Matematica IV
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L [ y ]=−14s
+ 6s+4
+ 32 s
− 32 (s+4 )
+ 8s+1
−8s+ 8s−1
y (t )=−14 t+6e−4 t+ 32t−32e−4 t+8e t−8 t+8et
y (t )=−412
t+16 t+ 92e−4 t
Tarea:
Resolver:
{y '−z '−2 y+2 z=senty' '+2 z+ y=0
y(0 )= y '(0 )=z(0)=0
Ejercicios
Hallar:
L−1 ¿
Solución:
L−1[ ss+1
∗1
s+1 ]=cos t∗sen tL−1[ s
s+1 ]=cos tL−1[ 1s+1 ]=sent
cos t∗sent=∫0
t
cos usen (t−u)∂u
∫0
t
cos u [sent cos u−senucos t ]∂u
∫0
t
cos u [sent cos u−senucos t ]∂u
sent∫0
t
cos2u∂u+cos t∫0
t
cosusen u∂u
¿ sent [ u2+ sen2u4 ] t
0−costsen2u2 | t0
¿ sent [ t2+sen2 t ]−cos t sen2 t2
sent [ t2+ 2 sent cost4 ]−cos t sen2t2 + t2sent+ sen2t cos t
2−cos tsen
2t2
¿ tsent2
Hallar:
L−1[ 1
s2 ( s2+1 ) ]Solución:
¿ L−1[ 1s2∗1s2+1 ]=t∗sent
L−1[ 1s2 ]=t
L−1[ 1s+1 ]=sent
t∗sent=∫0
t
usen ( t−u )∂u
∫0
t
u [ sent cosu−sen ucos t ]∂u
sent∫0
t
ucosu∂u−cos t∫0
t
usen u∂u
sent [cos u+usenu| t0 ]sent−cos t [senu−ucosu ] t0
sent ¿
¿ t sen2 t+t cos2 t−sen t
¿ t−sent
Resolver:
y ' '+2 y+ y=et
L [ y ' ' ]+2 L [2 y ]+L [ y ]=L [et ]
s2 L [ y ]−s [ y (0) ]− y ' (0 )+2 s L [ y ]− y (0 )+L [ y ]= 1s−1
L [ y ] ( s2+2 s+1 )= 1s−1
+sC1+C2+C1
L [ y ]= 1( s−1 ) ( s+1 )2
+sC1
(s+1 )2+
sC3
(s+1 )2
Y ( t )=L−1[ 1
( s−1 ) ( s+1 )2 ]+C1L−1[ s
(s+1 )2 ]+C3L−1[ 1
(s+1 )2 ]L−1[ 1
(s−1 ) (s+1 )2 ]=L−1[ 1( s−1 )
x1
(s+1 )x1
( s+1 ) ]=et∗e−t∗e−t
[∫0
t
eu . e−(t−u)∂u ]∗e−t
[e−t∫0
t
e2u∂u]∗e−t
[e−t( e2u2 ) t0]∗e−t=( et2 − e−t
2 )∗e−t
¿ 12∫0
t
(eu−e−u ) (e−( t−u ))∂u
¿ 12e−t∫
0
t
e2u∂u−12e−t (u)| t
0
¿ 14e t− 1
4e−t− t
2e−t
L−1[ s
(s+1 )2 ]=L−1[ s( s+1 )
x1
( s+1 ) ]
(s−1 )+1(s+1 )2
= s+1(s+1 )2+02
+ −1( s+1 )2
¿e−t− 1
( s−(−1 ) )2=e−t−t e−t
L−1[ s
(s+1 )2 ]=t e−t
Y (t )=14
(e−t−t e−t )− t2e−t+C1 (e−t−t e−t )+C3(t e
−t)
Resolver la ecuación:
y ' '− y '−2 y=0
y(0 )=1 ; y'(0)=0
Solucion:
L [ y ' '− y '−2 y ]=0
L [ y ' ' ]−L [ y ' ]−L [2 y ]=0
s2 L [ y ]−s [ y (0) ]− y '(0 )−(s L [ y ]− y (0 ) )−2 L [ y ]=0
s2 L [ y ]−s−s L [ y ]+1−2 L [ y ]=0
L [ y ] ( s2−s−2 )=s−1
L [ y ]= s−1(s2−s−2)
L [ y ]= s−1(s−2)(s+1)
= A(s−2)
+ B(s+1)
y (t )=L−1[ 13
(s−2) ]+L−1[ 23
(s+1) ]
A+B=1
A−2B=−1
B=23
A=13
y (t )=13e2 t+ 2
3e−t
Tarea:
Resolver la ecuación.
