1 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

FICHA DE MATEMÁTICA

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA

Los conos de seguridad sirven para la señalización vial, representando un elemento de

seguridad para transeúntes o conductores. Asimismo, sirven para indicar desvíos, pozos,

obras en caminos, calles y carreteras; debiendo tener como mínimo una altura de 47,5 cm.

Estos conos pueden fabricarse de diversos materiales como goma, plástico, PVC, entre otros

materiales que permitan soportar el impacto evitando que se dañen los vehículos o dañen a

otros. Los conos de mayor tamaño son empleados cuando el volumen de tránsito, velocidad

u otros factores lo requieren. Los conos de seguridad son de color naranja y en las noches

deben ser reflectantes o equiparse con dispositivos luminosos para que tengan buena

visibilidad.

1. ¿Qué función tienen los conos en las imágenes observadas?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. ¿En tu escuela utilizan los conos de seguridad? Da ejemplos concretos.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3. ¿Qué tipos de conos representan estos sólidos geométricos que son utilizados para la

señalización vial?

2 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. La municipalidad ha adquirido conos de seguridad de color naranja de 48cm de altura

y los diámetros de la base mayor y menor son 36cm y 8cm respectivamente, para el

desvió del tránsito deben de tener una banda reflexiva de 10cm aprox. de ancho.

¿Cuál es la superficie cubierta por la banda reflexiva?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Aprendemos:

Respecto a la situación planteada “Sólidos geométricos de revolución en nuestra vida

cotidiana”, se observa que en nuestro entorno encontramos cuerpos geométricos de

diferentes formas, como son los sólidos de revolución cono y cilindro, los cuales muchas

veces son truncados con una determinada finalidad. De ellos, podemos calcular su área y

volumen, asimismo, obtener su desarrollo y las proyecciones en tres vistas: de frente, de

arriba y lateral.

CUERPOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS

TRONCO DE CONO El tronco del cono recto o cono truncado recto es una

superficie de revolución generada al girar un trapecio

rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.

También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte

que tiene el vértice del cono.

Tronco de cono

Gira 360°

3 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Áreas y volumen de un cono truncado

Área lateral de un cono truncado

Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado

TRONCO DE CILINDRO O CILINDRO TRUNCADO

El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución por un plano

no paralelo a sus bases.

Área y volumen de un cilindro truncado

Área lateral de un cilindro truncado

Donde:

R: Radio de la base mayor

r: Radio de la base menor

h: Altura

g: Generatriz

Tronco del cilindro

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 + 𝑟 𝑔

𝐴𝑇 = 𝜋 𝑔 𝑅 + 𝑟 + 𝑅2 + 𝑟2

𝑉 = 1

3𝜋 ℎ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔

4 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Área del cilindro truncado

Volumen del cilindro truncado

Analizamos

1. Los estudiantes de quinto grado realizan un proyecto de investigación sobre el volcán de

la región. Para ello, representan sus medidas en una maqueta a escala de 1: 2000,

tomando en cuenta la siguiente información: Diámetro del cráter de 840m, diámetro de la

base del volcán de 1800m y el ángulo de inclinación del volcán de 37°. Para la

elaboración del tronco de cono utilizaron arcilla de color marrón y para la chimenea, la

cual tiene forma de cilindro, utilizaron arcilla de color naranja, tal como se muestra en la

figura. Ayuda a determinar a los estudiantes en cuánto excede la cantidad de arcilla de

color marrón a la arcilla de color naranja utilizada en la elaboración de la maqueta.

Área

lateral

Área de

la elipse

Área del

círculo

Donde:

R: Radio del círculo

G: Generatriz mayor

g: Generatriz menor

a: Semieje mayor

b: Semieje menor

𝐴𝑇 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔 + 𝜋𝑅2 + 𝜋𝑎𝑏

𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐺 + 𝑔

2

5 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

RESOLUCIÓN

A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la elaboración

de la maqueta.

Diámetro del cráter: 4 =

2 = 42

Diámetro de la base del volcán: 1800 = =

Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.

