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Modelo Matemático

METODO DEL SOIL CONSERVATION SERVICE (SCS)

Ing. Juan Carlos Mojica AparicioDocente de Hidrología

ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

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Modelo Hidrológico

• Definición.- Un modelo de sistema hidrológico es una aproximación al sistema real.

• Sus entradas y salidas son variables hidrológicas mensurables y su estructura es un conjunto de ecuaciones que conectan la entrada y la salida.

• Objetivo.- El objetivo de un modelo hidrológico es determinar con eficiencia y precisión los componentes del ciclo hidrológico en una cuenca.

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IMPORTANCIA Y APLICACION

• La importancia de los modelos radica, entre otros aspectos, en la simulación y predicción de los fenómenos físicos, sobre todo los de frecuencia rara, a corto, mediano y largo plazo.

• Asimismo, a través de los modelos podemos

obtener relaciones de causa-efecto, sin haber realizado cambios en los sistemas reales.

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VENTAJAS DE LOS MODELOS MATEMATICOS

• Proporcionan respuestas cuantitativas de los fenómenos físicos

• Sirven como herramienta para experimentar sin destruir

• Ayudan a interpolar, simular y predecir el fenómeno físico

• Proporciona una idea del comportamiento del fenómeno cuando no se cuenta con información

• Ayudan a definir metodologías de cálculo

• Categorizan la influencia de las variables que participan en el modelo

• Ayudan a sugerir prioridades en la investigación

• Sirven para entrenar e instruir

• Estimulan la participación y comunicación del equipo de trabajo

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• Clasificación.- Los modelos hidrológicos e hidráulicos se clasifican en 2 categorías:

MODELOS HIDROLOGICOS

Modelos físicos.- Estos incluyen modelos a escala que representan el sistema a una escala reducida, tal como el modelo hidráulico del vertedero de una presa.

Modelos Abstractos.- Estos representan el sistema en forma matemática. La operación del sistema se describe por medio de un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida, siendo estas variables funciones del espacio y del tiempo.

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Deterministico

Sistema f (aleatoriedad, espacio, tiempo)

Flujo no permanente

Flujo permanente

Flujo no permanente

Independiente del tiempo

Correlacionado en el tiempo

Independiente del espacio

Correlacionado en el espacio

Flujo permanente

Agregado Distribuido

Estocastico

Entrada Salida

Correlacionado en el tiempo

Independiente del tiempo

¿Variación temporal?

¿Aleatoriedad?

El modelo tiene en cuenta

¿Variación espacial?

Clasificación de los modelos hidrológicos de acuerdo con la forma, la aleatoriedad y la variable espacial y temporal de los fenómenos hidrológicos.

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0

L

0

L

0

L

L

I

Q

0 LDistancia x

Tiempo t

Dominio espacio - tiempo

a) Modelo deterministico agregado de flujo permanente, I=Q.

b) Modelo determinisstico agregado de flujo no permanente, dS/dt=I(t) - Q(t).

c) Modelo deterministico distribuido de flujo no permanente.

d) Modelo estocástico independiente del espacio y del tiempo.

0 LDistancia x

Tiempo t

0 LDistancia x

Tiempo t

0 LDistancia x

Tiempo t

t

0 tt

Q(t)

0 tt

Q(t)

0 tt

Q(t)

S

0 t

I(t)

0 t

I(t)

tt

t

t

t

Q

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Precipitación:

• La precipitación se la define como toda forma de humedad que originándose en las nubes, llega hasta la superficie terrestre.

Escorrentía:

• El escurrimiento es otra componente del ciclo hidrológico, y se define como el agua proveniente de las precipitaciones que circula sobre o bajo la superficie terrestre.

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Modelo lluvia-escorrentía del SCS para

“Abstracciones”

• Modelo desarrollado en 1972 por el Soil Conservation Service (SCS)

• El modelo tiene una versión comercial llamada TR20

• Este modelo fue utilizado en la cuenca del río Piraí con buenos resultados. (1997 – 1999).

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Es un modelo utilizado para:

• Determinar la lluvia excedente a partir de una precipitación dada.

• Calcular, a partir de la lluvia excedente, el hidrograma de escorrentía superficial directa.

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LLuvia ExcedenteModelo SCS

ABSTRACCCION: Todos los elementos dentro del proceso de escorrentía que no hacen a la escorrentía superficial. i.e infiltración inicial e infiltración después que se da el escurrimiento.

• Separar de la precipitación total los procesos que no hacen a la escorrentía directa superficial, llamada “precipitación efectiva” Pe

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PROCESO:• Para la tormenta como un todo, la profundidad de exceso de

precipitación o escorrentía directa “Pe“ es siempre menor o igual a la profundidad de precipitación “P”. (Pe < P)

• Al inicio de la tormenta o lluvia existe cierta cantidad de precipitación “Ia”, (abstracción inicial), antes del encharcamiento para la cual no ocurrirá escorrentía.

