Métodos Numéricos 04
Click here to load reader
-
Upload
nestor-balcazar-a -
Category
Technology
-
view
17.755 -
download
0
description
Transcript of Métodos Numéricos 04
5.3 Sistemas de ecuaciones no lineales5.3 Sistemas de ecuaciones no lineales
Un problema relacionado con obtener raíces de una sola ecuación nolineal consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecuacionessimultáneas,
f1(x1,x2,…,xn)=0f2(x1,x2,…,xn)=0
. .
. .
. .fn(x1,x2,…,xn)=0
La solución de éste sistema consta de un conjunto de valores xi quesimultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales acero.
5.3.1 Iteración de punto fijo para sistemas no linealesEjemplo Iteración de punto fijo para un sistema no lineal
Planteamiento del problema. Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces del sistema de ecuacionesu(x,y)=x2+xy-10=0 (a)v(x,y)=y+3xy2-57=0 (b)Solución.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
⌧ ⌧
⌧
u(x,y)=x2+xy-10=0
v(x,y)=y+3xy2-57=0
Para el método de iteración de punto fijo deberá cumplirse
Un posible conjunto de fórmulas recursivas es
Se selecciona como puntos de partida x=1.5, y=3.5
1
1
<∂∂
+∂∂
<∂∂
+∂∂
yv
yu
xv
xu
i
ii
iii
xy
y
yxx
357
10
1
1
−=
−=
+
+
5.3.2 M5.3.2 Méétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphsonConsidConsidéérese el sistema no linealrese el sistema no linealu(x,yu(x,y)=0)=0v(x,yv(x,y)=0)=0Utilizando la expansiUtilizando la expansióón en series de Taylorn en series de Taylor
La raLa raííz aproximada corresponde a los valores de z aproximada corresponde a los valores de xx y y yy, donde , donde uuii+1+1 y y vvii+1+1
son iguales a ceroson iguales a cero
yv
yyxv
xxvv
yu
yyxu
xxuu
iii
iiiii
iii
iiiii
∂∂
−+∂∂
−+=
∂∂
−+∂∂
−+=
+++
+++
)()(
)()(
111
111
yv
yxv
xvyyv
xxv
yu
yxu
xuyyu
xxu
ii
iiii
ii
i
ii
iiii
ii
i
∂∂
+∂∂
+−=∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+−=∂∂
+∂∂
++
++
11
11
Debido a que se conocen todos los términos con subíndice i, las únicas incognitas son xi+1 y yi+1. Entonces se obtendrá un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas
xv
yu
yv
xu
xv
uxu
vyy
xv
yu
yv
xu
yuv
yvu
xx
iiii
ii
ii
i1i
iiii
ii
ii
i1i
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
−=
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
−=
+
+
Ejemplo Newton-Raphson para un sistema no linealPlanteamiento del problema. Con el método de Newton Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces del sistema de ecuacionesu(x,y)=x2+xy-10=0 (a)v(x,y)=y+3xy2-57=0 (b)SoluciónAproximación inicial: x=1.5 y=3,5
32.5)6(1.5)(3.516xy1 yv
36.753(3.5)3yxv
5.1u
6.53.52(1.5)y2xx
u
0
22o
0
o
=+=+=∂∂
===∂∂
==∂∂
=+=−=∂∂
xy
uo=-2.5vo=1.625Los nuevos valores de (x,y) son
x=2.03603 y=2.84388
xv
yu
yv
xu
yv
uyu
vyy
xv
yu
yv
xu
yu
vyv
uxx
iiii
ii
ii
ii
iiii
ii
ii
ii
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
−=
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
−=
+
+
1
1
Ejercicios
Ejercicio 1. Calcule las raíces de las siguientes ecuacionessimultáneas no lineales usando a. El método de iteración de punto fijo. b. El método de Newton Raphson
x=y+x2-0.5y=x2-5xy
Emplee los valores iniciales de x=y=1.
Ejercicio 2. Una reacción elemental A+B→C es llevada a cabo en unreactor de tanque agitado. El componente A ingresa a una tasa deflujo de 12 mol/s y a una temperatura de 25 ºC. La reacción esexotérmica y se utiliza agua de enfriamiento a 50ºC para absorber elcalor generado. El balance de energía considerando capacidadcalorífica constante, puede ser escrito como
donde FA0 = tasa de flujo molar (mol/s)X = conversión∆Hr = calor de reacción (J/mol A)CA = capacidad calorífica de A (J/mol K)
T = Temperatura del reactor (ºC)To = Temperatura de referencia (25 ºC)Ta = Temperatura del agua de enfriamiento (20 ºC)U = Coeficiente global de transferencia de calor (W / m2 K)A = Área de transferencia de calor (m2)
Para una reacción de primer orden, la conversión puede ser calculadade
Donde t es el tiempo de residencia del reactor en segundos y k es latasa de reacción específica en s-1 definida por la ecuación de Arrhenius
Resuelva la ecuación de balance de energía para la temperatura ybusque las temperaturas de operación en estado estacionario delreactor y las conversiones correspondientes a éstas temperaturas. Datos adicionales
Ejercicio 3. Un reactor tubular a fuego directo es usado en el craqueotérmico de hidrocarburos livianos o naftas para la producción deolefinas, tales como etileno. Los reactantes son precalentados en lasección convectiva del quemador, mezclado con vapor y luegosometido a altas temperaturas en la sección radiante del quemador. La transferencia de calor en la sección radiante del quemador tomalugar a través de tres mecanismos: radiación, conducción yconvección. El calor es transferido por radiación desde las paredes delquemador a la superficie de los tubos, y éste es transferido a través delos tubos por conducción y finalmente al fluido dentro de los tubos porconvección.
Los tres mecanismos de transferencia de calor son cuantificados de lasiguiente forma:
1. Radiación: La ley de Stefan-Boltzman de radiación puede serescrita como