MEDICIONES DE LONGITUD Y TEOR IA DE ERROR · seg un la escala y unidad de medici on. El material de...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

COMPLEJO ACADEMICO EL SABINO

AREA DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA

COORDINACION DE LABORATORIOS DE FISICA

GUIAS DE LOS LABORATORIO DE FISICA IY LABORATORIO DE FISICA GENERAL

MEDICIONES DE LONGITUD YTEORIA DE ERROR

Actualizacion el 29 de Octubre de 2011

Practica 1

Mediciones de longitud y teorıa de error.

1.1. Objetivos

Basado en la teorıa del error, el conocimiento de los tipos de error y aproximaciones, calcular

eficientemente la incertidumbre presente en los calculos y mediciones fısicas fundamentales.

Efectuar mediciones directas a distintos solidos para el calculo del volumen, considerando el

error cometido.

1.2. Equipos y Materiales

Debe traer el Equipo: Del Laboratorio:

- Calculadora. - Un (1) Tornillo Micrometrico.- Una (1) Cinta metrica. - Un (1) Vernier “Calibre Pie de Rey”.- La guıa de laboratorio (para cada alumno). - Varios solidos de geometrıa regular.

1.3. Fundamentos Teoricos

1.3.1. Reglas graduadas para medir longitud.

En una regla graduada la medida viene definida por la distancia entre los trazos de cada division;

segun la escala y unidad de medicion. El material de fabricacion de la regla esta en funcion de

la aplicacion para la cual esta destinada y de la precision requerida. Segun al uso de las reglas

graduadas las mas corrientes son:

(a) Metros Plegables

2

PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORIA DE ERROR. 3

(b) Cintas Metricas

Figura 1.1: Reglas graduadas mas usadas

1.3.2. Instrumentos mecanicos de medicion: El Nonio, Nonius o Vernier

El calibre “Pie de Rey” o vernier es en esencia una regla graduada, perfeccionada para aumentar

la seguridad y precision de las mediciones. En la Fig. 1.2 se muestra en su mayor simplicidad. Como

puede verse, esta formado por una regla graduada, uno de cuyos extremos forma una pata (quijada

de medicion) (1); sobre la regla va montado un cursor deslizante (2) solidario a una segunda pata

(quijada de medicion)(3). Un trazo o ındice en el cursor (4) indica, sobre la escala de la regla, la

distancia entre las superficies de contacto de las patas (quijadas), para cualquier posicion de estas.

Figura 1.2: Vernier o “Calibre Pie de Rey”

Como puede apreciarse en la Fig. 1.3, entre las ventajas del vernier en comparacion con la simple

regla graduada, es no exigir la apreciacion visual de la coincidencia del cero y la simplificacion de

la lectura, al hacerse esta por la coincidencia de dos trazos.

LAB. FISICA I Y LAB. FISICA GENERAL

4 1.3. FUNDAMENTOS TEORICOS

Figura 1.3: Coincidencias de trazos entre las escalas

Cuando el ındice no coincide con alguna division de la escala, se usa el vernier, del cual deriva

el nombre del instrumento. Consiste en una segunda reglilla o escala (nonio) grabada en el cursor

(Fig. 1.4).

Figura 1.4: Vernier y la escala nonio

Para mayor claridad en la explicacion, consideraremos el nonio de un vernier dispuesto para

medir con aproximacion de decimas de milımetro. La reglilla tiene una longitud de 9mm y esta di-

vidida en 10 partes iguales, como puede verse en la Fig. 1.5. Por consiguiente, si la apreciacion de

la escala principal es de 1mm, entonces las divisiones de la escala secundaria tendran una longitud

de 910

de milımetro. La apreciacion del instrumento es la diferencia entre la apreciacion de la regla

principal y la apreciacion del nonio:(1− 910)mm = 1

10= 0, 1mm.