Calculamos:

Volumen de la cantidad de arcilla color naranja

Volumen de la cantidad de arcilla color marrón

= 2ℎ =

ℎ 2 + 2 + . 2ℎ

h

AB

C

6 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color naranja en

___________________

2. Se quiere elaborar cuñas de acero en forma de cono truncado con un agujero central que

sirva para ajustar los torones que son alambres de acero enrollados helicoidalmente

empleados en la construcción de puentes, entre otros. Las cuñas se elaboraran a partir

de un cono recto cuya altura mide 12cm y el radio de su base 12 cm. Se taladra un

agujero cilíndrico de diámetro 6cm en el cono a lo largo de eje, resultando un sólido

como el que se muestra en la figura. Calcular el volumen de la cuña.

RESOLUCIÓN

Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.

Torón

7 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Por semejanza de conos:

(

) (

)

Entonces todos sus elementos homólogos son

proporcionales.

Razón de sus bases:

= =

1

4

Entonces:

= =

Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN y el cilindro, cuyas base son

iguales:

=

.

. 3ℎ

=

1

Comparamos volumen total con el volumen de las partes:

= + +

64V =

Luego: =

32. 1 =

Entonces: 64V =

64V = ________

V = ________

Reemplazamos en el :

= 54

𝑉

𝑉=

ℎ

ℎ =

𝑟

𝑅 =

𝑔

𝑔

En Conos semejantes se cumple:

h

8 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

El volumen del sólido es ___________________________

3. Los niños desde muy pequeños son estimulados con actividades lúdicas, con

rompecabezas, piezas de madera de encajes, para armado de casas, carros y otros

objetos, que permitan desarrollar la imaginación y creatividad de los niños. En este

sentido un diseñador de estos materiales propuso la elaboración de una nueva pieza

como se muestra en la figura. Representa las vistas de frente (proyección vertical), de

arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral) de esta nueva pieza.

4. Los estudiantes en el área de EPT elaboraron un porta cuchillos con

la forma de tronco de cilindro, utilizando un pedazo de madera

forrado de una lámina de aluminio, como se muestra en la figura.

a) Calcular el volumen de la madera, si el diámetro de la

circunferencia es 10 cm.

RESOLUCIÓN

Ubicamos los datos en el gráfico.

El volumen del tronco de cilindro es:

20cm

15cm

Vista de frente

Vista de arriba

Vista lateral

𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐻

9 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Calculamos el volumen reemplazando los datos en la fórmula:

b) Si los estudiantes elaboran 8 porta cuchillos con las mismas características, ¿cuántos

centímetros cuadrados de láminas de aluminio se necesita?

RESOLUCIÓN

Reemplazamos los datos en la fórmula:

El área lateral de un porta cuchillos es ________________

Como se elaboran 8 porta cuchillos serán necesarias ________________________

𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐺 + 𝑔

2

La altura (H) del tronco de cilindro es el segmento que

une el centro de la elipse con el centro de

circunferencia.

Como se observa en el grafico la altura es la base

media del trapecio ABCD. 𝐻 = 𝐺+𝑔

2

Entonces el volumen del tronco de cono es:

GgH

B

C

DA

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔

10 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Practicamos

1. Relaciona cada sólido geométrico con su respectivo desarrollo.

2. El profesor de arte realiza el taller de dibujo técnico con la finalidad de reforzar la

orientación espacial de sus estudiantes, para ello propone a sus estudiantes que a partir

del sólido geométrico mostrado realicen la vista de frente (proyección vertical), de arriba

(proyección horizontal) y lateral (proyección lateral). Según tu apreciación ¿cómo serían

las vistas del sólido mostrado?

11 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Vista de Frente Vista de arriba Vista latera

3. Existen diversos tipos de tuberías las cuales se adaptan a la necesidad de cada

industria, así también existen diversos tipos de accesorios y conexiones específicas para

éstas. Dentro de esta gama se encuentra el HF dúctil en modelo T de fierro fundido como

se muestra en la figura. Del siguiente accesorio construye la vista de frente (proyección

vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral).

Vista de Frente Vista de arriba Vista lateral

12 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

4. En la clase de Historia, Geografía y Economía, el profesor Christian mostró unas

cerámicas de las culturas incaicas, como se muestra en la figura. “Algunas de estas

cerámicas se pueden construir a partir de la rotación de una región en el plano”,

manifestó un estudiante. Según la afirmación del estudiante, ¿cuáles son las cerámicas

que cumplen la condición manifestada por el estudiante?. Represéntalo en la cuadrícula

mostrada.

