinámicas 1p , 1V , 1T . Cuando se coloca el recipiente en el depósito
de calor a la temperatura 1T el gas se expande lentamente hasta alcanzar los valores
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
146
2p , 2V , 1T , como se ilustra en la figura. Durante este proceso, el gas absorbe una
cantidad de calor 1Q a través de la base, mediante una expansión isotérmica, la cual
permite que el gas realice trabajo al levantar el émbolo y su carga.
De acuerdo con el diagrama p-V de la figura, este proceso isotérmico lleva el sistema
del punto a al punto b donde ba UU , ya que 1T es constante, o sea que 0U y
por la primera ley de la termodinámica WQ1 . Como 0W por tratarse de una
expansión, entonces 01Q y desde el depósito de calor entra la energía térmica 1Q
al sistema.
Etapa II: Se pone el recipiente en una base adiabática y se deja que el gas se
expanda lentamente hasta que las variables termodinámicas alcancen los valores 3p ,
3V , 2T . La expansión es adiabática ya que no entra ni sale calor del sistema, el gas
hace trabajo levantando el émbolo y la temperatura desciende a 2T , como se muestra
en la figura.
El proceso ocurre entre los puntos b y c del diagrama p-V de la figura, en el cual con
0Q , la primera ley de la termodinámica adquiere la forma WU . Como
0W entonces 0U y 0T , por lo que la temperatura disminuye a 2T .
Etapa III: Se coloca el recipiente en el depósito de calor a temperatura 2T ( 12 TT )
y se comprime el gas lentamente hasta alcanzar los valores 4p , 4V , 2T , figura.
Durante este proceso se transfiere al depósito de calor una cantidad de calor 2Q , a
través de la base. La compresión es isotérmica a la temperatura 2T , y el émbolo y su
carga hacen trabajo sobre el gas.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
147
En el diagrama p-V de la figura, el proceso permite que el sistema pase del punto c al
punto d, y como en este caso 0U , la primera ley de la termodinámica se
convierte en WQ2 . Como 0W , entonces 02Q y se presenta una
transferencia de energía térmica desde el sistema hacia los alrededores.
Etapa IV: Finalmente, se pone el cilindro en la base adiabática y se comprime el gas
lentamente hasta las condiciones iniciales 1p , 1V , 1T . Como la compresión es
adiabática no puede entrar ni salir calor del sistema, por lo que se debe hacer trabajo
sobre el gas, lo cual lleva a un incremento en la temperatura hasta 1T , como se
muestra en la figura.
Este proceso lleva el sistema desde el punto d hasta el punto a del diagrama p-V de la
figura. Como 0Q , la primera ley de la termodinámica se expresa en la forma
WU , donde 0W , es decir, 0U , y por consiguiente 0T , así que la
tem
peratura aumenta hasta el valor inicial 1T .
De este modo, el trabajo neto W realizado por el sistema durante el ciclo completo,
está representado por el área encerrada dentro de la curva abcda del diagrama p-V
de la figura. Por otro lado, la cantidad neta de calor Q, transferida al sistema durante
el ciclo, es 21 QQ , donde 1Q es la cantidad de calor absorbida en la etapa I y 2Q la
cantidad de calor emitida en la etapa III. Igualmente, como los estados inicial y final
son los mismos, en el ciclo completo no hay un cambio neto en la energía interna del
sistema, y de acuerdo con la primera ley de termodinámica, con 0U , se tiene
que WQ , es decir
21 QQW , (33)
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
148
para el ciclo completo, donde 1Q y 2Q se toman como cantidades positivas. La
ecuación (6.33) muestra como resultado del ciclo, que el sistema ha convertido en
trabajo parte del calor absorbido en la etapa I, y se puede obtener una cantidad
cualquiera de trabajo, la que se requiera, simplemente repitiendo el ciclo. Por
consiguiente, el ciclo de Carnot funciona como una máquina térmica.
Aunque se ha utilizado un gas ideal como la sustancia que trabaja, en general, la
sustancia puede ser cualquiera, si bien los diagramas p-V para otras sustancias serían
diferentes. Las máquinas térmicas comunes emplean vapor de agua o una mezcla de
combustible y aire o combustible y oxígeno, como sustancia de trabajo. Se puede
obtener calor mediante la combustión de un combustible, tal como gasolina o carbón,
o mediante el aniquilamiento de masa en el proceso de fisión nuclear, en los
reactores nucleares. Aun cuando las máquinas térmicas reales no funcionan con un
ciclo reversible, el ciclo de Carnot, que es reversible, da información útil respecto al
funcionamiento de una máquina térmica.
La eficiencia e de una máquina térmica cualquiera, se define como el trabajo neto
realizado por la máquina durante un ciclo, dividido por el calor absorbido en el ciclo,
es decir
absorbidoQ
We .
