Derivada y Diferencial

Algebra Lineal

Sistemas de ecuaciones lineales1. Concepto de ecuacin lineal. Sistemas lineales.2. Sistemas de ecuaciones lineales graduados.

3. Mtodo de Gauss para graduar un sistema lineal.

4. Discusin de un sistema dependiente de un parmetro.

Objetivos Mnimos

-Conocer la definicin de ecuacin lineal. Conocer la definicin de sistema de ecuaciones lineales.

- Definicin de sistemas equivalentes y saber que transformaciones nos permiten pasar de un sistema a otro que sea equivalente.-Conocer la definicin de sistema graduado.

Dado un sistema, saber aplicar el mtodo de Gauss para obtener otro graduado equivalente.-Saber discutir un sistema dependiente de un parmetro.Introduccin.-

Hace ms de veinte siglos se public en China el libro titulado

Nueve captulos sobre el arte de las matemticasEn el captulo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de

ecuaciones lineales. As, el sistema:

lo resuelven tranformndolo previamente en este otro del que, fcilmente, se obtiene de modo sucesivo.Por lo tanto, lo que hoy conocemos por mtodo de Gauss, quiz debera llamarse mtodo de Chui-Chang suan shu, que es como se conoce en chino el ttulo de este libro de autor desconocido.

1.-Concepto de ecuacin lineal. Sistemas lineales.Una ecuacin lineal es una ecuacin polinmica de grado uno con una o varias incgnitas.

Son lineales:

No lo son:

Dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes cuando tienen la misma solucin (o las mismas soluciones si tienen ms de una).Si multiplicamos los dos miembros de una misma ecuacin lineal por el mismo nmero (distinto de cero) la ecuacin resultante es equivalente a la dada.

Ejemplo.

Las ecuaciones lineales y son equivalentes.

Tienen las mismas soluciones (puntos por los que pasa esa recta)

Un sistema de ecuaciones lineales es el formado por varias ecuaciones lineales con el fin de determinar la solucin (o soluciones) comn a todas las ecuaciones que conforman dicho sistema.

Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Observacin.- Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que forman parte de los mismos.

Transformaciones en un sistema para obtener otro equivalente.-Las siguientes transformaciones en las ecuaciones de un sistema dan lugar a otro sistema equivalente al dado.

Multiplicar cada miembro de una ecuacin por una constante no nula.

Sustituir una ecuacin por la suma de ella misma y otra cualquiera multiplicada por una constante.En funcin del nmero de soluciones de un sistema stos se clasifican:

2.-Sistemas Graduados.-

Los siguientes sistemas se dicen graduados:

De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incgnita que, en un paso posterior sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el proceso hasta obtener la solucin (o soluciones) del sistema.

As, los anteriores sistemas son compatibles determinados:

Fjate ahora en el siguiente sistema graduado,al tener ms incgnitas que ecuaciones pasamos una de las incgnitas al segundo miembro, obtenemos otro sistema equivalente (graduado). Como las incgnitas estn puestas en funcin de una de ellas(t en este caso) el sistema no tiene solucin nica sino que, en funcin de los valores que le demos a (t), las dems incgnitas tomarn tambin distintos valores. Sistema compatible indeterminado.

A la incnita (t) se le dice parmetro y se representa con una letra griega por ejemplo.

En estas circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones de la forma:

As para

Aunque es menos evidente el siguiente sistema tambin es graduado:

despejamos y en la 2;x en la 1; z en la 3.

3.-Mtodo de Gauss.-

El procedimiento para transformar un sistema cualquiera en otro equivalente graduado se denomina Mtodo de Gauss.Para que el sistema inicial tome la fisonoma del graduado equivalente se van haciendo ceros sometiendo a las ecuaciones a dos transformaciones:

Multiplicar una ecuacin por un nmero distinto de cero.

Sumar a una ecuacin otra multiplicada por un nmero.

Este proceso se realiza de modo muy gil cuando prescindimos de las incgnitas del sistema, y utilizamos slamente los coeficientes de las ecuaciones estructurados en lo que llamaremos matrices numricas.

Ejemplo.-

a)Resuelve mediante Gauss el sistema:

escribimos el sistema en forma matricial y hacemos ceros

El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incgnitas es:

.

b)Resuelve mediante Gauss el sistema:

escribimos el sistema en forma matricial y hacemos ceros

El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incgnitas es:

la ltima ecuacin es imposible; sistema incompatible.

Con los ejemplos anteriores hemos visto que el mtodo de Gauss nos puede llevar a las siguientes situaciones:

El cuadrado rojo representa un nmero cualquiera.

El cuadrado negro representa nmero distinto de cero.

Hay tantas ecuaciones vlidas como incgnitas.

Sistema compatible Determinado.

Hay menos ecuaciones vlidas que incgnitas.

Las incgnitas que estn de ms se pasan al segundo miembro con lo que el valor de las otras depende de stas ltimas.

Sistema Compatible indeterminado.

Si aparece una ecuacin como la indicada, nunca se puede cumplir (cuadrado negro,distinto de cero).

Sistema Incompatible

Ejemplo.-

c)Resuelve mediante Gauss el sistema:

sistema en forma matricial y hacemos ceros.

