INTRODUCCIN

Las matemticas proporcionan a los estudiantes los conocimientos necesarios para manejar y aplicar expresiones matemticas con variables en el planteamiento y solucin de ecuaciones de frecuente utilizacin en el ejercicio profesional. Las matemticas se considera como herramienta fundamental para el planteamiento y desarrollo de conceptos que permitan entender y asimilar conocimientos de casi todas las reas de la ingeniera y la tecnologa aplicada.La matemtica es, bsicamente, la ciencia de los patrones; esto es, buscar cosas, eventos, elementos que se repitan, que nos permitan establecer conceptos que nos simplifiquen situaciones generales. No trata solo de nmeros ni de cuentas, es mucho ms que eso. Claro que eso es, justamente, lo que nos muestran y poco podemos hacer para cambiarlo. Sin embargo, ms all de todas las aplicaciones tcnicas o especficas que muchos profesionales podran llegar a darle.

El estudio de las matemticas en la educacin bsica se integra a un mundo cambiante complejo e incierto; este mdulo presenta un contenido interesante para que el estudiante sienta la necesidad de experimentar y as mejorar sus conocimientos en esta rea.

UNIDAD 1MEDICIN DE NGULOS

TRIGONOMTRIA

Trigonometra, rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de tringulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomtricas de ngulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometra son la trigonometra plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa de tringulos que forman parte de la superficie de una esfera.ETIMOLOGIA: La palabra trigonometra proviene de tres palabras griegas.Tri = Tres.Gono = ngulo.Metra = Medios o medidas.

DIVISION DE LA TRIGOMETRIA:A. Trigonometra Plana: Es la que estudia la resolucin de los tringulos ubicados en el Plano.B. Trigonometra Esfrica: Estudia la resolucin de los tringulos esfricos.

CREADORES DE LA TRIGONOMETRIA.1. Hipparchus de Nicea (161 127 a. n. e.). Es considerado como el creador de la trigonometra.2. Bartholomeus Pitescus (1561 1613), a l se debe el nombre de la trigonometra.3. Leonardo Euler (1707 1787), fue quin dio a la trigonometra el carcter de rama independiente.

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA:Se dice que la trigonometra es una ciencia con aplicaciones ultramodernas, tales como:1. Las distintas ramas de la matemtica.2. La fsica.3. La astronoma.4. La electrnica.5. La geodesia.6. La Navegacin.7. La Ingeniera8. La Topografa. etc.

1.1 NGULO

Un ngulo es la unin de dos semirrectas o rayos con un origen comn. Las dos semirrectas se llaman lados del ngulo y el origen comn vrtice.Un ngulo se obtiene por la rotacin de una semirrecta alrededor de su Origen.

LadoLadoVrtice

La Determina la rotacin del ngulo.Cuando una semirrecta gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, originan ngulos positivos, cuando lo hace en el mismo sentido origina ngulos negativos.

NOTA

Para representar ngulos se usan letras griegas minsculas tales como (alfa), (Beta) (Ypsilon) (Lambda) (Pi) ( Theta) (Omega) m (Wu) p (Roo) @ (Gama) y letras maysculas de nuestro alfabeto como A, B, C, D, E, etc.

CLASES DE NGULOS

CLASE DE NGULOSDESCRIPCIN

ngulo Agudoun ngulo de menos de 90

ngulo rectoun ngulo de 90

ngulo obtusoun ngulo de ms de 90 pero menos de 180

ngulo Llanoun ngulo de 180

ngulo reflejo cncavoun ngulo de ms de 180

ngulo giro completoUn ngulo de 360

ngulos complementariosSon dos ngulos que suman 90

ngulos suplementariosSon dos ngulos que suman 90

ngulos Complementarios

ngulos suplementarios

1.2 NGULOS EN POSICIN NORMAL

Un ngulo representado sobre el plano cartesiano est en posicin normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas (x), y el vrtice con el origen del sistema. El lado terminal puede ubicarse en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano. De acuerdo donde est el lado terminal o lado final del ngulo, este se llamar: ngulo en posicin normal del primer cuadrante, ngulo en posicin normal del segundo cuadrante, ngulo en posicin normal del tercer cuadrante, ngulo en posicin normal del cuarto cuadrante.

XY

Lado inicial Lado finalVrticeO

Un ngulo pertenece al IC, IIC, IIIC o IVC si solo si dichos ngulos se encuentran en posicin normal y su lado final se ubica en el IC, IIC, IIIC o IVC respectivamente.XY

XY

Pertenece al segundo cuadrante IICPertenece al tercer cuadrante IIICXY

Pertenece al primer cuadrante IC

1.3 SISTEMA SEXASEGIMAL Y CICLICO

Si la longitud de una circunferencia se divide en 360 partes iguales, el ngulo definido por cada una de esas partes se llama grado sexagesimal. Si un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada parte se llama minuto sexagesimalSi un minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada parte se llama segundo sexagesimal.Una de las unidades de medida para ngulos es el grado. Un ngulo de un grado es, por definicin la medida del ngulo formado por 1/360 de una revolucin completa en direccin contraria a las agujas del reloj.

RadinSe denomina radin al ngulo determinado por una longitud de arco de circunferencia igual a su radio.En otras palabras, una vez inscrito el ngulo en una circunferencia cualquiera, para medirlo en radianes se mide el arco de circunferencia dividido por el radio de la misma.

Un grado: 1 = 1 revolucin / 360

Las unidades de medida que se van a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular.

UNIDADEQUIVALENCIA

1 Vuelta360 = 2radianes

1 revolucin360 = 2radianes

1 radian180 = 0.5 vueltas

CONVERSIN DE UNIDADES

La conversin de unidades se trabaja como una regla de tres simple o como una multiplicacin de fraccionarios, si la unidad que se desea eliminar se encuentra en el numerador para cancelarla se coloca en el denominador y su equivalencia en el numerador.

EJEMPLO

1. Convertir 8radianes a grados

EJEMPLO

1. Convertir 560 a radianes

EJEMPLO

1. Convertir radian a grados

EJEMPLO

1. Convertir 4 vueltas a radianes y grados

EJEMPLO

El valor en grados de un ngulo generado por 2 / 5 de revolucin est dado por:2 /5 Rev. = 2 / 5 (360) = 144

EJEMPLO

Un ngulo que mide 120 tiene un valor en revoluciones de: Solucin:Si 1 = 1 Rev. /360, entonces 120 = 1/3 Rev. As 120 = 1/ 3 Rev.