En el caso particular de una máquina Carnot, la eficiencia está dada por
1
2
1
21
1
1Q
Q
Q
Q
We , (34)
donde se ha utilizado la ecuación (6.33).
La ecuación (34) muestra que la eficiencia de máquina térmica, que funciona
mediante un ciclo de Carnot, es menor que uno (<100%) siempre que la cantidad de
calor 2Q expulsada en el escape no sea cero. La experiencia enseña que toda
máquina térmica arroja algo de calor durante el tiempo de escape y este calor
representa el calor absorbido por la máquina, el cual no se convirtió en trabajo
durante el ciclo.
Para el ciclo de Carnot, es posible demostrar que la eficiencia se puede expresar en la
forma
1
21
1
21T
TT
T
Te .
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
149
Este resultado muestra que el rendimiento o eficiencia de un motor de Carnot, sólo
depende de las temperaturas de los dos focos caloríficos, esto es, cuando la diferencia
entre ambas temperaturas es grande, el rendimiento es prácticamente la unidad, pero
cuando la diferencia es pequeña, la eficiencia es mucho menor que la unidad.
De igual forma, se puede optar por llevar a cabo el ciclo de Carnot empezando en un
punto cualquiera, tal como a en el diagrama p-V de la figura, y recorriendo cada
proceso en sentido opuesto al de las flechas en esa misma figura. Entonces, esto lleva
a extraer una cantidad de calor 2Q del depósito a la temperatura menor 2T y
suministrar una cantidad de calor 1Q al receptáculo de temperatura mayor 1T ; pero
para que esta situación se presente, algún agente externo debe hacer trabajo sobre el
sistema, en otras palabras, para el ciclo invertido se debe hacer trabajo sobre el
sistema, para poder extraer calor del receptáculo de temperatura más baja. Repitiendo
el ciclo invertido, se puede extraer cualquier
cantidad de calor de este receptáculo. Por consiguiente, el sistema trabaja como un
refrigerador ya que transporta calor de un cuerpo a baja temperatura, el
compartimento de refrigeración, a otro de mayor temperatura, la habitación, por
medio del trabajo que le proporciona la energía eléctrica aplicada, por medio de un
compresor.
A diferencia de un refrigerador, cualquier dispositivo que convierta calor en energía
mecánica se le denomina motor térmico.
En la figura se muestra el diagrama esquemático de un motor térmico, donde este
toma calor de un foco caliente a la temperatura 1T , convierte una parte en trabajo
mecánico, y la diferencia es cedida en forma de calor a un foco frío que se encuentra
a la temperatura 2T .
Por otro lado, en la figura se tiene el diagrama esquemático de un refrigerador o
frigorífico, donde el refrigerador toma calor de un foco frío a la temperatura 2T , el
compresor suministra trabajo mecánico y el calor se expulsa a un foco caliente a la
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
150
temperatura 1T . En una nevera, los alimentos y el hielo constituyen el foco frío, el
trabajo lo realiza el compresor y el foco caliente es el aire de la cocina.
7.20. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA Y ENTROPIA
La primera ley de la termodinámica establece que la energía se conserva en un
sistema aislado, lo que hace posible imaginar muchos procesos termodinámicos en
los que se conservaría la energía pero que nunca ocurren. Por ejemplo, cuando un
cuerpo caliente se pone en contacto con un cuerpo frío, no ocurre que el cuerpo
caliente se ponga más caliente y el frío se haga más frío. Tampoco se presenta una
situación en la que un estanque se congele repentinamente en un día de verano,
proporcionándole calor a los alrededores. Sin embargo, aunque ninguno de estos
procesos viola la primera ley de la termodinámica, no ocurren de una forma natural o
espontánea, es decir, sin ayuda de agentes externos.
Igualmente, la primera ley de la termodinámica no restringe la posibilidad de
convertir trabajo completamente en calor o calor completamente en trabajo, pues
solo tiene como condición que la energía se conserve en el proceso. Sin embargo, en
la práctica es posible convertir una cantidad dada de trabajo totalmente en calor, pero
no se ha encontrado un método que permita convertir una cantidad dada de calor
completamente en trabajo.
La segunda ley de la termodinámica se ocupa de situaciones como las anteriores, es
decir, qué procesos ocurren en la naturaleza y cuáles no tienen lugar, pero que sean
compatibles con la primera ley de la termodinámica. Aunque las ideas contenidas en
la segunda ley de la termodinámica puedan parecer sutiles o abstractas, en sus
aplicaciones son sumamente prácticas.
