Matematica 10 1 periodo

Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali

ARQUIDIÓCESIS DE CALI FUNDACIONES EDUCATIVAS ARQUIDIOCESANAS

DISEÑO CURRICULAR COLEGIOS ARQUIDIOCESANOS

GUÍA TALLER AÑO LECTIVO ______________

ÁREA: MATEMÁTICAS

GRADO: DÉCIMO

PERÍODO: PRIMERO


PRESENTACIÓN COLEGIO:

GRADO DÉCIMO

ÁREA MATEMÁTICAS

DOCENTE:

TIEMPO PREVISTO PRIMER PERÍODO

HORAS 48

PROPÓSITOS DEL PERÍODO A NIVEL AFECTIVO: Que mostremos mucho interés por:

Plantear y resolver situaciones problemas en la aplicabilidad práctica del diario

vivir y las tecnologías, con relación a las secciones cónicas.

Extraer pensamientos y modelar mentefactos conceptuales y proposicionales

cromatizados, con aproximación al pensamiento científico integral.

A NIVEL COGNITIVO: Que: Comprehendamos claramente en forma visual, gráfica y algebraica las

clasificaciones de las curvas cónicas.

A NIVEL EXPRESIVO: Que tengamos la capacidad de:

Extraer adecuadamente pensamientos.

Modelar mentefactos proposicionales cromatizados y conceptuales.

Interpretemos, resolvamos y argumentemos situaciones problemas en la

aplicabilidad de las curvas cónicas, demostrando avances en el desarrollo del

pensamiento científico integral.

EVALUACIÓN: INDICADORES DE DESEMPEÑO

Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos

que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del

fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.

Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje

central la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y

coseno en la solución de problemas en un contexto determinado.

Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además

argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de

geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.


COMPETENCIAS Y HABILIDADES

COMPETENCIAS HABILIDADES

El razonamiento.

La modelación.

Resolución y planteamiento de

problemas.

La comunicación, elaboración,

comparación y ejercitación de

procedimientos.

Desarrollo de semejanzas y

diferencias.

Elaboración y comparación de

ejercitación de procesos.

Graficar e interpretar situaciones

problemas.

Analizar

Comparar

Contrastar

Argumentar

Establecer relaciones y

diferencias

Comprehender

Resolver y formular

problemas

Graficar

Interpretar

Utilizar

Inferir

Modelar

EJES TEMÁTICOS

1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.1 Razones y funciones trigonométricas.

1.2 Resolución de triángulos (Ley de senos – Ley de cosenos).

1.3 Identidades y ecuaciones trigonométricas.

2. GEOMETRÍA ANALÍTICA

2.1 Secciones cónicas.

DIDÁCTICAS

Didácticas proposicionales.

Didácticas conceptuales.

Didácticas Argumentales.

RECURSOS

Logísticos: salón, tablero, marcadores, carteleras

Audiovisuales: video-beam, sala de internet, diapositivas, videos,

grabadoras.


ARQUIDIÓCESIS DE CALI FUNDACIONES EDUCATIVAS ARQUIDIOCESANAS

ÁREA DE MATEMÁTICAS

PRUEBA DE DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICAS

Propósito Expresivo: Que yo interprete, plantee y resuelva situaciones problemas aplicados a

la caracterización de la medición en los números Reales.

Respondo las preguntas 1 a 4, de

acuerdo con la siguiente representación

gráfica.

1.) Una de las siguientes expresiones,

es falsa:

A. los números naturales son enteros.

B. los números racionales son reales.

C. los números irracionales son reales.

D. los números racionales son enteros.

2.) La expresión simbólica que mejor

determina la relación existente entre los

conjuntos numéricos es:

A. N Z Q R.

B. .

C. .

D. .

3.) Se dice, que una operación entre los

elementos de un conjunto es asociativa,

si:

A. al operar tres elementos, el orden de

ellos no altera el resultado.

B. el resultado de operar tres elementos,

es un elemento del conjunto.

C. al operar más de dos elementos, la

forma de asociar sus operaciones, no

altera el resultado.

D. todos los elementos que componen la

operación pertenecen al conjunto.