El sistema es Compatible indeterminado (infinitas soluciones) de la forma:

Solucin:

4.-Discusin de un sistema dependiente de un parmetro.-

En ciertas ocasiones, los coeficientes de las incgnitas no son nmeros sino letras, que reciben el nombre de parmetros. En estos casos es preciso determinar para que valores del parmetro (o parmetros) es, o no, compatible el sistema. En este curso trataremos slamente los sistemas con un nico parmetro.

Ejemplo.-

Resuelve por Gauss el sistema:

sistema con un parmetro (k).

Si queda: Sistema Incompatible. Si queda: en este caso pues, el sistema es Compatible determinado.Observacin.-

En este ltimo caso hay infinitos sistemas (segn los valores de )que son compatibles determinados (cada uno tiene una nica solucin).

Slamente en el caso de el sistema resultante es IncompatibleNo debes confundir los casos en los que un parmetro es alguno de los coeficientes de las ecuaciones del sistema, con los sistemas compatibles indeterminados en los que alguna de las incgnitas funciona como parmetro.Matrices y Determinantes5. Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones. 6. Operaciones con matrices.

7. Matrices Cuadradas.

8. Concepto de Rango de una matriz.9. Definicin de Determinante de una matriz cuadrada.

10. Propiedades de los determinantes.

11. Rango de una matriz y determinantes.

12. Clculo de la inversa de una matriz por determinantes.Objetivos Mnimos

-Conocer la definicin de matriz de orden (mxn). Matriz traspuesta de otra matriz.

Definicin de Matriz simtrica, antisimtrica y matriz triangular.- Principales operciones con matrices.

Especial incidencia en el producto de matrices y sus propiedades. -Trabajo ms exhaustivo y concreto con matrices cuadradas. Clculo de la inversa de una matriz cuadrada por el mtodo de Gauss.-Concepto de rango de una matriz y clculo del mismo (Gauss).- Conocer el concepto de Determinante de una matriz cuadrada. Hacer especial hincapi en las matrices cuadradas de orden 2 y orden 3.

- Principales propiedades de los determinantes.

- Saber calcular el rango de una matriz usando los determinantes.- Aprender a calcular la inversa de una matriz mediante los determinantes.

Introduccin.-

En el tema anterior ya hemos tratado las matrices como cajas numricas en las que se resume de forma estructurada una cierta informacin.

Durante el siglo (XIX), de los estudios de matemticos como Cayley en relacin con las transformaciones geomtricas, surgen las operaciones con matrices que les confieren una slida estructura algebraica.La teora de los determinantes la desarroll por completo Cauchy (s.XIX) en una memoria que expuso en 1812.

En este tema vamos a ver su aplicacin para la resolucin de problemas de tipo geomtrico-algebraico.

Los determinantes tambin tienen aplicacin en otros campos, as en el campo de la Fsica (propagacin de ondas,.........).5.-Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones.-

En el tema anterior ya hemos trabajado con matrices, que como hemos visto son cajas numricas rectangulares formadas por filas y columnas.

En general definimos una matriz de orden (mxn) como una caja de la forma:

Esta matriz tiene m filas y n columnas.Su dimensin es mxn (nmero de elementos).

Si m=1 la matriz se dice vector fila.

Si n=1 la matriz se dice vector columna.

Si m=n la matriz se dice cuadrada de orden (n).Las matrices se suelen denominar con una letra mayscula (A, B,C,....) y abreviadamente se suele escribir .

Dos matrices A y B se dicen iguales cuando son de la misma dimensin y adems coinciden trmino por trmino.

Llamamos traspuesta de , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por las columnas (y viceversa).

Llamamos opuesta de , a la matriz que se obtiene al cambiar el signo de todos los elementos de .

Una matriz se dice simtrica si ( en consecuencia para que sea simtrica necesariamente ha de ser cuadrada).

Una matriz se dice antisimtrica si (en consecuencia para que sea antisimtrica necesariamente ha de ser cuadrada).

Toda matriz cuadrada se puede descomponer de modo nico como suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica .

Si (lo demostraremos ms adelante!).Diagonal principal en una matriz cuadrada son los elementos:

Llamamos matriz triangular aquella que tiene todos los elementos por debajo (o por encima) de la diagonal principal iguales a cero.

6.-Operaciones con matrices.-

Las matrices se pueden sumar, pueden multiplicarse por un nmero y tambin multiplicarse entre s. Cada una de estas operaciones tiene sus particularidades y sus interpretaciones.

Suma de dos matrices.-

Para sumar dos matriceses necesario que tengan la misma dimensin. En tal caso, se suman trmino a trmino:

Producto de un nmero por una matriz.-Para multiplicar un nmero por una matriz, se multiplica ese nmero por cada trmino de la matriz:

Ejemplo.- Sean las matrices

Calcula :

Producto de una matriz fila por una matriz columna.-El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensin, es un nmero que se obtiene multiplicndolos trmino a trmino y sumando los resultados.

Ejemplo.-

Sea el vector fila: y el vector columna

Calcula el producto de F.C:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Producto de dos matrices.-

Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el nmero de columnas de la primera sea igual al nmero de filas de la segunda.En tal caso el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda del siguiente modo:

El producto de matricespuede realizarse siempre que los vectores fila de sean de la misma dimensin que los vectores columna de, y en ese caso, la matriz producto tiene tantas filas como y columnas como .Observa en este ejemplo como funciona el producto de matrices. matriz A: Consumo anual de tres familias de pan,carne y manteca.

matriz B: Precio en del pan,carne y leche en los aos: 2005,06,07,08.