10

29

RECUERDA

Los ngulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ngulo de 1 radin es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.

- 360 = 2 radianes (una vuelta completa)- Un ngulo recto mide radianes (un cuarto de vuelta)

- 180 = radianes (media vuelta)- Como 180 = rad, resulta que 1 = rad

- Un ngulo de 1 radian tiene = 57,29578 grados = 57 17 45

Aplicaciones de la medida en radianes

De la definicin de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y ngulo igual a radianes es:

S = r , S: arco circunferencia, r: radio y : ngulo en rad

Ya que conocemos el permetro de una circunferencia de radio unitario (), entonces el ngulo de una circunferencia completa, medido en radianes es .

TALLER 1.

En los ejercicios 1 a 6; halla la medida del ngulo para la rotacin indicada y dibjelo en posicin normal.1. de rotacin en el mismo sentido de las agujas del reloj2.3/8 de rotacin en sentido contrario a las agujas del reloj3.5/12 de rotacin en el mismo sentido de las agujas del reloj4.7/6 de rotacin en sentido contrario a las agujas del reloj5.1/3 de rotacin en el mismo sentido de las agujas del reloj6.19/12 de rotacin en sentido contrario a las agujas del relojEn los ejercicios 7 a 12 indicar en qu cuadrante se encuentra el lado final de los siguientes ngulos en posicin normal.7. 1908. 300 9. 15010. 513 11. 81512. 905En un sistema de coordenadas cartesianas construye los ngulos cuyas medidas se indican:a. 60c. 45e. 30g. 135i. 210k. 315b. 60 d. 45f. 30 h. 135j. 210l. 315m. 1035n. 570

Transformar el ngulo de grados a rad:1) 152) 35 3) 804) 150 5) 200 6) 907) 60 8) 45 9) 30

Transformar el ngulo de rad a grados:

1) 2) 3) 4)

TALLER 2.

1. Expresa en grados, minutos y segundos, los siguientes ngulos dados en notacin decimal,a. 1,5b. 12,67c) 34,6749d. 43,65720e. 15687f. 28654g. 3280h. 20563La siguiente tabla muestra algunas equivalencias cuyas medidas estn dadas en grados, radianes y revoluciones. Compltala.

REVOLUCIONES1/121/81/61/41/33/81/27/125/87/8

GRADOS304590120135150180210225270315

RADIANES /6/4/8/22/33/45/65/43/2

2. Escribe el equivalente en grados del ngulo medido en radianes.a. /2c. /3e. 2/3g. 11/12i. 5/4b. /4d. 7/12f. 3/4h. 13/12j. 4/33. Escribe el equivalente en radianes de cada ngulo indicado:a. 15c. 45e. 75g. 340i. 42b. 30d. 60f. 285h. 210j. 184. Determinar la medida en grados que corresponde a los siguientes ngulos dados en radianes:a. 5/18b. 5c. 4/3d. -5 /2e. /9f. 10/3g. 13/10h. 11/125. Encontrar la medida en radianes que corresponde a la medida del ngulo dado en grados.a. 100b. 72c. 1830d. 54e. 630f. 95g. 3690h. 2616. Determina en radianes los ngulos de un tringulo rectngulo, sabiendo que uno de los ngulos agudos mide de la medida del otro.

7. En los ejercicios encuentra el valor en grados de cada valor de . a. = 3 rad.b. - radc. = - /6 radd. = 2 /3 rad.e. = - /12 radf. = 7/6 rad.g. = 5/6 radh. = -5 /2 rad.i. = 3 / 4 rad. RELACIONES TRIGONOMTRICASUNIDAD 2.

Un tringulo es rectngulo si tiene un ngulo recto, es un ngulo cuya medida es 90. En todo tringulo rectngulo el valor de la Hipotenusa es el lado ms largo del tringulo.Adems la hipotenusa esta ubicada al lado opuesto del ngulo recto, los otros dos lados se llaman catetos

2.1. TEOREMA DE PITGORASHIPOTENUSACATETO 1M(x,y)CATETO2ngulo recto

El Teorema de Pitgoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagrica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocan ternas de valores que se correspondan con los lados de un tringulo rectngulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados tringulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningn documento que exponga tericamente su relacin. En todo tringulo rectngulo se cumple que la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de cada uno de los catetos al cuadrado.

Para calcular el valor de la hipotenusa se utiliza la expresin

Para calcular el valor de cualquier cateto se utiliza la expresin

Ejemplo

Encontrar el valor de la hipotenusa de la siguiente figuraa = ?c =b =

SolucinAplicando el Teorema de Pitgoras: a = 41

Y de aqu Ejemplo

Encontrar el valor del cateto b de la figuraAplicando el Teorema de Pitgoras: C = 5b = ?a = 40

b = 39,7

TALLER

1. En un tringulo rectngulo cuyos catetos son a y b, hallar la hipotenusa cuando:

a) a = 5, b = 12.b) a = 8, b = 15.c) a = 4, b = 5.d) a = 15, b = 20.e)

a = 2, b = 2.

2. En un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es c, hallar el cateto desconocido cuando:

a) a =8, c = 10.b) b =10, c = 26.c) a =20, c = 25.d) b =21, c = 29.e) a =5, c = 5.

3. Realizar estos ejercicios por el Teorema de Pitgoras (Recordar que a y b son los catetos , c es la hipotenusa)

a) a = ? si b = 5 c = 8c) b = ? si a =3 c = 10e) c = ? si a = 10 b = 15g) a = ? si b = 7 c = 9i) b = ? si a = 6 c = 10b) c = ? si a = 13 b = 10d) a = ? si b =2 c = 10f) a= x, b=x+2, c=10. Hallar xh) a=4, b= x-2 , c=x. Hallar xj) a= x+1 b=x-1, c=5. Hallar x

4. Cunto mide el cateto de un tringulo rectngulo de hipotenusa 7 m y otro cateto de 525 cm?

5. Calcular el lado desconocido en los siguientes tringulos:a.

b.

c.

