Cono Flotante

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA

METODOS EXPLOTACION SUPERFICIAL

INTRODUCCIÓN

Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit, utilizando

un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue desarrollado por

Lerchs y Grossman en el año 1965. Esta es una técnica precisa para definir el límite del pit

en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual es posible lograr el

mayor beneficio posible.

1. DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL ALGORITMO DEL CONO MÓVIL

La teoría de los conos flotantes para determinar los límites económicos del Rajo,

data de los años 60. La técnica consiste en una rutina que pregunta por la conveniencia de

extraer un bloque y su respectiva sobrecarga. Para esto el algoritmo tradicional se posiciona

sobre cada bloque de valor económico positivo del modelo de bloques y genera un cono

invertido, donde la superficie lateral del cono representa el ángulo de talud. Si el beneficio

neto del cono es mayor o igual que un beneficio deseado dicho cono se extrae, de lo

contrario se deja en su lugar.

En el siguiente esquema se presenta un perfil de un modelo de bloques sometido al

algoritmo del cono móvil optimizante, donde cada bloque está definido por un valor

económico, es decir lo que significa económicamente su extracción. Es así que los bloques

con valor negativo representan a los bloques de estéril con su costo de extracción asociado

(-10) y los bloques de mineral son representados por el beneficio global que reporta su

extracción (Beneficio Global = Ingresos - Costos = 810 - 10 = 800).

- 10 - 10- 10- 10 - 10- 10- 10- 10 - 10- 10- 10 - 10+ 800- 10- 10

- 10- 10- 10 - 10- 10- 10- 10 - 10- 10- 10 - 10- 10- 10- 10

- 10

- 10- 10

- 10 - 10

- 10

- 10- 10

- 10- 10

- 10

- 10- 10- 10- 10- 10



En el ejemplo anterior podemos observar que el extraer el bloque de valor positivo (+800) y sus 15

bloques de estéril asociado (-10 cada uno), genera un beneficio final de +650, correspondiente al beneficio de

extraer dicho bloque con su sobre carga asociada.

Bondades del cono móvil optimizante.

El cono móvil optimizante tiene esa denominación ya que es una versión mejorada

de la tradicional rutina del cono flotante. El creador fue el ingeniero Marc Lemieux, quién

detectó una serie de deficiencias y mermas económicas producidas por el método

convencional de conos flotantes y en 1979 publicó el artículo “Moving Cone Optimizing

Algorythm”, en Computer Methods for the 80’s in the Mineral Industry, de A. Weiss. El

nuevo algoritmo fue probado en Climax Molybdenum Co. y como resultado se obtuvo

a Botaderosa Proceso

Beneficio = 650

- 10 - 10- 10- 10 - 10- 10- 10- 10 - 10- 10- 10 - 10- 10- 10

- 10- 10 - 10- 10 - 10- 10

- 10

- 10- 10- 10

- 10- 10- 10

- 10

- 10

+ 800- 10- 10 - 10

- 10- 10- 10

- 10- 10 - 10- 10- 10

- 10

- 10- 10- 10

- 10 - 10- 10- 10 - 10- 10- 10- 10 - 10- 10- 10 - 10

+ 800

- 10- 10 - 10- 10

- 10

- 10

- 10- 10

- 10 - 10

- 10- 10 - 10- 10- 10

- 10

- 10

- 10- 10

- 10

- 10

- 10

- 10- 10

- 10- 10

- 10

- 10

- 10- 10- 10- 10



diseños muy superiores en el aspecto económico, que aquellos obtenidos con el algoritmo

convencional.

Las principales mejoras de la rutina del cono móvil optimizante con respecto al

método tradicional fueron:

Secuencias de extracción de Conos:

Esta radica en la secuencia con que son analizados los bloques del modelo.

En la figura se puede apreciar el beneficio que reporta la extracción de cada bloque. Los bloques con

beneficio positivo ya se les han descontado lo que cuesta extraer dicho bloque o costo mina (-10).

