modelos_dinamicos

Modelos de Regresin Dinmica

Proyecto e-Math 1 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)

MODELOS DE REGRESIN DINMICA

Autores: Luis Manzanedo del Hoyo ([email protected]), ngel Alejandro Juan Prez ([email protected]), Renatas Kizys ([email protected]).

ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________ INTRODUCCIN ___________________

Las formulaciones realistas de los modelos econmicos requieren la insercin de variables explicativas retardadas. As la inversin en bienes de equipo que se realiza en el perodo actual influir en la produccin de ste y en la de aos posteriores, tambin se da el caso contrario en que la produccin de un perodo est afectada por el gasto en bienes de equipo realizado con anterioridad. Este mismo fenmeno se puede observar a nivel microeconmico, al analizar la influencia que sobre las ventas de una empresa tienen los gastos en publicidad realizados en un perodo, stos en general suelen influir en las ventas de perodos posteriores.

Representacin de Modelos Dinmicos

Endgena correlacionada con la perturbacin

Concepto de Estabilidad


Modelos con retardos en lasvariables exgenas

Modelos con retardos en las variables exgenas y en las endogenas

Multiplicadores de Impacto

Estimacin MCO Estimacin MCO Endgena no

correlacionada con la perturbacion

Estimacin por Variables

Instrumentales



OBJETIVOS ________________________

Entender en qu consisten los Modelos de Regresin Dinmica (MRD) y su importancia en la economa aplicada.

Conocer las causas econmicas por las que se presentan los MRD en economa.

Analizar el problema de los MRD, y comprender los conceptos de estabilidad,

multiplicadores y retardo medio.

Estudiar el problema de estimacin de los MRD en las diferentes clases de estos modelos

Aprender a estimar, con ayuda de Minitab, MRD con especial atencin al mtodo de Mnimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E).

CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________

Aparte de estar iniciado en el uso de Excel y del paquete estadstico Minitab, resulta muy conveniente haber ledo con profundidad los siguientes math-blocks: Regresin Lineal Mltiple Autocorrelacin Multicolinealidad

CONCEPTOS FUNDAMENTALES_______________________________________ Representacin de los modelos dinmicos

En esta presentacin diferenciaremos entre los casos en que: (1) en las variables explicativas no hay valores retardados de la endgena, (2) existen retardos de la endgena como variables explicativas.

1.- Variables explicativas con retardos de la variable exgena

La forma de este modelo ser:

tststtt uXXXY +++++= ....110

Siendo el trmino independiente y tu un proceso de ruido blanco. Este tipo de modelos se les denomina modelos de retardos distribuidos de orden s RD(s)- Para facilitar el manejo de estos modelos se define el operador de retardo, L, por:

1= tt XLX ktt

k

tk XLXLXL == ...........

Aplicando el operador de retardo al modelo anterior se tendr :

tts

sttt uXLLXXY +++++= ....10 = ttss uXLL +++++ )....( 10 ttt uXLDY ++= )( (1)

siendo )(LD el polinomio de orden s, ss LLLD +++= ....)( 10



2.- Variables explicativas con retardados de la variable endgena Este modelo quedara en la forma:

tptpttt YYXY +++++= ....110 se les denomina modelos autorregresivos de orden p AR(p)- 3.- Variables explicativas con retardados de la variable exgena y endgena Tambin puede ocurrir que los valores previos de la variable endgena influyan en su nivel actual. Este hecho da lugar a un modelo dinmico ms general, representado por:

tptptqtqttt YYXXXY ++++++++= ........ 11110

en el que aplicando el operador de retardos y siguiendo los pasos anteriores, se tendr:

ttt XLBYLA += )())(( (2)

donde pp LLLA +++= ....1)( 1 ; qq LLLB +++= ....)( 10

Si en el modelo (2) dividimos por A(L) se obtiene un modelo similar a la expresin (1)

ttt uXLALBY ++=

)()( (3)

con )(LA= ; tt uLA )(=

Comparando los modelos (1) y (3) se tiene que: )()()(

LALBLD =

Este tipo de modelos se les denomina modelos autorregresivos y retardos distribuidos de orden (p,q) AD(p,q)-

