METODO DE NEWTON-RAPHSON.docx

Instituto tecnológico superior de Irapuato

Sistemas eléctricos

De Potencia II

Solución de flujos de potencia

Método de Newton-Raphson

Alumno: Gutiérrez Zaragoza Edgar


En este trabajo veremos el método de Newton-Raphson resolveremos el siguiente problema:

El pequeño sistema de potencia q se muestra. Tienen datos de línea y de barra dados en las tablas 1 y 2. Se hace un estudio de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson mediante la forma polar de las ecuaciones para P y Q. Determine el número de filas y columnas en la jacobiana. Calcule el error inicial ∆ P3

1 y los valores iniciales de los elementos de la jacobiana de la (segunda fila, tercera columna); de la (segunda fila, segunda columna); y de la (quinta fila, quinta columna). Use los valores especificados y los valores d voltaje iniciales estimados que se muestran en la tabla 2.

Línea de barra a barra

Serie Z Serie Y=Z-1 Y en paraleloR X

Por unidad por unidadG B

Por unidad por unidadMVAR-Total Y/2De carga por unidad

1-2 0.01008 0.05040 3.815629 -19.078144 10.25 0.051251-3 0.00744 0.03720 5.169561 -25.847809 7.75 0.038752-4 0.00744 0.03720 5.169561 -25.847809 7.75 0.038753-4 0.01272 0.06360 3.023705 -15.118528 12.75 0.06375

Tabla # 1. Base 100MVA, 230kV.

Barra GeneraciónP,MW Q,MVAR

CargaMW MVAR

VPor unidad

Observaciones

1 ----- ----- 50 30.99 1.00 0° Compensación2 0 0 170 105.35 1.00 0° Carga3 0 0 200 123.94 1.00 0° carga4 318 ------ 80 49.58 1.02 0° Generación

Tabla # 2. Los valores Q de la carga se calculan de los correspondientes valores de P suponiendo un factor de potencia de 0.85


1

43

2

Abedul Olmo

Pino Arce

Matriz de admitancia de barras

No. De barra

1 2 3 4

1 8.98519- j44.835629

-3.815629+ j19.078144

- 5.169561+ j25.847809

0

2 -3.815629+ j19.078144

8.98519- j44.835629

0 - 5.169561+ j25.847809

3 - 5.169561+ j25.847809

0 8.193267- j40.863838

-3.023705+ j15.118528

4 0 - 5.169561+ j25.847809

-3.023705+ j15.118528

8.193267- j40.863838

Tabla # 3. Calores por unidad redondeados a 6 lugares decimales

Solución: se necesita una matriz jacobiana de 6x6 si se especificaran P y Q para las restantes tres barras, porque la barra de compensación no tiene filas ni columnas en esa matriz. Sin embargo, se especifica (se mantiene constante) la magnitud del voltaje en la barra 4 y así, la jacobiana será una matriz de 5x5 se necesita la forma polar de los elementos fuera de la diagonal de la tabla 3 con el fin de calcular ∆ P3calc a partir de los voltajes estimados y especificados de la tabla 2.

Para calcular las magnitudes:

Y31=√((−5.1695 )2¿+ (25.8478 )2)¿=26.359; Y34=√((−3.0237 )2¿+ (15.1185)2)¿=15.41

Y21=√((−38156 )2¿+ (19.0781 )2)¿=19.455; Y24=√((−5.1695 )2¿+ (25.8478 )2)¿=45.727

Para calcular el ángulo el resultado q sale se le suma 180:

θ31=tan−1( 25.847−5.169 )=−78.69+180=101.30993 °

θ31=θ21=θ34=θ24=θ43

Y31 = 26.3596 ∠101.30993 °; Y34 = 15.417934 ∠101.30993 °;

Para calcular la jacobiana hay cuatro formulas Pi=|V 1|2Gii+∑

n=1n≠i

N

|V iV nV ¿|cos ¿¿) para

calcular J11, para la J21 se utiliza la formula Qi=−|V 1|2Bii−∑

n=1n≠ i

N

|V i V n V ¿|sen ¿¿), para


la J12 es la formula |V i|∂Qi

∂|V i|=

−∂Pi

∂δi−2|V i|

2B ii y la cuarta fórmula para la J22 es

|V i|∂Pi

∂|V i|=

∂Qi

∂δ i+2|V i|

2Gii con estas se calcula toda la jacobiana los 4 bloques.