La matriz producto nos d el gasto anual (en cada uno de esos cuatro aos) de cada familia en el total de los tres productos.

Propiedades de las operaciones con matrices.-

Las propiedades de las operaciones con matrices les confieren una estructura muy interesante.

En este curso de 2 de bachillerato no estudiaremos las potencialidades de la estructura algebraica de las matrices, aunque veremos en la prctica el modo de aplicar dichas propiedades (para aprender a manejarlas).Slamente en este apartado, y por la la importancia de su aplicacin en los ejercicios, sealaremos que el producto de matrices no es conmutativo.Ejemplo.-

Comprobemos con algunos ejemplos que el producto no es conmutativo

Si la matriz es de orden (3x4) y la matriz es de orden (4x2) podemos efectuar pero no podemos efectuar

Si la matriz es de orden (3x4) y la matriz es de orden (4x3) podemos efectuar y podemos efectuar pero no pueden ser iguales ya que es de orden(3x3) y de orden(4x4).

Por ltimo, an siendo posible hacer y y que ambos productos sean del mismo orden, no tienen porque ser iguales . Sean: ;: y

Ejercicio.-(pendiente de comprobacin)Vamos a demostrar que toda matriz se puede descomponer en suma de una matriz simtrica y una antisimtrica .

Demostracin.-

Supongamos suma de:(simtrica) y(antisimtrica);

Si tasponemos la anterior igualdad tendremos:

, es decir:

Por la forma de obtener y la descomposicin es nica.

7.-Matrices Cuadradas.-

Ya hemos dicho que las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo nmero de filas que columnas.

Dentro de estas matrices son especialmente relevantes aquellas que tienen todos los elementos nulos, salvo los de la diagonal principal. Reciben el nombre de Matrices Diagonales.

De entre las matrices diagonales, destacan las que tiene todos los elementos no nulos iguales y que llamamos: Matrices Escalares.

De entre las matrices escalares podemos destacar aquellas que tienen todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se llama Matriz Unidad.

La matriz unidad se representa con la letra .Las hay de distinto orden:

Ya hemos estudiado cmo se multiplican dos matrices.

En el conjunto de las matrices cuadradas siempre es posible multiplicar dos matrices (son del mismo orden), aunque el producto no es conmutativo.

Ahora bien, dada una matriz cuadrada, nos planteamos la siguiente pregunta: es posible encontrar alguna matriz que conmute con?

En general la respuesta es negativa , pero para algunas matrices cuadradas s es posible encontrar esa matriz, a la que se le suele llamar inversa de , y se representa por .

La matrizy su inversaconmutan y su producto es la matriz unidad

Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las que no la tienen se llaman singulares.Ejemplo.- Comprueba que la matriz , dada ms abajo, es regular y su inversa es .

El mtodo de Gauss, que veremos a continuacin, nos sirve para obtener la inversa de una matriz (si la tiene) o para descubrir que no la tiene. Inversa de una matriz por el mtodo de Gauss.-Dada una matriz cuadrada de orden (n), queremos averiguar si tiene o no inversa. En caso de que la tenga ( regular) calcular dicha inversa .

La mecnica del mtodo consiste en colocar a la derecha de la matriz la matriz unidad .Haciendo las transformaciones elementales que utilizamos para resolver un sistema, transformar en la matriz unidad , y aplicando esas mismas transformaciones a la matriz , sta se transforma en.Abreviadamente

Si las transformaciones aplicadas sobre la matriz hacen que aparezca una fila toda de ceros, entonces sta no tiene inversa.

Ejemplos.-

Determina, si la tiene, la inversa de la matriz:

Finalmente tendramos que comprobar que la matriz obtenida es la inversa de la matriz . Para ello efectuamos:

Gracias a las propiedades de las operaciones con matrices ( si la matriz tiene inversa) podremos resolver ecuaciones matriciales como:

Ejercicios.-

A)Determina una matriz que verifica la igualdad siendo:

Sol.-Para poder despejar necesitamos calcular la inversa de (si la tiene).

Ahora podemos despejar en la ecuacin:

B)Despejar en la siguiente igualdad:

Sol.-

Efectuamos por tanto:

C) Si es una matriz de orden (n) tal que y siendo la matriz unidad de orden (n).Calcula

Sol.-

Como segn el enunciado tendremos que:

8.-Concepto de rango de una matriz.-

Antes de definir el concepto de rango de una matriz, necesitamos dar una serie de definiciones previas.Una coleccin de (n) nmeros reales dados en un cierto orden se denomina n-upla.As una 2-upla es: una 3-upla es: etc.

Vamos a prestarles mucha atencin a estos elementos pues las filas y las columnas de las matrices son todos n-uplas.

Dadas las 3-uplas (tambin llamadas ternas) siguientes:

Podemos calcular, por ejemplo: A) B) etc.

A una expresin, como la A) o la B) anteriores, se le denomina combinacin lineal de las ternas . A los nmeros se les denomina coeficientes.Como podemos comprobar, sin ms que efectuar las operaciones indicadas, una combinacin lineal de varias ternas es otra terna (en general: n-upla)

A)

B)

Decimos que un conjunto de varias ternas (en general n-uplas) son linealmente dependientes (L D) si alguna de ellas se puede poner como combinacin lineal de las dems.As las ternas: son (LD) pues,como hemos visto en A), es combinacin lineal de .