6. Para el siguiente tringulo equiltero calcular el valor de x, el permetro y el rea.

2.2. RAZONES TRIGONOMTRICAS

Utilizaremos un tringulo rectngulo para definir las funciones trigonomtricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).Dado un tringulo rectngulo ABCa

b

a = hipotenusac = cateto

b = cateto adyacente del ngulo c

Se definen seis relaciones trigonomtricas, para el ngulo as:

Seno =cateto opuesto Cos = cateto adyacente hipotenusa hipotenusa

Tangente = cateto opuesto Cotangente = cateto adyacente cateto adyacente cateto opuesto

Secante = hipotenusaCosecante = hipotenusa cateto adyacentecateto opuesto

En notacin Sen = b Cos = c Tan = b Cot = c a a c b

Sec = a csc = a c b

Aqu podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen y cos para poder calcular las otras funciones, veamos por qu:

tan = cot = sec = cosec =

EJEMPLO

Dado el tringulo rectngulo A D E encuentra el valor de las relaciones trigonomtricas:

Solucin12513

Sen = 5Tan = 5Sec = 13 13 12 12

Cos = 12Cot = 12 CSC = 13 13 5 5

EJEMPLO

Un ngulo agudo tiene . Halla las restantes razones trigonomtricas de este ngulo.Solucin:Usando tringulos5

3

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonomtricas y encontramos:Por teorema de Pitgoras buscamos el otro cateto del tringulo, es que es 4

Ejemplo

Encontrar el valor de x, em la siguiente figura

Solucin

Necesitas encontrar la longitud del lado adyacente al ngulo de 42. Se te da la longitud de la hipotenusa. La razn trigonomtrica que relaciona el lado adyacente con la hipotenusa es la razn coseno.

x = 8.2 cmEjemplo

Encuentra la medida del ngulo opuesto al cateto de 32 pulgadas.

SolucinSe te dan las longitudes del lado opuesto al ngulo y la hipotenusa. La razn que relaciona estas longitudes es la razn seno.

Para encontrar el ngulo con un seno de calcula el seno inverso de Z = 25.6 ~ Z = 26

Utilizando la calculadora se tiene que

EJEMPLO

Sea el tringulo XYZ rectngulo en Y, donde y = 30 cm; x = 13 cm; z = 27 cm. Hallar el valor de las funciones trigonomtricas para el ngulo

27cm30cm13cm

EJEMPLO

Hallar las seis funciones para el ngulo

z10cm8cm

Como no se conoce el valor de la hipotenusa, se debe determinar su longitud, para ello se aplica el teorema de Pitgoras.

Sea z el valor de la hipotenusa, entonces por Pitgoras se tiene

al sacar la raz cuadrada queda que z = 12.8cmllevando este valor al tringulo se buscan las funciones trigonomtricas, por lo tanto:

TALLER

1) Si , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados.2) Si , encuentra las otras funciones.3) Si , encuentra las otras funciones.

4) Resolver los tringulos rectngulos para los datos dados. Usa calculadora.

a) = 24 y c =16.B

b) a = 32.46 y b = 25,78c

a

c) = 24 y a =16

d) = 71 , c = 44CAb

e) a = 312,7 ; c = 809

f) b = 4.218 ; c = 6.759

g) = 8112 ; a = 43,6

5) Hallar el valor de las funciones trigonomtricas de de acuerdo a los valores presentes en las figuras

13.4cm10cm9cma.30cm13cm27cb.15cm8cmc.md.3x4xe.RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA LOS NGULOS DE 30, 60 y 45

Estos ngulos tambin se les conoce como ngulos notables.

El siguiente cuadro resume el valor de las relaciones para los ngulos 30, 60 y 45.

Sen Cos Tan Cot Sec Cosc

RadianGrados

0010n.e.1n.e

30

2

45

11

60

2

9010n.e.0n.e1

La tabla anterior arroja las siguientes conclusiones

Sen 30 = Cos 60Cos 30 = Sen 60Sen 45 = Cos 45

Cot 30 = Tan 60 Sec 30 = Csc 60 NOTA: Tener en cuenta que en todo tringulo la medida de los ngulos internos es 180

ABC

A + B + C = 180,Pero el ngulo B = 90 por ser un tringulo rectngulo

Entonces A + C = 90 de aqu A = 90 - C

De la tabla anterior se pueden realizar las siguientes generalizaciones

EJEMPLO

Hallar el valor de la siguiente expresin:

De la tabla anterior se observa los valores correspondientes a cada funcin y se reemplaza en la expresin.

al reemplazar se obtiene que.

simplificando queda

= por diferencia de cuadrados se tiene que (a b).(a +b) = a2 b2

= = = 1

EJEMPLO

Si Sen = Hallar el valor numrico de la siguiente expresin

De la tabla anterior se tiene que la funcin seno toma el valor de en 60 o , por lo tanto el ngulo es igual a 60. La expresin anterior se convierte en

= al simplificar queda

= =

TALLER

Halla los valores exactos para seno, coseno y tangente del ngulo y en cada tringulo. 21

12

x

2yy

x

1.

En cada uno de los tringulos rectngulos halla el valor de cada una de las razones trigonomtricas para los ngulos y 6

108

a

2. Traza un tringulo para la razn trigonomtrica dada y encuentra las otras cinco razones restantes.

a) = b) c)

d)e)f)3. Escribe todas las razones trigonomtricas para los ngulos agudos de un tringulo, cuyos lados son 3cm, 4cm y 5cm.

4.

Si , busca las dems razones trigonomtricas para el ngulo 5.

Si , halla el valor de la expresin sen6.

Si , encuentre el valor de 7.

Si y escribe los valores de:

a) senb) c)

d) e) ACBcba

8. Con base en el tringulo rectngulo ACB, resuelve:a) Si a = 44 y b = 5 halla las razones trigonomtricas de los ngulos A y Bb) Si a = 5 y c = 16, halla las razones trigonomtricas de los ngulos A y Bc) Si b = 6 y c = 10, halla las razones trigonomtricas de los ngulos A y B9. Relaciona las funciones trigonomtricas complementariasSen30cot20Tan20sen55Cos35cos6010. Uso la calculadora cientfica para comparar los valores de las funciones trigonomtricas (escribo >, 0 y Cos < 0. Hallar el cuadrante que contiene el lado Terminal de .