y ' '+3 y+2 y=1
y(0 )= y '(0 )=0
Resolver:
xy ' '+2 y '+xy=sen x
y(0 )=0
Solución:
L [ ty' ' ]=−∂∂s
[L [ y ' ' ] ]
L [ xy ' '+2 y '+xy ]=L [sen x ]
−∂∂s [ s2L [ y ]−s [ y (0 ) ]− y '
(0 )]+2(s L [ y ]− y (0) )−∂∂ s
L [ y ]= 1
s2+1
−(2 s L [ y ]+s2 ∂∂s
L [ y ])+2 s L [ y ]− ∂∂ s
L [ y ]= 1
s2+1
−( ∂∂s
L [ y ] ( s2+1 ))= 1
s2+1
−∂∂s
L [ y ]= 1
( s2+1 )2
x y(x)=L−1[ 1
( s2+1 )2 ]=L−1[ 1
s2+1x1
s2+1 ]x y (x )=sen x∗sen x
¿∫0
x
senu (sen ( x−u ) )∂u
∫0
x
senu (senx cosu−cosx senu )∂u
¿ sen x∫0
x
( senucosu )∂u−cos x∫0
x
sen2u ∂u
¿ sen x( sen2u2 ) x0−cos
x ( u2− sen2u4 ) x0
¿ sen3 x2
− x cosx2
+ cosx sen2 x4
¿ sen3 x2
− x cosx2
+ cosx cosx senx2
senx2
(sen2 x+cos2 x )− x2cosx
x y (x )=12
(senx−xcosx )
y ( x )=12 x
(senx−xcosx )
Tarea:
Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales.
{2 y '+z '+ z=ty '+z '=t 2
y(0 )=1 ; z (0)=0
SERIES DE FOURIER
Definición:
La función f ( x ) : [−L; L ]→R
1) Par : Si f ( x )=f (−x )∀ x∈ [−L; L ]2) Impar :Si f (− x )=−f ( x )∀ x∈ [−L; L ]
Ejemplo: Son funciones pares.
1. f ( x )=x2
2. f ( x )=cos x3. f ( x )=
1
1+ x2
4. f ( x )=sec x, etc.
Ejemplo: Son funciones impares.
1) f ( x )=x 2) f ( x )=sen x
3) f ( x )=x
1+ x24) f ( x )= tan x, etc.
PROPIEDADES:
∫−L
L
f ( x )∂ x=¿2∫0
L
f (x )∂ x ; si f ( x )es par ¿
∫−L
L
f ( x )∂ x=¿0 ; si f ( x ) es impar ¿
EJEMPLOS:
A. f ( x )=x , [−1 ;1 ]Solución:
∫−1
1
x ∂x= x2
2 | 1−1=0B. f ( x )=x2 , [−1 ;1 ]
Solución:
∫−1
1
x2∂ x= x3
3 | 1−1=13− (−1 )3
=23
Ó también:
2∫−1
1
x2∂ x=2 x3
3 | 1−1=23ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES
Sean f y g funciones integrables en el intervalo [a;b ], el producto interno de f y g es:
⟨ f , g ⟩=∫a
b
W f ( x ) . g ( x )∂ x
W es constante .
Teorema: si f y g son funciones ortogonales en el intervalo [a;b ], si el
producto ⟨ f , g ⟩=∫a
b
f ( x ) . g ( x ) ∂x=0
EJEMPLO:f ( x )=x2 , g=x3 son ortogonales en el intervalo [−1 ;1 ] .
Solución:
⟨ f , g ⟩=∫−1
1
x2. x3∂ x=∫−1
1
x5∂ x= x6
6 | 1−1=¿0¿
∴ f ( x ) esortogonal a g( x ) .