La terna es combinacin lineal de cualquier conjunto de ternas.

Decimos que un conjunto de varias ternas (en general n-uplas) son linealmente independientes (L I) si ninguna de ellas se puede poner como combinacin lineal de las dems.

Las ternas son (LI) pues ninguna de ellas se puede poner como combinacin lineal de las dems.

En algunos casos, como el que acabamos de ver, es evidente la independencia o la dependencia lineal. En general el recurso ms efectivo para saber si un conjunto de n-uplas es independiente o no dice:

La condicin necesaria y suficiente para que un conjunto de m n-uplas sea (LI) es que cualquier combinacin lineal de las mismas igualada a la n-upla los coeficientes han de ser cero. Es decir:

Entre las filas de las matrices (y tambin entre las columnas) puede haber relaciones de dependencia lineal. El conocimiento de la relacin de dependencia entre las filas, es de gran importancia para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.En este contesto podemos ahora definir:

Rango de una matriz es el nmero de filas linealmente independientes.

Tambin podramos definir el rango cmo el nmero de columnas de la matriz que son (LI). En este caso nos podemos formular la pregunta:

Es posible que en una matriz el nmero de filas (LI) sea distinto del nmero de columnas (LI)? La respuesta es negativa.

Teorema.-En cualquier matriz, el nmero de filas (LI) coincide con el nmero de columnas (LI). Segn sto, el Rango de una matriz es el nmero de filas o de columnas que son (LI).Demostracin.(no la hacemos pues no se pide en las PAAU).

Obtencin del rango de una matriz por el mtodo de Gauss.-Si sobre una matriz cualquiera efectuamos las mismas transformaciones elementales del mtodo de Gauss para resolver un sistema, no modifican el rango de la matriz (pues se conserva la relacion de dependencia o independencia de la fila transformada respecto de las restantes filas).

Por tanto para determinar el rango podemos proceder haciendo ceros para escalonar la matriz y obviamente el rango coincidir con el nmero de filas distintas de .

Ejemplo.-Calcula el rango de la matriz:

Evidentemente el rango de es dos, es decir, rg(A)=2.

9.-Definicin de Determinante de una matriz cuadrada.-

Permutaciones.-

Dados los dos primeros nmeros naturales:{1,2} nos planteamos la siguiente pregunta: cuntas ordenaciones distintas podemos formar con ellos?

La respuesta es evidentemente dos que son: a)12 y b)21.

Si pensamos ahora en los tres primeros nmeros:{1,2,3} y formulamos la misma pregunta anterior, la respuesta en esta caso es: seis que son:

a)123,b)132,c)213,d)231,e)312,f)321.

A cada una de estas ordenaciones se le denomina permutacin y se puede demostrar que para n elementos el nmero de permutaciones es: n!

As en el caso de dos elementos el nmero de permutaciones es 2! =2.1 =2

Para tres elementos es 3! =3.2.1 =6, en general es n! = n.(n-1).......3.2.1

La permutacin en la que los elementos estn dados en el orden natural se le denomina permutacin principal, as en el caso n=3 la principal es: a)123Si en una permutacin dos elementos estn en el mismo orden que en la principal se dicen que forman permanencia y si estn en orden contrario se dice que forman inversin.Por ejemplo, en la permutacin b) 132

el 1 forma permanencia con el 3 y con el 2

el 3 forma inversin con el 2

El nmero de inversiones de la permutacin anterior es una.

Una permutacin es de ndice par si tiene un nmero par de inversiones.

Si tiene un nmero impar de inversiones la permutacin es de ndice impar.

La permutacin: b)132 es de ndice impar pues tiene una inversin.

En la permutacin d)231 hay dos inversiones: el 2 con el 1 y el 3 con el 1, por tanto es una permutacin par.

Al ndice par se le asocia el nmero (+1), al ndice impar el nmero (-1).

Si cambiamos entre s dos elementos en una permutacin cualquiera, la nueva permutacion tiene ndice opuesto a la dada. Por ejemplo la permutacin d)231 es par (+1), si cambiamos el 3 con el 1 tenemos la permutacin: 213 que es impar(-1).

Por ltimo un resultado muy interesante en relacin con las permutaciones

De las n! Permutaciones de n elementos, la mitad de ellas son de ndice par y la otra mitad son de ndice impar.

As para el caso n=3, de las 3!=3.2.1=6 permutaciones distintas tenemos:

Tres de ndice par: a)123, d)231, e)312

Tres de ndice impar: b)132, c)213, f)321

Determinante de una matriz cuadrada de orden (2).-Dada una matriz cuadrada de orden (2) definimos el determinante de (y escribimos: ) como el nmero que se obtiene del siguiente modo: .

Observa que dada la matriz de orden (2) se pueden formar productos de dos elementos de la matriz, de modo que no haya dos de la misma fila ni dos de la misma columna (necesariamente en cada producto hay un elemento de cada fila y uno de cada columna).Como la matriz es de orden (n=2), de entre los (n2=4) factores posibles podemos formar productos de dos elementos de la forma:{}

Los subndices que indican las filas forman una permutacin: de los nmeros ; los subndices que indican las columnas forman tambin una permutacin de .

Si ambas permutaciones y tienen el mismo ndice (par o impar), asignamos al producto: el signo (+); si por el contrario tienen distinto ndice asignamos al producto el signo (-).