SolucinDe la tabla anterior se obtiene la siguiente informacin.La funcin Csc es mayor que cero, o positiva en los cuadrantes I y II y la funcin coseno es negativa o menor que cero, en los cuadrantes II y III del plano cartesiano.Por lo tanto el lado Terminal esta en la interseccin de estas dos conclusiones. Entonces el lado Terminal de est en el cuadrante II.

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO

En la mayora de las ocasiones el valor de las funciones trigonomtricas se han determinado en forma manual, para ngulos agudos. Si se quiere determinar el valor de estas para cualquier ngulo, entonces se debe definir el concepto de ngulo de referencia.ngulo de Referencia

Dado un ngulo, , en posicin regular y el lado Terminal en cualquier parte del plano cartesiano, se define el ngulo de referencia de , como el ngulo agudo R que hace el lado Terminal con el eje x positivo o negativo

x =rCUADRANTE Ix =rCUADRANTE II

xrCUADRANTE IIIxrCUADRANTE IV

Para el cuadrante I

Si 0< < , es decir, 0< < 90 entonces R = Para el cuadrante II

Si < < , es decir 90< < 180, entonces R = Se determina la medida del ngulo, de referencia y se analiza el signo de la funcin dada en el cuadrante especificado.EJEMPLO

Si = 160, hallar el valor de Sen, Csc, TanSolucinEl ngulo est en el cuadrante II del plano cartesiano, se halla el ngulo de referencia, entonces = 160.En el cuadrante II se tiene R = 180 - 160 = 20. Por lo tanto hallar el valor de Sen160, es como hallar el valor de Sen20, pero con el signo que tiene la funcin en el cuadrante II.

Sen160 = + Sen20; la funcin Seno es positiva en el cuadrante II, De igual forma para las dems funciones.Csc160 = +Csc20Tan160 = - Tan20Para el cuadrante III

Si < < , es decir 180 < < 270, entonces R = - = - 180Ejemplo

Si = 230, hallar el valor de Sen, Tan

SolucinEl ngulo de referencia con = 230, es decir R = 230 - 180 = 50Entonces Sen 230 = - Sen50; la funcin es negativa en el cuadrante III Tan 230 = + Tan50; la funcin tangente es positiva en dicho cuadrante.Para el cuadrante IV

Si < < 2, es decir 270 < < 360, entonces R = 2 - = 360 -

TALLER

Hallar el valor de las funciones trigonomtricas, para un ngulo en posicin regular,si el punto dado H(x,y) est sobre el lado Terminal

Si es un ngulo, hallar el cuadrante que contiene el lado Terminal.

Hallar el cuadrante que contiene el lado terminal de , si se cumplen las condiciones dadas.( es un ngulo agudo)

1. Sec < 02. Tan > 03. Ctg < 04. Sen < 0 y Sec > 05. Sen < 0 y Csc > 06. Tan > 0 y Sec < 07. Cos < 0 y Tan < 08. Csc < 0 y Ctg > 09. Sec > 0 y Sen < 0

3.2. APLICACIONES DE TRINGULOS RECTNGULOS

La trigonometra, en sus inicios, se concret al estudio de los tringulos. Por varios siglos se emple en topografa, navegacin y astronoma. En la aplicacin de los tringulos rectngulos se deben manejar dos conceptos fundamentales adems del manejo de las relaciones trigonomtricas ellos son ngulo de elevacin y ngulo de depresin.

Equipo de topografaEl ingeniero de la izquierda mira a travs de un teodolito la barra marcada que sostiene otro ingeniero situado ms lejos. Algunas de las medidas topogrficas consisten en ver la diferencia de elevacin entre la barra y el teodolito, las distancias horizontales y los ngulos verticales y horizontales. El tercer miembro del equipo registra los datos medidos. Blair Seitz/Photo Researchers, Inc.

NGULO DE ELEVACIN

Es el ngulo formado por la horizontal y la lnea visual del observador de un objeto situado por encima de la horizontal. ( se mira hacia arriba).NGULO DE DEPRESIN

Es el ngulo formado por la horizontal y la lnea visual del observador de un objeto situado por debajo de la horizontal. ( se mira hacia abajo)

EJEMPLO

Un grillo se encuentra a 10 m. del pie de un rbol, observa el tamao total de dicho rbol con un ngulo de 30 Cul es el tamao de dicho rbol?

Solucintg 30 = h Despejando h queda: 10m. h = 10m. x tg 30 h = 10m.(0.57)h = 5.7 m

EJEMPLO

De la altura de un faro se ve un bote en el mar con un ngulo de depresin de 60, si dicho faro tiene una altura de 20m. A qu distancia se ubica el bote con respecto al pie del faro?

Solucin tg 60 = 20 Despejando d d

d = 20 tg 60d = 11.54 m

Ejemplo

Una persona observa la parte superior de un edificio con un ngulo de elevacin de 40, si esta persona se encuentra a 50metros del pie del edificio. Calcular la altura de este.

Solucin

Tan 40 =

h = 50m x 0,83h = 41.95 m

Ejemplo

En la torre de un faro que est a una altura del piso de 50 metros, el vigilante advierte que se aproxima un barco formando un ngulo de depresin de 25. Cul es la distancia que separa el barco del faro?

Solucin

Tan 25 =

d = d = 107.22 m

Ejemplo

Una persona que mide 1.75 metros esta parada en el extremo de un Muelle que sobresale 4.5 metros por encima del agua, esta observando Una lancha de pecadores, si el ngulo de depresin es de 4 grados A que distancia del observador esta la lancha?

