Tema iv derivada de funciones matematica i uts

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA IV: DERIVADAS

HISTORIA DE LAS DERIVADAS

Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y

el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De manera diferente pero

independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y

generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y

con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados

diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por

ejemplo: Gilles de Roberval (1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes

(1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian

Huygens (1629--1695, amigo de Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de

Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647, discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli

(1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac Barrow (1630-1677, maestro de Newton).

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las

contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría

Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos

algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que

cada uno trabajo en otros campos diferentes a las matemáticas. Newton es un

conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos

de física y matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las matemáticas y la filosofía.

Los dos son personajes destacados en la historia de las matemáticas, ahora nos centraremos

en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron por defender

la autoría de la invención y desarrollo del cálculo. Newton empezó a desarrollar su cálculo

diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a las derivadas. Su

principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.

Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que traza una

curva y una fluxión x_ su velocidad. El problema se basa en hallar la relación entre las

fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de reglas para

poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció que

su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.

Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación sobre las

derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió con sus

compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al cálculo

diferencial e integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una obra propia

hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en 1671 y

publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus descubrimientos

para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la serie del binomio

hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean fracciones

o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo de raíces cuadradas.

TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES


Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las mando a la Royal

Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz. Mientras tanto

Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma independiente a

Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la cuadratura de una

curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre dos números de

la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se aproxima la

tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la integración

y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando su notación hasta

encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una

curva como infinitas porciones de recta donde dx es la diferencia infinitesimal de dos

puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx es la suma

de rectángulos infinitesimales y dx, el símbolo R es la alargación de una S que significa

suma. Esta notación es la que aun usamos en la actualidad.

Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio

Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de

valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde x, y son variables)

que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También

dedujo que el cociente dx/dy da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en

encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma

implica que la integración es la operación inversa a la derivación.

Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio Newton

usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como se usan

actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de que el

conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de los dos,

y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal

parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus

descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de

Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber

evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber

comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos

pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los

primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.

El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a Wallis,

un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que desarrollo su

cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que

trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la

comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue

utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física.

En física, se utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un

punto sobre el nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada

para la derivada respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación

de diferenciar mediante el operador d/dx.



Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la regla de

la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales.

La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con derivadas parciales de

funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica que variable de la

función es independiente en cada momento.

INCREMENTOS

f(a+h)

f(a)

a a+h

Incremento de la variable independiente: x = (a + h ) – a = h

Incremento de la variable dependiente: y = f(a+h) – f(a)

Cociente incremental (o tasa o razón) media de variación, en el intervalo [a, a+h] es:

h

f(a)h)f(a

Δx

Δy

Ejemplos: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes funciones:

1º) f(x) = 432 xx

El incremento en a es y = f(a+h) – f(a) = )4343 22 a(ah)(ah)(a

Operando y = (2a + 3 +h) h

El cociente incremental es hah

h)ha(

Δx

Δy

32

32



2º) f(x) = xe3

y = f(a+h) – f(a) = )(eee·eeee haahaah)(a 13333333

El cociente incremental es h

)(ee

Δx

Δy ha 133

3º) f(x) = sen(x)

y = f(a+h) – f(a) = sen(a+h) – sen(a) = 2cos

2

ahasen

2

aha

y = 2cos

2

ha sen

2

h

El cociente incremental es h

hsen

ha

Δx

Δy

22

cos2

DERIVADA

Dada una función f : D R, y un punto de abscisa a Int(D), se considera el límite del

cociente incremental cuando el incremento h 0, si ese límite existe y es finito diremos

que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos derivada de y =

f(x) en ese punto.

DEFINICIÓN 1: f : D R es derivable en a Int(D) Rh

f(a)h)f(a

h

0lim

f(a+h)

f(a)

a a+h



DEFINICIÓN 2: Si f : D R es derivable en a Int(D), se define derivada de f en a al límite:

h

f(a)h)f(a(a)f

oh

lim

EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos; ahora

calculemos sus derivadas:

1º) 432 xxxf

Habíamos llegado a que: hah

hha

x

y

32

)32(

Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:

3232limlim00

aha

h

f(a)h)f(a

hh

Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier a R, y que la derivada es

.32 a(a)f

2º) x = exf 3

Teníamos que: h

)(ee

Δx

Δy ha 133

De donde: aa

h

ha

hh·e

h

h·e

h

)(ee

h

f(a)h)f(a 33

0

33

003

3lim

1limlim

Se concluye que f es derivable y su derivada es a·e(a)f 33

3º) x = senxf

El cociente incremental es: h

hsen

ha

Δx

Δy

22

cos2



Entonces: (a)h

ah

h·

ha

h

hsen

ha

hhhcos

2coslim

22cos2

lim22

cos2

lim000

Luego: f es derivable y (a)(a)f cos

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE (PUNTOS SINGULARES)

a) CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE.

TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.

Hipótesis) f : D R es derivable en a

Tésis) f : D R es continua en a

DEMOSTRACIÓN:

afaf·hh

afhafafafhafhaf

hhh

1

000limlimlim

En el paso (1) se utilizó que f es derivable en a: El límite del cociente incremental es finito,

y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es interior de

D porque f es derivable en a y afxfax

lim y entonces f es continua en a. #

EJEMPLO: Dada la función

1

11

2

1

1

xsiba·xx

xsi·exf(x)x

Determinar a y b para que f sea derivable en x = 1.

Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:

f(x) + a + b = fx 1lim =11

01 = a + b +

01lim 1

1

1

x

x·ex

Y por definición, tenemos:



a

h

hah

h

babhah

h

fhf

hhh

22

lim111

lim11

lim2

0

2

00

Y demás:

0lim0

lim11

lim1

0

1

00

h

h

h

hhe

h

h·e

h

)f(h)f(

Para que exista la derivada: 202 a =+a= y de .1101 b= a b = =a +b+

b) DERIVADAS LATERALES

I. f : D R, es derivable a la izquierda de a

> 0 / ( a - , a ] D y R)(afh

f(a)h)f(a

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de a.

II. f : D R, es derivable a la derecha de a

> 0 / [ a, a + ) D y R)(afh

f(a)h)f(a

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de a.

EJEMPLO:

00

01

1

xsi

xsie

x

xf x

y = f(x) es continua en 0 ya que: .001

lim10

fe

x

xx

,

Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales en 0

0

1

1lim1lim

0lim0

10

1

00

hh

h

hh eh

e

h

h

fhff

Análogamente 11

1lim0

10

hh ef



Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es el

eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y = x.

EJEMPLOS:

1º) Sea f : R R definida por .| x | xf Cuya gráfica es:

A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es x = 0, lo que se confirma

formalmente calculando las derivadas laterales:

1lim

0lim0

1lim0

lim0

00

00

h

|h|

h

fhff

h

|h|

h

fhff

hh

hh

2º) Más general que el ejemplo precedente, si f(x) es una función derivable, en los

puntos donde cambie de signo, la función g(x) = | f(x) | presentará puntos angulosos. Por

ejemplo: se considera la parábola 42 xf(x) con valor absoluto ||xg(x) 42



- 2 2

-2 2

y = f(x) es una función derivable en R y cambia de signo en 2x , además:

xxf 2 42 f de donde se deduce que .4242 gg

3º) Hallar los puntos angulosos de la función f : R R /

24

1

201

0

2 xsix

xsi

xsie

xf

x

1

0 2

En x = 0: 0011

lim0

lim000

f

h

e

h

fhff

h

hh

En x = 2: 1

124

1

lim22

lim202

2

00

h

h

h

fhfff

hh



FUNCIÓN DERIVADA

Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.

Si f : D R es una función derivable en un conjunto de puntos D’ D, definimos la

función:

f : D’ R /

h

xfhxfxf

h

0lim

Que llamaremos función derivada de y = f(x). Además, se puede definir así:

f : D’ R /

12

12

12

limxx

xfxfxf

xx

EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

1°) f(x) = K (función constante)

0limlim00

h

KK

h

xfhxfxf

hh

2°) f(x) = x (función identidad)

11limlimlimlim0000

hhhh h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

2°) f(x) = x2 (función cuadrática)

xxhxh

h

h

xh

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxfxf

hhhh

hhhh

202lim2limlim2

lim

2lim

2limlimlim

00

2

00

2

0

222

0

22

00



TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA

1 y = k y ´ = 0

19 y = v

u y ´ =

2v

'v·uv'·u

2 y = x y ´ = 1

20 y = u y ´ =

u·2

'u

3 y = nx y ´ = 1nx·n

21 y = 3 u y ´ =

3 2u·3

'u

4 y = xe y ´ = xe

22 y = n u y ´ =

n 1nu·n

'u

5 y = xa y ´ = )a(L·ax

23 y = vu y ´ = 'u·u·v'v)·u(L·u 1vv

6 y = L(x) y ´ =

x

1 24 y =

v

uL y ´ =

v·u

'v·uv'·u

7 y = )x(logb y ´ = )b(L·x

1 25

y = ve·u y ´ = ve·'v·u'u

8 y = sen(x) y ´ = cos(x)

26 y = )x(f 1 y ´ =

)x('f

1

9 y = cos(x) y ´ = - sen(x)

