MTODOS DE RUNGE-KUTTALa idea general de los Mtodos de Runge-Kutta es sustituir el Problema de Valor Inicial:

Por la ecuacion integral equivalente:

Para proceder a aproximar esta ultima integral mediante un metodo numerico adecuado (recordemos que y(x) es desconocida). Si nuevamente planteamos el problema paso a paso tendremos:

1. MTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDENLa primera opcin que podemos aplicar es integrar mediante el mtodo de los trapecios, es decir tomando:

Al ser desconocida yn+1 en la expresin anterior, lo aproximaremos por n+1, donde n+1 es la estimacin de yn+1 que resultara aplicando el mtodo de Euler. Tendremos as:

Con:

Y llegaremos a la expresin del mtodo:

Lo normal es presentar el mtodo con las expresiones siguientes:

Comparando este mtodo con el mtodo de Taylor de segundo orden, es posible demostrar que el error local es tambin proporcional a h^3 y, por tanto, el global lo es a h^2:

2. MTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDENSe trata de la misma idea pero integrando por el Mtodo de Simpson, entonces:

Donde n+1 e(n+) son estimaciones, puesto que yn+1 ey(n+ ) no son conocidos. La estimacion de (n+) se hace por el mtodo de Euler:

Mientras que la estimacin de (n+1) se pueden considerar varias opciones, por ejemplo:

es decir el Mtodo de Euler de nuevo, o por ejemplo:

Que consiste en variar el Mtodo de Euler tomando la pendiente de la recta tangente en el punto medio en vez de la tangente en el punto propiamente dicha. Finalmente, lo ms usual es tomar una combinacin de las dos opciones:

Podemos entonces resumir el Mtodo de Runge-Kutta de tercer orden en la forma:

Finalmente, aadir que el error local en el Mtodo de tercer orden es proporcional a h^4 y en consecuencia el global lo es a h^3.

3. MTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDENLos Mtodos de Runge-Kutta de cuarto orden se deducen de una manera similar a la expuesta en la seccin anterior para el caso de tercer orden. Ahora se introduce un nuevo paso intermedio en la evaluacin de la derivada. Una vez ms se presentan varias opciones en la evaluacin y es posible ajustar de tal manera que se garantice el error local de manera proporcional a h^5 (es decir garantizando exactitud en el cuarto orden en el polinomio de Taylor), lo cual lleva a un error global proporcional a h^4. El Mtodo de cuarto orden ms habitual es el determinado por las formulas siguientes:

Que al igual que el mtodo de tercer orden est basado en el mtodo de interaccin de Simpson. Los errores local y global son en este caso proporcionales a h^5 y h^4 respectivamente