Figura 1.5: Escala nonio con coincidencia en la segunda marca

En una medicion, para determinar la fraccion de la menor division de la escala principal, basta

INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE


con determinar cual de las marcas del nonio coincide con alguna de las marcas de la escala principal.

Por ejemplo, si la marca coincidente es la tercera (Fig. 1.6), entonces la fraccion de milımetro es

0, 2 (la primera corresponde al cero). La razon de esto es la siguiente: si la tercera marca es la

que coincide, entonces la segunda marca estara desplazada 0,1mm con respecto a la marca mas

cercana de la escala principal, y la primera (correspondiente al cero) estara desplazada 0,2 mm.

Figura 1.6: Escala nonio con coincidencia en la tercera marca

Hay una gran variedad de estos instrumentos, debido a que han sido adaptados a diversos usos

en la medicion. El mas comun es el tipo Mauser, que se muestra en la Fig. 1.7, y es el que usaremos

en el laboratorio. Se caracteriza por la disposicion doble de las patas: patas T y T’ para medir

longitudes exteriores (espesores, diametros, etc.), como se muestra en la Fig. 1.8. M y M’ para

medir longitudes interiores como: cavidades, diametros interiores, etc. (Fig. 1.9), y una lamina L

para medir profundidades (Fig. 1.10).

Figura 1.7: Vernier tipo Mauser



Figura 1.8: Medicion de diametros exteriores

Figura 1.9: Medicion de diametros interiores

Figura 1.10: Medicion de profundidad

El vernier tipo Mauser que usaremos, tiene una apreciacion de 120mm. En la Fig. 1.11 se aprecia

una medida de 3,095cm hecha con este vernier.



Figura 1.11: Vernier de 120mm

1.3.3. Instrumentos mecanicos de medicion: El tornillo micrometrico

El tornillo micrometrico o micrometro, es un instrumento utilizado para medir con precision de

centesimas de milımetro. El funcionamiento del micrometro se basa en el avance que experimenta

un tornillo montado en una tuerca fija, cuando se lo hace girar. Como se ilustra en la Fig. 1.12,

dicho desplazamiento es proporcional al giro del tornillo. Por ejemplo, si al tornillo (2) se lo hace

girar dentro de la tuerca fija (1), al dar una vuelta completa en el sentido “a”, avanza en el sentido

“b” una longitud denominada “paso de la rosca”; si gira dos vueltas, avanza una longitud igual a

dos pasos, y si gira un cincuentavo o una centesima de vuelta, el extremo avanzara un cincuentavo

o una centesima de paso.

Figura 1.12: Avance de un tornillo

Una disposicion practica del micrometro se muestra en la Fig. 1.13. Como puede verse esta for-

mado por un cuerpo en forma de herradura (7), en uno de cuyos extremos hay un tope o punta de

asiento (1); en el otro extremo hay una regla fija cilındrica graduada en medios milımetros (2), que

sostiene la tuerca fija. El tornillo, en uno de sus extremos forma el tope (3) y su cabeza esta unida

al tambor graduado (4). Al hacer girar el tornillo se rosca o se desenrosca en la tuerca fija y el

tambor avanza o retrocede solidario al tope (3).



Figura 1.13: Partes del Micrometro

Cuando los topes (1) y (3) estan en contacto, la division 0 (cero) del tambor coincide con el

cero (0) de la escala; al irse separando los topes se va descubriendo la escala y la distancia entre

ellos es igual a la medida descubierta de la escala (milımetros y medios milımetros) mas el numero

de centesimas indicado por la division de la escala del tambor que se encuentre en coincidencia

con la lınea horizontal de la escala fija.

Por ejemplo, en la Fig. 1.14(a) se ve la posicion del tambor para una separacion de los topes de

7,25mm, y en la Fig. 1.14(b) para una medida de 7,84mm; en este ultimo caso el tambor indica

34 centesimas, pero, como en la escala fija hay descubiertos 7, 5mm(7 rayas superiores completas,

mas una raya inferior), la medida indicada es de 7, 50 + 0, 34 = 7, 84mm.