4.) La relación de equivalencia de la

forma - , no pertenece al conjunto

numérico:

A. de los números reales R.

B. de los números irracionales I.

C. de los números enteros Z.

D. de los números racionales Q.

5.) Cuando se compara los elementos

de los conjuntos numéricos, se utiliza los

símbolos (menor que), (mayor que),

(igual a), por tanto puedo inferir que

es falso decir que:

A. – 14 > - 10.

B. = .

C. – 15

D.

6.) Al tomar el número racional positivo

, su localización en una recta

numérica, expresa que:

A. se encuentra entre el 2 y el 3.

B. se encuentra en toda la mitad entre 0

y 1.

C. se encuentra entre el 13 y el 4.

D. se encuentra entre el 3 y el 4.

7.) Se deduce que un ángulo es

positivo, cuando:

A. coincide con el lado final de otro

ángulo.

B. coincide con el movimiento de las

manecillas del reloj.

C. coincide con el movimiento contrario

al de las manecillas del reloj.

D. coincide con un ángulo en posición

normal o canónica.

8.) El resultado de -5 [- 6 -3(4)] + 70,

es:

A. 160 B. – 160

C. – 20 D. 20


GUÍA – TALLER N° 1

Semana número _1_ del ___ al ___ de_______________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN

EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS La trigonometría surgió hace más de 3.000 años, como medio para resolver diversos

problemas de navegación y agricultura. Las funciones trigonométricas se utilizan en la

actualidad para describir y analizar fenómenos periódicos como mareas, ondas sonoras

y porque no voltaje eléctrico.

El concepto básico para poder aplicar la trigonometría en casos como lo anterior, es el

sistema de coordenadas dentro de un plano, es decir el sistema de coordenadas

rectangulares, que nos sirve la especificar posiciones y determinar distancias.

1.) EL JUEGO DE LOS TRES CUADRADOS:

Dispongo de tres cuadrados iguales, tal como

lo muestra el gráfico a continuación.

Usando solamente geometría elemental o

trigonometría, demuestro que el ángulo C, es

igual a la suma de los ángulos A y B.

2.) Para el triángulo rectángulo de la forma, donde uno de sus catetos mide 40 cm y la

hipotenusa 50 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?


PROPÓSITO EXPRESIVO:

Que yo analice, resuelva y siga instrucciones precisas para dar solución adecuada

de las situaciones problemas, de gráficos, al igual diferencie e interprete las relaciones

trigonométricas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos

que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del

fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.




Tengamos en cuenta que la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se obtiene,

utilizando adecuadamente la expresión:

P1P2 = .

Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de coordenadas sólo

si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje positivo de

la x.

Respondo las preguntas 1 y 2

teniendo en cuenta la siguiente

información: Si en un plano de

coordenadas se tiene los puntos de la

forma A (6, 2) y B (-3, 5), en metros

1.) La distancia exacta que existe entre

los puntos A y B, es

A.) 3 √10 metros.

B.) 10 metros.

C.) 3 metros.

D.) 0 metros.

2.) Al analizar los puntos dados

anteriormente A y B, puedo inferir que

respectivamente se encuentran en

A.) I y III cuadrante.

B.) II y IV cuadrante.

C.) I y II cuadrante.

D.) II y III cuadrante.

Trazo el gráfico en posición normal y

determino en cada caso, la medida del

ángulo en grados.

3.) en rotación contraria a las

manecillas del reloj es


A.) 540º B.) 240º C.) 270º D.) 120º.

II CUADRANTE I CUADRANTE

240º P.

Q

III CUADRANTE IV CUADRANTE

4.) Los en rotación en el sentido de las

manecillas del reloj, es

A.) 300º B.) – 300º

C.) – 432º D.) 432º.

-300º

DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Un triangulo rectángulo es aquel que

tiene un ángulo recto (de 90 grados). En

todo triángulo rectángulo, el lado mayor

se denomina hipotenusa en este caso

(c). Además, cada ángulo tiene un lado

o cateto opuesto (enfrente) y uno

adyacente (cercano).

Para el ángulo θ mostrado, b es el lado

opuesto y a es el lado adyacente.