Ningún motor térmico tiene una eficiencia del 100%, es decir, ninguno de ellos
absorbe calor y lo convierte totalmente en trabajo, a pesar que la primera ley de la
termodinámica no impide que esto ocurra. La imposibilidad de convertir una
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
151
cantidad dada de calor completamente en energía mecánica, constituye el
fundamento del siguiente enunciado de la segunda ley de la termodinámica
Es imposible que un sistema experimente un proceso termodinámico en el que
absorba calor de un foco a una temperatura determinada y lo convierta
completamente en trabajo mecánico, finalizando el proceso en el mismo estado
inicial.
En otras palabras, ningún motor térmico puede tener una eficiencia igual a la
unidad.
El hecho que la energía mecánica se pueda disipar completamente en forma de calor,
pero que el calor no se pueda convertir totalmente en trabajo, expresa una
unilateralidad esencial de la naturaleza. Es por ello que todo proceso natural y
espontáneo se puede estudiar a la luz de la segunda ley de la termodinámica, y en
todos los casos se encuentra esta peculiar unilateralidad. El calor espontáneamente
fluye del cuerpo más caliente al más frío; los gases espontáneamente se difunden
desde una región de alta presión a otra de baja presión; los gases y los líquidos por sí
mismos tienden siempre a mezclarse y no a separarse; la sal se disuelve en agua, pero
una disolución salina no se descompone por sí misma en sal pura y agua pura; el
hierro se oxida; la gente envejece.
Todos estos son ejemplos de procesos irreversibles que ocurren de forma natural en
una sola dirección, y por su unilateralidad, expresan la segunda ley de la
termodinámica. En termodinámica también se observa que un proceso irreversible es
un proceso de desequilibrio. Un flujo de calor irreversible va acompañado de la
pérdida del equilibrio térmico, la expansión libre de un gas implica estados que no
están en equilibrio térmico, etc. En todos los casos, el proceso ocurre en el sentido
que tienda a llevar el sistema hacia un nuevo estado de equilibrio.
El análisis de los frigoríficos, constituye el fundamento de otro enunciado de la
segunda ley de la termodinámica. El calor fluye espontáneamente de los cuerpos
calientes a los fríos y nunca en sentido contrario. Un frigorífico lleva calor de un
cuerpo frío a uno caliente, pero su funcionamiento depende del suministro de energía
mecánica en forma de trabajo, es decir, depende de un agente externo. Generalizando
lo anterior, se tiene
Es imposible que en cualquier proceso se tenga como único resultado la
transferencia de calor desde un cuerpo frío a uno caliente.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
152
En otro enunciado equivalente, dado en función de la máquina térmica más eficiente,
se afirma
Ningún motor que funcione entre dos temperaturas dadas puede ser más eficiente
que un motor de Carnot operando entre las mismas dos temperaturas.
En este punto se puede afirmar que todo proceso natural, sea mecánico, químico,
eléctrico o biológico, se debe desarrollar de acuerdo con la primera y segunda ley de
la termodinámica.
Para poder expresar cuantitativamente la segunda ley de la termodinámica, es
necesario definir una nueva cantidad física que de cuenta de ello. Así como la ley
cero de la termodinámica está relacionada con el concepto de temperatura T y la
primera ley de la termodinámica se encuentra relacionada con el concepto de energía
interna U, la segunda ley de termodinámica está directamente relacionada con una
variable termodinámica llamada entropía S.
La entropía está directamente relacionada con la irreversibilidad y direccionalidad de
los procesos naturales, tales como flujo calorífico o la conversión de trabajo en calor,
y como se verá en lo que sigue, cualquier proceso irreversible siempre debe ir
acompañado de un aumento en la entropía.
Para definir la entropía, se retoma la definición de energía interna. Cuando un
sistema pasa de un estado a otro, experimentalmente se encuentra que la diferencia
entre el calor suministrado al sistema y el trabajo realizado por el sistema, WQ ,
tiene el mismo valor para todas las trayectorias. Esto hizo posible introducir el
concepto de energía interna, donde en todo proceso termodinámico la variación de
energía interna está dada por la cantidad WQ .
La variación de entropía se puede definir de manera similar, y para ello se considera
un número cualquiera de transformaciones intermedias que lleven un sistema de un
estado a otro. De momento solamente se consideran procesos reversibles o en
equilibrio, condición que no era necesaria al definir la energía interna. Si se designa
la entropía por el símbolo S, se define la variación de entropía S en cualquier
proceso reversible que conduzca un sistema del estado 1 al estado 2, como
2
1T
QS , (35)
Aplicable únicamente en procesos reversibles.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
153
Es decir, el proceso reversible se representa como una secuencia de pasos
infinitesimales, en cada uno de los cuales hay una transferencia de calor Q a la
temperatura absoluta T, y luego se suman los cocientes TQ / para el proceso
completo.