Figura 1.14: Escalas del Micrometro

Dada la gran precision de los micrometros, una presion excesiva de los topes sobre la pieza que

se mide, puede falsear el resultado de la medicion, ademas de ocasionar dano en el micrometro con

la perdida permanente de la precision.



1. Para evitar este inconveniente, el tornillo se debe girar por medio del pequeno tambor mold-

eado (5) en la Fig. 1.13, el cual tiene un dispositivo de escape limitador de la presion.

2. Antes de efectuar cualquier medida, se debe liberar el freno o traba (6 en la Fig. 1.13) y

una vez realizada esta, se debe colocar la traba, para evitar una alteracion involuntaria de

la medida.

El cuerpo del micrometro esta debidamente constituido para evitar las deformaciones por flexion.

En los micrometros de muy buena calidad, el material utilizado en su construccion es acero tratado

y estabilizado. Los topes tienen caras de contacto templadas y rigurosamente planas. No obstante

todas estas precauciones, la durabilidad y el buen funcionamiento de un micrometro dependen del

trato racional y sensato que reciba.

1.3.4. Precision y Exactitud

La teorıa de error se basa en consideraciones estadısticas y de calculo (derivadas parciales,

derivadas logarıtmicas y analisis numerico) para obtener “buenas” aproximaciones:

(a) Cantidades medidas directamente (Mediciones Directas).

(b) Cantidades calculadas a partir de valores medidos (Mediciones Indirectas).

La medicion es un proceso para determinar el valor de una cantidad en terminos de una unidad

patron establecida por un sistema de medicion. Como resultado de la medicion se obtiene lo

siguiente:

Una unidad en terminos de la cual es establecido el resultado (metros, segundos, kilogramos,

etc.).

Un numero que establece el resultado en terminos comparativos con la unidad patron de

medicion.

Una incertidumbre o estimacion del rango dentro del cual, probablemente, esta el valor

verdadero de la medicion.

El resultado de una medicion es un numero o valor acompanado de la respectiva unidad de

medicion. Dicho numero obtenido en la medicion lo llamaremos el valor de la medida y su ındice

de confianza comprende dos aspectos:

Precision: Este termino se refiere a dos aspectos, el primero relacionado con el numero de

cifras significativas que representan una cantidad. El segundo se relaciona con la extension

en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fısica.



Es la concordancia entre sı del conjunto de medidas realizadas en igualdad de condiciones

experimentales con las mismas tecnicas e instrumentos, es decir la precision se refiere a la

dispersion de las medidas unas con relacion a las otras. Una gran importancia entre ellas

indica alta precision y, una gran separacion significa baja precision. Ademas la precision

esta estrechamente vinculada con la apreciacion del instrumento y con los errores aleatorios.

En la medida que sea menor la influencia de los errores aleatorios y mas sensibles sera el

instrumento de medicion, mayor sera la precision.

Exactitud: Se refiere a la aproximacion de un numero o de una medida al valor verdadero

que se supone representa. Es la concordancia de las medidas “valores observados” con el

“valor verdadero” de la magnitud bajo estudio.

En la practica, se toma como valor verdadero un patron, un valor teorico o el resultado de otra

medida realizada con metodos e instrumentos mas precisos. La exactitud esta estrechamente

relacionada con los errores sistematicos, ası la presencia de errores sistematicos disminuye la

exactitud.

Ambos conceptos quedan perfectamente ilustrados usando la analogıa del buen “tirador al blan-

co”. En el Apendice 1 los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema representan las

predicciones (diferentes mediciones) y el centro del tiro al blanco representa la verdad. La inexac-

titud (conocida tambien como sesgo) se define como un alejamiento sistematico de la verdad. Este

ejemplo de un buen tirador, ilustra el concepto de exactitud y precision. Ası se tiene las siguientes

situaciones: (a) inexacto e impreciso, (b) exacto e impreciso, (c) inexacto y preciso, (d) exacto y

preciso.