Si el primer cono se construye en el bloque (1) y suponiendo un ángulo de talud ,

entonces dicho bloque no puede ser extraído (Beneficio = -10). Al no ser factible la

extracción del bloque (1), el segundo cono se construye en el bloque (2), donde el beneficio

neto del cono es de +10, siendo en consecuencia ventajosa su extracción, quedando la

figura de la siguiente forma:

Continuando con la secuencia, el tercer cono se construye en el bloque (3), resultando un

beneficio de +30.

- 10 - 10

- 10

10 (3)

- 1070 (1)

- 10

90 (2)

- 10- 10 - 10

- 10- 10- 10- 10

10 (3)

- 1070 (1)

- 10- 10- 10- 10- 10



De este análisis se concluye que los tres bloques con valor económico mayor que cero son

extraídos con un beneficio económico de +40, sin embargo un correcto análisis debiera

obtener un pit con valor de +60, dejando en su lugar el bloque (3) con su respectiva

sobrecarga, como podemos ver en la figura siguiente:

De lo anterior se desprende que la incorrecta secuencia con que se analizan los

conos, produce pérdidas económicas cuya magnitud, obviamente, depende de la

complejidad de la mineralización, de la variabilidad de las leyes, etc.

El problema antes descrito es resuelto por el nuevo algoritmo introduciendo el

concepto del “cono negativo”, algoritmo que consiste en extraer todos los bloques con

beneficio positivo, para posteriormente devolverlos al rajo con su respectiva sobrecarga y

así analizar la conveniencia de extraerlos o bien eliminarlos. En el ejemplo presentado

anteriormente, se aprecia que al devolver el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, se

produce un beneficio económico pues se libera un valor de +20, esto indica que dicho

bloque al no extraerse en su condición más favorable debe ser eliminado del análisis.

- 10 - 10

10 (3)

- 10



En la práctica la técnica del cono negativo presenta deficiencias similares a las

obtenidas mediante lo que se podría llamar el cono positivo, sin embargo un análisis

simultáneo de ambas técnicas (cono positivo y negativo) produce resultados satisfactorios.

Esta simultaneidad es la que se realiza en la etapa 1 del algoritmo de Lemieux.

Conos con sobrecarga relacionada:

Este es el principal aporte del método del cono móvil optimizante, consiste en

analizar conos que tengan sobrecarga compartida, por ejemplo:

Los bloques (1) y (2) tienen un beneficio de +70 (incluido el costo mina). Al

analizar conos individualmente, se aprecia que no es conveniente la extracción de dichos

bloques, pues cada caso el beneficio neto del cono es -10.

No obstante si se analiza en su conjunto se ve que es ventajosa su extracción, pues

esta trae consigo un beneficio de +40.

70 (2)

- 10 - 10- 10- 10- 10

70 (1)

- 10- 10- 10- 10- 10

B = -1070 (2)

- 10- 10

B = -10- 1070 (1)

- 10

B = +40B = +40B = +40B = +40B = +40B = +40B = +40



2. EL MÉTODO DE LERCHS-GROSSMAN

Este método permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la

máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de prueba

y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones.

Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en secciones

verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del

rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aun cuando el pit es óptimo en cada

una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no

lo sea.

El primer paso es dividir la sección transversal del pit en bloques. Se selecciona el tamaño

del bloque para obtener una altura equivalente a la del banco, y se selecciona un grosor del

bloque de tal forma como para que la línea diagonal resultante a través de los bloques,

genere el ángulo de la pendiente total deseada.

El siguiente paso es asignar valores a los bloques, basándose en la ley del mineral y las

condiciones económicas de la propiedad minera. Los bloques de estéril, son asignados por

números negativos, los cuales equivalen al costo en extraer estos bloques de material. Los

bloques de mineral, son asignados por números positivos, los cuales equivalen al beneficio

generado al extraer estos bloques sin incluir el costo de extracción de material estéril. El

beneficio se determina restando todos los costos de producción al precio de venta de los

minerales producidos. Esto incluye extracción, tratamiento en Planta, transporte,

comercialización y costos administrativos en general.

