MM-3.Funciones Analíticas
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-
1
Derivada de una funcin real
x
y
0x
x
xfxxfxf
x
)()(lim:)( 00
00
xx 0x
)( 0xf
)( 0 xxf
Si no existe el lmite, no existe la
derivada en x0. Decimos
entonces que f(x) no es derivable
o no es diferenciable en x0.
Podemos hacer el lmite por la
derecha y por la izquierda, y
ambos deben coincidir.
-
2 x
y
0z
z
zfzzfzf
z
)()(lim:)( 0
00
z
u
v)( 0 zzf
)( 0zf
)()( 00 zfzzf zz 0
Derivada de una funcin compleja
Observemos que ahora el lmite se puede hacer no
solamente por la derecha o por la izquierda, sino
por infinitos caminos. Para que la derivada est definida
el lmite debe existir y ser el mismo independientemente
del camino.
-
3
Mostrar que f(z) = zn es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.
Ejemplo:
1
0
1
0
10
0
1
0
00
0
0
00
00
)(lim
)(
lim
)(
lim)(
lim:)(
niinn
iz
iinn
i
z
niinn
i
z
nn
z
nzzzi
n
z
zzi
n
z
zzzi
n
z
zzzzf
Observa que el resultado es independiente de la trayectoria
con que se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario, el
resultado es vlido para todo z y f(z) = nzn-1. z
-
4
La reglas de derivabilidad son las mismas que en clculo
de funciones reales de variable real:
(c f)/ = c f/
(f+g)/ = f/ + g/
(f g)/ = f/ g + f g/
(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2
La regla de la cadena rige de la misma forma.
Ejercicio:
Demostrar las reglas a
partir de la definicin
de derivada.
-
5
Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningn punto
Ejemplo zzf )(
yix
yix
yix
yix
z
z
z
zzz
z
zfzzfzf
zz
zz
z
00
00
0
limlim
limlim
)()(lim)(
Sigamos dos caminos distintos: x
y
zz
z
x
y 1 2
1 2 1lim0
z
1lim0
z
El lmite no es nico, por lo tanto no existe lmite.
Como z es arbitrario, no existe derivada en ningn punto.
(funcin continua en todo el
plano complejo porque sus
componentes u y v lo son)
-
6
Ejemplo 2||)( zzf
z
zzzz
z
zzzzzz
z
zzz
z
zfzzfzf
z
z
z
z
0
0
22
0
0
lim
))((lim
||||lim
)()(lim)(
Sigamos de nuevo los dos
caminos distintos anteriores:
(funcin continua en todo el
plano complejo porque sus
componentes u y v lo son)
1
2
zzzzz
0
lim;
Como el lmite debe ser nico:
zzzzz
0
lim;
0 zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0. Este ejemplo muestra como una funcin
puede ser diferenciable en un punto sin
serlo en ningn otro de su entorno.
-
7
Obtener los puntos del plano complejo donde la funcin
es diferenciable. Calcular su derivada.
)Re()( zzzf
yix
yxyxxyixxx
yix
xiyxxxyyixx
z
zzzzzz
z
zfzzf
z
z
zz
2lim
lim
ReRelimlim
2
0
0
00
0)0(
0RelimRe
lim00
lim
:0z Si
000
f
zz
zz
z
fzf
zzz
-
8
0;
0;
0
22
limlimlim
:0
22lim
2limlim
:0
:0z Si
000
0
2
00
y
x
y
xxxiyx
xxy
yxi
z
zfzzf
yiz
iyxiyxx
x
xiyxxx
z
zfzzf
ixz
yyz
x
xz
z=0
0z puntos losen blediferencia es no f(z)
-
9
La existencia de derivada en un punto implica la
continuidad de la funcin en ese punto.