• De manera similar, después que la escorrentía se inicia, la profundidad adicional de agua retenida en la cuenca “Fa“ es menor o igual a alguna retención potencial máxima “S”.

• La escorrentía potencial es aquélla que pueda ser la máxima y es (P - Ia).

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Pe

FaIa

P=Pe+Ia+Fa

Tas

a de

pre

cipitac

ion

Tiempo

FaIaPeP

Variables en el método de abstracciones de precipitación del SCS: P = precipitación total.Ia = abstracción inicial.Pe = exceso de precipitación.

Fa = abstracción continuada.S = Retención potencial máxima

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DESARROLLO DE LA METODOLOGIA

aae FIPP

a

ea

IP

P

S

F

• La hipótesis del método consiste en que las relaciones de dos cantidades reales y dos cantidades potenciales son iguales, es decir :

─ Principio de continuidad:

─Combinando las dos ecuaciones anteriores, operando y resolviendo para “Pe” se tiene:

SIP

IPP

a

ae

2)(

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El modelo SCS estudió el resultado obtenido en diversas cuencas, estableciendo la siguiente relación:

Sustituyendo en la ecuación anterior:

S2,0P,S8,0P

S2,0PPe

2

SIa 2.0

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Graficando los valores de P y Pe para diversas cuencas, el SCS construyo las curvas mostradas en la figura:

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Para parametrizar estas curvas, el SCS creo un sistema adimensional denominado CN (curve number - número de curva), que tiene las siguientes propiedades:

• Variación del Número de Curvas 0 < CN £ 100• Para áreas impermeables CN = 100• Para otras superfícies CN < 100

El número de curva CN y la infiltración potencial S están relacionados a través de la siguiente expresión (en unidades del sistema métrico):

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CN

10004,25mmS

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203202.203

50808.50 2

PCNCN

PCNPe

Sustituyendo el valor de S (mm) en la relación que da “Pe”, se tiene finalmente (en unidades métricas, mm)

Los números de curva CN fueron desarrollados para clasificar la escorrentía potencial de los diferentes tipos de suelos con diferentes coberturas de tierra. Estos números de curva están listados en tablas y se hallan en función de:

- Grupo hidrológico de suelo- Uso y cobertura vegetal de la tierra- Condiciones antecedentes de humedad del suelo

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Grupos Hidrológicos de Suelos• Los grupos hidrológicos de suelo están clasificados en A, B, C y

D; donde A indica el más bajo valor de escorrentía potencial y D el valor más alto.

• El grupo hidrológico de suelo puede ser determinado a partir de:

Características del suelo ( composición de arenas, margas y arcillas)Tasa de infiltración mínima (determinada experimentalmente)Planos de suelo de la regiónDatos del suelo

Los grupos de suelos se clasifican de la siguiente manera:

Grupo A: Arena profunda, suelos profundos depositados por el viento, limos agregados.Grupo B: Suelos poco profundos depositados por el viento, marga arenosa.Grupo C: Margas arcillosas, margas arenosas poco profundas, suelos con bajo contenido orgánico y suelos con alto contenido de arcilla.Grupo D: Suelos que se expanden significativamente cuando se mojan, arcillas altamente plásticas y ciertos suelos salinos

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Condiciones de Humedad del Suelo

Condición I

Condición II

Condición III

Suelos secos: las lluvias en los últimos 5 días no exceden 12.7mm

Situación media en la epoca de lluvias: las lluvias en los últimos 5 días totalizaran entre 12.7 y 32.5mm

Suelo húmedo (próximo a la saturación) : las lluvias en los últimos 5 días fueron superiores a 32.5mm y las condiciones meteorológicas sean desfavorables a altas tasas de evaporación

Las condiciones antecedentes de humedad del suelo se clasifican en I, II y III. La condición II es considerada para condición promedio y deberá ser utilizada a menos que se determinen otras condiciones. La condición I es para condiciones muy secas y la condición III para condiciones muy mojadas.

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Condiciones de Humedad del Suelo

Estación inactivaEstación de

crecimiento

I Menor a 12.7 Menor a 35II 12.7 a 32.5 35 a 52.5III sobre 32.5 sobre 52.5

Rango para las condiciones antecedentes de humedad (CHA)

Clasificación de clases antecedentes de humedad (CHA)

para el método de abstracciones de lluvia del SCS

Grupo CHALluvia antecedente total de 5 días (mm)

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USO DE LA TIERRA • El uso y cobertura de la tierra puede ser determinado mediante la

inspección de la superficie de la tierra, utilizando fotografías aéreas, satelital o mapas temáticos (mapa de uso del suelo)

• Existen dos factores principales usados para determinar este uso o cobertura:

– Uso de la tierra– Tratamientos o practicas en la tierra

El uso de la tierra es subdividida en uso urbano, uso agrícola y nodesarrollado.