Y el elemento de la diagonal Y33 = 8.1932 – j40.863838. Como Y32 y los valores iniciales δ 3

0 y δ 40 son cero, se obtiene de la ecuación (9.38)

P3 , calc(0 ) =|V 3|

2G33+|V 3V 1Y 31|cosθ31+|V 3V 4Y 34|cosθ34

¿ (1.0 )28.193267+ (1.0 x1.0 x26.359695 ) cos (101.30993 ° )+(1.0x 1.2x 15.417934 ) cos (101.30993 ° )

=-0.06047 por unidad

La potencia real programada dentro de la red a través de la barra 3 es de -2.00 por unidad y así el error inicial que se desea calcular es igual a

Δ P3 ,(0)=Pi prog−Pi calc

Δ P3 , calc(0) = -2.00 – (-0.06047) = -1.93953 por unidad

Calculo de P4 ,calc(0 )

P4 ,calc(0 ) =|V 4|


P4 ,calc(0 ) =|1.02|28.1932+|1.02 x 1x 26.3596|cos(101.3099)+|1.02 x1 x15.417|cos (101.30993)

P4 ,calc(0 ) =0.1671 por unidad

Calculo de Δ P4 ,(0)

Δ P4 ,(0)=P4 prog−P4 calc

Δ P4 ,(0)=318−80

100−.01671=2.2129 porunidad

Calculo de P2 ,calc(0 )

P2 ,calc(0 ) =|V 2|

2G22+|V 2V 2Y 21|cos θ21+|V 2V 4Y 24|cosθ24


P4 ,calc(0 ) =|1|28.9551+|1x 1x 19.4559|cos(101.3099)+|1 x1 x26.3596|cos (101.3099)

P4 ,calc(0 ) =−0.10338 por unidad



Δ P2 ,(0)=−170

100+0.10338=−1.597 por unidad

Calculo de Q3 , calc(0 )

Q3 , calc(0 ) =−|V 3|

2B33+|V 3V 1Y 31|senθ31+|V 3V 4Y 34|senθ34

Q3 , calc(0 ) =−|1|2−40.8638−|1 x1 x26.3596|sen (101.3099 )−|1 x1.02 x15.4179|sen(101.3099)

Q3 , calc(0 ) =−0.4048 por unidad

Calculo de ΔQ3 ,(0)

ΔQ3 ,(0)=Q3 prog−Q3 calc

ΔQ2 ,(0)=−123.94

100+0.4048=−0.8346 porunidad

Calculo de Q2 ,calc(0 )

Q2 ,calc(0 ) =−|V 2|

2B22+|V 2V 1Y 21|senθ21+|V 2V 4Y 24|senθ24

Q3 , calc(0 ) =−|1|2−44.8359−|1 x1 x19.4559|sen (101.3099 )−|1 x1.02 x 26.3596|sen(101.3099)

Q3 , calc(0 ) =−0.6067 por unidad


ΔQ2 ,(0)=Q prog−Q2 calc


Δ P2 ,(0)=−105.35

100+0.6067=−0.4468 por unidad

El elemento de la jacobiana (primera fila, tercera columna) es, usando la ecuación siguiente

∂P i

∂δ j=−|V iV jY ij|sin (θij+δ j−δ−i )

∂P2

∂ δ4=−|V 2V 4Y 24|sin (θ24+δ 4−δ 2 )

∂P2

∂ δ4=−|1x 1.02x 26.3596|sin (101.30993 )

∂P2

∂δ4=−26.3646 por unidad

Y de la ecuación siguiente el elemento de la (primera fila, primera columna) es:

∂P i

∂δ j=∑

n=1n≠i

N

|V iV n Y ¿|sin (θ¿+δ n−δ i )=−∑n=1n≠i

N ∂Pi

∂δn

∂P2

∂δ2=

−∂ P2∂δ 1

−∂P2∂δ3

−∂P2

∂δ 4

¿|V 2V 1Y 21|sin (θ21+δ1−δ2 )−0−(−26.346)

= (1x1x19.4559)sin (101.30993 ° ) + 26.346

=45.4426 por unidad

El elemento de la jacobiana (segunda fila, tercera columna) es:

∂P3

∂ δ4=−|V 3V 4Y 34|sin (θ34+δ 4−δ3 )

= - (1x1.02x15.417934) sin (101.30993 ° )

= - 15.420898 por unidad


Y de la ecuación siguiente el elemento de la (segunda fila, segunda columna) es:

∂P i

∂δ j=∑

n=1n≠i

N

|V iV n Y ¿|sin (θ¿+δ n−δ i )=−∑n=1n≠i

N ∂Pi

∂δn

∂P3

∂ δ3=

−∂ P3∂δ 1

−∂ P3∂δ2

−∂ P3∂δ 4

¿|V 3V 1Y 31|sin (θ31+δ1−δ3 )−0−(−15.420898)

= (1x1x26.359695)sin (101.30993 ° ) + 15.420898

=41.268707 por unidad

Para el elemento de la (cuarta fila, tercera columna) es:

∂Q 2

∂δ 4=−|V 2V 4Y 24|cos (θ24+δ 4−δ2 )

∂Q 2

∂δ 4=−|1.02 x 1x 26.3596|cos (101.30993 )

∂Q 2

∂δ 4=5.273 porunidad

Para el elemento de la (cuarta fila, primera columna) es:

∂Q 2

∂δ 2=|V 2V 1Y 21|cos (θ21+δ1−δ2 )−0−(−5.273)

∂Q2

∂ δ 2=|1x1 x19.4559|cos (101,30993 )+5.273

∂Q 2

∂δ 2=−9.088 por unidad


Para el elemento de la (quinta fila, tercera columna) es:

∂Q 3

∂δ 4=−|V 3V 4Y 23|cos ( θ34+δ 4−δ3 )

∂Q3

∂ δ 4=−|1.02 x 1 x 15.4179|cos (101.30993 )

∂Q 2

∂ δ 4=3.0841 porunidad

Para el elemento de la (quinta fila, segunda columna) es:

∂Q 3

∂δ 3=|V 3V 1Y 31|cos (θ31+δ1−δ3 )−0−(3.0841)

∂Q 3

∂δ 3=|1x 1x 26.3596|cos (101.30993 )−3.0841

∂Q3

∂ δ 3=−8.254 porunidad

Para el elemento de la (primera fila, cuarta columna), la ecuación siguiente

|V i|∂Qi

∂|V i|=

−∂Pi

∂δi−2|V i|

2B ii=Qi−|V i|2B ii

Da:

|V 2|∂P2∂|V 2|

=∂Q2

∂δ 2+2|V 2|

2G22

|V 2|∂P2∂|V 2|

=−9.089+2|1|2(8.9851)


|V 2|∂P2∂|V 2|

=8.8812 por unidad

Para el elemento de la (segunda fila, quinta columna), la ecuación siguiente

|V 3|∂P3∂|V 3|

=∂Q3

∂δ 3+2|V 3|

2G33

|V 3|∂P3∂|V 3|

=−8.254+2|1|2(8.1932)

|V 3|∂P3∂|V 3|

=8.132 por unidad

Para la tercera fila, cuarta columna es igual que la cuarta fila, tercera columna pero consigno negativo porque es de carga (P) igual para la tercera fila, quinta columna con la quinta fila, tercera columna.