Supongamos que existe f(z):
)()(lim00)('
)(lim)()(
lim
)()(lim
00
0
0
0
0
00
0
zfzfzf
zzzz
zfzf
zfzf
zz
zzzz
zz
-
10 x
y
z
zz
x
y1
1
x
yxvyxxvi
x
yxuyxxuzf
x
x
),(),(lim
),(),(lim)(
0
0
x
vi
x
u
dz
df
Seguimos el camino : sea y0
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
yix
yxviyxuyyxxviyyxxu
z
zfzzfzf
z
z
),(),(),(),(lim
)()(lim)(
0
0
Si la derivada existe, el lmite
es independiente del camino
-
11
x
y
z
zz
x
y 2
2
y
v
y
ui
dz
df
Seguimos el camino : sea x0
xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222
zyixyixx
vi
x
u
dz
df2)(2)2(2
zyixxyiy
v
y
ui
dz
df2)(22)2(
Ejemplo:
y
y x v y y x v
y
y x u y y x u i z f
y
y
) , ( ) , ( lim
) , ( ) , ( lim ) (
0
0
-
12
y
v
y
ui
x
vi
x
u
Igualando ambas expresiones:
Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las
ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Tenemos:
x
vi
x
u
dz
df
y
v
y
ui
dz
df
x
v
y
u
y
v
x
u
-
13
Podemos dar en forma polar una funcin de variable
compleja cualquiera. Por ejemplo, sea:
)0(1
)( zz
zzfEn forma polar,
tendremos:
),(),(
sin1
cos1
)sin(cos1
)sin(cos
)sin(cos
1)sin(cos)(
rvru
rri
rr
ir
ir
irirzf
-
14
)),(
sincos
i v(r,r uf(z)
)i r(z
En forma polar
tenemos:
)0(
11
r
u
rr
vv
rr
u
ECR en forma polar
Demostrar que las ECR toman la forma:
Ejercicio: Comprobarlo para la funcin f(z) = 1/z.
-
15
Recuerda que hemos tomado dos caminos muy particulares
para encontrar las ECR. Hemos demostrado que si
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es diferenciable en un punto z0,
entonces las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y)
existen en ese punto y satisfacen en l las ECR.
Adems, podemos calcular el valor de f(z0) a travs
de las expresiones:
Las ECR son una condicin necesaria para la derivabilidad.
x
vi
x
u
dz
df
y
v
y
ui
dz
df
-
16
)2()(
)()(
22
2
xyiyx
yixzf
yx
vy
y
u
xy
vx
x
u
2,2
,2,2
Ejemplos: Veamos que , que hemos probado que es diferenciable en todas partes, cumple las ECR:
Sin embargo para:
2)( zzf
)(||)( 222 yxzzf
0,2
,0,2
x
vy
y
u
y
vx
x
u
Las ECR no se satisfacen excepto
para z = 0. Entonces la derivada no
existe para ningn z distinto de 0.
Pero no podemos asegurar la
existencia de la derivada en z = 0,
aunque en este caso la hemos
demostrado anteriormente.
-
17
Condiciones suficientes de derivabilidad
Sea f(z) = w = u(x,y) + iv(x,y) definida en un entorno del punto
z0= x0 + iy0, supongamos que las primeras derivadas parciales de
u(x,y) y v(x,y) existen en el entorno de ese punto y son continuas
en z0. Entonces, si las parciales satisfacen las ECR en z0, la derivada
f(z) en z0 existe.
.00cuando00donde
)},(),({)},(),({
),(),(
11
11
11
yyxy
yxyy
ux
x
uu
yy
ux
x
uu
yxuyyxuyyxuyyxxuu
yxuyyxxuu
Sumamos y restamos
-
18
.00cuando00donde 22
22
yyxy
yxyy
vx
x
vv
De la misma manera, para v(x,y):
.00cuando
00donde 2121
yyx
iyi
yxyy
vi
y
ux
x
vi
x
uviuw
As que:
Podemos utilizar en esta ltima igualdad las ECR:
x
v
y
u
y
v
x
u
-
19
x
vi
x
u
z
w
dz
dwzf
yxyixx
vi
x
uw
yxyx
ui
x
vx
x
vi
x
uviuw
z
z
yix
vi
x
u
0lim)('
)(
yxyy
vi
y
ux
x
vi
x
uviuw
x
v
y
u
y
v
x
u
-
20
Estudiar la derivabilidad de la funcin
y en caso afirmativo hallar la derivada.
21)( z
zzf
2222
222
)(yx
yi
yx
yxxzf
u iv
02
02
222
222
yxyx
v
y
u
yxxy
v
x
u
se cumplen las ECR
slo en x=0, y=0
C
zderivable no f(z)
0y 0, xpara definidasestn no y)y v(x, y)u(x, Pero
Examen
JUNIO 02/03: P-1
-
21
Funciones analticas u holomorfas
Una funcin f(z) es analtica (u holomorfa) en un
abierto A si posee derivada en todo punto de A.
Cuando se dice que una funcin f es
analtica en un conjunto S que no es
abierto, quedar sobrentendido que f es
analtica en algn abierto que contiene a S.
Cuando decimos que una funcin
es analtica en un punto z0 , la
derivada debe existir en todos los puntos
de algn entorno de z0.