4.-hiptesis de Koyck La hiptesis de Koyck nos permite pasar de un modelo RD(), en el cual tendramos que estimar un nmero infinito de parmetros, a otro AR(1), mucho ms manejable. Vemos cmo: Partimos de un modelo RD():

ttttt u...XXXY +++++= 22110 La hiptesis de Koyck consiste en suponer que existe un valor real , con 0



Interpretacin de los modelos dinmicos

Un modelo es estable cuando cumple alguna de las dos condiciones siguientes: 1.- Ante una variacin puntual en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente retorna a su valor de equilibrio. 2.- Ante una variacin permanente en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente evoluciona hacia un nuevo valor de equilibrio. Se demuestra que para que un modelo dinmico sea estable las races del polinomio A(L) deben ser en valor absoluto mayores que la unidad. Esta condicin de estabilidad nos asegura que al pasar del modelo dinmico (2) al (1) la suma

de los coeficientes del polinomio D(L) es finita, es decir, la serie



Multiplicador de Retardo j jm cuantifica el efecto que sobre la variable endgena (Yt) tiene una variacin unitaria de la exgena en el perodo t-j (Xt-j).

jjt

tj X

Ym =

Observacin: en este caso no coincide con j , porque existe una dependencia implcita de las variables dependientes retardadas.

Considerando el polinomio )(LD se tendr que jjt

tj X

Ym ==

Multiplicador Total Tm es la suma de todos los multiplicadores =

=0j jTmm

Si en el polinomio )(LD se hace L=1, Tj

mABjD ===

= )1()1()1(

1

Observacin: para que un modelo tenga sentido econmico el multiplicador total debe ser finito. Esto ocurrir siempre que el proceso sea estable y viceversa. Retardo Medio se define como la media ponderada, por el retardo, de todos los coeficientes del polinomio )(LD es decir,

Retardo Medio

=

=

=

1

1

jj

jjj

Derivando el polinomio )(LD se tiene ....32)( 2321

' +++= LLLD ; y el retardo medio queda :

Retardo Medio

=

=

=

1

1

jj

jjj

= )1()1('

)1()1('

)1()1('

AA

BB

DD =

La idea del retardo medio es informarnos si el impacto, sobre la variable endgena de una variacin de la exgena, est muy concentrado o diluido en el tiempo. Retardo Mediano se define como el instante en que se alcanza el 50% del impacto total que se produce en tY debido a una variacin en tX



Caso prctico

Dado el modelo dinmico: ttt uxLLLy ++= 22,09,01

3

Se pide: (a) Multiplicador total (b) Retardo medio (c) Los coeficientes de jtx para j = 0,1, 2, 3 Solucin En este caso los polinomios asociados son:

LLB 3)( = 22,09,01)( LLLA +=

Las races del polinomio )(LA (2,5 y 2) son mayores de uno y en consecuencia el modelo es estable. Para el tercer apartado vamos a necesitar los coeficientes del polinomio )(LD que debemos calcular partiendo de los otros polinomios.

24

43

32

210 2,09,013

)()(....)(

LLL

LALBLLLLLD +==++++=

de donde: ++++++ )2,09,01()2,09,01()2,09,01( 2222120 LLLLLLLL

LLLLLLL 3....)2,09,01()2,09,01( 24423

3 =+++++ que realizando operaciones

++++++= 31232012010 )2,09,0()2,09,0()9,0(3 LLLL ....)2,09,0(.....)2,09,0( 21

4234 ++++++ iiii LL

Igualando coeficientes se tendr:

00 = 39,0 01 = ; es decir, 31 =

7,202,09,0 2012 ==+ 8,102,09,0 3123 ==+

siguiendo este algoritmo se llega al polinomio

........6,01,18,17,23)( 5432 +++++= LLLLLLD Veamos la solucin de cada apartado: (a) el multiplicador total

==+=== i iT ABDm 10

2,09,013

)1()1()1(

(b) Retardo Medio

66,266,112,09,012,0*29,0

33

)1()1('

)1()1('_Re =+=+

+==AA

BBMediotardo



Como se observa en el apartado anterior el multiplicador total es 10 en consecuencia el 50% del impacto se habr alcanzado para un valor de 5. Por tanto el Retardo Mediano estar ser inferior a 2. Ms exactamente teniendo en cuenta que para el retardo de orden 2 el impacto es 5,5 se tendr, va una proporcionalidad:

82,15,55*2_Re ==Medianotardo

(c) Los coeficientes de jtx para j = 0,1, 2, 3 Teniendo en cuenta el polinomio )(LD el modelo dinmico que nos ocupa puede ponerse en la forma:

ttt uxLLLLLy ++++++= ........)6,01,18,17,23( 5432 ttttttt uxxxxxy ++++++= ...6,01,18,17,23 54321



Estimacin de modelos dinmicos

Si intentamos la estimacin de estos modelos con el mtodo de los mnimos cuadrados ordinarios (MCO) vamos a encontrar una serie de problemas al no cumplirse alguna de las hiptesis ideales para que las estimaciones obtenidas sean buenas (insesgadez, mnima varianza). Por ello ser necesario analizar la problemtica que se presenta en cada caso para aplicar el mtodo de estimacin ms adecuado. Un problema que se presentar en estos modelos se debe a la existencia de valores retardados de la variable exgena (Xt, Xt-1, ......., Xt-s) como variables explicativas. Es de esperar que esta variable est correlacionada con sus retardos y en consecuencia, estaremos ante un problema de multicolinealidad, tanto ms importante cuanto ms correlacionada est Xt con sus retardos. Otro obstculo a superar estriba en el elevado nmero de parmetros a estimar cuando existen muchos retardos, para reducir el nmero parmetros se recurre a formular hiptesis acerca del comportamiento de los coeficientes de los retardos asociados a la variable exgena del modelo. En este sentido, las hiptesis ms utilizadas son: el esquema de Koyck, la hiptesis de las Expectativas Adaptativas, Expectativas Racionales, los Modelos de Ajuste Parcial, o bien combinaciones de ellos. Una de las hiptesis ideales para aplicar los MCO era que las variables explicativas son deterministas (no estocsticas). Sin embargo, cuando en un modelo dinmico figuren como variables explicativas retardos de la variable endgena (Yt), estaremos incumpliendo esta hiptesis con lo que las estimaciones por MCO no son las buenas. Este problema introduce una doble casustica segn que la variable explicativa est o no correlacionada con el trmino de perturbacin asociado al modelo.

1. Los retardos son de la variable exgena Como dijimos anteriormente los problemas que se presentan son: (1) multicolinealidad por la correlacin que existe entre la variable y sus retardos, (2) excesivo nmero de parmetros a estimar lo que afectara a su fiabilidad, la solucin estriba en efectuar hiptesis sobre la evolucin del parmetro que permita simplificar el modelo. Por tanto, obviando los problemas anteriores podemos aplicar MCO y obtener buenos estimadores.

2. Los retardos son de la variable endgena que no est correlacionada con la

perturbacin

Considerando el modelo

tptptqtqttt uYYXXXY ++++++++= ........ 11110

En forma matricial, suponiendo que se tienen n observaciones para la estimacin, se expresa:

UXBY +=

Siendo )',...,,,...,,,( 110 pqB = , y X la matriz de observaciones de las variables explicativas (entre ellos los de la variable endgena).

Aplicando el mtodo de MCO al modelo se obtienen los estimadores

YXXXB MCO ')'( 1 =



Se demuestra que no son insesgados pero si consistentes, es decir, cuando la muestra es grande el estimador es insesgado. De otra parte, cuando la muestra es grande la varianza de los estimadores se aproxima por

V( MCOB

) 12 )'( XX . Como colofn a este apartado podemos afirmar, sobre la base de las propiedades anteriores, que en este caso de no correlacin entre la variable explicada y la perturbacin puede utilizarse el mtodo de MCO para la estimacin del modelo.

3. Los retardos son de la variable endgena que est correlacionada con la perturbacin

Si aplicamos los MCO se demuestra que el estimador no es insesgado ni tampoco es consistente. El procedimiento de estimacin que se utiliza para obviar este problema es el conocido como Variables Instrumentales. La idea de este mtodo es sustituir los retardos de la variable exgena ( tY ) por otras p (instrumentos) o p combinaciones de h instrumentos (h>p), y as obviar el problema de la correlacin con la perturbacin.

Definicin.- Una variable instrumental es aquella que verifica las tres condiciones siguientes: (1) no est en el modelo, (2) est muy correlacionada con la variable que va a sustituir, (3) no est correlacionada con la perturbacin. Sea W la matriz que contiene en sus columnas las observaciones de las variables explicativas del modelo que no han sido sustituidas (no instrumentadas) y las observaciones de las variables instrumentales. El estimador por el mtodo de las Variables Instrumentales (VI) ser:

YWXWBVI ')'( 1 =

Se demuestra que este estimador de Variables Instrumentales es consistente, y para grandes muestras su varianza aproximada es:

V( VIB

) ]')')[('()'( 112 XWWWXW .