Para el elemento de la (cuarta fila, cuarta columna) es:

|V i|∂Qi

∂|V i|=

−∂Pi

∂δi−2|V i|


|V 2|∂Q2

∂|V 2|=

−∂P2∂δ2

−2|V 2|2B22

|V 2|∂Q2

∂|V 2|=−45.443−2|1|2(−44.8354 )

|V 2|∂Q2

∂|V 2|=44.228 porunidad

Para el elemento de la (quinta fila, quinta columna) es:

|V i|∂Qi

∂|V i|=

−∂Pi

∂δi−2|V i|



|V 3|∂Q3

∂|V 3|=

−∂P3

∂δ3−2|V 3|

2B33

= - 41.268707 – 2(1)2 (-40.863838) = 40.458969 por unidad

En los lugares donde el valor es cero es porque no hay conexión entre las barras

|23423|[ 45.443 0 −26.365

0 41.269 −15.421−26.365−90890

−15.4210

−8.254

41.2695.2733.084

8.882 00

−5.27344.2290

8.133−3.0840

40.459] [

∆δ 2∆δ 3∆δ 4

∆|V 2||V 2|∆|V 3||V 3|

]=[−1.597−1.9402.213

−0.447−0.835

]Para calcular los valores para las correciones de voltaje de la primera iteracion se hace la siguiente operación.

Matriz inversa de la jacobiana es

[ 45.443 0 −26.3650 41.269 −15.421

−26.365−90890

−15.4210

−8.254

41.2695.2733.084

8.882 00

−5.27344.2290

8.133−3.0840

40.459]

¿ [.0374 .0105 .0280.0105 .0300 .0180.02800043.0000

.0180

.0000

.0048

.0482

.0000

.0000

−.0042 .0000.0000 −.0047.0001.0217.0000

.0001

.0000

.0238]

Multuplicacion de la matriz jacobiana por la matriz de errores

[ .0374 .0105 .0280.0105 .0300 .0180.02800043.0000

.0180

.0000

.0048

.0482

.0000

.0000

−.0042 .0000.0000 −.0047.0001.0217.0000

.0001

.0000

.0238] x [−1.597−1.940

2.213−0.447−0.835

]Método de Newton-Raphson

-1

¿ [−0.93094−1.7879−1.54383−0.0167−0.0291

][∆ δ 2∆ δ3∆ δ4

∆|V 2||V 2|∆|V 3||V 3|

]El resultado se le suman los voltajes y ángulos pero como los ángulos anteriores son cero quedan igual:

¿ [−0.93094−1.7879−1.54383−0.0167−0.0291

]+[00011]=[−0.93094−1.7879

−1.54383.9833.9709

]Entonces estos valores actualizados se usan para recalcular la jacobiana y los errores de la segunda iteración. El conjunto de voltajes actualizados en la primera iteracion son:

[−0.93094−1.7879−1.54383.9833.9709

]El conjunto de voltajes actualizados en las barras al finalizar la primera iterasion son:

No. De barra i 1 2 3 4δ i grados 0 -0.930 -1.787 -1.543

|V i( por unidad )| 1.0 0.983 0.9709 1.02

Estos voltajes recalculados se usan entonces para recalcular la jacobiana y los errores de la segunda iteracion, y se sigue el prroceso susecivamente.

Empezamos a calcular la jacobiana (J11) con la primera fila, cuarta columna de la parte de P (potencia activa):


∂P2

∂ δ4=−|V 2V 4Y 24|sin (θ24+δ 4−δ 2 )

∂P2

∂δ4=−|.9833 x 1.02 x 26.3596|sin (101.30993−1.5438−(−1.7879))

=-25.9020 por unidad

Calculo de primera fila, primera columna:

∂P2

∂δ2=

−∂ P2∂δ 1

−∂P2∂δ3

−∂P2

∂δ 4

∂P2

∂δ2=|V 2V 1Y 21|sin (θ21+δ 1−δ 3 )−(−25.9020)

∂P2

∂δ2=|.9833 x 1x19.4559|sin (103.3099+0+1.7879 )−(−25.9020)

= 44.5352 por unidad

Calculo de la segunda fila, tercera columna:

∂P3

∂ δ4=−|V 3V 4Y 34|sin (θ34+δ 4−δ3 )

∂P3

∂δ4=−|.9709 x 1.02 x 15.4179|sin (101.3099−1.5438+1.7879 )

= -14.9592 por unidad

Calculo de la segunda fila, segunda columna

∂P3

∂δ3=|V 3V 1Y 31|sin (θ31+δ 1−δ 3 )−(−14.9592)

∂P3

∂ δ3=|.9709 x 1x 26.3596|sin (103.3099+0+1.7879 )+14.9592


Las valores de la tercera fila columna 1 y 2 son los mismos que los de la tercera columna fila 1 y 2. Y el valor dela fila tres y columna tres es la suma de la los valores de fila tres y columna 1 y 2.