1.3.5. Mediciones directa e indirectas

Se puede diferencial dos tipos de mediciones a saber: Mediciones Directas y Mediciones Indi-

rectas. Se dice que una medicion es Directa cuando el valor de la magnitud se obtiene comparando

directamente la magnitud considerada con su correspondiente unidad patron o por la indicacion

de un instrumento calibrado previamente con la unidad patron correspondiente. Se dice que una

magnitud es Indirecta y, se ha considerado por un proceso de medicion indirecto cuando su valor

se obtiene empleando una ecuacion conocida que relaciona a la magnitud considerada con otras

magnitudes x1, ..., x2, ..., xn que se pueden medir directamente.

1.3.6. El error de observacion

Es el valor de la diferencia entre el “valor verdadero” y el “valor observado” de la magnitud a

medir. El error de observacion no obedece a leyes simples, mas bien, es el resultado de la accion



combinada de muchos factores.

Los errores se clasifican en cuatro categorıas:

(a) Errores sistematicos: Son aquellos que contribuyen a desviar el valor verdadero de la

medicion en la misma direccion, provienen de una mala calibracion del instrumento o aparato

de medicion, lo que conduce forzosamente a desviaciones que sobreestiman y subestiman la

medida realizada. Este error influye en la exactitud de la medida.

(b) Errores personales: Los generamos con nuestra inexperiencia, las limitaciones por la ca-

pacidad cognoscitiva relacionadas con la observacion y destreza y poca familiaridad e interes

con el laboratorio, lo que se manifiesta con el uso inapropiado de los aparatos.

(c) Errores de escala: Se debe a la precision o resolucion limitada que presenta cualquier

aparato de medida por bueno que sea este. Ademas, puesto que la resolucion de un aparato

de medida es limitada, nunca sera posible determinar una magnitud con mayor precision que

la que tenga este aparato.

(d) Errores accidentales o aleatorios: Son los causados por las fluctuaciones de posibles

variables (por ejemplo, cambios de temperatura, presion, humedad, polvo en el ambiente, etc.)

que no pueden ser controladas en el experimento. Esto le confiere un caracter imprevisible

(ALEATORIO) e inevitable, de manera que se distribuyen al azar y pueden ser tratadas

estadısticamente.

1.3.7. Error absoluto y relativo

Una vez que se ha cuantificado el error contenido, este debe aparecer junto al valor de la

magnitud medida experimentalmente, de manera que el resultado completo aporte informacion

sobre el valor y sobre la calidad de su medida. Esto se hace indicando el error absoluto (∆) y/o

relativo (ε).

Error absoluto (∆): Se expresa en las mismas unidades que la medida (x) a la que acom-

pana, y permite comparar directamente esta con su imprecision. Segun esto el resultado final

se debe expresar como:

Magnitud = (x ± ∆x)Unidad. El error es la suma de los errores de escala y de los errores

accidentales.

Error relativo(ε): Cuando se lleva a cabo una serie de medidas con distintos aparatos o con

el mismo, pero a diferentes escalas, es necesario disponer de algun modo de comparacion para

la calidad de la medicion. En este caso recurrimos al error relativo (ε) en forma de fraccion

o en forma de porcentaje.



ε =∆x

|x| , o ε(%) =∆x

|x| ∗ 100%

De la misma manera que el error absoluto es la suma de los errores de escala y de los errores

accidentales.