Utilizando la segunda ley de la termodinámica se puede demostrar que el cambio de
entropía S definido por la ecuación (35), tiene el mismo valor para todos los
procesos reversibles que conduzcan del estado 1 al estado 2. Por lo tanto, la entropía
del sistema tiene un valor definido en cualquier estado del sistema, esto es, depende
sólo de ese estado, y en un proceso irreversible o reversible varía en una cantidad que
está determinada únicamente por los estados inicial y final, ya que no depende de la
trayectoria seguida para ir de un estado a otro.
Ahora, si el proceso es isotérmico T puede salir de la integral, y la ecuación (35) se
convierte en
T
QS ,
que solo es aplicable en procesos isotérmicos reversibles.
De acuerdo con la definición dada por la ecuación (35), la entropía tiene unidades de
energía sobre temperatura, es decir, 1KJ en unidades mecánicas o
1Kcal en
unidades térmicas.
Desde un punto de vista microscópico, la entropía se puede interpretar en función del
desorden o aleatoriedad de un sistema. Así, suministrar calor a una sustancia implica
aumentar su desorden, pues el movimiento molecular se hace más aleatorio. De igual
modo, durante una expansión libre la entropía de un gas aumenta, al hacerlo la
aleatoriedad en la posición de las moléculas.
Una de las características que distingue a la entropía de otras cantidades como la
energía, el momento lineal y el momento angular, es que no hay un principio de
conservación de la entropía, sino que en realidad sucede lo contrario, esto es, la
entropía de un sistema aislado puede variar, pero nunca parece disminuir. De hecho,
la entropía aumenta en todos los procesos naturales cuando se incluyen todos los
sistemas que toman parte en el proceso. En un proceso ideal o completamente
reversible, que implique solamente estados de equilibrio, no hay variación de
entropía; pero todos los procesos naturales o irreversibles tienen lugar con aumento
de entropía.
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
154
Un proceso natural que comienza en un estado de equilibrio y termina en otro,
siempre ocurre en el sentido que haya aumento de la entropía del sistema más el
medio ambiente.
Para los procesos reversibles, la entropía del sistema más el medio ambiente
permanece inalterada, por ello, en un proceso adiabático reversible
if SS ,
y si se trata de un proceso adiabático irreversible
if SS ,
donde fS y iS corresponden, respectivamente, a la entropía de los estados final e
inicial del sistema.
La mezcla de sustancias a diferentes temperaturas, o el flujo de calor desde una
temperatura superior a una inferior, son ejemplos de procesos naturales o
irreversibles. Cuando se incluyen todas las variaciones de entropía que se presentan
en un proceso, los aumentos de entropía son siempre mayores que las disminuciones,
a diferencia de un proceso reversible, donde los aumentos y las disminuciones son
iguales. Por consiguiente, el principio general que se considera como otro enunciado
de la segunda ley de la termodinámica, establece
Cuando se tienen en cuenta todos los sistemas que toman parte en un proceso, la
entropía aumenta o permanece constante.
En otras palabras, No es posible que ocurra un proceso en el que la entropía
diminuya, cuando se incluyen todos los sistemas que forman o toman parte en él.
¿Qué importancia tiene el aumento de entropía que se presenta en todos los procesos
naturales? La respuesta o al menos una respuesta, es que representa la medida en que
el universo se desordena o se hace más aleatorio en un proceso. Considerando una
mezcla de agua caliente y fría, se puede utilizar el agua caliente y la fría como los
focos a alta y baja temperatura de un motor térmico, y en el proceso de extraer calor
del agua caliente para cederlo al agua fría se podría haber obtenido trabajo mecánico.
Pero una vez que el agua fría y el agua caliente se han mezclado y se ha alcanzado
una temperatura uniforme, se pierde la posibilidad de convertir calor en trabajo
mecánico, y además, se pierde de forma irrecuperable ya que el agua tibia nunca se
separará espontáneamente en una parte caliente y en otra fría. Por supuesto, al
mezclar el agua caliente y la fría no hay disminución de energía, y lo que se pierde
en el proceso de la mezcla no es energía sino la posibilidad de que una parte del flujo
Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ
155
calorífico que sale del agua caliente se convierta en trabajo. Por consiguiente, cuando
aumenta la entropía, la energía se vuelve más inaprovechable y se dice que el
universo se ha hecho más aleatorio o que se ha degradado. Este es el auténtico
significado del término irreversible.
Por otro lado, la tendencia en todos los procesos naturales, como el flujo calorífico,
la mezcla de líquidos, la difusión de gases, etc., es la de alcanzar en todos los puntos
una uniformidad de temperatura, presión, composición, etc. Es posible imaginar un
futuro lejano en el que, debido a estos procesos, el universo completo haya alcanzado
un estado de uniformidad absoluta en todas partes. Si se alcanzara tal estado, pese a
no haber variado la energía del universo, todos los procesos físicos, químicos y
presumiblemente biológicos, cesarían. Este destino hacia el cual parece que se dirige,
se ha descrito como la muerte térmica del universo.