4.5 metros4

Solucin

despejando x queda que X = 89.39 m

Luego

EJEMPLO

Desde la ventana de un edificio situada a 10 metros del suelo se ve el edificio de enfrente en la siguiente forma: La parte superior con un ngulo de elevacin de 30 y la parte inferior con un ngulo de depresin de 45. Calcular la anchura de la calle y la altura del edificio

Solucin

Luego la altura del edificio es la suma de DE + EC, entonces ser 5.77m + 10m. La altura del edificio es 15.77m

TALLER

1. Encuentre el ngulo de elevacin del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo. 2. Desde un punto que est a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medicin de 53 grados para el ngulo de depresin de un objeto que se encuentra en el suelo. Aproximadamente qu tan lejos est el objeto del punto en el suelo que est directamente bajo el observador?3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ngulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo. 4. Un avin vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto ms tarde, el ngulo de depresin del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avin.5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ngulo de 60 grados con respecto a la horizontal. 6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ngulo de 30 grados y la parte inferior con un ngulo de depresin de 45 grados. Determine la altura del edificio sealado.7. Un ro tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la direccin de la orilla ngulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del ro.8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior est a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ngulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, cul es la altura del cuadro?9. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ngulo de 60 con respecto al piso10. Un ingeniero observa con un teodolito la cima de un cerro con un ngulo de elevacin de 41, luego se acerca 28m y el nuevo ngulo de elevacin es de 58. Cul es la altura del cerro, si el teodolito mide 1,75m?11. Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ngulos de elevacin de 53 y 37, si la distancia entre los ovnis es de 90m A qu altura estn los ovnis y cul es la distancia de la persona a los ovnis?

12. Un avin P de reconocimiento vuela a 1000 m de un punto R sobre la superficie del agua, localiza un velero S con un ngulo de depresin de 37 y un buque T con un ngulo de depresin de 21, como se muestra en la figura. Adems el ngulo SPT resulta ser de 110. Calcula la distancia entre el velero y el buque.

13. Los ojos de un jugador de baloncesto estn a 1,8 m del piso. El jugador est en la lnea de tiro libre a 4,6 m del centro de la canasta. El aro est a 3 m del piso. Cul es el ngulo de elevacin de los ojos del jugador al centro del aro?

14. Desde un avin que se encuentra a 4500 m de altura se observan dos autos corriendo en la misma direccin y sentido con un ngulo de depresin de 62 y 35 respectivamente. Determina la distancia en que se encuentran los dos autos. 15. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avin con un ngulo de elevacin de 15 grados y un automvil en la carretera, en el mismo lado que el avin, con un ngulo de depresin de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automvil ve al avin bajo un ngulo de elevacin de 65 grados. Si el avin, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avin y el automvil, tambin calcule la altura a la que vuela el avin en ese instante. 16. Desde una determinada posicin en un camino, una persona observa la parte ms alta de una torre de alta tensin con un ngulo de elevacin de 25. Si avanza 45 m en lnea recta hacia la base de la torre, divisa ahora su parte ms alta con un ngulo de elevacin de 55. Considerando que la vista del observador est a 1,70 metros del suelo. Cul es la altura de la torre?17. Desde un punto sobre el suelo a 500 pies de la base de un edificio, se observa que el ngulo de elevacin hasta la parte superior del edificio es de 24 y que el ngulo de elevacin hasta la parte superior del asta bandera del edificio es de 27. Determinar la altura del edificio y la longitud del hasta de la bandera.

hk 500 pies2427

18. Un deposito de agua esta a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio se observa que el ngulo de elevacin hasta la parte superior del deposito es de 39 y el ngulo de depresin a la parte inferior es de 25. Cual es la altura del deposito, a que altura esta la ventana

AGUA325 PIES2539

19. Se debe medir la altura de un acantilado a partir de un punto del lado opuesto del ro. Determine la altura del acantilado partiendo de la informacin de la figura.20. Un rbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. Cul es el ngulo de elevacin del sol?21. Una escalera de 20 pies est apoyada contra un edificio, de tal manera que el ngulo entre el piso y la escalera es de 72. Qu altura alcanza la escalera sobre el edificio?22. Una escalera de 20 pies est apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera est a 6 pies de la base del edificio. Cul es el ngulo de elevacin de la escalera? Qu altura alcanza la escalera sobre el edificio?23. Un hombre est tendido sobre la playa, haciendo volar una cometa. Sujeta el extremo de la cuerda de la cometa al nivel del piso y estima que el ngulo de elevacin de la cometa es de 50. Si la longitud de la cuerda es de 450 pies, a qu altura est volando la cometa sobre el nivel del piso?

3.3. SOLUCIN DE TRINGULOS NO RECTNGULOS Y APLICACIONES

Un tringulo oblicungulo es aquel que no tiene ngulo recto. Para resolver estos tringulos necesitamos conocer tres elementos de los seis, uno de los cuales debe ser un lado.ALTURAS DE UN TRIANGULOSe llama alturas de un tringulo al segmento perpendicular a un lado, trazada desde el vrtice opuesto.CALCULO DE LA ALTURA DE UN TRIANGULOLa altura de un tringulo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por el seno del ngulo adyacente a este lado y a la base.AREA DE UN TRIANGULO

El rea de un tringulo es igual al semiproducto de dos de sus lados por el seno del ngulo comprendido entre ellos. RECORDAR QUE

a. Un tringulo es oblicungulo cuando no tiene ngulo recto.b. La suma de ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180.c. En todo tringulo, a mayor lado se opone mayor ngulo y viceversa.

Para toda resolucin de tringulos oblicungulos se utiliza: La ley de los senos la ley del coseno.

3.3.1 LEY DE SEOS

Las longitudes de los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

ABCabcLa ley de los senos se cumple cuando los datos que se conocen son: Dos ngulos y un lado ( A L A) Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (L L A)Este ultimo es el ms complicado ya que podemos tener UNA, DOS o ninguna solucin.El procedimiento a seguir consiste en utilizar la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ngulos que faltan y determinar si tenemos UNA, DOS o NINGUNA solucin. Finalmente encontramos el ngulo faltante restando de 180, y el problema se reduce al caso anterior.EJEMPLO

Si A = 45, B = 75 y c = 10 m ; hallemos a, b y CTenemos ngulo Lado ngulo (caso 1)Como A + B + C = 180, entonces C = 180 - 120 = 60Aplicaremos la ley de los senos para hallar el lado a

ABCabc =10m4575

De la misma manera encontraremos el valor del lado b

EJEMPLO

Si A = 30, a = 10m y c = 15m ; hallemos B, C y bTenemos A L L (caso 2). Por lo tanto, el problema puede tener NINGUNA, UNA o DOS soluciones. Aplicaremos la ley de los senos para calcular C.Solucin