εx = εescala + εaccidental

1.3.8. Estimacion de Errores Accidentales

Para asegurar la fiabilidad de una medida directa, debemos repetir el mismo experimento un

cierto numero de veces; siendo el resultado mas probable de la medicion el valor de la Media

Aritmetica del conjunto de datos registrados. Supongamos que se han realizado N medidas de

de una determinada magnitud x. El valor promedio o media aritmetica es el mejor estimador del

valor verdadero y su valor se calcula aplicando la siguiente formula:

x =

N∑

i

xi

N,

N∑

i

xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn. (1.1)

Este resultado representa el “valor mas probable de la medida”, pero este valor no dice nada acerca

del error. El valor del error viene determinado por el calculo de la desviacion tıpica o desviacion

estandar S, que es raız cuadrada positiva de la varianza:

S =

√

√

√

√

√

√

N∑

i

(xi − x)2

N(1.2)

La dispersion reducida de las medias de las muestras se representa con un parametro muy impor-

tante. La desviacion estandar del conjunto de valores medios se conoce con el nombre de “error

estandar de la media”. Se ha comprobado estadısticamente que el “error estandar de la media” se

determina por la siguiente expresion:

S =S√N

(1.3)

Finalmente para estimar el Error Accidental tomando en cuenta el error estandar de la media:

∆xaccidental = 2, 77 ∗ S (1.4)

Donde 2, 77 es el valor obtenido en la tabla de distribucion t-student, para un intervalo de confianza

del 95% y un N = 5, por lo cual este sera el utilizado el Laboratorio de Fısica I y Fısica General.

Entonces el resultado numerico definitivo de la medida se puede expresar como:

x = (x±∆x)

Donde: ∆x = ∆xescala +∆xaccidental



1.3.9. Propagacion del error en las medidas indirectas

Cuando usted realiza una medicion en el transcurso de un experimento, la mayorıa de las veces es

para determinar otra cantidad que esta relacionada con la medida tomada, a traves de una formula

fısica - matematica conocida; como puede ser la expresion de una ley fısica. Esta magnitud fısica

a determinar representa una medicion indirecta, ya que es funcion de otras magnitudes que si se

pueden determinar experimentalmente, es decir directamente. El error presente en cada magnitud

medida directamente se propaga al calculo final de la medicion indirecta. Hay dos maneras distintas

de calcular la propagacion del error:

(a) Metodo de Derivadas Parciales: el error de una medicion indirecta se puede estimar

considerando que los errores de las distintas variables de las que depende son suficientemente

pequenos en comparacion con sus respectivas variables (x >> ∆x). De este modo si se tiene

una funcion de N variables xi cuyos errores son ∆xi, siempre se puede hacer un desarrollo

de TAYLOR despreciando terminos superiores al primero, de manera que

f(xi +∆x1, x2 +∆x2, ..., xN +∆xN ) = f(x1, x2, ..., xN) +

N∑

i

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi

∣

∣

∣

∣

∆xi

Tomando en cuenta que el ultimo termino ∆z es

∆z = f(x1, x2, ..., xN) +N∑

i

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi

∣

∣

∣

∣

∆xi

Visto de otro modo: df(x1, x2, ..., xN ) = fx1 ∗ dx1 + fx2 ∗ dx2 + ... + fxN ∗ dxN Esta es

una funcion de muchas variables, en donde: fx1 = ∂f

∂x1

Es decir la derivada parcial de la

funcion f con relacion a la variable x1, manteniendo fijas las variables x2, x3, xN . Pasando

los diferenciales df a los ∆f = ∆x, obtenemos un metodo para calcular el error absoluto

cometido sobre x. Entonces el error que se propaga a la magnitud derivada sera:

∆z =N∑

i

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xi

∣

∣

∣

∣

∆xi (1.5)

∆z =

∣

∣

∣

∣

∂f

∂x1

∣

∣

∣

∣

∆x1 +

∣

∣

∣

∣

∂f

∂x2

∣

∣

∣

∣

∆x2 + ... +

∣

∣

∣

∣

∂f

∂xN

∣

∣

∣

∣

∆xN (1.6)

Aquı se han anadido los valores absolutos de las derivadas parciales ya que se quiere calcular

el valor maximo y no queremos que haya ninguna cancelacion entre los errores cometidos,

los deltas (∆xi) son por convencion positiva.