Finalmente, con lo analizado en esta unidad es posible describir el comportamiento
de un sistema, mediante los cambios que se pueden presentar en las variables
termodinámicas volumen, presión, temperatura, energía interna y entropía, cuando el
sistema pasa de un estado a otro mediante la transferencia de calor o la realización de
trabajo.
Ejemplo 6.10.
Calcular el cambio de entropía del sistema completo considerado en el ejemplo 6.3.
Solución
g100OH2m , K303OHo, 2
T , g500Pbm , K55526Pbo, .T , K333eqT .
Para hallar el cambio de entropía una vez que ha ocurrido el proceso en el sistema
agua-plomo, es necesario encontrar, por separado, el cambio de entropía de cada una
de las partes del sistema, es decir, del agua y del plomo.
Cambio de entropía del plomo, donde se supone que el proceso es isobárico
reversible
T
QS , (1)
donde para el proceso isobárico, es válida la expresión
TcmQ dPbPb . (2)
Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), e integrando, se llega finalmente a
que la entropía del plomo disminuye en el valor
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156
1
Pb Kcal107.S . (3)
Cambio de la entropía del agua, donde de nuevo se supone un proceso isobárico
reversible, esto es
TcmQ dOHOH 22. (4)
Reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (1) y luego de integrar, es posible
encontrar que el aumento en la entropía del agua es
1
OH Kcal4492
.S . (5)
Como la entropía es una cantidad aditiva, el cambio de la entropía en el sistema
completo se obtiene sumando los cambios de cada una de sus partes, esto es, con
ayuda de las ecuaciones (3) y (5) se encuentra
1Kcal342.S .
Este resultado muestra que la entropía del sistema completo aumenta, situación
esperada ya que se trata de un proceso irreversible, como lo exige la segunda ley de
la termodinámica.
Ejercicio.
Calcule el cambio de entropía para el sistema completo tratado en el ejercicio 6.3.
Analice el resultado.
Ejemplo.
Hallar el cambio de entropía en el sistema completo analizado en el ejemplo 6.4.
Solución
g50OH2m , K303OHo, 2
T , g7716h .m , K270ho,T , K275eqT .
Cambio en la entropía del agua, suponiendo un proceso isobárico reversible
T
QS , (1)
Con
TcmQ dOHOH 22. (2)
Mediante las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que la disminución en la entropía del
agua está dada por
1
OH Kcal8542
.S . (3)
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157
Como el hielo sufre un cambio de fase, es necesario considerar tres cambio en la
entropía de la masa inicial de hielo hm .
Sea h,1S el cambio de entropía al pasar el hielo de C3 o hielo a C0 o
hielo. En
este caso, se supone un proceso isobárico reversible, esto es
TcmQ dhhh,1 . (4)
Con ayuda de las ecuaciones (1) y (4), este cambio de entropía adquiere el valor
1
h1, Kcal0930.S . (5)
El segundo cambio en la entropía de la masa hm , se presenta cuando el hielo se
funde. Lo cual ocurre a C0 o, esto es, se supone un proceso isotérmico reversible,
donde el calor transferido corresponde al obtenido en el ejemplo 6.4, dado por
hf,hh,2 LmQ . (6)
En este caso, la ecuación (1) adquiere la forma
T
QS
h,2
h2, . (7)
De este modo, las ecuaciones (6) y (7), permiten encontrar que el aumento en la
entropía de la masa hm debido a la fusión, es
1
h,2 Kcal914.S . (8)
El tercer cambio en la entropía de la masa hm ocurre cuando esta pasa de C0 o agua
a C2 o agua, donde se supone un proceso isobárico reversible y se encuentra que la
entropía aumenta en el valor
1Kcal120h,3 .S . (9)
Mediante la propiedad aditiva de la entropía y con ayuda de las ecuaciones (3), (5),
(8) y (9), el cambio en la entropía para el sistema completo es
1Kcal27S ,
resultado que está de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica por tratarse de
un proceso irreversible.
Ejercicio.
Encontrar el cambio de entropía en el sistema completo tratado en el ejercicio 6.4.
Analice su resultado.
Ejercicio.
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158
Para el ciclo del ejemplo 6.7, encuentre el cambio de entropía
a) Para cada proceso del ciclo.
b) Para el ciclo completo. ¿Está su resultado de acuerdo con lo esperado? ¿Por qué?