Podramos escribir los factores de cada producto ordenados por filas:

{} y como la permutacin por filas: es par, el signo (+) o (-) de cada producto slo dependera del ndice de la permutacin de las columnas: .

Como el nmero de permutacuiones distintas de son (2!=2), es evidente que podemos formar exactamente dos productos (de dos factores cada uno) con los cuatro elementos de una matriz cuadrada de orden (2).

Todos estos resultados nos permiten concluir que:

El determinante de una matriz de orden dos es el nmero que se obtiene al sumar los dos productos posibles, tales que en cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna (dos factores por producto), con el signo (+) o (-) segn que tengan el mismo o distinto ndice, la permutacin de las filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.

Determinante de una matriz cuadrada de orden (3).-Dada una matriz cuadrada de orden (3) definimos el determinante de (y escribimos: ) como el nmero que se obtiene del siguiente modo:

En este caso (n=3), cada uno de los productos posibles tomando un factor de cada fila y uno de cada columna hace que dichos productos estn formados por tres factores.Como el nemro total de permutaciones posibles de tres elementos: {1,2,3} es (3!=3.2.1=6), el nmero total de productos es seis. De esos seis sabemos que la mitad son de signo (+) y la otra mitad son de signo(-).

El determinante de una matriz de orden tres es el nmero que se obtiene al sumar los seis productos posibles, tales que en cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna (tres factores por producto), con el signo (+) o (-) segn que tengan el mismo o distinto ndice, la permutacin de las filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.

Regla de Sarrus.-

Ejercicios.-

1.-Calcula el valor de los determinantes:

Sol.-

2.-Si la matriz y sabemos que :Calcula:

Sol.-

Si calculamos el determinante de tenemos que:

3.- Calcula los determinantes (por Sarrus) de orden tres:

Sol.-

10 Propiedades de los Determinantes.-Un determinante de orden (4) tiene (en su desarrollo) 24 trminos, los de orden (5) tienen 120 trminos. El clculo directo de determinantes de orden superior a(3) es en la prctica muy engorroso.

Enunciaremos una serie de propiedades que cumplen los determinantes de cualquier orden(n) (las ejemplificaremos en los de orden(3)). La importancia de las propiedades radica en que nos van a permitir calcular los determinantes de una manera ms rpida (sin efectuar el desrrollo de todos los trminos) y adems nos van a facilitar el clculo de determinantes de orden mayor que tres a partir de los de orden tres.

1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: en efecto, vemoslo con una matriz de orden (3).

Recordemos que la matriz traspuesta ()tiene los mismos elementos que (), slo difieren en que el elemento de es el de .Un sumando del desarrollo de es de la forma:, permutando, tanto los subndices de las filas, como los de las columnas, en el conjunto: {1,2,3}.

Por eso tambin est en el desarrollo de el sumando: que es, evidentemente, un sumando del desarrollo de .En conclusin, como y tienen los mismos sumandos y con los mismos signos,(pues el ndice de la permutacin que corresponde a filas y columnas en es el mismo que corresponde a columnas y filas en ), valen igual: ().En base a este resultado, podemos afirmar que las propiedades enunciadas con la palabra fila, son igualmente vlidas si la sustituimos por la palabra columna.

Por todo sto nos referiremos a filas y columnas, indistintamente, con la palabra lnea.2. Si una matriz cuadrada tiene una lnea de ceros su determinante es cero. sto es evidente ya que en todos los sumandos aparecer un factor que es cero, y consecuentemente todos los sumandos son cero.3. Si se permutan dos lneas paralelas en una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo.

Efectivamente, si permutamos las dos primeras filas (ejemplo anterior) observamos que ambos determinantes tienen los mismos sumandos pero con el signo cambiado. Se basa en la idea de que si cambiamos entre s dos elementos en una permutacin cualquiera, la nueva permutacion tiene ndice opuesto a la dada. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, el determinante vale cero. Es una consecuencia inmediata de la propiedad (3) ya que si permutamos entre s las dos lneas iguales el determinante cambia de signo, pero la matriz es la misma cuando permutamos las filas iguales, de ah que su determinante valga cero, pues el nico nmero que es igual a su opuesto es precisamente cero. 5. Si multiplicamos por el mismo nmero todos los elementos de una lnea en una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese nmero.

Si la segunda fila se multiplica por (2), en cada sumando de este segundo determinante aparece un factor multiplicado por (2), en relacin al sumando correspondiente del primer determinante.

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales el determinante es cero.Efectivamente, basta aplicar las propiedades (5) y (4) anteriores.7. Indicamos esta propiedad de modo esquemtico para no complicar su fcil interpretacin en un enunciado engorroso con palabras.

Evidentemente cada sumando del determinante del primer miembro se puede descomponer en dos sumandos que se corresponden con cada uno de los de los determinantes del segundo miembro.8. Si a una lnea de una matriz cuadrada le sumamos una combinacin lineal de las dems su determinante no vara.Efectivamente si es la matriz que se obtiene de de modo que tienen todas las lneas iguales salvo una, que para se obtiene como suma de la correspondiente de ms una combinacin lineal de las restantes lneas de . Pues bien, podemos calcular el aplicando (7) como suma de varios determinantes, uno de ellos es y los dems son cero (por (6)) pues todos tienen dos filas proporcionales.