Nota: observa que f(z) = |z|2 es solo derivable en
z = 0, pero tampoco ah es analtica. x
y
0z
x
y
A
-
22
),(),()( yxviyxuzf continua en un dominio D:
Existe una forma rpida y fcil de comprobar
si una funcin f (z) es analtica?
Sea
x
v
y
u
y
v
x
u
en todo punto de D.
f(z) es analtica en un dominio D sii u(x,y) y v(x,y)
son continuas y poseen primeras derivadas parciales
continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR:
-
23
Resumen: Es f(z) analtica en z0?
1. Escribe f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y).
2. Encuentra ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y) y vy(x,y).
3. Comprueba que se cumplen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann:
ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
uy(x0,y0) = -vx(x0,y0)
4. Comprueba que ux(x,y), uy(x,y),vx(x,y) y
vy(x,y) son continuas en (x0,y0).
-
24
2222
1)(
yx
yi
yx
x
yix
yix
yixzf
222222
22
)(
2,
)( yx
xy
x
v
y
u
yx
yx
y
v
x
u
Ejemplo Es 1/z analtica?
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z)
no es continua en cero ni sus parciales tampoco.
La funcin es analtica en todo punto, excepto en z = 0.
),( yxu ),( yxv
-
25
2222
22
)1(
2
)1(
1
)1(
)1(
)1(
)1(
1
1
1
1)(
yx
yi
yx
yx
yix
yix
yix
yix
yix
yix
z
zzf
u v
x
v
yx
xy
y
u
y
v
yx
yx
x
u
222222
22
)1(
)1(4,
)1(
)1(2
excepto en x = 1 e y = 0, en z = 1.
Ejemplo Es (1+z)/(1-z) analtica?
Al igual que antes, la funcin es analtica en todo punto,
-
26
Respuesta.
Encontrar todas las posibles funciones complejas
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analticas en la regin D = {z C/ |z| 3}, que
cumplan simultneamente:
(a) Re(f(z)) = u(x)
(b) f(0) = 0
(c) mx |f(z)| = 6, z D
1. f(z) = u(x) + iv(x,y) analtica en D => Se cumplen ecuaciones de
Cauchy Riemann en D
Ady
dv
dx
duzfDyx
dy
dv
dx
duvv
v(y)vu(x)uvu
yx
xy
)(),(,
ser por ,0
-
27
RCBACAyv
BAxu
,,
2. f(0) = 0 = B + iC B = 0, C = 0
zAiyxAzfAyv
Axu
)()(
3.
zzf
zzf
AzAAzzfDzDzDz
2)(
2)(:funciones Dos
26maxmax)(max
2
1
3
-
28
P2. Junio 2006
a) De la funcin f(z) se sabe:
1. Es analtica en |z 2| < 3,
2. f(z) = f(z) en |z 2| < 3,
3. |f(z)| =
Respuesta.
Dar la expresin de f(z) en |z 2| < 3 y, en particular, calcular el
valor de f(2 + i).
3
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
D : |z - 2| < 3
-
29
1.- f(z) analtica en D.
D.en
xy
yx
vu
vuRiemannCauchy
2.- f(z) = f(z), en D.
D.en ,0),(
D.en ),,(),(),(),(
yxv
yxivyxuyxivyxu
-
30
De las condiciones 1 y 2,
D.en .)(Den D.en 0
0ctezfcte.u
u
u
y
x
3.- |f(z)| = 3
f(z) = en D.
z = 2+i pertenece a D:
f(2 + i) = 3
3
-
31
Sol.: (a) a = -b; c = 1. (b) a = b = -1
(a) En ningn punto. (b) En ningn punto.
(c) C - {z = +i, -i} (d) C (e) En ningn punto.
(f) C - {z = 0} (g) En ningn punto.
-
32
(1) Las funciones polinmicas son analticas en todo punto.
Son funciones enteras.
n
nzczczczczcczf 4
4
3
3
2
210)(
Gracias a las propiedades de las derivadas, si dos funciones
son analticas en un dominio D, su suma y su producto son
analticos en D. Y su cociente es analtico en D si el
denominador no se anula en ningn punto de D.
Una composicin de funciones analticas ser analtica.
)(
)()(
zh
zgzf
(2) La funciones racionales
donde g(z) y h(z) son polinomios,
son analticas excepto, quizs,
en los puntos donde h(z) se anula.
-
33
Qu tienen de especial las funciones analticas?
Veremos ms adelante cosas como:
Si una funcin es analtica entonces todas sus derivadas tambin son analticas (en franco contraste con las funciones de variable
real).
Toda funcin analtica puede expresarse como serie de potencias.
