Programación Lineal

Método algebraico

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Introducción

Conjuntos convexos, teoremas

Forma canónica y estándar de un P.L.

Soluciones básicas posibles

Método Algebraico

IO1 R.Delgadillo

Conceptos

Conjunto convexo: Un conjunto de puntos S es convexo, si el segmento de línea que une cualquier par de punto de S esta en S.

Esto es, S es un conjunto convexo, si para todo

0,1 )1( 21 paraSxx

Sxi

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Conceptos

AB

A B

A

B

A

B

A

B

Conjuntos convexos

Conjuntos no convexos

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Conceptos

Punto extremo: Un punto P es denominado punto extremo (esquina) , si todo segmento de línea que esta completamente en S y contiene a P, tiene a P como punto extremo del segmento de línea.

Esto es si P no puede ser representado como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos en S.

)1,0(

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Conceptos

x3

x2

P.

.

.

Punto extremo

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Conceptos

Región Factible: Es un conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones del problema

Teorema 1: La región factible de un problema de programación lineal es un conjunto convexo y tiene un número finito de puntos extremos.

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Conceptos

Solución óptima: Es un punto de la región factible con mayor valor de la F.O. (problema de Max)

Teorema 2: Todo problema de programación lineal que tiene solución óptima, tiene un punto extremo que es óptimo.

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Problemas de PL

Forma genérica ó canónica de un PPL, se denomina así cuando se escribe

objetivofunción la de toscos

0

,..1 ; ,...,1 ..

Zmax1

j

j

ijij

o

n

jjj

cdonde

x

njmibxaas

cxc

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Problemas de PL

Variables artificiales: se denominan así a las variables que se agregan al problema con la finalidad de hacer una restricción de desigualdad en igualdad.

Si la restricción es >= la variable artificial es de exceso

Si la restricción es <= la variable artificial es de holgura.

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Problemas de PL

Forma normal ó estándar de un PPL, se denomina así cuando se escribe

Esto es, todas las restricciones son de igualdad

objetivofunción la de toscos

0

,..1 ; ,...,1 ..

Zmax1

j

j

ijij

o

n

jjj

cdonde

x

njmibxaas

cxc

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Ejemplo:

Dado el siguiente problema en la forma genérica

Max z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 <= 9

x1 + 2 x2 <= 16

x1, x2 > 0

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Ejemplo:

La forma normal se obtiene agregando las variables de holgura

Max z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 + x3 = 9

x1 + 2 x2 + + x4 = 16

x1, x2 , x3, x4 > 0

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Conceptos

Base: De un espacio vectorial es cualquier conjunto de vectores que pertenezcan al espacio y que además:

Son linealmente independientes

Son un conjunto generador del espacio vectorial.

Ejemplo:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3- 0 0

2 1 0

0 1 1v1 v2 x3 v1 v2 v3

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Conceptos

Dado un sistema de ecuaciones lineales, de nvariables y m restricciones:

suponga n ≥ m,

=> si n-m variables tomen valor =0, garantiza que las m variables restantes asuma valores únicos.

bAX

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Conceptos Variables no Básicas: Son las variables

que no pertenecen a la base y toman valores iguales a cero.

# VNB = # variables – # restricciones.

= n – m

Variable Básicas: Son aquellas variables que pertenecen a la base y toman valores positivos (≥0)

#VB = # de restricciones =m

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Conceptos Solución Básica: Es una solución que

satisface Ax = b y cuyas VB ≥0 y VNB = 0.

así las columnas asociadas a las VB son linealmente independiente.

Solución Básicas posible: Son soluciones básicas con valores de sus variables todos ≥0

Solución Básica degenerada: Son soluciones básicas en las que algunas VB toman valor igual a cero.

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Conceptos

Solución Básica óptima: Es una solución básica posible y cuyo valor de Z (F.O.) es máximo.

Solución adyacente básica posiblesDos soluciones básicas posibles son adyacentes, si sus conjuntos de variables básicas tienen m-1 variables básicas en común.