El uso de tierra urbano y uso agrícola están subdivididos además en las correspondientes prácticas realizadas en la tierra.

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Valores de CN

A B C D72 81 88 9162 71 78 8168 79 86 8969 61 74 8030 58 71 7845 66 77 8325 55 70 77

39 61 74 8049 69 79 8489 92 94 9581 88 91 93

77 85 90 9261 75 83 8757 72 81 8654 70 80 8551 68 79 8498 98 98 98

98 98 98 9876 85 89 9172 82 87 89

Pavimentos con cunetas y alcantarilladosgravaTierra

1 acre 20Parqueaderos pavimentados, techos, accesos, etc. Calles y carreteras:

1/3 acre 301/2 acre 25

1/8 acre o menos 651/4 acre 38

Residencial:Tamaño promedio del lote Porcentaje promedio impermeable

optimas condiciones: cubiertas de pasto en el 75% o mas

condiciones aceptables: cubiertas de pasto en el 50 al 75%

Áreas comerciales de negocios (85% impermeables) Distritos industriales ( 72% impermeables)

Vegas de ríos: condiciones optimasBosques: troncos delgados, cubierta pobre, sin hierbas cubierta buena Áreas abiertas, césped, parques, campos de golf, cementerios, etc.

Tierra cultivada: sin tratamiento de conservación con tratamientos de conservaciónPastizales: condiciones pobres condiciones optimas

Descripción del uso de tierra Grupo hidrológico del suelo

Números de Curva de escorrentía para usos selectos de tierra agrícola,suburbana y urbana ( condiciones antecedentes de humedad II, Ia = 0.2S

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Condiciones de Humedad del Suelo

IICN13,010

IICN23IIICN

IICN058,010

IICN2,4ICN

Los valores de CN presentados anteriormente se refieren siempre para la condición II. Para convertir el valor de CN para las condiciones I y III se tienen las siguientes expresiones:

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VALOR DE CN

• En caso de existir en la cuenca diversos tipos de suelo y ocupaciones, determinar el valor de CN por la media ponderada

Total

iiW A

ACNCN

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EJEMPLO DE APLICACIÓN

• Clasificar el tipo de suelo existente en la cuenca

• Determinar la ocupación predominante

• Con la tabla del SCS para la Condición de Humedad II determinar el valor de CN

• Corregir el CN para la condición de humedad deseada

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A B C D

72 81 88 91

62 71 78 81

68 79 86 89

69 61 74 80

30 58 71 78

45 66 77 83

25 55 70 77

39 61 74 80

49 69 79 84

89 92 94 95

81 88 91 93

Residencial:

1/8 acre o menos 77 85 90 92

1/4 acre 61 75 83 87

1/3 acre 57 72 81 86

1/2 acre 54 70 80 85

1 acre 51 68 79 84

98 98 98 98

Calles y carreteras:

98 98 98 98

Grava 76 85 89 91

Tierra 72 82 87 89

Pavimentos con cunetas y alcantarillados

20

Parqueaderos pavimentados, techos, accesos, etc.

30

25

6538

Tamaño promedio del lote Porcentaje promedio impermeable

optimas condiciones: cubiertas de pasto en el 75% o mas

condiciones aceptables: cubiertas de pasto en el 50 al

Áreas comerciales de negocios (85% impermeables)

Distritos industriales ( 72% impermeables)

Vegas de ríos: condiciones optimas

Bosques: troncos delgados, cubierta pobre, sin hierbas

cubierta buena

Áreas abiertas, césped, parques, campos de golf, cementerios, etc.

Tierra cultivada: sin tratamiento de conservación

con tratamientos de conservación

Pastizales: condiciones pobres

condiciones optimas

Descripción del uso de tierra Tipo de suelo

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Ejemplo: Dado el siguiente hietograma

0,51,01,52,02,53,0

5102015105

mmHoras

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Horas

mm20

15

10

5

29

Con el valor de CN (CN= 80), se aplica la formula de SCS de la siguiente manera:

0,51,01,52,02,53,0

5102015105

LluviaHoras

1. Se acumulan las precipitaciones del hietograma

51535506065

Lluv Acum.

2. Se aplica la fórmula para el calculo de Pe acum.

Lluv Exc. Acum.

