MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1 RAÍCES

RAÍCES DE ECUACIONES

DEFINICIÓN

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Solución de una ecuación algebraica de primer grado

es solución de:

Solución de una ecuación algebraica de segundo grado

es solución de:

BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ

MÉTODOS GRÁFICOS

Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan.

BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES

RAÍCES DE POLINOMIOS

EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN INGENIERÍA

RAÍCES DE ECUACIONES

MÉTODO GRÁFICO

f(x)

x

Visual

xr

MÉTODO GRÁFICOx f(x)0 1

0.05 0.901229420.1 0.804837420.15 0.710707980.2 0.618730750.25 0.528800780.3 0.440818220.35 0.354688090.4 0.270320050.45 0.187628150.5 0.106530660.55 0.026949810.6 -0.051188360.65 -0.127954220.7 -0.20341470.75 -0.277633450.8 -0.350671040.85 -0.422585070.9 -0.493430340.95 -0.56325898

1 -0.63212056-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0.57

xe)x(f x -= -

MÉTODO DE BISECCIÓN

1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se

garantice que la función tiene raíz.

2. El segmento se bisecta, tomando el punto de

bisección xm como aproximación de la raíz buscada.

3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.

4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

bisección xm, coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.

PASO 1.

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f si

PASO 2.

La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:

i sr

x xx

2

PASO 2. (CONTINUA)

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

2si

m

xxx

+=

PASO 3.

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raíz:

1. Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la raíz esta en el subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; f(xi)=f(xm) y continua paso 2.

2. Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la raíz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; f(xs)=f(xm) y continua paso 2.

1. El proceso se repite n veces, hasta que el

punto de bisección xm, coincide prácticamente

con el valor exacto de la raíz.

PASO 4.

MÉTODO DE BISECCIÓN

Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84  

2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33

3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00

4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11

5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26

6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70

7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37

8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69

9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34

10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17

11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09

12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04

13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02

14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01

Intervalos Función Raíz media

Valor Verdadero = 0.567143xe)x(f x -= -