Por tanto: .9. Si una matriz cuadrada tiene una lnea que es combinacin lineal de las dems paralelas, entonces el determinante es cero.Recprocamente, si un determinante es cero, entonces tiene una lnea que es combinacin lineal de las dems.

Esta propiedad es evidente a partir de la anterior (8) pues si en este caso la matriz tiene todas las lneas iguales que las de salvo una que para es una combinacin lineal de las restantes de , el valor del es cero, ya que razonando como en la propiedad anterior y teniendo en cuenta que ahora la matriz correspondiente tendra una fila toda de ceros() y como entonces: .Vamos a probar el recproco para el caso (n=2).

Es deir: la fila dos es combinacin lineal de la fila uno.10. El determinante de un producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes, es decir,

Requiere para su demostracin la regla de Laplace para el desarrollo de un determinante por los menores de p filas. (No la hacemos).

Ejercicios.-

1) Justifica, sin desarrollar por Sarrus, estas igualdades:

Sol.-

Efectivamente tiene una fila toda de ceros, por la propiedad (2) el determinante es cero.Tiene dos filas proporcionales que son la fila (1) y la fila (3): y aplicando la propiedad (6) deducimos que ese determinante es cero.

La tercera fila es combinacin lineal de las dos primeras:

y si aplicamos la propiedad (9) deducimos que el determinante es cero.

2) Sabiendo que el valor del determinante es: Calcula sin desarrollar los determinantes:

;

Sabemos que y

Segn la propiedad (10):

Menor de una Matriz.-Dada una matriz cualquiera de orden (mxn), si seleccionamos r filas y r columnas de esa matriz, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden (r). El determinante de esa submatriz se le denomina menor de orden r de la matriz inicial.

Ejemplo.- Sea la matriz:Un menor de orden (3) qued seleccionado considerando las filas (1,3,4) y las columnas

(2,3,5). Los nmeros seleccionados son aquellos en los que se cruzan filas y columnas. Su valor es

Menor Complementario y Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada.-

Si en una matriz cuadrada de orden (n) destacamos un elemento al suprimir su fila y su columna, obtenemos una submatriz de orden (n-1).

El determinante de esta submatriz de orden (n-1) se le denomina menor complementario del elemento y se designa por:

Llamamos Adjunto del elemento al nmero , es decir, al menor complementario con su signo o el signo cambiado, segn sea par o impar el resultado de .Ejemplo.-Sea la matriz cuadrada: .

a) Determina un menor de orden dos. b) El menor complementario de

c) El Adjunto de

Sol.-

a) Un menor de orden dos es, por ejemplo:

b) El menor del elemento es:

c) El Adjunto de es:

Vamos ahora a estudiar una propiedad de los determinantes que nos va a permitir calcular determinantes de orden mayor que tres.

11. Si los elementos de una lnea de una matriz cuadrada se multiplican por los respectivos adjuntos y a continuacin se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial.

Se dice entonces que el determinante est desarrollado por los elementos de esa lnea.

Vamos a probarlo para una matriz de orden (3).

Sea la matriz vamos a demostrar que se puede obtener por el desarrollo de los elementos de la segunda fila, es decir

Efectivamente si desarrollamos por Sarrus y operamos como se indica

Veamos como aplicar esta propiedad en un caso concreto, a) primero con un determinante de orden (3), comprobando por Sarrus que se obtiene el mismo resultado, y a continuacin b) para un determinante de orden(4).

Por ltimo vamos a ver una propiedad que nos resultar enormemente til para la comprobacin de la frmula de la inversa de una matriz mediante los determinantes.

12. Si los elementos de una lnea se multiplican por los respectivos Adjuntos de otra lnea paralela, el resultado suma cero.

Para el caso de una matriz cuadrada de orden (3) tendramos por ejemplo que: .

En efecto, en general sabemos que:

La igualdad anterior corresponde al desarrollo del ltimo determinante(de orden 3) por los elementos de la tercera fila.

Si son respectivamente el ltimo determinante tiene dos filas iguales y por tanto vale cero.Ejemplo.-Sabemos que el siguiente determinante vale:

Lo obtuvimos mediante el desrrollo por los elementos de la segunda fila:

Si ahora multiplicamos los elementos de la segunda fila por los Adjuntos correspondientes de la tercera obtendremos como resultado cero.

Mtodo de Gauss para calcular un determinante de cualquier orden.-

Segn la propiedad (11) el valor de un determinante de cualquier orden se puede conseguir a partir del desarrollo por los elementos de una lnea.

En ese caso resulta muy ventajoso que la lnea correspondiente tenga el mayor nmero de ceros posibles, ya que as, no es necesario el clculo de los Adjuntos correspondientes a esos elementos nulos.

La idea consiste en fabricar el mayor nmero de ceros en una lnea, de forma similar a la que utiliza el mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas lineales. La propiedad (8) garantiza, que aplicando este tipo de transformaciones elementales para la obtencin de ceros, el valor del determinante no cambia. Veamos en un ejemplo este mtodo de clculo:Ejemplo.-

A) Calcula el valor del determinante de orden (5):

B) Calcula, en funcin de , el valor del determinantede orden (4).

11. Rango de una matriz y determinantes.-

Segn hemos visto anteriormente el rango de una matriz es el nmero de filas (o columnas) linealmente independientes, y aplicando el mtodo de Gauss determinamos ese rango.