Pieza automotriz

Un mecánico automotriz diseña piezas que permiten la generación y transmisión del

movimiento en sistemas automotrices, como se encuentran en los vehículos de tracción

mecánica. En tal sentido, diseña dos piezas automotrices de acero, a partir de la rotación de

la región del plano alrededor del eje M y N, como se muestra en la figura.

13 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Con esta información responde las preguntas 5 y 6.

5. Representa los sólidos de revolución al rotar en cada uno de los ejes.

6. ¿Cuál es la relación entre el volumen de sólidos geométricos generados por M y N?

a)31/17 b)10/17 c) 8/15 d) 15/31

LA FÁBRICA DE MERMELADAS

Los dueños de una fábrica de mermeladas de aguaymanto desean incrementar sus ventas,

promocionando su producto en nuevos tamaños de recipientes con etiquetas novedosas,

para lo cual, le presentan dos propuestas de diseños de recipientes como se muestra en la

imagen.

14 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Envase 1

Envase 2

Con esta información responde a las preguntas 7 y 8.

7. ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad?

a) Envase 1= 144

b) Envase 2 = 296

c) Envase 1 = 48

d) Envase 2 = 98,67

8. Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda la superficie lateral, ¿en cuál de los dos

envases se emplea la mayor cantidad de etiquetas?

a) Envase 2 = 96,72 2

b) Envase 1 = 48 2

c) Envase 2 = 56,42 2

d) Envase 1 = 24 2

9. En la heladería “Sabores Naturales”, los vasos de helado tienen como

medida: 6cm de profundidad, 8cm de diámetro superior y 6cm de

diámetro inferior. Si se colocan en el vaso tres porciones de helado de

forma esférica, cuyo diámetro es 6 cm y el helado se derrite dentro del

vaso, ¿este se rebasará?¿Por qué?

l

a)

b)

c) =

d) = 34

15 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

10. Una banda de músicos ha adquirido tres ashikos,

instrumentos de percusión de forma de cono truncado, cuyas

dimensiones son de 40 centímetros de alto por 26 centímetros

de diámetro superior y 8 centímetros de diámetro en la boca

inferior. ¿Cuántos centímetros cuadrados de tela con diseños

incaicos serán necesarios para cubrir el contorno de los tres

ashikos? Considerar = 3,14

a) 6565,74 2

b) 6405,60 2

c) 2188,58 2

d) 248,06 2

11. La IE ha recibido una donación de 30 macetas en forma de

cono truncado para su proyecto “Arborizando y oxigenando mi

medio ambiente”. Los radios de las bases de estas macetas

miden 9 cm y 27 cm respectivamente, y su generatriz 30 cm;

si se llenará la ⅔ partes de la generatriz de la maceta con

tierra preparada ¿Cuántas bolsas de 5kg serán necesarios

para habilitar todas las macetas?

a) 3 bolsas

b) 11 bolsas

c) 71 bolsas

d) 72 bolsas

12. ¿Cuál de las figuras se pueden armar al plegar el siguiente desarrollo?

16 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

Jóvenes emprendedores

Los estudiantes de la IE Miguel Grau en el área de Gestión empresarial elaboran lámparas

en forma de cono truncado con papel reciclado, colocando un armazón de alambre, como

base para el bombillo, en la mitad de la altura del cono truncado.

Con esta información responde las preguntas 13 y 14.

13. ¿Cuántos centímetros de papel reciclado se requiere para la confección de la pantalla, si

se considera una pestaña rectangular de 2cm en uno de sus extremos, y sus radios

miden 8,5cm y 15,5 cm?

a) 50(12 +1)cm

b) 24(24 +1)cm

c) 25(23 +2)cm

d) 175 cm

14. ¿Cuántos centímetros de alambre se requiere para el armazón del bombillo, si los radios

están en relación de 1 a 6?

a) 28 cm

b) 88 cm

c) 2(14 -30)cm

d) 4(7 +15)cm

15. En el parque municipal de la comunidad se van a instalar tachos de basura y se tienen

dos modelos como se muestra en la figura. El alcalde desea saber cuál de los dos

modelos será más conveniente adquirir en relación a su capacidad. Ayuda al alcalde a

determinar cuál de los tachos tiene la mayor capacidad.

17 | P á g i n a

MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

a) Tacho 1, 260 cm3

b) Tacho 2, 12636 cm3

c) Tacho 1, 9880 cm3

d) Tacho 2, 363 cm3