Ahora calcularemos la parte de Q (potencia reactiva) de la J21 cuarta fila tercera columna:

∂Q 2

∂δ 4=−|V 2V 4Y 24|cos (θ24+δ 4−δ2 )

∂Q2

∂ δ 4=−|.9833x 1.02x 26.3596|cos (101.30993−1.5438+.9309 )

= 4.9072 por unidad

Calculo de la cuarta fila, primera columna

∂Q2

∂ δ 2=|V 2V 1Y 21|cos ( θ21+δ1−δ2 )−(4.9072)

∂Q 2

∂ δ 2=|.9833 x 1x 19.4559|cos (101.30993+ .9309 )−4.9072


Calculo de la quinta fila, tercera columna

∂Q 3

∂δ 4=−|V 3V 4Y 34|cos (θ34+δ 4−δ3 )

∂Q3

∂δ 4=−|.9833 x 1.02 x 15.4179|cos (101.30993−1.5438+1.7879 )

= 3.1035 por unidad

Calculo de la quinta fila, segunda columna

∂Q3

∂ δ 3=|V 3V 1Y 31|cos (θ31+δ1−δ3 )−(3.1035)

∂Q 3

∂ δ 3=|.9833 x 1x 26.3596|cos (101.30993+.9309 )−3.1035


Ahora calcularemos la J12 de la P (potencia activa) empezaremos por la primera fila, cuarta columna


|V 2|∂P2∂|V 2|

=∂Q2

∂δ 2+2|V 2|

2G22

|V 2|∂ P2∂|V 2|

=−9.2424+2|.9833|2(8.9851)

= 8.1326 por unidad

Calculo de la segunda fila, quinta columna

|V 3|∂P3∂|V 3|

=∂Q3

∂δ 3+2|V 3|

2G33

|V 3|∂ P3∂|V 3|

=−8.9891+2|.9709|2(8.1932)

= 6.4574 por unidad

Los valores de la tercera fila, columna 4 y 5 son iguales q los de columna tres, fila 4 y 5 pero con el signo contrario porque en la J12 son de P y en la J21 son de Q.

Ahora calcularemos la J22 de la Q (potencia reactiva), calculando la cuarta fila, cuarta columna

|V 2|∂Q2

∂|V 2|=

−∂P2∂δ2

−2|V 2|2B22

|V 2|∂Q2

∂|V 2|=−44.5552−2|.9833|2(−44.8354)

= 42 .1465 por unidad

Calculo de la quinta fila, quinta columna

|V 3|∂Q3

∂|V 3|=

−∂P3

∂δ3−2|V 3|

2B33

|V 3|∂Q3

∂|V 3|=−39.8872−2|.9709|2(−40.8638)


La terminamos la jacobina que queda de esta manera


[ 44.5352 0 −25.90200 39.8872 −14.9592

−25.9020−9.2424

0

−14.95970

−8.9891

40.86124.90723.1035

8.1326 00 6.4574

−4907242.14650

−3.10350

37.1530]

Ahora empesaremos a calcular la matriz de los errores

Emperaremos a calcular P2 ,calc(1)

P2 ,calc(1) =|V 2|

2G22+|V 2V 1Y 21|cos θ21+|V 2V 4Y 24|cosθ24

P2 ,calc(1) =|0.9833|2(8.9851)+|0.9833 x 1x 19.45|cos(101.3099)+|0.9833 x1.02 x26.3596|cos(101.30993)

= - 0.2491 por unidad


Δ P2 ,(1)=P2 prog−P2calc

Δ P4 ,(0)=−170

100−(−.2491)