Ahora vamos a utilizar los determinantes para calcular ese rango.

La propiedad(9) de los determinantes era una condicin necesaria y suficiente para la (dependencia/independencia) de las lneas que dice:

Esta propiedad nos proporciona una nueva definicin de rango de una matriz.Rango de una matriz es el mximo orden de sus menores no nulos.

Ejemplo.- Fjate en la matriz siguiente de orden(4x5):

El menor de orden(3x3) sealado en negrita vale 8.Por ser distinto de cero, podemos asegurar que las tres filas de la matriz que determinan la submatriz de ese menor, son independientes.

En consecuencia tenemos que .El rango de podra podra incluso ser cuatro pues en la matriz hay cinco menores de orden cuatro(combinaciones de cinco columnas tomadas de cuatro en cuatro). Podemos comprobar que todos esos menores son nulos. El rango de no es cuatro y por tanto el .Como vemos en este ejemplo, tenemos que calcular cinco menores de orden cuatro para asegurarnos el rango de la matriz .Es un trabajo pesado y poco prctico proceder de este modo.

Vamos a ver un mtodo para determinar el rango de una matriz (a partir de los menores) pero que resulte operativo.1. Se suprime cualquier fila o columna formada totalmente por ceros.

2. Se observa si, a simple vista, se aprecian filas o columnas que sean combinacin lineal de sus paralelas y se procede a eliminarlas.

3. Se elige un elemento de la matriz no nulo, con lo que se puede afirmar que el rango es al menos uno. A continuacin orlamos ese menor,es decir, formamos un menor de orden superior en una unidad. Si alguno de esos menores as formados es no nulo, el rango de la matriz es, al menos, dos. Repetimos el proceso sucesivamente hasta encontrar un menor de orden k distinto de cero y que al orlarlo con las restantes filas y columnas de la matriz para formar menores de orden (k+1) resulten todos ellos cero.

Ejemplo.-Determina, aplicando el proceso anterior,el rango de:

Seleccionamos el elemento

Rango de la matriz es, al menos, uno.

Orlamos este menor[con las fila( 2) y la columna (2)].

El menor de orden dos sealado vale 8, es distinto de cero y por tanto la matriz tiene, al menos rango dos. Si orlamos este menor con la fila (3) y la columna (4).

El menor de orden tres seleccionado es distinto de cero, por eso podemos afirmar que el rango de la matriz es, al menos, tres.

Este ltimo menor lo podemos orlar con la (4) fila y la columna (3) o con la (4) fila y la columna (5) (no hay ms posibilidades) obteniendo dos menores de orden cuatro ( que son cero ambos: )

Como ambos menores son nulos, el rango de la matriz no puede ser cuatro y necesariamente ha de ser tres.

Ejemplo.-Calciula el rango de esta matriz:

Rango es, al menos, dos.

En consecuencia,Rango es, al menos, tres.

Rango de esta matriz es definitivamente, cuatro.

12. Clculo de la inversa de una matriz por determinantes.-

La condicin necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante no sea nulo. Abreviadamente:

Condicin neceasria.

Si es regular es lo mismo que decir que existe , como: . Aplicando la propiedad (10) a esta ltima igualdad: Como es un anillo de integridad tanto:

Condicin suficiente.

Vamos a ver ahora que si entonces es regular

Lo vamos a probar con una matriz de orden (3)

Formemos la matriz , es decir, la matriz traspuesta de los Adjuntos de , multiplicada por el inverso del determinante de .

Veremos que , para ello hay que probar que:

Los elementos de la diagonal principal son uno pues el numerador es el desarrollo de por los elementos de una fila.

Los dems elementos son cero al aplicar la propiedad (12).Anlogamente se probara que

Ejemplo.- Calcula la inversa de las matrices:

Ejemplo.- Calcula la inversa de:

Resolucin de sistemas mediante determinantes.-13. Teorema de Rouch. 14. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.

15. Aplicacin de la regla de Cramer a cualquier sistema.

16. Sistemas homogneos.17. Discusin de un sistema mediante determinantes.

Objetivos Mnimos

-Conocer y aplicar el criterio que permite saber cuando un sistema es compatible (teorema de Rouch).

- Saber distinguir cuando un sistema es de Cramer y saber aplicar la regla de Cramer para la resolucin de estos sistemas.

-Saber aplicar la regla de Cramer a sistemas compatibles de m ecuaciones con n incgnitas.-Conocer la caracterizacin de un sistema homogneo.- Saber distinguir si un sistema dependiente de un parmetro es compatible mediante los determinantes.

Introduccin.-

En la vida real, los sistemas lineales surgen como resultado de imponer condiciones a las variables que intervienen en un problema.

Estas condiciones que impone el problema real se transforman en un conjunto o sistema de ecuaciones.

En esta unidad vamos a resolver los sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes, usando la llamada regla de Cramer.En el estudio de ciertas curvas planas, Gabriel Cramer ide y public ( en 1750) una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

El matemtico escocs MacLaurin lleg a los mismos resultados en 1729 y la publicacin de stos no tuvo lugar hasta 1748, dos aos antes que lo hiciese Gabriel Cramer (en 1750).

