Repblica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educacin Universitaria Instituto Universitario de TecnologaHenri PittierEl Tigre Estado AnzoteguiSede San Antonio. Matemtica I

Funciones Reales De una Variable Real

Profesora: Bachilleres:Martha Bruces

03 de julio de 2015Funciones. Dados 2 conjuntos X, Y se define funcin de X en Y a toda relacin que hace corresponder a todo elemento de X un solo elemento del conjunto Y.

Dominio y rango de una funcin.

El dominio son todos los valores a que puede tomar una funcin, y el rango son los valores que resultan. Es decir el dominio son todos aquellos valores para los cuales la funcin est definida, y el rango es el conjunto de todos los valores que la funcin toma.

Ejemplo A.

Aqu, el dominio es el conjunto . D no est en el dominio, ya que la funcin no est definida para D.

El rango es el conjunto 2 no est en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

Ejemplo B.El dominio de la funcin f(x) = 1/x es todos los nmeros reales excepto el cero (ya que en x=0, la funcin no est definida: la divisin entre cero no est permitida.

El rango tambin son todos los nmeros reales excepto el cero. Se puede ver que hay algn punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

Ejemplo C.La notacin siguiente muestra que el dominio de la funcin est restringido al intervalo (-1,1).

-1

La grfica de esta funcin es como se muestra. Los crculos abiertos muestran que la funcin est definida en x = -1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Asi el rango de la funcion es 0

Representacin grfica de funciones.

La grfica de una funcin se forma por el conjunto de pares ordenados (x, y) donde los valores que puede tomar x son aquellos que pertenecen al dominio de dicha funcin.Esta representacin se logra mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto de partida (dominio) y los de llegada (imagen).Las funciones de una sola variable se pueden representar de una forma completa mediante un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa (eje x) representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada (eje Y) representa el valor del conjunto imagen.

Sistemas de coordenadas cartesianas en donde se represent grficamente una funcin a fin y una funcin parablica.

Clasificacin de funciones.De modo de realizar una agrupacin de la clasificacin de funciones se trabajara con el siguiente esquema:

ConstantesPolinmica De 1er gradoAlgebraicas Racionales CuadrticasFunciones Radicales A trozosExponenciales Transcendentales Logartmicas Trigonomtricas

Funciones algebraica.Son aquellas funciones en donde los elementos del dominio de imgenes se obtienen mediante una operacin algebraica.Lasfunciones algebraicaspueden ser:Funciones polinmicas.El grado de una expresin polinmica es el mximo exponente de la variable.De acuerdo al grado las funciones polinmicas se clasifican en: Funciones de primer grado o lineales. Funciones de segundo grado o cuadrtica. Funciones de tercer grado entre otras.

Funciones de primer grado.

Estas se clasifican a su vez en:

Funcin a fin. Funcin lineal. Funcin identidad. Funcin a fin.

Lafuncin afnes del tipo: y = mx + n mes lapendientede la recta. Lapendientees lainclinacinde la recta con respecto al eje de abscisas.

Funcin lineal.

Una funcin lineal es toda aquella funcin del tipof(x) = ax+ b. Estas se representan grficamente con una lnea recta, por este motivo se le llama funcin lineal, se conoce como una funcin de primer grado porque su mayor exponente es uno.

Dentro de las funciones lineales a 0, y b puede tomar cualquier valor numrico.Para f(x) = x+ 1 la grfica es:

Funcin identidad.

La funcin identidades del tipo: f(x) = xSu grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ngulo de 45 y tiene de pendiente: m = 1.

Funciones de segundo grado o cuadrticas.

Estas se llaman de segundo grado porque el exponente de mayor grado es dos .La grfica de una ecuacin cuadrtica representa una curva que se conoce con el nombre de parbola.

Esta funcin se expresa as y = ax2+ bx+ c donde a 0 todo el tiempo, y tanto b como c pueden ser igual a cero o tener cualquier otro valor real.

Funcin de tercer grado.Una funcin es de tercer si el mayor grado es tres y su grafica puede tener uno o tres puntos crticos y esto es anlogo para funciones de cuarto, quinto y dems grados de una funcin polinmica.

Esta funcin se expresa as:

F(x) = ax3+ bx2+ cx+ dDonde a 0, siempretanto b, c, d pueden ser cero o no.

Funcin racional.

Se habla de una funcin racional al cociente de 2 funciones polinmicas.Ejemplo.F(x) =

Nota:El dominio de una funcin polinmica son los nmeros reales; sin embargo, el dominio de una funcin racional consiste de todos los nmeros reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la divisin por cero no est definida).Grafica de una funcin racional.

Funcin radical.

Porfuncionesradicalesentendemos aquellas que llevan una raz en su definicin. Dicha raz puede ser cuadrada, cbica, cuarta. El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R. El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funcin a trozos.

Son funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.

Estas a su vez se clasifican en:

Funciones en valor absoluto. Funcin parte entera de x. Funcin mantisa.

Funciones en valor absoluto.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

Se iguala a cerola funcin, sin el valor absoluto, yse calculan sus races. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funcin. Representamos la funcin resultante.

Funcin parte entera de x.

Lafuncin parte entera de xhace corresponder a cada nmero real el nmero entero inmediatamente inferior.

Funcin mantisa.

La funcin mantisa hace corresponder a cada nmero el mismo nmero menos su parte entera.

Funcin transcendental.

Son aquellas funciones que tienen la variable sometida a una operacin trascendente tales como las funciones exponenciales, trigonomtricas, logartmicas, trigonomtricas inversas y otras.

