Matemáticas Aplicadas a la

Ingeniería Química

Centro Universitario de la Ciénega

División de Desarrollo Biotecnológico

Dpto. de Ciencias Tecnológicas

Academia de Ingeniería Química

Mtro. Octavio Flores Siordia

Febrero del 2010

Universidad de Guadalajara

Consideremos, una cuerda elástica estirada bajo una tensión T

entre dos puntos del eje x. Supondremos que el peso de la cuerda

por unidad de longitud, después que se estira, es una función

conocida w(x).

Sobre la cuerda, además de las fuerzas elásticas y de inercia

inherentes al sistema, puede actuar también una carga

distribuida, cuya magnitud por unidad de longitud, suponemos

es una función conocida de x, y, t y

, digamos .

CUERDA VIBRANTE

_Velocidad transversal y( , , , )f x y y t

x (x+x) l x

1

2

x

T

T’

m = w(x)x

g

),,,( tyyxf

Al plantear el problema supondremos que:

a. El movimiento tiene lugar sólo en el plano, en el cual cada

partícula se desplaza perpendicularmente a la posición de

equilibrio de la cuerda.

b. La deflexión de la cuerda durante el movimiento es tan

pequeña, que el alargamiento que sufre ésta no ejerce

influencia sobre la tensión T.

c. La cuerda es flexible, sólo puede transmitir la fuerza en

sentido longitudinal.

d) La pendiente de la curva de deflexión de la cuerda es en

todos los puntos y en todo momento tan pequeña que sin

error, se puede sustituir sen por tan , siendo el ángulo

de inclinación de la tangente a la curva de deflexión.

d) Las fuerzas gravitacionales y de rozamiento, en caso de

existir, suponemos se toman en cuenta en la expresión para

la carga por unidad de longitud . ( , , , )f x y y t

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30

seno( x) tan(x)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

seno( x) tan(x)

En estas condiciones consideremos un segmento infinitesimal

de la cuerda como cuerpo libre.

Por la hipótesis a), la masa de este elemento es

Por la hipótesis b) las fuerzas que actúan sobre los extremos

del elemento son iguales a saber, T. Según la hipótesis c,

estas fuerzas siguen las direcciones de las tangentes

respectivas a la curva de deflexión; y en virtud de la hipótesis

d, sus componentes transversales son:

( )w x xm

g

2 tanx x x x

Tsen T sen T

1 tanx x

Tsen T sen T

Dividiendo esta ecuación entre x queda:

La aceleración que estas fuerzas, y la parte de la carga

distribuida que actúa sobre el intervalo de ,

imprimen y es la ordenada de un punto arbitrario del

elemento. Aquí la derivada con respecto al tiempo es parcial

porque, evidentemente depende de t y de x,

Por la Ley de Newton en el elemento podemos escribir:

2

2

( )tan tan ( , , , )

x x x

w x x yT T f x y y t x

g t

2

2

ym

t

( , , , )f x y y t x x

2

2

tan tan( )( ) ( , , , )x x xw x y

T f x y y tg t x

La fracción del segundo miembro es la diferencia entre los

valores de tan en los puntos (x + x) y (x), dividida entre la

diferencia x. En otras palabras, es precisamente el cociente de

diferencias de la función tan . Cuando es la

derivada de tan con respecto a x, o sea, .

Pero como , esto se puede escribir simplemente

como . Entonces que la deflexión de una

cuerda tensa satisface la ecuación diferencial parcial.

0x

tan

x

tany

x

2

2

y

x

( , )y x t

2 2

2 2( , , , )

( ) ( )

y Tg y gf x y y t

t w x x w x

En la mayor parte de las aplicaciones el peso de la cuerda por

unidad de longitud w(x) es una constante, y las fuerzas

externas son despreciables; es decir, puede ponerse que

. Cuando sucede esto, la ecuación se reduce a

LA ECUACION UNIDIMENSIONAL DE ONDA

( , , , ) 0f x y y t

2 22

2 2

y ya

t x

2 Tga

w

MEMBRANA VIBRANTE

La membrana se estira en una curva cerrada C.

Cuando vibra, hay movimiento perpendicular de partículas

El peso por unidad de área al estirarse :

Sobre la membrana actúa una fuerza

( , )w x y

( , , , , )f x y z z t

2 2 2

2 2 2( ) ( , , , , )

( , ) ( , )

z Tg z z Tgf x y z z t

t w x y x y w x y

Calculando los componentes z y aplicando la Ley de Newton a la masa

de este elemento se tiene :

A B

C D

x+x , y

z

x

y

x+x , y+ y

x, y+y

Si es constante y si 0 , se reduce a la

ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA

( , , , , )f x y z z t

2 2 22

2 2 2

z z za

t x y

2 Tga

w

( , )w x y w

Donde :

FLUJO DE CALOR EN REGIONES TÉRMICAMENTE

CONDUCTORAS

•Hechos experimentales:

•A .- El calor fluye en la dirección en que decrece la temperatura.

•B .- La rapidez a la que fluye el calor a través de un área es

proporcional al gradiente de temperatura.

•C .- La cantidad de calor ganada o perdida por un cuerpo al

cambiar su temperaturas proporcional a la masa del cuerpo.

•La constante de proporcionalidad es llamada Conductividad

Térmica k del material en el inciso b. En el c, se refiere al Cp.

A B

C D

H G

F

x

y

z

z

y

x

E

Si consideran un elemento infinitesimal de un sólido conductor, la masa de

ese elementos:

Por c, la cantidad de calor almacenada en ese tiempo es:

Donde es el cambio en la temperatura. ; la rapidez con que

se esta almacenando el calor es:

g

zyxm

g

TzyxcumcH

T

t

Tzyx

g

c

t

H

proviene de dos fuentes:

Por medios eléctricos o químicos, donde la rapidez a la que esta recibiendo calor es:

O ganar calor en virtud de la transferencia de calor a través de sus diversas caras. Por b , la rapidez a la que fluye el calor en EFGH:

Se toma el

gradiente de

temperatura

en el centro

( , , , )f x y z t x y z

2

2z

z

yy

xx

Tzyk

u

2

2z

z

yy

xxx

Tzyk

De igual manera para cara ABCD:

2

2

2

2z

z

yy

xx

zz

yy

xx

Tzyk

x

Tzyk

2

2

2

2

zz

yy

xx

zz

y

xx

y

Tzxk

y

Tzxk

zz

yy

xx

z

yy

xx

z

Txyk

z

Txyk

2

2

2

2

La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección x:

La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección y:

La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección z:

)(),,,(

2

2

2

2z

z

yy

x

zz

yy

xxx

T

x

Tzykzyxtzyxf

t

Tzyx

g

c

)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

z

yy

xx

zz

yy

xx

zz

y

xx

zz

yy

xx

z

T

z

Tyxk

y

T

y

Tzxk

La rapidez de almacenamiento de calor en el elemento debe ser igual

a la rapidez con que se produce calor mas la rapidez a la que fluye

calor hacia el elemento:

zyxk Dividiendo entre :

2

2

2

2

2

22 ),,,(

z

T

y

T

x

T

k

tzyxf

t

Ta

kg

ca

2

0),,,( tzyxy haciendo que :

Donde:

0

t

T

02

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

02 T

Si se encuentra en estado estacionario entonces :

Por lo que la ecuación quedaría como :

Que también se representa por :

Esta es la Ecuación de Calor también conocida como

Ecuación de Laplace