= - 1.4508 por inidad

Calculando P3 , calc(1)

P3 , calc(1) =|V 3|


P3 , calc(1) =|.9709|2(8.1932)+|.9709 x 1x 26.3596|cos(101.3099)+|.9709 x1.02 x15.4179|cos (101.30993)


Calculando Δ P3 ,(1)

Δ P3 ,(1)=P3 prog−P3calc

Δ P3 ,(1)=−200

100−(−0.2903)



Calculando P4 ,calc(1)

P4 ,calc(1) =|V 4|


P4 ,calc(1) =|1.02|2(8.1932)+|1.02 x 0.9833 x26.3596|cos (101.3099)+|1.02 x .9709 x 15.4179|cos(101.30993)

= 0.4035 por unidad

Calculando Δ P4 ,(1)


Δ P4 ,(1)=318−80

100−0.4035 = 1.9765 por unidad

Calculo de Q3 , calc(1)

Q3 , calc(1) =−|V 3|

2B33+|V 3V 1Y 31|senθ31−|V 3V 4Y 34|senθ34

Q3 , calc(1) =−|0.9709|2(−40.8638)−|0.9709 x1 x26.3596|sen (101.3099 )−|0.9709 x 1.02x15.4179|sen(101.3099)

= -2.113 por unidad


ΔQ3 ,(1)=Q3 prog−Q3 calc

Δ P2 ,(0)=−123.94

100−(−2.113)

= 0.8736 por unidad

Calculo de Q2 ,calc(1)

Q2 ,calc(1) =−|V 2|

2B22+|V 2V 1Y 21|senθ21−|V 2V 4Y 24|sen θ24

Q2 ,calc(1) =−|0.9833|2(−44.8359)−|0.9853 x1 x19.4559|sen (101.3099 )−|0.9833 x1.02 x26.3596|sen(101.3099)



ΔQ2 ,(1)=Q prog−Q2 calc


ΔQ2 ,(1)=−105.35

100−(−1.3659)


La matriz de errores queda: [−1.4508−1.70971.97650.31240.8736

]Y así es como queda la matriz completa

|23423|[ 44.5352 0 −25.9020

0 39.8872 −14.9592−25.9020−9.2424

0

−14.95970

−8.9891

40.86124.90723.1035

8.1326 00 6.4574

−4907242.14650

−3.10350

37.1530][

∆δ2∆ δ3∆ δ 4∆|V 2||V 2|∆|V 3||V 3|

]=[−1.4508−1.70971.97650.31240.8736

]La matriz inversa de la jacobiana es:

[ 44.5352 0 −25.90200 39.8872 −14.9592

−25.9020−9.2424

0

−14.95970

−8.9891

40.86124.90723.1035

8.1326 00 6.4574

−4.907242.14650

−3.10350

37.1530]

¿ [0.0383 0.0109 0.02870.0108 0.0311 0.01850.02890.00500.0002

0.01880.00020.0060

0.04960.00050.0003

−0.0040 0.00050.0001 −0.00390.00020.02270.0000

0.00090.00000.0259

]Semultiplica la matriz inversa con la nueva matriz de errores octenida:


-1

[0.0383 0.0109 0.02870.0108 0.0311 0.01850.02890.00500.0002

0.01880.00020.0060

0.04960.00050.0003

−0.0040 0.00050.0001 −0.00390.00020.02270.0000

0.00090.00000.0259

] x [−1.4508−1.70971.9765.31240.8736

]=[−0.0183−0.356−0.02480.00050.0128

][−0.0183−0.356−0.02480.00050.0128

]+[−0.93094−1.7879−1.54383.9833.9709

]=[ −.949−2.143−1.5670.9830.983

]El conjunto de voltajes actualizados en las barras al finalizar la segunda iterasion son:

No. De barra i 1 2 3 4δ i grados 0 -.949 -2.143 -1.567

|V i( por unidad )| 1.0 0.983 0.983 1.02

Estos voltajes recalculados se usan entonces para recalcular la jacobiana y los errores de la tercera iteracion, y se sigue el prroceso susecivamente.


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