Estas se clasifican en:

Exponenciales. Logartmicas. Trigonomtricas. Exponenciales.

La funcin exponencial es del tipo: F(x)=

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia se llama funcin exponencial de base a y exponente x

Propiedades de la funcin exponencial.

Dominio: R Recorrido: R +. Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la grfica. Es inyectiva toda 1(ninguna imagen tiene ms de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a1. Decreciente si a y2, es decir, si en la grfica nos movemos de izquierda a derecha los valores de y van decreciendo, o sea, la grfica va bajando.

Clasificacin de las funciones respecto a la relacin que existe entre dominio y contradominio.

Funciones uno a uno o inyectivas.

Son aquellas en las que para cada valor del contradominio existe solo un valor del dominio; es decir, cada valor de y tendr solamente un valor de x. Pueden sobrar elementos "y" en el contradominio.Para determinar grficamente si una funcin es de este tipo, se traza una lnea horizontal y si esta la cruza en un solo punto se dice que es una funcin uno a uno.

Funciones Sobreyectivas.

Tambin se llaman suprayectivas. Es cuando todos los valores del dominio tienen su imagen en el contradominio, incluso ms de una imagen y no queda un slo valor "y" que no est relacionado por lo menos con uno de "x".

Funciones biyectivas.

Se dice que una funcin es biyectiva, cuando es inyectiva y sobrectiva a la vez, es decir, un valor del dominio tiene solamente uno del contradominio y ningn valor del contradominio sobra.

Ejemplos de funciones.

Funcin identidad.

F(x) = x

-3-3

-2-2

-1-1

00

11

22

33

Funcin constante.

Se llama funcin constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una funcin matemtica de la forma:F(x)=a donde a pertenece a los nmeros reales y es una constante.

F(X)= 3

Funcin nula.

Funcin constante que a cada x le hace corresponder 0.

Y=3 Entonces Y= 5+o.x es decir cualquier valor que tome x siempre ser o porque tiene pendiente 0 y el resultado para y siempre ser la constante para este caso el 3.

Xy

15

25

35

Funcin polinmica.

Entre las funciones polinmicas encontramos la funcin parablica

F(x)= le damos valores a x

xy

00

11

24

-24

-11

F(x)= representa una parbola que abre hacia arriba con vrtice (0,0).

Funcin parte entera.

xF(x)

-1,7-2

-1-1

-0,3-1

00

0,50

11

1,61

22

2,32

Funcin valor absoluto.

F(X)=

Se iguala a 0 x-3=0 se despeja x=3.

Se forman los intervalos

Se representa grficamente la funcin resultante.

Funcin logartmica.

Inversa de una funcin. Se llamafuncin inversa o reciproca defa otra funcinf1que cumple que:Si f(a) = b, entoncesf1 (b) = a.Clculo de la funcin inversa.1. Se escribe la ecuacin de la funcin con x e y.2. Se despeja la variable x en funcin de la variable y.3. Se intercambian las variables.Ejemplo. Calcular la funcin inversa de: Se procede a despejar la varille x en funcin de la variable y. Se elevan ambos miembros de la funcin a la 3

Se despeja la variable x

Se intercambian las variables Composicin de funciones:

Sean las funciones f(x) = 3x + 2 y g(x) =

g f = g = g (3x + 2) = = Ahora para f g = f = f(Operaciones con funciones numricas: suma, producto y cociente. Aplicaciones.

Para cualquier operacin de una funcin se denotan las letras f y g como funciones, a continuacin se presentan una serie de ejercicios para corroborar dichas propiedades.

En la suma, denotada por f + g, es la funcin definida por (f + g) (x) = f(x) + g(x) En la resta, denotada por f g, es la funcin definida por (f g) (x) = f(x) g(x) En el producto, denotado por f . g, es la funcin definida por (f . g) (x) = f(x) . g(x) En el cociente, denotado por f/g, es la funcin definida por (f/g) (x) = f(x)/g(x) g(x) 0

En cada caso, el dominio de la funcin resultante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, con el requerimiento adicional en el caso del cociente de que se excluyen los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Sea f(x) = x y g(x) = . Entonces (f + g) (x) = x + .El dominio de f es (-, +) y el dominio de g es ,+). As el dominio de f + g es = (-, +) ,+) = ,+).

Sea f(x) = y g(x) = , entonces (f g) (x) = f(x) g(x) = - . El dominio de f es ,+) y el dominio de g es ,+). El dominio de f g es ,+) ,+) = ,+).

Sea f(x) = x 2 y g(x) = x + 2, entonces (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (x 2) (x + 2) = 4. El dominio de f es (-, +) y el dominio de g es (-, +). Por tanto el domino de f . g es (-, +).

Sea f(x) = x + 4 y g(x) = , entonces (f/g) (x) = f(x)/g(x) = x + 4/. El dominio de f y el de g son los nmeros reales. La funcin g(x) = es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R -

Funcin exponencial de base a propiedades.

La funcin exponencial de base a esta definida por la siguiente forma:

Con a 0, a 1 y x es un nmero real.

Las propiedades que abarcar la funcin exponencial son las siguientes:

1) para todo x. 2) .3) , para a 1.4) , para 0 a 1.5) = 6) 7) 8) x = y

Realizar la siguiente operacin:

El nmero e:

En el nmero e, denominado Euler, por el matemtico Leonhard Euler, es un nmero real trascendente, lo cual no es raz de ningn polinomio con coeficientes racionales. Su valor aproximado es de 2,718281828459 por ser irracional su desarrollo decimal no es peridico.

Tambin se puede definir como el limite cuando n tiene al infinito de la sucesin (1 + o, .