Programacin Lineal.Mtodo Algebraico de Programacin Lineal

ProblemaEj. 1.- Una Carpintera elabora dos tipos de bates para baseball, uno de peso ligero usado en los juegos de ligas de menores y otro de peso mediano que se vende a los equipos de las ligas mayores.El bate de menores requiere 1 minuto de torneado en tanto que el bate de mayores requiere 2 minutos de torneado, puesto que se le debe dar la forma y el peso especial. Por tanto, el bate de menores requiere 3 minutos de mquina lijadora y el otro requiere 2 minutos. El laqueado es hecho a mano y entonces solo puede producirse 400 medianos a la semana.Cada semana se dispone 1000 minutos de torno y 1800 minutos de mquina lijadora. Hay tanta demanda que garantiza las utilidades de S/o 3.00 por cada bate ligero y de S/o4.00 por el otro. Determine el programa de produccin ptima que le d la mxima utilidad a la Carpintera.

Identificacin de variablesX1= N de bates ligeros producidos por semana

X2=N de bates medianos producidos por seman

Z= utilidad por semana

Formulacin del problema como un PrMax z= 3x1 + 4x2Sujeto aX1 + 2x2 1000 (tiempo disponible torno)3x1 + 2x2 1800 (tiempo disponible lijadora)X2 400X1 0x2 0

Forma cannica y variables de holgMax z= 3x1 + 4x2 + 0h3 + 0h4 + 0 h5Sujeto aX1 + 2x2 + h3 = 10003x1 + 2x2 + h4 = 1800X2 + h5 = 400

Xj 0, hj 0, j=1,2,3,4,5

Soluciones BsicasEl nmero de soluciones bsicas segn el clculo combinatorio es 5!/(2! 3!) = 10Las que se detallan como sigue:1. (h3,h4,h5)6. (x1,x2,h4)2. (x2,h3,h4)7. (x1,x2,h5)3. (x2,h4,h5)8. (x1,h3,h4)4. (x2,h3,h5)9. (x1,h3,h5)5. (x1,x2,h3)10. (x1,h4,h5)

Solucin bsica factible inicialDesarrollamos en primer lugar una solucin que utilice solo las holguras h3, h4, h5 implicaX1=x2=0De donde resultah3= 1000 minutos de tiempo en tornoh4=1800 minutos de tiempo en lijadorah5 = 400 bates medianos no producidosComo los costos asociados a las holguras son 0, entonces z=0

Variables bsicas y no bsicasLas variables que se encuentran en la solucin se denominan bsicas y las otras (x1, x2) se denominan no bsicas.Redisponemos la solucin inicial como sigue:h3= 1000 x1 2x2h4 = 1800 -3x1 2x2h5 = 400 x2Si se produce un bate ligero (x1=1), h3 disminuir en 1 y h4 en 3. E.d. cada coeficiente asociado con una variable indica la merma producida en la holgura

Mejorar la solucin bsica factible iniciQu variable que no est en la solucin inicial debe ingresar en reemplazo de una de las variables (de holgura) que estn en la solucin bsica inicial, para mejorar la utilidad z=0 ?

Cul es la mxima cantidad de variables que puede ingresar a la solucin bsica?

Seleccin de la variable ingresantePara mejorar la utilidad z=0 observamos la funcin objetivo, y se selecciona la como variable ingresante aquella que proporciona el mayor incremento de z = 3x1 + 4x2En nuestro caso se deduce x2

Seleccin de variable salienteLa variable ingresante x2 nos permite determinar la variable saliente a partir de las variables bsicas inicialesh3= 1000 x1 2x2(4)h4 = 1800 -3x1 2x2(5)h5 = 400 x2(6)Lo mximo en x2 depende del torno y lijadora y la no negatividad de las variables, as como x1=0

De las ecuaciones (4), (5) y (6)Max x2 = 1000/2 = 500Max x2 = 1800/2 = 900Max x2 = 400/1 = 400El mximo nmero de bates medianos que pueden producirse es el menor de los 3 valores calculados, es decir 400, que resulta de la ecuacin (6), que expresa la variable h5 que define la variable que sale. De otro modo resultaran valores negativos alguna de h3, h4 o h5

La nueva solucin bsicaX2= 400 h5(7)h3 = 1000 x1 2(400 h5)h3 = 200 x1 + 2h5(8)h4= 1000 3x1 + 2h5(9)Z = 3x1 + 4(400 h5)Z= 1000 + 3x1 4h5(10)X2 = 400h3 = 200h4 = 1000, x1=h5=0 lo que implica z1= 1600