(b) Metodo de las Derivadas Logarıtmicas: Este metodo es practico para calcular, rapi-

damente, los errores relativos de cantidades determinadas indirectamente; se basa en la

propiedad del diferencial del logaritmo neperiano de una funcion f , ln f :

d(ln f) =

(

df

f

)

Si f(x1, x2, x3, ..., xN) = z y queremos calcular el error relativo propagado en z igual a ∆zz,

se debe calcular el ln z y escribir entonces, la diferencial de esta funcion.

Es decir que sı por ejemplo: z = x1∗x2

(x3)2. El error en z se escribira: ln z = ln x1 + ln x2 − 2 ln x3

∆z

z=

∆x1

x1

+∆x2

x2

− 2∆x3

x3

Como siempre se quiere el error maximo, es necesario tomar el valor absoluto del coeficiente

de los distintos xN , ası, la expresion anterior sera mas confiable.

1.3.10. Ejemplo practico para el tratamiento del error

Determinacion directa del diametro e indirecta del volumen de una esfera solida.

Diametro (d) en mm (di − d) (di − d)2

15,67 -0,082 0,00672415,68 -0,072 0,00518415,76 0,008 0,00006415,85 0,098 0,00960415,80 0,048 0,002304

Total:78,76 - Total:0,02388



Solucion:

d =

N∑

i

di

N=

d1 + d2 + d3 + d4 + d5

N

=15, 67mm+ 15, 68mm+ 15, 76mm+ 15, 80mm

5

=78, 76mm

5= 15, 75mm

S =

√

√

√

√

√

√

N∑

i

(xi − x)2

N

=

√

0, 02388

5

= 6, 910861017 ∗ 10−2mm

S =S√N

= 3, 090631003 ∗ 10−2mm

∆daccidental = 2, 77 ∗ S= 2, 77 ∗ 3, 090631003 ∗ 10−2mm

= 0, 08561047878mm ≈ 0, 09mm

∆d = ∆descala +∆daccidental

∆d = 0, 01mm+ 0, 09mm

= 0, 10mm

d = (d±∆d)

d = (15, 75± 0, 10)mm

V =π

6d3

V =π

6(15, 75mm)3

Ahora se aplica el Metodo de Derivadas Parciales para determinar la Propagacion del Error sobre

el Volumen

∆V =

∣

∣

∣

∣

∂V

∂d

∣

∣

∣

∣

∗∆d

∆V =∣

∣

∣

π

2(15, 75mm)2

∣

∣

∣∗ 0, 10mm

∆V = 38, 97mm3


16 1.4. EXPERIENCIAS

La expresion final del Volumen de la Esfera sera: V = (V ±∆V ), es decir:

V = (2045, 69± 38, 97)mm3

1.4. Experiencias

1.4.1. Experiencia 1: Ensayo con Vernier y Tornillo Micrometro

Cada equipo se debe familiarizar con el uso del Vernier y el Tornillo Micrometro, a traves de

ensayos dirigidos por el profesor.

1.4.2. Experiencia 2: Medicion de Longitud de los solidos

1. Identificar segun la forma del solido presentado por el profesor la ecuacion para determinar

el volumen total.

2. Una vez identificada la ecuacion del volumen del solido, cada equipo debe realizar cinco (5)

mediciones con el Tornillo Micrometrico o el Vernier a cada longitud que se requiere para

satisfacer la ecuacion.

3. Aplique para cada longitud la “Teorıa de Error” y determine para cada una el Error Absoluto

segun el procedimiento dado en el apartado de los puntos 1.3.8 y 1.3.9 de esta guıa, anotar

los resultados en una tabla.

1.4.3. Experiencia 3: Medicion Indirecta del Volumen de los solidos

1. Utilizando las mediciones realizadas en la Experiencia 2, calcular el volumen total para cada

solido, de acuerdo a la ecuacion que se identifico.

2. Aplicar la “Teorıa de Error” para cada ecuacion de volumen y obtener de esta forma el Error

Propagado de la medicion. Anotar los resultados en una tabla.


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