La estimacin de la varianza residual se har en la forma habitual, es decir,

knBXYBXY

knee VIVI

==

)()'('2

siendo n el nmero de observaciones y k el de coeficientes estimados (n de filas de VIB

).

Mnimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E) Una versin interesante del mtodo de VI, en el sentido que incorpora toda la informacin disponible, es el de los Mnimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E). Para exponerlo consideremos el modelo

tttttt uXXXYY +++++= 342312110 (4)

en este modelo las variables itX se suponen deterministas y al no estar correlacionadas con la perturbacin podran utilizarse como instrumentos si no fuese por que ya estn como explicativas en el modelo, y se generara el problema de multicolinealidad.



Una posible solucin ser utilizar como variable instrumental de 1tY una combinacin lineal ( 1tZ ) de los retardos de un perodo del resto de explicativas 1itX . La matriz W asociada al mtodo de VI ser:

],,,,1[ 1321 = tttt ZXXXW y el estimador YWXWBVI ')'( 1 = ,

siendo ],,,,1[ 1321 = tttt YXXXX . Se demuestra que entre todas las combinaciones lineales la ms eficiente (la que proporciona el

estimador de menor varianza) es la que se obtiene estimando por MCO el modelo

ttttt XXXY ++++= 3423110 (5)

El mtodo de MC2E se basa en esta propiedad y se implementa en las siguientes etapas:

Etapa 1

Se genera la variable tY

utilizando la estimacin MCO del modelo (5). Esta estimacin verifica: (1) no est como explicativa en el modelo (4), (2) es combinacin lineal de tY y por ello correlacionada con ella, (3) es combinacin lineal de las variables deterministas ( itX ) y en consecuencia no correlacionada con la perturbacin. Por tanto verifica las condiciones de ser una buena variable instrumental de 1tY .

Etapa 2

Utilizando 1

tY como instrumento de 1tY se calcula el estimador de VI tomando, como matriz

W , la matriz X dada por:

],,,,1[ 1321 = tttt YXXXX t=1, 2......n

el estimador MC2E ser:

YXXXB EMC ')'( 12 =

y su varianza aproximada, para muestras grandes, vendr dada por:

112

MC2E )')('()'() V( XXXXXXB



CASOS PRCTICOS__________________________________________________ El profesor Luis ngel Rojo en su libro Renta, precios y balanza de pagos hace depender el consumo de los hogares )( tc de: (a) la renta disponible de los hogares )(

dty , (b) la riqueza al

comienzo del perodo )( 1tw , y (c) tipo de inters de los bonos ( tr ). Formalmente se expresa por: ),,( 1 tt

dtt rwyfc = con 0,0,0 > rwy fff

suponiendo la funcin lineal

tttdtt urwyc ++++= 31210 (6)

En la realidad no todo el incremento de la renta disponible se incorpora de manera inmediata al consumo, ni de otra parte tampoco ocurre que ante una variacin en la renta el consumo responda de una forma inmediata sino que mas bien se va adaptando paulatinamente al nuevo nivel de renta. En los modelos econmicos para contemplar las situaciones anteriores se formulan diferentes hiptesis acerca de cmo se incorpora la renta al consumo (entre ellas el modelo de expectativas adaptativas), o bien de cmo se ajusta el consumo a la nueva renta (entre ellas el modelo de ajuste parcial). En lo que sigue exponemos la formulacin en que deriva el modelo (6) bajo cada uno de estos supuestos. Hiptesis de Expectativas Adaptativas

Esta hiptesis es consecuente con la teora de la Renta Permanente, en la cual se supone que el consumo se planifica en funcin de una renta esperada )( pty ( renta permanente) a lo largo del perodo de anlisis, en vez de planificarlo con la renta corriente (la disponible). Con esta nueva renta se plantean dos cuestiones: Cmo se comporta la renta permanente ante las variaciones de la corriente? Cmo aproximar empricamente la renta permanente?. Al objeto de solventar este problema se supone que la renta permanente de los hogares se ajusta con retraso a las variaciones de la renta corriente, segn la relacin (hiptesis de Expectativas Adaptativas):