0,00,085,8013,8120,2023,63

3. La diferencia Pe(i) y Pe(i-1) da el hietograma excedente (Pe)

Hietogr. Exc.

0,00,085,728,016,393,43

S8,0P

S2,0PPe

2

254)/25400( CNS

30

Hietograma excedente:

0,51,01,52,02,53,0

5102015105

Horas

00,085,728,016,393,43

Ptot Pexcmm

20

15

10

5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Horas

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Ejemplo:

Calcule la escorrentía que se origina por una lluvia de 127 milímetros en una cuenca de 4 Km2. El grupo hidrológico de suelo es de 50% el grupo B y 50% el grupo C que se intercalan a lo largo de la cuenca.

• Se supone una condición antecedente de humedad II.

• El uso de la tierra es:

40% de área residencial que es impermeable en un 30%.12% de área residencial que es impermeable en un 65%.18% caminos pavimentados con cunetas y alcantarillados de agua de lluvia.8% de área abierta con un 50% con una cubierta aceptable de pastos 8% de área abierta 80% con una buena cubierta de pastos.14% de parqueaderos, plazas, colegios y similares (toda impermeable).

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Solución:Se calcula el número de curva ponderado haciendo uso de los valores de la tabla que da CN:

A B C D

39 61 74 80

49 69 79 84

Residencial:

1/8 acre o menos 77 85 90 92

1/4 acre 61 75 83 87

1/3 acre 57 72 81 86

98 98 98 98

Calles y carreteras:

98 98 98 98

Grava 76 85 89 91

Tierra 72 82 87 89

Números de Curva de escorrentía para usos selectos de tierra agrícola,suburbana y urbana ( condiciones antecedentes de humedad II, Ia = 0.2S)

optimas condiciones: cubiertas de pasto en el 75% o mas

condiciones aceptables: cubiertas de pasto en el 50 al 75%

Áreas abiertas, césped, parques, campos de golf, cementerios, etc.

Tipo de sueloDescripción del uso de tierra

30

65

38

Tamaño promedio del lote Porcentaje promedio impermeable

Pavimentos con cunetas y alcantarillados

Parqueaderos pavimentados, techos, accesos, etc.

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% CN Producto % CN Producto

Residencial (30% impermeable)20 72 1440 20 81 1620

Residencial (65% impermeable)6 85 510 6 90 540

Carreteras 9 98 882 9 98 882

Terr. Abiert. Buena Cubierta4 61 244 4 74 296

Terr. Abiert. Cubierta Aceptable4 69 276 4 79 316

Parqueaderos 7 98 686 7 98 686

Total 50 4038 50 4340

Uso de tierra

Tipo de Suelo

B C

Total

iiW A

ACNCN 78.83

100

43404038

PonderadoCN

25425400

CN

S 25478.83

25400S mmS 17.49

SP

SPPe 8.0

)2.0( 2

17.49*8.0127

)17.49*2.0127( 2

eP

mmPe 53.82

1.- “CN” Ponderado

2.-Capacidad de ret. máxima

3.- Precipitación en exceso:

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Estimación de Caudales Máximos• El SCS realizo la siguiente tabla para estimar el caudal pico.• La tabla esta en relación al caudal unitario (m3/seg / mm/km2)

y el tiempo de concentración (hrs)

Tc q Tc q Tc q0.1 0.337 1 0.158 8 0.0390.2 0.3 1.5 0.12 10 0.0340.3 0.271 2 0.1 12 0.030.4 0.246 2.5 0.086 14 0.0270.5 0.226 3 0.076 16 0.0250.6 0.208 4 0.063 18 0.0230.7 0.195 5 0.054 20 0.0210.8 0.19 6 0.048 22 0.20.9 0.168 7 0.043 24 0.019

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Proceso para el Calculo

1. Determinar características fisiográficas de la cuenca tales como:

A = área de la cuenca (km2)

tc = tiempo de concentración (hrs)

NC = número de curva

2.- Calcular el “tiempo de concentración” (Kirpich)

Donde: L = máxima longitud de recorrido

H = diferencia de altura entre los puntos extremos del cauce principal.

385.03

0195.0

HL

tc

36

2. Se calcula las lluvias de duración de 6 horas y periodos de retorno establecidos, basados en la curva P-D-F construidas para la cuenca en estudio.

3. Con base en el CN y la precipitación se obtiene el valor de Pe.

4. De la tabla, el valor de q (caudal unitario) se obtienen en función del valor de tc.

5. Por último obtenidos los datos en los pasos anteriores se reemplazan en la siguiente ecuación y se obtiene el caudal máximo.

203202.203

50808.50)(

2

PCNCNPCN

mmPe

APeqsegmQ **)(

3

max