Para β, a es el lado opuesto; y b es el

lado adyacente. Además, en todo

triángulo la suma de los ángulos

internos es 180º, donde 90º + θ + β =

180º. Y recordando a Pitágoras, se tiene

que: a2 + b2 = c2.

Las razones trigonométricas son seis:

Seno (Sen), Coseno (Cos), Tangente

(tan), Cosecante (Csc), Secante (Sec), y

Cotangente (Cotan).

Cada razón trigonométrica es la división

de un lado entre otro de un triángulo

rectángulo. Así:

Sin = .

Cos . Tan .

Sec . Csc .

Cotan .

1.) Usando la calculadora, completo la

siguiente tabla:

0º 30º 45º 60º 90º

Sen 0 0,5 √2 /2 √3 /2 1

Cos 1 √3 /2 √2 /2 0,5 0

Tan 0 √3 /3 1 √3 ∞


acuerdo con la siguiente información.

Utilizo el triángulo rectángulo ABC

anterior, donde Θ = 30 grados, b = 4 cm.

2.) Deduzco que el valor exacto que

adquiere el ángulo β, es

A.) 30 grados. B.) – 30 grados.

C.) – 60 grados. D.) 60 grados.

3.) Tomo la información de razón

trigonométrica e infiero que el valor de

la hipotenusa c, es


A.) 8 cm. B.) 4 cm. C.) 2 cm. D.) ⅛ cm.

4.) Según el teorema de Pitágoras, puedo concluir que el valor que debe tomar el otro

cateto “a” del triángulo, es

A.) 4 cm. B.) 4 √3 cm. C.) 24 √3 cm. D.) √3 cm.

5.) Establezco la relación entre las medidas de los lados para un triángulo si sus

ángulos interiores tienen como medidas 45 grados, 45 grados y 90 grados.

A.) Podemos decir que sus tres lados son iguales, y forman un triángulo isósceles.

B.) Podemos decir que sus tres lados son iguales, y forman un triángulo escaleno.

C.) Se deduce que dos de sus lados son iguales, y forman un triángulo isósceles.

D.) Se deduce que dos de sus lados son iguales, y forman un triángulo equilátero.

6.) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con ángulos de 45 grados, 45 grados y

90 grados, mide 8√2 cm.

A.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 8√2 cm.

B.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 4√2 cm.

C.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 8 cm.

D.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 4 cm.

Respondo las preguntas 7 a 9, dado un triángulo ABC, rectángulo en B; si tomo la

razón “Cos A = 2/3, los lados medidos en cm.

7.) Puedo concluir que el valor del cateto opuesto al ángulo A,

A.) adquiere una longitud de √5 cm.

B.) adquiere una longitud de 5 cm.

C.) adquiere una longitud de 5.√5 cm.

D.) adquiere una longitud de 3/2 cm.

8.) Las razones trigonométricas Sin A, y Tan A, respectivamente, toman los valores de

A.) √2 / 3 y √5 / 2.

B.) √5 / 2 y √2 / 2.

C.) 5 y 2.

D.) 2 y 5.

9.) La hipotenusa, que representa el lado opuesto al ángulo recto (ángulo de 90

grados), mide exactamente.

A.) 2 cm.

B.) 5 cm.

C.) 3 cm.

D.) 3/2 cm.


GUÍA-TALLER N° 2

Semana número_2_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)

FASE AFECTIVA

ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN

EL TRIÁNGULO

Un triángulo es una figura geométrica formada por tres lados, tres ángulos y tres

vértices, además se clasifican según sus lados, y según sus ángulos. Los

triángulos según la medida de sus lados toman nombres especiales, así:

triángulos equiláteros donde todos sus lados son iguales, triángulos isósceles,

tiene dos lados iguales, y triángulos escalenos donde todos sus lados son

desiguales. Por último, según sus ángulos se llaman, triángulos acutángulos,

todos sus ángulos son agudos y miden menos de 90 grados, triángulos

rectángulos son los que tienen un ángulo recto (mide exactamente 90 grados), y

los triángulos obtusángulos que tienen un ángulo con más de 90 grados y menos

de 180 grados.