10 ];-[ 11



que reparametrizndole queda

En resumen aplicando la Hiptesis de las Expectativas Racionales al modelo (6) hemos llegado a un modelo dinmico en el que: (1) figura como variable explicativa del consumo de los hogares l msmo retardado un perodo, (2) la perturbacin del modelo presenta autocorrelacin de 1er orden. Como consecuencia de (2) tambin estar correlacionada 1tc con el trmino de error y por tanto para la estimacin de este modelo deberemos aplicar el mtodo de Variables Instrumentales. Con ello obviaremos el problema de los MCO al estar una variable explicativa correlacionada con la perturbacin.

Hiptesis de Ajuste Parcial

Ante una cada de la renta del consumidor, ste intentar mantener, en el corto plazo, los niveles de consumo deseado ( *tc ), si bien, en el largo plazo tendr que adaptarse al nivel de consumo asociado a la nueva renta. Por tanto el modelo (6) quedara:

tttdtt urwyc ++++= 31210* (8)

La hiptesis de Ajuste Parcial propone que esta adaptacin se realizar segn la formula:

);( 1*

1 = tttt cccc con 10



proceso ruido blanco, por serlo tu , es decir, no presenta autocorrelacin de orden uno como en el caso de la HEA.

Por tanto como la perturbacin no presenta autocorrelacin tampoco estar correlada la variable explicativa 1tc con la perturbacin aleatoria )( t . En consecuencia, segn lo expuesto en la estimacin de modelos dinmicos podemos aplicar los MCO que nos garantizan la consistencia de los estimadores.

Estimacin del modelo de Hiptesis de Expectativas Adaptativas para el consumo

de los hogares espaoles

Las variables utilizadas, con datos del periodo 1964-2000, son: LCH95: el logaritmo neperiano del consumo de los hogares a precios de 1995 LCH951: el logaritmo neperiano del consumo de los hogares a precios de 1995 retardado un periodo LYD95: el logaritmo neperiano de la renta disponible de los hogares a precios de 1995 LWH951: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995 LWH951: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995 retardada un periodo LWH952: el logaritmo neperiano de la riqueza de los hogares a precios de 1995 retardada un periodo RL: tipo de inters a largo plazo RL1: tipo de inters a largo plazo retardado un periodo Como se expuso anteriormente en este caso se presenta correlacin entre el consumo de los hogares y la perturbacin asociada al modelo, y en consecuencia debemos aplicar el mtodo de VI, ms concretamente la versin de MC2E.

1 Etapa Estimamos por MCO el consumo de los hogares retardado un periodo en funcin de las otras variables explicativas y guardamos el valor estimado en FITS1.



Los resultados obtenidos son: Regression Analysis: LCH951 versus LYDH95; LWH951; LWH952; RL; RL1 The regression equation is LCH951 = 0.357 + 0.685 LYDH95 + 0.003 LWH951 + 0.250 LWH952 + 0.769 RL- 0.381 RL1 Predictor Coef SE Coef T P Constant 0.3565 0.4690 0.76 0.453 LYDH95 0.6852 0.1031 6.65 0.000 LWH951 0.0030 0.1877 0.02 0.987 LWH952 0.2499 0.1502 1.66 0.107 RL 0.7694 0.2606 2.95 0.006 RL1 -0.3806 0.2622 -1.45 0.157 S = 0.01807 R-Sq = 99.7% R-Sq(adj) = 99.6%

2 Etapa Estimamos por MCO el consumo de los hogares en funcin de la estimacin de su retardo, y del resto de variables explicativas. La ecuacin que se obtiene es la siguiente:



Regression Analysis: LCH95 versus FITS1; LYDH95; LWH951; LWH952; RL; RL1 * RL1 is highly correlated with other X variables * RL1 has been removed from the equation The regression equation is LCH95 = - 0.392 + 1.06 FITS1 + 0.127 LYDH95 + 0.061 LWH951 - 0.199 LWH952 - 0.460 RL Predictor Coef SE Coef T P Constant -0.3922 0.5010 -0.78 0.440 FITS1 1.0603 0.7337 1.45 0.159 LYDH95 0.1270 0.5461 0.23 0.818 LWH951 0.0613 0.1996 0.31 0.761 LWH952 -0.1992 0.2484 -0.80 0.429 RL -0.4599 0.3273 -1.41 0.171 S = 0.01925 R-Sq = 99.6% R-Sq(adj) = 99.5%