Mejorando la segunda solucin bfLa variable que debe ingresar para mejorar z1=1600 observamos la nueva funcin z= 1600 +3x1-4h5, de donde se deduce que debe ingresar x1De la ecuacin (8) con h5=0Max x1 = 200De la ecuacin (9) max x1 = 1000/3 = 333.3El mnimo de estos valores se obtiene de (8) que define x3 como la variable que sale

De (8) x1 = 200 h3 + 2h5 (11)h4 = 1000 3(200 h3 +2h5) +2h5h4 = 400 + 3h3 4h5(12)Z=1600+3(200-h3+2h5)-4h5Z=2200-3h3+2h5(13)De (7), (11), (12) tercera solucin con h3=h5=0 esX1=200 X2=400h4=400Z = 2200

Mejorando la tercera solucinDe la funcin objetivo (13) Z=2200-3h3+2h5 nos da la posibilidad de mejorar Z mediante el ingreso de h5, pues h5=1 entonces z aumenta en 2 solesSiguiendo el procedimiento anteriorDe (7) se obtiene que max h5 = 400De (11) se obtiene que max h5 = 200/2De (12) obtenemos max h5 = 100La ecuacin (12) es la ms restrictiva, entonces sale h4

Cuarta solucin factible mejoradaDespejando x5 de (12)X5 = 100 + 3h3/4 h4/4(14)Reemplazando (14) en (7) obtenemosX2=300 3h3/4 + h4/4(15)Reemplazando (14) en (11) se obtieneX1=400 + h3/2 h4/2(16)Z=2400 3h3/2 h4/2Z =2400 es mximo, x3=x4=0, x1=400, x2=300, x5=100 es el ptimo

Esquema del Mtodo de maximizacin1.- Formular el problema2.- Convertir las restricciones en ecuaciones mediante las variables de holgura3.- Diseo de la solucin bsica factible inicial4.- Mejorar la solucin bsica factible i) se selecciona la variable ingresante con la que mejore z ii) con sta variable se selecciona la variable saliente a partir de las restricciones iii) despejar de la ecuacin clave la variable que ingresa y reemplazar en las ecuaciones restantes.

5.- verificacin del ptimoi) reemplazar la ecuacin clave obtenida en el paso 4.iii en la funcin objetivo. Si todos los coeficientes de las variables son negativos y ceros el problema ha sido resuelto y la solucin es ptima.Ii) De otro modo se revisa el programa haciendo ingresar la variable en la funcin objetivo cuyo coeficiente positivo es el mayor

6.- repetir 4.ii, 4.iii y 5) hasta alcanzar el ptimo

Algoritmo de minimizacinEl procedimiento es similar

A) Se selecciona la variable ingresante a la que mejore z; es la del trmino ms negativo

B) Se alcanzar la solucin ptima cuando todos los coeficientes de la funcin objetivo son ceros y positivos

MTODO SIMPLEXFormulacin del programa:Max (z=cx )Sujeto a Ax = bX 0

n > mA es de orden mxn

Teorema 1Dado un programa de PL en el cual no pueden existir soluciones factibles degeneradas y que ha formado una solucin bsica factible en funcin de las m primeras variables, puede formarse una nueva solucin bsica factible introduciendo la variable xk si al menos un elemento de la k-sima columna de la matriz reducida es positivo

Teorema 2 de la Solucin ptimaDado un problema de PL en el cual son imposibles las soluciones bsicas factibles degeneradas, en el que la solucin ptima es nica y donde pueden formarse soluciones bsicas factibles adicionales, la solucin mxima debe ser una solucin factible

Teorema 3 de la variable de entradSi se tiene un problema de PL y su solucin bsica factible. Existe una variable xk para la cual se puede realizar el clculo de mediante su propia regla, se puede generar otra solucin que mejora el valor de la funcin objetivo

Tablero 1

Algoritmo simplex 1.- Transformar la forma cannica a la forma estndar y luego pasar el sistema a la forma matricial del tablero 12. Calcular la fila z = ciaij; k=1,2, , n3. calcular cj zja) Si para al menos un j sta diferencia es positivo y si al menos un aij para ste j es positivo, existe un mejor programa; si las aij son negativos, la funcin objetivo es no acotada. b) Si todos los cj zj son negativos y ceros, el programa es ptimo.

4

Pasos 4 y 5Estando en el caso 3a identificamos la variable que da el mayor cj zj como xk. Llamamos x a la variable que se reducir a cero al aplicar la regla del mnimo cuociente5.- Dividimos la r-sima fila por a rk para reducir a 1 el correspondiente elemento de ark en la tabla siguiente. Efectuamos las operaciones de fila que reduciran a cero todos los otros elementos de aik

Paso 6Repetimos los paso 3, 4 y 5 hasta que se cumpla la condicin 3b

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