PREGUNTAS
1. El sistema A se encuentra a una temperatura AT y el sistema B a una temperatura
diferente BT . Suponga que los sistemas se separan mediante una pared
diatérmica.
a) ¿El estado térmico de estos sistemas cambia indefinidamente mientras
interactúan? ¿Por qué?
b) Cuando los sistemas alcanzan un estado térmico común, ¿qué variable
termodinámica caracteriza dicho estado?
c) ¿Qué se puede afirmar respecto al valor final que adquiere esta variable
termodinámica? ¿Por qué?
d) Si los sistemas consisten en masas iguales de la misma sustancia, ¿cómo se
determina dicha variable termodinámica?
2. Un sistema pasa de un estado inicial a un estado final debido a un proceso
termodinámico. Para analizar dicho proceso es necesario considerar la cantidades
físicas p , V , T , Q , W , U , S y n . ¿Cuáles de estas cantidades física pueden
sufrir cambios al pasar el sistema de un estado a otro? ¿Por qué?
3. Un sistema se somete a un proceso isotérmico. En este caso, ¿es posible que la
presión y el volumen aumenten simultáneamente? ¿Por qué?
4. A un sistema se le incrementa la temperatura mediante un proceso
termodinámico determinado. Para generar este cambio en la temperatura, ¿es
necesario transferir energía en forma de calor al sistema? Explique su respuesta.
APÉNDICE
APENDICE A: NOTACION CIENTIFICA
1. NOTACIÓN DE ÍNDICES - POTENCIAS DE 10
El índice de un número te dice cuántas veces usas el número en una multiplicación.
Ejemplo 1: 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000
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159
Con palabras: 103 se podría llamar "10 a la tercera potencia", "10 a la 3" o
simplemente "10 cubo"
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta
notación, pero las potencias de 10 tienen una utilidad especial...
1.1. POTENCIAS DE 10: Las "potencias de 10" son una manera muy útil de
escribir números muy grandes.
En lugar de muchos ceros, puedes poner qué potencia de 10 necesitas para hacer
todos esos ceros
Ejemplo: 5.000 = 5 × 1.000 = 5 × 103
Cinco mil es 5 veces mil. Y mil es 103. Así que 5 × 10
3 = 5.000
¿Ves cómo 103 es una manera cómoda de escribir 3 ceros?
Científicos e ingenieros (quienes a veces usan números muy grandes o muy
pequeños) encuentran muy útil esta manera de escribir números como:
9,46 x 1015
metros (la distancia que la luz viaja en un año), o
1,9891 x 1030
kg (la masa del Sol).
Así evitan tener que escribir muchos ceros. Se suele llamar notación científica, o
forma estándar.
Aunque parezca difícil al principio, hay un sencillo "truco": El índice de 10 dice
cuántas posiciones se mueve el punto decimal a la derecha.
Ejemplo: ¿Cuánto es 1,35 × 104 ?
Lo puedes calcular así: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10.000 = 13.500
1.2. POTENCIAS NEGATIVAS DE 10
¿Negativas? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir!
Una potencia negativa significa cuántas veces se divide por el número.
¡Los exponentes negativos van en la dirección contraria!
Ejemplo: 5 × 10-3
= 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005
Sólo tienes que recordar que para potencias negativas de 10:
Para las potencias negativas de 10, mueve el punto decimal a la izquierda.
Ejemplo: ¿Cuánto es 7,1 × 10-3?
Bueno, en realidad 7,1 x (1/10 ×
1/10 ×
1/10) = 7,1 x 0,001 = 0,0071
RESUMEN
El índice de 10 dice cuántas veces se mueve el punto decimal. Positivo es a la
derecha, negativo a la izquierda. Ejemplo:
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160
Número En
notación
científica
Con palabras
Potencias
positivas
5.000 5 × 103 5 miles
Potencias
negativas
0,005 5 × 10-3 5 milésimos
APENDICE B: REDONDEO DE NÚMEROS
2. ¿Qué es "redondear"?
Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor
parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.
Ejemplo: 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70
que de 80.
1.1. Método normal
Hay varios métodos para redondear, pero aquí sólo vamos a ver el método normal, el
que más se usa...
Cómo redondear números
Decide cuál es la última cifra que queremos mantener
Auméntala en 1 si la cifra siguiente es 5 o más (esto se llama redondear arriba)
Déjala igual si la siguiente cifra es menos de 5 (esto se llama redondear abajo)
Es decir, si la primera cifra que quitamos es 5 o más, entonces aumentamos la última
cifra que queda en 1.
1.1.1. Redondear decimales
Primero tienes que saber si estás redondeando a décimas, centésimas, etc. O a
lo mejor a "tantas cifras decimales". Así sabes cuánto quedará del número
cuando hayas terminado.
Ejemplos Porque ...