Observar que el tipo de inters retardado lo elimina el programa como variable explicativa por estar correlacionado con otras variables, de esta manera se elimina el problema de la multicolinealidad. Por tanto el modelo final nos queda: LCH95 = - 0,392 + 1,06 LCH951 + 0,127 LYDH95 + 0,061 LWH951 0,199 LWH952- 0,460 RL Para el anlisis de este modelo calculamos el polinomio

51,06L)LCH9-(1 A(L)LCH95= Dado el polinomio 1,06L-1 A(L) = , este se anular para L=0,94



Estimacin del modelo de Hiptesis de Ajuste Parcial para el consumo de los hogares espaoles

En este caso en el modelo obtenido la variable dependiente consumo de los hogares, si bien tiene como explicativa su propio retardo, no est correlacionada con la perturbacin aleatoria y en consecuencia el estimador MCO ser consistente. Aplicando MCO se obtendr la estimacin adjunta:

Regression Analysis: LCH95 versus LCH951; LYDH95; LWH951; RL The regression equation is LCH95 = - 0.420 + 0.650 LCH951 + 0.457 LYDH95 - 0.0661 LWH951 - 0.304 RL 36 cases used 1 cases contain missing values Predictor Coef SE Coef T P Constant -0.4201 0.3414 -1.23 0.228 LCH951 0.6497 0.1414 4.59 0.000 LYDH95 0.4575 0.1168 3.92 0.000 LWH951 -0.06611 0.05641 -1.17 0.250 RL -0.3040 0.1028 -2.96 0.006 S = 0.01493 R-Sq = 99.8% R-Sq(adj) = 99.7%

En consecuencia el modelo a analizar ser (1-0.65L)LCH95 = -0,420 + 0.457 LYDH95 - 0.0661 LWH951 - 0.304 RL Este modelo es estable pues L = 1,54 > 0 El multiplicador contemporneo ser: el coeficiente asociado a cada variable Los multiplicadores de diferentes retardos sern: para LYDH95

LLALBLLLLD

65,01457,0

)()(....)( 33

2210 ==++++=

de donde

....)457,0()457,0()457,0(457,0 3232

12010 ++++= LLL que resolviendo

457,00 = 297,0457,0 01 == 193,0457,0 12 ==

nos daran los multiplicadores de los diferentes retardos. Anlogamente se calculan para el resto de las variables exgenas. Como se observa en el apartado siguiente el multiplicador total es 1,31 en consecuencia el 50% del impacto se habr alcanzado para un valor de 0,655. Por tanto el Retardo Mediano ser



inferior a 1. Ms exactamente teniendo en cuenta que para el retardo de 1er orden el impacto es 0,754 se tendr que

868,0754,0655,0_Re ==Medianotardo .

El multiplicador total ser

para LYDH95

31,165,01

457,0)1()1( === A

BmT

Por cada cada punto porcentual que aumenta la renta disponible de los hogares se da un incremento total 1,31 puntos porcentuales en el consumo de stos.

para LWH951

19,065,01

0661,0)1()1( =

==ABmT

Un incremento en un punto porcentual de la riqueza del periodo anterior de los hogares provoca una cada total de 0.19 puntos porcentuales en el consumo de stos.

para RL

89,065,01

304,0)1()1( =

==ABmT

Un incremento en un punto porcentual en el tipo de inters de los hogares provoca una cada total de 0.89 puntos porcentuales en el consumo de stos.

Clculo del Retardo Medio Como todas las exgenas estn sin retardos ser el mismo para todas

86,165,0165,0

457,00

)1()1('

)1()1('_Re =

==AA

BBMediotardo



BIBLIOGRAFA ______________________________________________ [1] Arts, M.; Suriach, J.; et al (2002): Econometra. Ed. Fundaci per a la Universitat Oberta de

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http://www.metu.edu.tr/~eruygur/econ302/probset/tables.pdf

Tablas de distribuciones estadsticas (incluye la del estadstico Durbin-Watson) http://www.feweb.vu.nl/econometriclinks/index.html

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Economics Departments, Institutes and Research Centers in the World: Econometrics, Mathematical Economics.

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