27 y = Arc sen(x) y ´ =

2x1

1

10 y = tg(x)

y ´ = )x(tg1 2 = )x(cos

12

=

)x(sec2

28 y = Arc cos(x) y ´ =

2x1

1

11 y = cotg(x) y ´ = ))x(gcot1( 2 =

)x(sen

12

29

y = Arc tg(x) y ´ = 2x1

1

12 y = f(g(x)) y ´ = f ´ (g(x))·g ´ (x)

30 y = Arc cotg(x) y ´ =

2x1

1

13 y = n))x(g( y ´ = )('·))(·( 1 xgxgn n

31 y = sh(x) y ´ = ch(x)

14 y = )x(ge y ´ = g ‘(x)· )x(ge

32 y = ch(x) y ´ = sh(x)

15 y = L(g(x)) y ´ = )x('g·

)x(g

1

)x(g

)x('g 33

y = th(x) y ´ = )x(ch

1)x(th1

22

16 y = k·u y ´ = k·u ´

34 y = Arg sh(x) y ´ =

1x

1

2



17 y = u + v y ´= u´.v + u.v ´

35 y = Arg ch(x) y ´=

1x

1

2

18 y = u·v y ‘ = u‘· v + u · v ‘

36 y = Arg th(x) y ´ =

2x1

1

ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS

a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA: xuaxf xuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xuah

xuhxua

h

xuhxua

h

xuahxuaxf

hhh

000limlimlim

b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):

f(x) =u(x)+v(x) xvxuxf

DEMOSTRACIÓN:

h

xvhxvxuhxu

h

xvxuhxvhxu(x)f

hh 00limlim

xvxu

h

xvhxv

h

xuhxu

h

0lim #

c) LINEALIDAD (O PROPIEDAD LINEAL):

xvbxuaxf xvbxuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf)()(

21

En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.

d) DERIVADA DEL PRODUCTO:

)()()( xvxuxf xvxuxvxuxf



DEMOSTRACIÓN:

h

xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuxf

h

xvxuhxvhxuxf

h

h

0

0

lim

lim

h

xvhxvxuhxv

h

xuhxuxf

h

xvhxvxuhxvxuhxuxf

hh

h

00

0

limlim

lim

xvxuxvxuxf #

e) DERIVADA DEL COCIENTE: xv

xuxf

2xv

xvxuxvxuxf

DEMOSTRACIÓN: Ejercicio.

EJERCICIOS:

1. Hallar las derivadas de las funciones:

a) xsenxxxf 3cos23

b) 4232 23 xxxxf

c) 0 ,62263 32 xxexsenxxf x

d) xsenxxf 3

e) xxsenxf cos2

f) xsenxxxxf 23 cos

g) xxx

xxf cos1

ln 2

h)

Znn

xxtgxf

,2

12 ,

i) 365

1323

2

xx

xxxf



j) xx

xsenxxf

cos

k) Znnxxctgxf , ,

l) xxf 2cos

2. Hallar la derivada por definición de:

a) 3xxf b) xxf c) xxxf 23

3. Consideremos la función

1)(

8,8:

xxfx

Rf

calculemos los limites laterales

en .1x ¿Es derivable la función?

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

g g(a) f

a f(g(a))

f o g

Si suponemos que g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f o g es derivable en

a y se verifica: )())(()( agagfagf

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable en g(a),

entonces f g es derivable en a y aga·gfagf

DEMOSTRACIÓN:

h

agfhagf

h

agfhagfagf

hh 00limlim

h

aghag·

k

agfkagf

h

aghag·

aghag

agfhagf

hkh

00

1

0limlimlim

agagf



En el paso (1) se definió k = g(a+h) – g(a) g(a+h) = g(a) + k además como g es

derivable en a, también es continua en a k 0. También es necesario suponer que g es

inyectiva en un entorno de a y así se cumple que k = g(a+h) – g(a) 0 0h

EJEMPLO: Hallar la derivada de la función xxf cosln .

Solución: Notemos que es una composición de dos funciones xhgxf con la función

interna xxh cos y la función g dada por .ln xxg

Como la función h es derivable (Con xsenxh ), entonces podemos aplicar la regla

de la cadena y se cumple que: .xhxhgxf

Así,

xtgx

xsenxsen

xxxxf

coscos

1coscosln

EJERCICIO: Hallar la derivada de la función 2xsenexf .

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede

suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la

primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo

modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así

sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces nf denota la

enésima derivada de la función f . nf se calcula derivando a f, sucesivamente n veces.