Luego C = 48.59, entonces B = 101.41

Para calcular el lado b tenemos que

EJEMPLO

Un avin que se encuentra en el punto A es observado por dos estaciones terrestres ubicadas en los puntos B y C. A que distancia se halla el avin de B?A

BC46812.8 km

Se tiene A L AComo A + B + C = 180, ENTONCES A = 180 - 127 = 53Aplicamos la ley de los senos para calcular la distancia AB

Luego tenemos que AB = 2.52 km

3.3.2. LEY DE COSENOS

En todo tringulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de stos lados por el coseno del ngulo comprendido entre dichos lados.ACBcab

La ley de los Cosenos se cumple cuando los datos conocidos son:

Dos lados y el ngulo entre ellos ( L A L) Los tres lados (L L L)EJEMPLO

Resolver el tringulo ABC segn sus datos13636BACa

Tenemos el caso L A L, por tanto, aplicamos la ley de los cosenos para calcular el lado a

entonces

, Para hallar la medida del ngulo B, tambin se aplica la ley de los Cosenos (aunque se puede aplicar la ley de los senos).

despejando CosB queda que: reemplazando queda:

Para buscar B se utiliza la funcin del Coseno inversa, entonces queda que Finalmente C = 180 - A C, Luego C = 180 - 36 - 120.2, entonces C = 23.8

EJEMPLO

Un topgrafo encuentra que el ngulo en el punto A desde donde observa los puntos B y C, en cada orilla del lago es 72. Hallar la distancia a travs del lago determinando la separacin que hay entre los puntos B y C.72 21m15mACB

Los datos son dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, es decir el criterio L A L, por lo tanto aplicamos la ley de los Cosenos para calcular la distancia BC.

Luego queda que , entonces Al sacar la raiz cuadrada queda que BC 0 21.71mTALLER LEY DE SENO Y COSENO

Emplear los teoremas del seno o del coseno para resolver los siguientes tringulos ABC.1. a = 10 cm b = 12 cm C = 35 402. c = 10 cm B = 40 A = 703. a = 10 cm b = 15 cm B = 424. A = 52 30 B = 78 12 c = 300.5 m5. b = 4 km a = 13 km A = 53 86. B = 113 10 b = 248 cm c = 195 cm7. c = 40 cm b = 50 cm A = 29 308. b = 20 cm c = 30 cm A = 609. a = 150 cm c = 30 m B = 15010. a= 7 m b = 6 m c = 4 m11. a = 9 m b = 7 m c = 4 m12. Una escalera de 5 m de largo es recostada sobre un muro inclinado, alcanzando una altura de 5 m sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera est a 2.5 m de la base del muro, halla la inclinacin del muro 13. Un topgrafo situado en un punto c localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si c est a 5 km de A y a 8 km de B y adems el ngulo c mide 36. Calcula el ancho del lago. 14. Si los lados de un tringulo ABC miden a= 4 cm, b = 7 cm y c = 10 cm, determina el ngulo mayor. 15. Dos de los ngulos interiores de un tringulo miden 30 y 55. Si el lado opuesto del ngulo menor mide 115 cm determina la longitud del lado mayor.16. Hallar el rea de un tringulo ABC si a = 326 dm, b = 185 dm y c = 243 dm 17. Hallar el rea de un tringulo ABC si a = 36 m, A = 49 y C = 63 18. Una carrilera (una lnea en recta) de 180 km de longitud tiene por extremos las ciudades A y B; otra carrilera (en lnea recta) de 260 km de longitud contina el recorrido de la ciudad B a la ciudad C. Si las carrileras forman entre s un ngulo de 132,5 calcular la distancia entre las ciudades A y C. 19. Dos trenes parten simultneamente de una misma estacin, en direcciones tales que forman un ngulo de 30. Uno va a 15 km / h y el otro a 25 km / h. Determinar a qu distancia se encuentran separados despus de dos horas de viaje. 20.Un observador mira los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a 500 m de E1 Y 800 m de E2.Si el ngulo que forman las lneas visuales es de 132, determinar la distancia que separa los edificios E1 y E2. 21. Un satlite en orbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de observacin en Phoenix y Los ngeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuando el satlite est entre esas dos estaciones, simultneamente se observa que el ngulo de elevacin es de 60 en Phoenix y de 75 en los ngeles. A qu distancia est el satlite de los ngeles?7560Los AngelesPhoenix

22.Un avin que se encuentra en el punto A es observado por dos estaciones terrestres ubicadas en los puntos B y C. A que distancia se halla en avin de B?ABC81 46 ---------------------2.8 Km --------------------------

23. Una persona que se encuentra en el punto A desea dirigirse al punto C, que se encuentra a 2.8 km en lnea recta. Debido a que el terreno est en malas condiciones, decide seguir la trayectoria de A a B para dirigirse, finalmente, hacia C. Cul es la distancia total que deber recorrer?ABC53 112 2.8 Km

24. La torre inclinada de Pisa forma un ngulo con la horizontal de 82. Determinar la distancia BC si se sabe que la distancia entre AB es 28m ABC428228M

25.Dos barcos se dirigen en lnea recta hacia el mismo puerto, el ngulo que forman sus trayectorias mide 30. Un barco recorre 10km antes de llegar al puerto mientras el otro recorre 12km. A qu distancia se encontraban los barcos?3010km12kmx

FUNCIONES TRIGONOMTRICASUNIDAD 4

FUNCIONES TRIGOMTRICAS DE ANGULOS EN POSICIN NORMAL

4.1.

Dado un ngulo en posicin normal respecto a un eje coordenado XY se definen las funciones x = abscisa, y = ordenada R = radio

Sen

Cos

Tan

Cot

Sec

CscEJEMPLO

Encuentra el valor de las funciones trigonomtricas si se sabe que el ngulo en posicin normal tiene el lado final que pasa por los puntos (3,-4).SOLUCIN

X=3, Y= -4 hay que encontrar R utilizando el teorema de Pitgoras Y es claro que haciendo los procedimientos obtenemos 5.As se tiene que:

Sen = -4/5

Cos = 3/5

Tan = -3/4

Cot = -4/3

Sec = 5/3

Csc = -5/4

Observemos el grfico de un ngulo en posicin normal respecto a un eje coordenado XY , definindose as las lneas trigonomtricas respecto al ngulo

TALLER

1. Encuentra el valor de las funciones trigonomtricas de los ngulos determinados por el segmento orientado cuyo extremo es:a. P=(-3,-5) b. P=(-4,4) c. P= (-4,0) d. P= (0,3) e. P = (9,-12)

2. S Sen= 2/3 encuentra el valor de las otras funciones trigonomtricas3. En un circulo trigonomtrico traza un ngulo de 220 y dibuja sus respectivas lneas trigonomtricas.

REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Dado cualquier ngulo , se puede encontrar siempre otro ngulo , que esta en el primer cuadrante.Reduccin de funciones de ngulos negativos.

Sen(-) = -Sen , Cos(-) = Cos Tan(-) = -Tan

Cot (-)= -Cot Sec(-)= Sec Csc(-)= -CscReduccin de ngulos al primer cuadrante Si el lado terminal est en el primer cuadrante se procede con las definiciones dadas para las funciones trigonomtricas. Si el lado terminal est en el segundo cuadrante, entonces:

Sen(180-) = Sen Cos(180-) = -Cos Tan(180-)=-Tan

Cot(180-)= -Cot Sec(180-)=-Sec Csc(180-)=Csc

S el lado terminal est en el tercer cuadrante, entonces:

Sen=-.Sen(-180) Cos=-Cos(-180) Tan=Tan(-180)

Cot= Cot(-180) Sec =-Sec(-180) Csc= -Csc(-180)

S el lado terminal est en el cuarto cuadrante, entonces:

Sen = -sen(360- ) Cos=Cos(360- ) Tan=-Tan(360- )

Cot= -Cot (360- ) Sec = Sec(360- ) Csc= Csc (360- )

GRFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de las razones trigonomtricas de la forma siguiente: El ngulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360 de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.Se considera que cualquier nmero real puede ser la medida de un ngulo. Sus razones trigonomtricas se relacionan con las razones de los ngulos comprendidos en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x-x = k2p, k nmero entero, entonces senx = senx, cosx = cosx, tgx = tgx. Es decir, si dos nmeros difieren en un nmero entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonomtricas.De este modo se obtienen las funciones trigonomtricas y=senx, y=cosx, y=tgx, llamadas tambin funciones circulares. Sus representaciones grficas son:FUNCIN SENO y = sen xA partir del comportamiento del cateto opuesto del crculo trigonomtrico unitario, la grfica de la funcinseno empieza de cero en 0 , va aumentando paulatinamente hasta llegar a uno en 90 . Despus va disminuyendo hasta llegar a cero en 180 . Posteriormente disminuye negativamente hasta llegar a -1 en 270 . Finalmente, va aumentando hasta regresar a cero en 360 , donde el proceso se repite indefinidamente.

El dominio de la funcin seno es el intervalo abierto ,y el rango es 1,1.

FUNCIN COSENO y = cos x

De forma similar, el comportamiento del cateto adyacente del crculo trigonomtrico unitario, la grfica de la funcin coseno empieza en uno en 0 , va disminuyendo paulatinamente hasta llegar a cero en 90 . Despus sigue disminuyendo hasta llegar a -1 en 180 . Posteriormente crece hasta llegar a cero en 270 . Finalmente, sigue aumentando hasta regresar a 1 en 360 . Esto se repite indefinidamente, como muestra en la grfica siguiente:

El dominio de la funcin coseno es el intervalo abierto ,y el rango es 1,1.NOTA: Considerando que las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante se pueden deducir a partir del seno y coseno, se pueden graficar aplicando la relacin respectiva en cada punto. Estas grficas se muestran a continuacin:

FUNCIN TANGENTE y = tan x

Por ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin tangente es: D = { xR x n , nZ }y el rango es (-, ).FUNCIN COTANGENTE y = cot x

Tambin, al ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin cotangente es D xR x n , nZy el rango es ,.

FUNCIN SECANTE y = sec x

Por ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin secante es

D = { xR x n , nZ } y el rango es ,11,.

FUNCIN COSECANTE y = csc x

Tambin, al ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin cosecante es DxR x n , nZy el rango es ,11,

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMTRICASUNIDAD 5

Las identidades son igualdades que contienen funciones trigonomtricas y que son valederas para todos los valores de los ngulos para los cuales estn definidas estas funciones.No puede darse ningn mtodo general de resolucin pero pueden seguirse los siguientes pasos: Cuando se contienen ngulos mltiplos o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en funcin de ngulos sencillos. Cuando contienen sumas o diferencias de ngulos, se sustituyen por sus frmulas respectivas. Si despus de haber hecho esto no aparece ningn mtodo factible, es ventajoso cambiar todas las funciones a senos y cosenos.PRIMER MTODO DE RESOLUCIN Se reduce un miembro a la forma del otro miembro. En general, el miembro ms complicado se reduce al miembro ms sencillo.

SEGUNDO MTODO DE RESOLUCIN Se reducen ambos miembros INDEPENDIENTEMENTE, usando las formulas conocidas hasta que los dos miembros sean idnticos.RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Las funciones trigonomtricas estn relacionadas entre s de la siguiente forma: (para cualquier ngulo ). CosSenTan=SenCosCot=

Tan 1Cot=

CotTan= 1

Cos 1Sec=

Sen 1Csc=

Sec 1Cos=

Csc 1Sen=

Est relacin se conoce como la identidad MATRIZ O PRINCIPAL de la trigonometra. Las siguientes ecuaciones se derivan de la principal, ellas son:

; ; ;

NOTA: Estas relaciones se cumplen para todo valor en grados o radianes del ngulo 5.1 DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