3,1416 redondeado a las centésimas es 3,14 ... la cifra siguiente (1) es menor que 5
1,2635 redondeado a las décimas es 1,3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más
1,2635 redondeado a 3 cifras decimales es 1,264 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más
1.1.2. Redondear números enteros
Si quieres redondear a decenas, centenas, etc. tienes que sustituir las cifras que
quitas por ceros.
Ejemplos Porque ...
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161
134,9 redondeado a decenas es 130 ... la cifra siguiente (4) es menor que 5
12.690 redondeado a miles es 13.000 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más
1,239 redondeado a unidades es 1 ... la cifra siguiente (2) es menor que 5
1.1.3. Redondear a cifras significativas
Para redondear "tantas" cifras significativas, sólo tienes que contar tantas de
izquierda a derecha y redondear allí. (Nota: si el número empieza por ceros
(por ejemplo 0,006), no los contamos porque sólo se ponen para indicar lo
pequeño que es el número).
Ejemplos Porque ...
1,239 redondeado a 3 cifras significativas es 1,24 ... la cifra siguiente (9) es 5 o más
134,9 redondeado a 1 cifra significativa 100 ... la cifra siguiente (3) es menor que 5
0,0165 redondeado a 2 cifras significativas es 0,017 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más
APENDICE C: LO GARITMO S
1. Def inic ió n de logari tmo:
De la definición de loga ri tmo podemos dedu c ir :
El logar itmo en ba se a de u na potencia en ba se a es igua l a l exponente.
2 . Pro pie dade s de lo s log ar itmo s
El logar i tmo de u n produ cto es igua l a la su ma de los logar itmos de los
fa ctores.
El logar itmo de u n cociente es igua l a l logar itmo del d ividendo menos
el loga ri tmo del d ivi sor .
El loga ri tmo de u na potencia es igua l a l produ cto del exponente por e l
logar itmo de la ba se.
El logar itmo de u na ra íz es igua l a l cociente ent r e el logari tmo del
ra dica ndo y el índice de la ra íz.
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162
Ca mbio de ba se:
APENDICE D: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo:
α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo
arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de
los lados de este triángulo rectángulo que se usará en
el sucesivo será:
2. Funciones trigonométricas de ángulos notables
β 0° 30° 37 45° 53 60° 90°
Sen 0 1/2 3/5
4/5
1
Cos 1
4/5
3/5 1/2 0
Tan 0
3/4 1 4/3
∞
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163
3. Relación con la exponencial compleja
Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las
funciones trigonométricas:
4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Relaciones básicas
Relación pitagórica
identidad de la razón
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN FUNCIÓN DE LAS OTRAS CINCO.
Función Sen Cos Tan Csc Sec Cot
Sen
Cos
Tan
Csc
Sec
cot
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164
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
;
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Fórmula del ángulo doble
Fórmula el ángulo triple
Fórmula del ángulo medio
Identidades para la reducción de exponentes
Sen
o
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165
Coseno
Otros
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
;
;
Paso de Suma a Producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se
tiene:
APENDICE E: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En genera l para r esolver u na ecua ción de primer gra do debemos segui r
los sigu ientes pa sos:
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166
1º Qu i tar paréntesi s .
2º Qu i tar denomina dores.
3º Agru par los t érminos en x en u n miembro y los términos
independientes en el o tro .
4º Redu ci r los t érminos semeja ntes.
5º Despeja r la incógni ta .
Eje mplos:
1 .
Agru pa mos los t érminos semeja ntes y los indepe ndientes, y
su ma mos:
2.
Qui ta mos paréntesi s:
Agru pa mos t érminos y su ma mos:
Despeja mos l a incógnita :
3.
Qui ta mos denomina dores, para el lo en pr imer lu ga r ha l l amos el
mínimo comú n múl tip lo .
;
Qui ta mos paréntesi s , a gru pa mos y su ma mos los t érminos
semeja ntes:
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167
Despeja mos l a incógnita :
4.
Qui ta mos paréntesi s y simpli fi ca mos:
Qui ta mos denomina dores, a gru pa mos y su ma mos los t érminos
semeja ntes:
5.
Qui ta mos corchete:
Qui ta mos paréntesi s:
Qui ta mos denomina dores:
Qui ta mos paréntesi s:
Agru pa mos t érminos:
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168
Su ma mos:
Dividimos los dos miembros por : −9
APENDICE F: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecu a ción de segu ndo gra do es toda expresión de la forma :
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0
Se r esu elve media nte la s iguiente fórmu la:
Ejm:
Ec uacio ne s de seg undo grado incom ple tas
Se dice qu e u na ecua ción de segu ndo gra do es inco mple ta c uando
alguno de lo s coe fic ie ntes , b o c , o ambos , son ig uale s a c e ro.