Las funciones analticas estn determinadas por sus valores de contorno: si disponemos de los valores de una funcin analtica
para los puntos de la circunferencia unidad, estos valores determinan
totalmente los valores en todo el crculo unidad. Podemos expresar
los valores de la funcin en los puntos interiores a travs de una
frmula integral que involucra los valores del contorno.
-
34
Ejercicio: Encontrar la forma ms general de la funcin
analtica f(z) cuya parte real u(x,y) es: u(x,y) = x2 - y2 - x.
Exigimos que se cumplan las ECR: y
vx
x
u
12
k(x)yxyxkdyxxkdyy
vyxv
2)()12()(),(
ctekxkdx
xdky
x
vy
y
u
)(
)(22
ikzzzf
kyxyixyxyxivyxuzf
2
22
)(
)2(),(),()(
Integrando respecto a y:
Exigiendo que se cumpla la segunda ECR:
-
35
Funciones armnicas
u(x,y) y v(x,y), las componentes de una funcin analtica,
son funciones armnicas: cumplen la ec. de Laplace.
Partiendo de
la ECR: x
v
y
u
y
v
x
u
y
yx
v
y
u
yx
v
x
u
2
2
22
2
2
y
02
2
2
2
y
u
x
u
Derivando
respecto
a x e y:
02
2
2
2
y
v
x
vDerivando respecto a
y y x:
Suponiendo que sus segundas derivadas existen y son continuas
(ms adelante se demostrar que si f es analtica en z0, u y v poseen
parciales continuas de todo orden en ese punto):
-
36
Una funcin (x,y) es armnica en un dominio si (x,y)
es C2 (i.e.: tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son
continuas) y satisface la ecuacin de Laplace en dicho
dominio:
02
2
2
22
yx
Hemos visto que si f(z) es analtica en cierto dominio, entonces su
parte real u(x,y) y su parte imaginaria v(x,y) son armnicas en dicho
dominio (ambas cumplen la ecuacin de Laplace).
Dada una (x,y) armnica en un dominio simplemente conexo D,
existe una funcin analtica en D cuya parte real es (x,y) y tambin
existe una funcin analtica en D cuya parte imaginaria es (x,y).
Dada una funcin armnica u(x,y), parte real de una funcin compleja,
decimos que v(x,y) es la funcin armnica conjugada de u(x,y), si
u(x,y) + iv(x,y) es analtica.
-
37
12y 2
y
y
ux
x
u
Ejemplo: Verificar que u(x,y) = x2 - y2 - y es armnica en todo
el plano complejo y encontrar la funcin armnica conjugada
v(x,y).
02y 22
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
x
u
Si v(x,y) es la armnica conjugada de u(x,y), entonces
ambas cumplen las ECR:
12y 2
y
x
v
y
ux
y
v
x
u
-
38
k(x)xyxkdyxxkdyy
vyxv
2)(2)(),(
cxxyyxv
cxxkdx
xdky
x
vy
y
u
2),(
)()(
212
c) i (z zzf
c) x xy i (y - y x i v u f(z)
2
22
)(
2
xy
v
x
u2
-
39
(a) Verifica que u(x, y) = x3 3xy2 5y es armnica en todo
el plano complejo.
(b) Encontrar la funcin armnica conjugada de la funcin u.
066
6 ,56 ,6 ,33 )(
2
2
2
2
2
2
2
222
xxy
u
x
u
xy
uxy
y
ux
x
uyx
x
ua
Cxyyxx,yv
Cxxhxhxhxyx
v
xhyyxyx,v
xyy
u
x
v yx
x
u
y
vb
53)( :entonces Y
5)( ,5)(' ),('6
)(3) ( primera,laIntegrando
56 ; 33 )(
32
32
22
-
40 Como veremos en el siguiente captulo..
-
41
En el siguiente ejercicio se resuelve la misma cuestin de
forma alternativa...
-
42
Ejercicio: Demostrar que si u y v son armnicas conjugadas
mutuamente, entonces son funciones constantes.
Ejercicio: Si u es armnica conjugada de v en un dominio D,
entonces u es armnica conjugada de v en D.
xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222
v(x,y) es armnica conjugada de u(x,y), pero que si
intercambiamos ambas no es cierto. Es decir, que 22),(;2),();,(),()( yxyxvxyyxuyxivyxuzf
no es analtica.
Ejercicio: Demuestra que para
-
43
Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921)
(o Zhukovsky o Joukowski)
La transformacin de
Zhukovsky
zzw
1
Ms general:
z
azw
2
La imagen de un crculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva
similar a la seccin transversal de un ala de avin.