El aprender a usar y verificar las identidades trigonomtricas requiere del uso y dominio amplio del lgebra y de los conceptos trigonomtricos estudiados. A continuacin se presentan algunos tipos que te pueden facilitar esta tarea: Se deben conocer perfectamente las identidades fundamentales Generalmente, es ms conveniente trabajar con el miembro ms complicado de la identidad. Si existen operaciones indicadas, stas se deben efectuar como primer paso. Si uno de los miembros contiene ms de una funcin mientras que el otro miembro contiene slo una, se convierten las funciones del primer miembro en trminos de la funcin que entra en el segundo, de acuerdo con las identidades fundamentales. Si el numerador de uno de los miembros contiene varios trminos y el denominador slo uno, se puede, en ciertos casos, efectuar la conversin deseada, expresando el miembro en cuestin como una suma de fracciones y aplicando luego las identidades fundamentales. De ser posible uno de los miembros debe ser factorizado. Despus de ello, quiz se pueda distinguir el paso siguiente. Algunas veces, para obtener la conversin deseada, es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor. Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro ms complicado se convierten en senos y cosenos, y se simplifica. Por ltimo te recomendamos que hagas muchos ejercicios, pues es la nica forma en la que llegars a dominar este tema.EJEMPLO

Demostrar la siguiente identidad Se cambia la funcin Tangente y Secante a funcin de senos y cosenos

pero y al reemplazar queda

al realizar la ley de la oreja se tiene luego queda demostrado que EJEMPLO

Demostrar la siguiente identidad como

Al reemplazar se tiene sacando el comn denominador al lado izquierdo se tiene sacando factor comn Sen2x se tiene

pero 1-Cos2x = Sen2x, entonces

Finalmente EJEMPLO

Demostrar la siguiente identidad Se cambia la funcin Tangente y Secante a funcin de senos y cosenos

pero y al reemplazar queda

al realizar la ley de la oreja se tiene luego queda demostrado que

EJEMPLO

Si sen x = , donde x es un ngulo que est entre 0 y 90. hallar, aplicando las elaciones trigonomtricas, el valor de las dems relaciones trigonomtricas para x.

Solucin: como sen x = , despejamos cos x en la identidad sen2x + cos2x = 1

Luego cos2x = 1- sen2 , as cos x = = por qu? = As cos x = se escoge el valor positivo, porque el ngulo x est entre cero y noventa grados. Para encontrar tan x utilizamos tan x = sen x / cos x

Tan x = = porqu? Cot x =

Sec x = Csc x = EJEMPLO

Demostrar que: Ponemos todo en funcin del seno y Coseno.

Sacando comn denominador se tiene que Luego, despus de cancelar trminos semejantes queda demostrado que Cosx = Cosx

EJEMPLO

Demostrar que se verifica la siguiente identidad Poniendo todo en funcin de senos y cosenos queda:

Operando queda al realizar la ley de la oreja

Pero como Sen2x + Cos2x = 1, entonces

EJEMPLO

Demostrar que

Tener en cuenta que Cos2x = Cos2x Sen2x y que Tanx = , luego

operando queda

como Cos2x + Sen2x =1, queda

TALLER

Resolver las siguientes identidades trigonomtricas

5.5. ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

Las ecuaciones trigonomtricas son igualdades de expresiones trigonomtricas que se cumplen nicamente para ciertos ngulos. Son las ecuaciones que tienen como incgnita una o varias funciones trigonomtricas.Resolver una ecuacin trigonomtrica consiste en encontrar los ngulos que hacen verdadera la igualdad. Como las funciones trigonomtricas son peridicas, existen infinitos ngulos que hacen verdadera una ecuacin; por lo tanto, es conveniente restringir el conjunto solucin a los ngulos comprendidos en un periodo.REGLAS

1. Se transforman todas las funciones trigonomtricas en funcin de una sola, generalmente Seno, Coseno o Tangente.1. Se resuelve algebraicamente la ecuacin resultante (generalmente una ecuacin de segundo grado).1. Se desechan las soluciones que no satisfagan a la ecuacin dada.1. Se busca el ngulo o ngulos que cumplan con la ecuacin.Los procedimientos para resolver ecuaciones trigonomtricas son similares a los empleados para resolver ecuaciones algebraicas. La diferencia principal radica en que las ecuaciones trigonomtricas se resuelven para las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante y de estas se determina los valores del ngulo. EJEMPLO

Resolver para ngulos principales

Es una funcin inversa y significa que x = Sen-1 es decir x es el ngulo cuyo Seno vale

Los senos positivos pertenecen al primer y segundo cuadrante y pertenece al ngulo de 30, por lo tanto 30 en el primer y segundo cuadrante son las respuestas.EJEMPLOX1= 30 y X2 = 150 son los ngulos30150

Resolver Tanx = 1 para 0 < x < 360RAZONAMIENTOX = Tan-1(1) es decir X es un ngulo cuya tangente vale 1. Las tangentes positivas pertenecen al primer y tercer cuadrante y las negativas al segundo y cuarto cuadrante; y como 1 pertenece al ngulo de 45. La respuesta es un ngulo de 45 en cada cuadranteX1 = 45 X2 = 135

X3 = 225 X4 = 31545135315225

EJEMPLO

Resolver Para 0 < x < 360

; Racionalizando se tiene que , luego se tiene

que x = Cos-1; Los cosenos son positivos en el primer y cuarto cuadrante y corresponde a 45 EJEMPLO

Resolver 4Sen2x + 4Senx 3 = 0Este es una ecuacin de segundo grado en Senx por lo tanto hay que identificar los coeficientes y aplicar la formula correspondiente.a = 4 ; b = 4 ; c = -3

Senx1 =

Senx2 =

La solucin Sen x = es inadmisible porque el seno de cualquier ngulo no puede valer en su valor absoluto ms de uno.

Para Sex1 = ; pertenece a un ngulo de 30.

X = Sen-1 Para X1 = 30 ; para X2 = 150 Siempre que en un problema hay que elevar al cuadrado o sacar raices es necesario comprobar las soluciones porque algunas veces aparecen soluciones extraas que no cumplen con el enunciado.ComprobacinPara X = 30 se tiene entonces 4. Sen2 30 + 4. Sen 30 - 3 = 0EJEMPLO

Resolver Para 0 < x < 360

; Racionalizando se tiene que , luego se tiene que x = Cos-1; Los cosenos son positivos en el primer y cuarto cuadrante y corresponde a 45

TALLER

Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas

BIBLIOGRAFIA

- URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemticas bsicas y operativas. Medelln: Susaeta, 1996- ALGEBRA DE BALDOR. Limusa. 1992-MORENO GUTIERREZ, Vladimir, Matematicas serie ALFA, Norma 1999- SERRANO DE PLAZA,S Celly. Conexiones matemticas. Norma, 2006