NOTACIONES:

niv

n

n

xn

xxxx

niv

yyyyy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

dy

yDyDyDyDyD

xfxfxfxfxf

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

4

4

3

3

2

2

432



EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la función .2 35 xxxxf

SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:

165132522 24243535

xxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424

EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

1. xxxxf 52

2. 2cos4 xxf

3. xxf 2cos4

4. xtgxxf 22sec

5. Obtenga

12

34

4

xdx

d

DERIVADA IMPLICITA

Sea una función 2x4x3y 3 donde y es función de x. Esta ecuación se puede escribir

como yx4x32 3 e incluso como 4y2x8x6 3 . En este caso se puede decir

que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en donde y,

la variable dependiente, no es dada de manera directa.

EJEMPLO 1: La función 0x4xf3 2 está escrita de manera implícita para x, variable

independiente, y f(x), variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita.

3

x4xf

2

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede representar una

o más funciones.

EJEMPLO 2: Sea 63

y

xy, escribir la ecuación de manera no implícita y determinar la

o las funciones que describe.



0x3y18y

y18x3y

6y3

x3y

2

2

2

Para poder despejar y como función de x, habría que resolver la fórmula general.

2

x12324182

x1232418

2

x1232418y

12

x3141818y

2

Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma ecuación.

En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las funciones

dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede resolver la

derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.

EJEMPLO 3: Sea la función 1x37xy2y3 , hallar la derivada dx

dy.

En éste ejemplo, se utilizará la notación dx

dyy ´ para simplificar el manejo de la ecuación,

así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.

Se busca la derivada de la expresión 1x37xy2y3 .

De la regla de la cadena, se sabe que dx

du

dx

dfxuf

dx

d , lo cual puede expresarse para

potencias como dx

duuxu

dx

d nn 1 .

Por lo tanto, ´3´ 233 yyyydx

d .

En cuanto al segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:

´22´2´2´2 xyyxyxyxy .

Así, nos queda que:



x2y3

y23y

y23x2y3y

y23´xy2yy3

3´xy2y2yy3

2

2

2

2

EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación

x3x53y2 332 describe una función derivable y que y=f(x).

22

2

222

222

332

3y2y12

3x15y

3x153y2´yy12

3x15´yy43y23

x3x53y2

OBSERVACIÓN:

Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en

lugar de la habitual.

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la

variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable

dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable

independiente: Dada una función yxF , , implícita, si queremos calcular la derivada de

y respecto de x: .xfdx

dy

EJERCICIOS:

1. Obtener la derivada de: .12356 22232 yxxyyx

2. Dada ,122 yx demuestre que .1

32

2

ydx

yd

SERIES DE TAYLOR Y DE MCLAURIN

Sea la fórmula de McLaurin:

xR+xn!

0f+...+

2!

x0f+x0f+0f=xf 1+n

n

(n)2



Siendo

x!1+n

(z)f=xR

1+n

1)+(n

1+n con 0 < z < x.

Es decir

xR+xn!

0f=xf 1+n

n

(n)n

0

.

Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión:

...+xn!

0f....++x

2!

0f+x0f+0f=x

n!

(0)f n

(n)

2n

(n)

0

Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de

McLaurin y para ello deberá cumplirse que:

1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2) 0=(x)Rnlím 1+n

.

EJEMPLO: Sea ,xexf hallar la serie de MacLaurin.

SOLUCIÓN: Tenemos que:

,10,

,10,

,10,

,10,

0

0

0

0

efexf

efexf

efexf

efexf

nxn

x

x

x

Así.

x2 3 n z n+1

e = 1+ x +x

2!+

x

3!+...+

x

n!+

e x

(n+1)!

Veremos si 0=(x)Rnlím 1+n

.

En efecto:

0=.0e=1)!+(n

xnlíme=

1)!+(n

xenlím z

1+nz

1+nz



Y así

0=1)!+(n

xnlím

1+n

.

Veamos las aproximaciones gráficamente:

EJERCICIO: Desarrollar en serie de potencias:

a) xsenxf

b) xxf cos

OBSERVACIÓN: Si f es par, entonces f(−x)=f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la

regla de la cadena, f′(−x)(−1)=f′(x). Es decir, f′(−x)=−f′(x) para todo x∈I lo cual implica

que f′ es impar. Si f es impar, entonces f(−x)=−f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la

regla de la cadena, f′(−x)(−1)=−f′(x). Es decir, f′(−x)=f′(x) para todo x∈I lo cual implica

que f′ es par. Lo anterior implica que si f es par, son impares las funciones

derivadas f(2n+1)

con lo cual f(2n+1)

(0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más

que términos pares. Si f es impar, son impares las funciones derivadas f(2n)

con lo

cual f(2n)(

0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más que términos impares.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios

Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.

Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.

Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,

Venezuela.

Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,

Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"

Sir. Isaac Newton

Tema iv derivada de funciones matematica i uts

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