En el campo cientfico es, lamentablemente muy frecuente, no darle a un resultado el nombre de su autntico descubridor. 13. Teorema de Rouch.-La condicin necesaria y suficiente para que tenga solucin el sistema :

es que el rango de la matriz de los coeficientes() coincida con el rango de la matriz ampliada (). Siendo estas matrices:

Abreviadamente:

El sistema anterior tiene solucin si y slo si rg(A)=rg(A)

Demostracion.-El sistema se puede poner como combinacin lineal de los vectores columna:

Condicin necesaria.Si tiene solucin es que hay unos valores de {} que permiten escribir la columna de los trminos independientes como combinacin lineal de las columnas de la matriz . En consecuencia: .

Condicin suficiente.

Si significa que la nica columna en que se diferencian las dos matrices y (que es la de los trminos independientes) no aporta rango, es decir, esa columna es combinacin lineal de las dems.Por lo tanto existen unos nmeros {} que multiplicados por las columnas de la matriz nos dan la columna de los trminos independientes.

Esos nmeros son la solucin del sistema.Observacin.- Si el sistema es incompatible y como tiene una columna ms que se tiene entonces que .Ejemplo.-Aplica el criterio de Rouch para determinar si son compatibles:

14. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.-Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer si y slo si:

1. tiene (n) ecuaciones y (n) incgnitas.

2. la matriz de los coeficientes es regular, es decir, .Los sistemas de Cramer son compatibles pues al ser el rango de la matriz de los coeficientes es (n) (rango mximo), y obligatoriamente el rango de la matriz ampliada es tambin (n).Vamos a deducir ahora una regla que nos permite obtener la solucin de un sistema de Cramer, para ello usaremos un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, afin de evitar farragosas notaciones.

Dado el sistema de Cramer:

Si llamamos: , podemos plantear el sistema de Cramer anterior como un producto matricial de la forma: (comprubalo)

Como la matriz es regular existe y multiplicando en la ltima expresin por a la izquierda tenemos:

Como ya conocemos la expresin de la inversa de una matriz, obtenemos:

y anlogamente se deduce que:

Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

15. Aplicacin de la regla de Cramer a cualquier sistema.-La regla de Cramer, en principio, slo es vlida para sistemas cuadrados (nxn) que cumplen . Con todo, vamos a ver que se puede aplicar esta regla a cualquier sistema compatible.Dado un sistema de (m) ecuacines con (n) incgnitas, compatible.

Supongamos que: .

Esto quiere decir que hay un menor de orden (r) distinto de cero.

Para simplificar la exposicin, suponemos que ese menor lo determinan las (r) primeras filas y las (r) primeras columnas de .

Este sistema es equivalente a este otro de Cramer en el que los trminos independientes estn dados en funcin de las incgnitas: .Es decir, un sistema compatible indeterminado cuya solucin general viene dada con tantos parmetros como incgnitas pasen al segundo miembro.

Si todas las ecuaciones del sistema inicial son tiles, es decir, no sobra ninguna. Si sobranecuaciones, pero al suprimirlas tenemos un sistema de Cramer de (n) ecuaciones con (n) incgnitas determinado.

Observacin como mucho puede ser igual al menor de los dos:

Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

16. Sistemas Homogneos.-Vamos a estudiar un sistema de ecuaciones lineales que tienen todos los trminos independientes iguales a cero, se les denomina Homogneos.

Todo sistema homogneo tiene solucin, pues se verifica que para se cumplen las ecuaciones del sistema.A la solucindel sistema homogneo se le denomina solucin trivial.Teorema (caracterizacin de la solucin de los sitemas homogneos).

Para que un sistema homogneo tenga otras soluciones distintas de la trivial es necesario y suficiente que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nmero de incgnitas.

Demostracin.-

El sistema se puede poner como combinacin lineal de los vectores columna:

Condicin necesaria.Si tiene solucin no trivial es que hay unos valores de: {} no todos cero que permiten escribir la columna de los trminos independientes como combinacin lineal de las columnas de la matriz .

En consecuencia las columnas de son (LD) y por tanto:.

Condicin suficiente.

Si el , este sistema homogno (compatible) es equivalente a un sistema de Cramer en el que los trminos independientes estn dados en funcin de las incgnitas sobrantes (las que pasen al segundo miembro) .

Es un sistema compatible indeterminado cuya solucin general viene dada con tantos parmetros como incgnitas pasen al segundo miembro.

Observacin.-Conclusin para un sistema homogneo cuadrado (nxn)Un sistema homogneo de orden (nxn) tiene otras soluciones distintas de la trivial si y slo si el determinante de la matriz de los coeficientes:

Ejemplo.-Resuelve los siguientes sistemas homogneos.

17. Discusin de sistemas mediante determinantes.-Ya hemos visto en que consiste discutir un sistema dependiente de un parmetro, y hemos hecho esa discusin mediante el mtodo de Gauss.En este curso trataremos slamente los sistemas con un nico parmetro.

Discutir un sistema dependiente de un parmetro consiste en determinar los valores del parmetro para los que el sistema es o no compatible.

Ahora vamos a discutir un sistema con la ayuda de los determinantes.

Ejemplo.-Discute y resuelve en funcin del parmetro (a).

Si el sistema resulta:

sistema compatible indeterminado

Solucin:

Si el sistema resulta:

sistema compatible indeterminado

Solucin:

Si entonces rango(A) = 2 = rango (A)

El sistema es compatible determinado y por tanto:

Solucin:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Cesreo Rodrguez - 1 -

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