La Figura 2.1, es un modelo de bloque, pero en este caso, los bloques son celdas de una

planilla de cálculo con valores de bloques asignados.

La técnica de Lerchs Grossman, se basa en la siguiente relación: Donde, K = -1, 0, 1

P ij=M ij+máx .(Pi+k , j−1) ......(1)



M ij, representa el beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el

bloque ij en su base.

Pij, es el beneficio máximo que pueden generar columnas 1 hasta j dentro de un pit que

contiene el bloque ij en su límite. Este método se puede ilustrar mejor por medio de un

ejemplo. En la Figura 2.1, los valores económicos del bloque (Vij), han sido asignados a

una sección transversal.

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 1 2 3 4 5 4 2 1 -2 -2

2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 1 2 3 2 4 5 4 2 -2 -2

3 -2 -2 -2 -2 0 1 2 3 2 4 5 4 1 -2 -3

4 -2 -2 -2 1 2 3 2 4 5 4 1 -2 -3

5 -3 2 2 0 0 2 5 0 2 -2 -3

6 -3 0 2 1 4 2 1 -3 -3

7 -3 0 2 0 -2 -2 -3

8 -3 -1 -3 -3 -3

mineral ley alta

mineral de ley media

Fig.2.1- Se asignan valores de bloques (Vij).

El próximo paso, es calcular los valores acumulativos de la columna, Mij, tal como se

muestra en Figura 2.2.



Fig. 2.2- Los valores acumulativos de la columna (Mij), se calculan a partir de los valores

de los bloques.

Estos valores corresponden simplemente al valor acumulativo de los valores económicos de

todos los bloques situados exactamente arriba de la misma columna, tal como se muestra en

Figura 2.3.

Fig. 2.3-ejemplo de cómo calcular los valores acumulativos de la columna Mij, añadiendo

los valores de bloques Vij dentro de la columna.



Por lo tanto, Mij para el bloque en donde i = 4 y j = 12 (M4, 12), es la suma de los valores

de bloque para los bloques j = 12 y i = 1, 2, 3,4. En la Figura 2.4, M4,12 = 2 + 3+ 4+ 4 =

13.El último paso, como se muestra en la Figura 2.4, es calcular los valores de la matriz de

beneficio de Pij. Estos valores, corresponden al beneficio neto o pérdida generados al caer

uno de los bloques del modelo sobre el límite del pit con todos los bloques de la izquierda

que se han extraídos para crear una pendiente con el ángulo total deseado.

Fig.2.4- ingreso máximo (Pij) para un pit con el bloque ij en su límite derecho.

Para determinar el valor de la matriz de beneficio de cualquier bloque en particular, el valor

acumulativo de la columna para ese bloque (Mij), es sumado al valor de beneficio (Pij) para

un bloque en la columna más próxima a la izquierda. Para cualquier bloque en particular, se

darán tres alternativas: el bloque ubicado diagonalmente arriba a la izquierda, el bloque

ubicado transversalmente a la izquierda, y el bloque ubicado diagonalmente abajo a la

izquierda. De estas tres alternativas, se selecciona el bloque con valor máximo positivo. Se

agregan las mejores alternativas para todos aquellos bloques que son extraídos, para

obtener el valor de beneficio para el bloque que se está evaluando.

La Figura 2.5 incluye valores de Pij para las columnas desde 1 hasta 10, y se utilizarán a

modo de ejemplo en la generación de valores para la columna 11. Por conveniencia, los



valores de la columna acumulativa Mij para la columna 11, que se requieren para calcular

los valores de Pij utilizando la Ecuación 1, también se incluyen en Figura 2.4.

Fig., 2.5- ejemplos de cómo calcular los valores de Pij para la columna 11, utilizando los

valores de Mij a partir de la columna 11.

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