CEROS DE FUNCIONES“MÉTODO DE PUNTO FIJO"

Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco

Universidad Privada Antenor Orrego

Agosto del 2012

Método de Punto Fijo

El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.

ProblemaSea

f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero

Método de Punto Fijo

El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.

ProblemaSea

f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero

Método de Punto Fijo

¿Cómo se realiza?Transformar

f (x) = 0 ⇒ x = g(x)

Método de Punto Fijo

Proceso iterativoValor inicial x0Primera iteración x1 = g(x0)Segunda iteración x2 = g(x1)Tercera iteración x3 = g(x2)......i-esima iteración xi = g(xi−1)(i + 1)-esima iteración xi+1 = g(xi)

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solución de la ecuación

f (x) = 2x2 − x − 5

con x0 = 2.

Solución:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.

x = g(x) =

√x + 5

2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solución de la ecuación

f (x) = 2x2 − x − 5

con x0 = 2.

Solución:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.

Caso 2.

x = g(x) =

√x + 5

2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solución de la ecuación

f (x) = 2x2 − x − 5

con x0 = 2.

Solución:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.

x = g(x) =

√x + 5

2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

Criterio de convergenciaPara determinar si la sucesión x0, x1, x2, ... esta convergiendo odivergiendo a una raíz x , cuyo valor se desconoce, puedecalcularse en el proceso iterativo la sucesiónf (x0), f (x1), f (x2), ... si dicha sucesión tiende a cero, el procesoconverge a x , y dicho proceso se continuará hasta que|f (xi)| < ε1. Si f (x0), f (x1), f (x2), ... no tiende a cero, la sucesiónx0, x1, x2, ... diverge a x y el proceso deberá detenerse y elegirun nuevo g(x).

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π

8 .

Solución:

Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π

8 y tomamos otro g(x).Caso 2.

x = g(x) =cos x

3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π

8 .

Solución:

Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π

8 y tomamos otro g(x).

Caso 2.x = g(x) =

cos x3

La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π

8 .

Solución:

Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x

La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π

8 y tomamos otro g(x).Caso 2.

x = g(x) =cos x

3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.

Método de Punto Fijo

Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε

TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].

Método de Punto Fijo

Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε

TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].

Método de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.

Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.

x = g(x) =20

x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20

Caso 3.

x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20

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Método de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.

Solución: Analizando los siguientes casos

Caso 1.x = g(x) =

20x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20

Caso 3.

x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20

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Método de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.

Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.

x = g(x) =20

x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20

Caso 3.

x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20

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Método de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.

Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.

x = g(x) =20

x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20

Caso 3.

x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20

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Método de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.

Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.

x = g(x) =20

x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20

Caso 3.

x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20

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Método de Punto Fijo

EjercicioEncuentre la raíz real positiva de f (x) = ln x − x + 2 = 0,usando el método de punto fijo, con la tolerancia de ε = 10−4

aplicado a |xi+1 − xi | < ε.

Método de Punto Fijo

AlgorítmoPara determinar una raíz f (x) = 0 dado un valor x1razonablemente próximo a la raíz.Reordenar la ecuación en una forma equivalente: x = g(x)REPEATHacer x2 = x1Hacer x1 = g(x1)UNTIL |x1 − x2| < TOLERANCIA