Resoluc ió n de ec uac io nes de seg undo gr ado inco mple tas
1º. ax2 = 0
La soluc ió n e s x = 0 .
Eje mplo:
2º. ax2 + bx = 0
Ext ra emos fa ctor comú n x:
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169
;
Ejemplo:
3º. ax2 + c = 0
Despeja mos:
Ejemplo:
Estudio de las soluc io nes de la ec uac ió n de 2º gr ado
ax2 + bx +c = 0
b2 − 4ac se l la ma DI S CRI M I NA N TE de la ecua ción y permite a verigua r en
ca da ecua ción el nú mero de solu ciones. Podemos di st ingu ir t r es ca sos:
1º. b2 − 4ac > 0
La ec uac ión t ie ne dos soluc io nes , que son números reales
di st intos .
Ejemplo:
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170
2º. b2 − 4ac = 0
La ec uac ió n tie ne una soluc ió n do ble .
E jemplo:
3º. b2 − 4ac < 0
La ec uac ió n no t ie ne soluc io nes re ales .
E jemplo:
APENDICE G: TABLA DE DERIVADAS
APENDICE H: INTEGRALES
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176
APENDICE I: TABLA DE CONSTANTES FISICAS
CONSTANTES FÍSICAS
Cantidad Símbolo Valor
Carga elemental e 1,602 x 10-19
C
Constante de Boltzman kB 1,380 x 10-23
J/K
Constante de Coulomb k 8,987 x 109 N m
2/C
2
Constante de Faraday F 9,648 x 104 C/mol
Constante de los gases R 8,314 J/K mol
Constante gravitatoria G 6,672 x 10-11
N m2/kg
2
Constante de Planck h 6,626 x 10-34
J s
Constante de Rydberg R 1,097 x 107 m
-1
Constante de Stefan-Boltzman σ 5,670 x 10-8
W/m2 K
4
Electrón-voltio eV 1,602 x 10-19
J
Energía del electrón en reposo mec2 0,510 MeV
Energía del neutrón en reposo mnc2 939,566 MeV
Energía del protón en reposo mpc2 938,272 MeV
Longitud de onda Compton λC 2,426 x 10-12
m
Magnetón de Bohr μB 9,274 x 10-24
J/T
Masa del electrón en reposo me 9,109 x 10-31
kg
Masa del neutrón en reposo mn 1,674 x 10-27
kg
Masa del protón en reposo mp 1,672 x 10-27
kg
Momento magnético del electrón μe 9,284 x 10-24
J/T
Momento magnético del neutrón μn 9,662 x 10-27
J/T
Momento magnético del protón μp 1,410 x 10-26
J/T
Número de Avogadro NA 6,022 x 1023
mol-1
Permeabilidad del vacío μ0 1,256 x 10-6
T m/A
Permitividad del vacío ε0 8,854 x 10-12
C2/N m
2
Radio de Bohr r1 5,291 x 10-11
m
Unidad de masa atómica u 1,660 x 10-27
kg
Velocidad de la luz en el vacío c 2,997 x 108 m/s
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177
OTRAS CONSTANTES
Cantidad Valor
Aceleración de caída libre 9,81 m/s2
Calor de fusión del agua 333,5 kJ kg-1
Calor de vaporización del agua 2,257 MJ kg-1
Densidad del agua (20º C y 1atm) 1,00 x 103 kg m
-3
Densidad del aire (0º C y 1atm) 1,29 kg m-3
Distancia media Tierra-Luna 3,84 x 108 m
Distancia media Tierra-Sol 1,496 x 1011
m
Masa de la Luna 7,36 x 1022
kg
Masa de la Tierra 5,98 x 1024
kg
Masa del Sol 1,99 x 1030
kg
Radio de la Tierra 6.370 km
Velocidad de escape en la superficie de La Tierra 11,2 km s-1
Velocidad del sonido en aire seco (CN) 331 m s-1
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178
BIBLIOGRAFÍA
BASICA:
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ISBN: 9701012968 (530/S42/T2/E2)
TIPLER, Paúl. Física Vol. I. 2da. Ed. Reverte, España, 2001. ISBN: 84-291-4356-4
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BLATT, Frank J. Fundamentos de Física, Vol. 2. 3 a
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HALLIDAY D., RESNICK R KRANE K. Fìsica V2. 4ta. Ed. Edit. CESCA. 2001.
ISBN: 0-471 – 548004 – 9 (530/418/V2/E1). Pág. 5 – 15.
COMPLEMENTARIA:
CERNUSCHI, Félix. Experimento, Razonamiento y creación en Física. The Pan
American Union, Whashinton, DC,1969. (530/C45/E2).
ALVARENGA ALVARES, Beatriz. Física Experimental con Experimentos
sencillos. Editorial Harla S. A., México, 1985. (530/A45).