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Ejemplo

Grafique e identifique, soluciones básicas, soluciones básicas posibles, solucion básica óptima.

max z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 <= 9

x1 + 2 x2 <= 16

x1, x2 > 0

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Ejemplo

Agregando las variables de holgura se tiene:

Max z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 + x3 = 9

x1 + 2 x2 +x4 = 16

x1, x2, x3, x4 > 0

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Ejemplo

(0,0,9,16)(9,0,0,7} (16,0,-7,0)

(2,7,0,0)

(0,9,0,-2)

(0,8,1,0)

x2=0

x4=0

x1=0

x3=0Sol. óptima

Sol. básica

Sol. Básica factible

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Método Algebraico

El método consiste en :

Generar una solución básica posible

Evaluar si la solución básica es óptima

En caso que no lo es, generar una nueva solución básica posible, tal que

Znuevo > Zanterior

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Método algebraico

Del problema anterior

Max z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 + x3 = 9

x1 + 2 x2 + + x4 = 16

x1, x2 , x3, x4 > 0

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Método algebraico

La primera base es la formada por las variables de holgura:

B1 = { x3, x4}

NB = { x1, x2} , x1 = x2 = 0

=> x3 = 9

x4 = 16

Z = 0

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Método algebraico

Escribimos las Variables básicas y Z en función de las no básicas.

Usemos la función explícita:

x3 = 9 – x1 – x2

x4 = 16- x1 –2x2

z = 0 + 3x1 + 4x2

Variablesbásicas

Variables no básicas

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Método algebraico

Evaluamos si SBP es óptima;

observememos que si x1 ó x2 <>0

Z crece.

=> (x3, x4) no es solución óptima.

Criterio de solución óptima: ninguna de las variables de la no base tienen coeficientes estrictamente positivos

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Método algebraico

Generamos otra base, por el intercambio de una de las variables de la base y de la no base; esto es, sale una variable de la base y entra una variable de la no base.

Es más facil ver la variable que sale que la que entra.

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Método algebraico

Criterio para la variable que entra en la base: debe entrar la variable que tenga mayor coeficiente positivo; que hace que Z crezca rápidamente.

En el ejemplo la variable que entra es x2. X1 permanece con valor cero (x1=0)

B2 = {x2, ?}

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Método algebraico

Criterio para la variable que sale de la base: debe salir la variable que toma valor cero cuando la variable que entra toma su máximo valor. Esto es limita el crecimiento de la variable de entrada pues todas las variables deben ser ≥ 0 ( Xi ≥0).

Como x1 =0; se tiene

x3 = 9 – x2 ≥ 0 => x2 ≤9

x4 = 16 –2x2 ≥ 0 => x2 ≤ 8

=> x2 = 8 y X4 = 0 , => sale x4

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Método algebraico

Ahora la base es:

B2 = {x2, x3} y NB = {x1,x4}

Y el valor de las variables es:

x2 = (16- x1- x4)/2 = 8- ½ x1 –½ x4 x3 = 1-1/2 x1 + ½ x4

Z = 32 + x1 – 2x4

Evaluamos si es óptimo:

si entra x1=> Z crece,

si entra x4 => Z decrece.

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Método algebraico No es óptimo! =>

Generamos nueva solución posible

La variable que entra es : x1 y x4 permanece con valor cero. (x4 =0)

Variable que sale es:

x2 = 8 - ½ x1 ≥ 0 => x1 ≤ 16

x3 = 1-1/2 x1 ≥ 0 => x1 ≤ 2

ahora x1 = 2 => x3 =0 sale x3

ahora B3 = {x1, x2} y NB = {x3,x4}

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Método algebraico

El valor de las variables básicas es:

x1 = 2 –2x3 +x4

x2 = 7 + x3 – x4

Z = 34 – 2x3 –x4

Evaluamos si es óptimo: no hay variable no basica que haga crecer Z

=> si es óptimo!

x1= 2

x2 = 7

Z = 34.

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Método algebraico

9 16

9

x2=0

x4=0

x1=0

x3=0Sol. óptima

B1={x3,x4}

B2={x2,x3}

B3={x1,x2}

8

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Método algebraico Resuelva el siguiente ejercicio:

0,,

72

62

..

35max

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

as

xxxz