♥ Con la siguiente representación gráfica, expresaremos el número total de posibles

triángulos que se pueden formar, indicándolos claramente.



Que yo utilice las relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos

rectángulos, con la aplicación a fenómenos periódicos de nuestro entorno.

INDICADORES DE DESEMPENO:


que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca

del fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.




Existe el proceso de calcular los lados y los ángulos desconocidos en un triángulo

teniendo los conocimientos de la trigonometría acerca de las relaciones entre los tres

ángulos y los tres lados.

Se sabe que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es dos rectos,

es decir 180 grados, el tercer ángulo se puede calcular si se conocen los otros dos.

1.) Dado el triángulo rectángulo BAC, rectángulo en A, cuyos catetos son b y c,

hipotenusa a, de la

forma.


Como podemos observar del triángulo, se deduce que: a = 5 m, B = 41,7° por tanto se

calcula C = 90° - 41,7° = 48,3°.

Sin B = b/a, entonces b = a. Sin B = 5 m Sin 41,7° = 3,35 m.

Cos B = c/a, entonces c = a. Cos B = 5 m Cos 41,7° = 3,75 m.

El ángulo recto A = 90°.

2.) Con el triángulo BAC, conocido el ángulo B = 54,6° y su cateto opuesto b = 3 m,

determinaremos los otros elementos desconocidos.

El ángulo recto A = 90°, puesto que el triángulo es rectángulo en A.

El ángulo C = 90° - 54,6° = 35,4°.

Para calcular el cateto adyacente c, tenemos:

Para determinar el valor de la hipotenusa a, se procede así:


Respondo las preguntas 1 y 2, de acuerdo con la siguiente información: Un triángulo BAC, rectángulo en A, siendo B = 45° y la hipotenusa “a = 5cm”

1.) El valor aproximado de los catetos b

y c, es

A.) 3,55 cm y 3,55 cm.

B.) 5,0 cm y 5,0 cm.

C.) 3,55 cm y 5,0 cm.

D.) 35,5 cm y 50 cm.

2.) Al realizar la representación gráfica

del triángulo, resulta

A.) un triángulo rectángulo escaleno.

B.) un triángulo rectángulo isósceles.

C.) un triángulo equilátero.

D.) un triángulo obtuángulo.



información.

Se muestra el triángulo BCA, rectángulo

en C, con catetos a = 20cm y b = 15cm.

3.) Del análisis del gráfico se hacen las

siguientes afirmaciones:

I. La hipotenusa c = 25 cm.

II. El ángulo β = 53° 7’ 48’’.

III. La hipotenusa c = 35 cm.

Las afirmaciones correctas son:

A.) II y III.

B.) I únicamente.

C.) I y II.

D.) III únicamente.

4.) El valor de los ángulos agudos Θ y β

respectivamente son:

A.) 36° 52’ 12’’ y 53° 7’ 48’’.

B.) 53° 7’ 48’’ y 36° 52’ 12’’.

C.) 45° y 45°.

D.) 39° y 51°.

5.) Un árbol de aproximadamente 12 m

de alto, proyecta una sombra de 3 m en

una determinada hora del día. El valor

del ángulo de elevación ∂ del sol en ese

momento, es


A.) ∂ = 75° 57’ 50’’.

B.) ∂ = 14° 2’ 10’’.

C.) ∂ = 90°.

D.) ∂ = 45°.

1.) Resuelvo el triángulo, hallando el

valor del cateto restante y los valores de

los ánglos agudos alfa y beta.

2.) De acuerdo al esquema, hallo la

altura del edificio y el valor de la

hipotenusa de cada uno de los

triángulos que se forman.

3.) En el triángulo ACB rectángulo en C,

el valor . Determino los otros

elementos del triángulo.

Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos


Semana número _3_ del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA


SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes I, II, III,

IV, por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto “0” llamado

origen. La horizontal X’0X se denomina eje X, la vertical Y’0Y, eje Y, y ambas

constituyen los dos ejes de coordenadas. El punto “0” se llama origen del sistema.

La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa del mismo, mientras que la distancia

de un punto al eje X es la ordenada, y ambas constituyen las coordenadas del punto, y

se representa por el símbolo (x, y). Las abscisas son positivas cuando el punto está

situado a la derecha del eje Y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son

positivas cuando el punto está por encima del eje X, y negativas en caso contrario.

Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala

adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas escalas pueden ser iguales

o distintas.

Dado el sistema de coordenadas rectangulares.

1.) Expreso correctamente el cuadrante que

corresponde para cada punto de la forma

(X, Y): 1.1) (4, - 5) __________________

1.2) (- 3, 2) _________________________

1.3) (- 9, - 7) ________________________

2.) Localizo en un sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos:

A (3, 5), B (- 2, 1), C (0, - 2), D (4, 0), E (3, 5), F (0, 4), G (- 5, 2), H (- 1, 0).


Que yo conozca y maneje reglas claras empleadas en la solución de situaciones

problemas que involucren distancia entre dos puntos a partir del concepto de valor

absoluto.

Y

II CUADRANTE I CUADRANTE

(-, +). (+, +).

X’ 0 X

(-, -). (-, +).

III CUADRANTE IV CUADRANTE

Y’


Y

P2 (X2, Y2)

P (X, Y) Y2 – Y1

X2 - X

P1 (X1, Y1). Y – Y1

X – X1

X’ X.

Y’

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos que

involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del fenómeno

estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.

Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje central

la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y coseno en la

solución de problemas en un contexto determinado.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Y

P2 (X2, Y2)

d Y2 – Y1

P1 (X1, Y1) X2 – X1 X’ 0 X

Y’

La distancia “d” entre dos puntos tal

como se expresa en el gráfico se

expresa por

d = .

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje X (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la

diferencia de sus abscisas .

MODELACIÓN

Al tomar los puntos de la forma A (-1, 4)

localizado en el IV cuadrante, y B (3, 7)

del I cuadrante, la distancia entre estos

puntos, es

d =

=

= = = 5 unidades.

PUNTO DE DIVISIÓN

El punto de división de un segmento, es

el que divide a este en una relación

dada.

Al interpretar el siguiente gráfico, donde

P (X, Y) tercer punto que divide al

segmento en la relación = r.

Como P1P y PP2 son del mismo

sentido, dicha relación es positiva.

Si el punto de división P (X, Y) estuviera

situado en la prolongación del

segmento, a uno y otro lado del mismo,

la relación = r sería negativa, ya que

P1P y PP2 tendrían sentidos opuestos.

Teniendo en cuenta los triángulos

semejantes del gráfico, resulta que:

= = r.


Despejando x, obtenemos la expresión de la forma x = , igualmente para y, se

obtiene: y = .

Si consideramos ahora que P (X, Y) es el punto medio del segmento P1P2, con r = 1,

resulta como coordenadas:

X = , Y = .



información: Dados los puntos de la

forma P1 (- 2, 4) se localiza en el II

cuadrante, y P2 (3, - 1) en el IV

cuadrante.

1.) La distancia d (P1, P2), es

A.) 5. Unidades.

B.) 5 Unidades.

C.) Unidades.

D.) 2. Unidades.

2.) El punto medio de P1P2, es

A.) ( , ).

B.) (1, 3).

C.) (- , - ).

D.) (- 1, - 3).

Cuando localizo los puntos A (3, 8),

B (- 11, 3), C (- 8, - 2) en un sistema de

coordenadas rectangulares, son los

vértices de un triángulo. Contesto las

preguntas 3 y 4, teniendo en cuenta la

distancia en centímetros.

3.) Al unir los vértices A, B, C, se forma

A.) un triángulo escaleno.

B.) un triángulo isósceles.

C.) un triángulo rectángulo.

D.) un triángulo obtusángulo.

4.) Las distancias d (A, B), y d (B, C)

respectivamente son

A.) 110.5 cm y cm.

B.) cm y cm.

C.) cm y 17 cm.

D.) 17cm y cm.

Se sabe que el perímetro de un

triángulo es la suma de las medidas de

sus lados, por tanto si ubico los puntos

P (7, 5), Q (2, 3), R (6, - 7). Respondo

las preguntas 5 y 6.

5.) La representación gráfica PQR, es

A.) de un triángulo isósceles. B.) de un triángulo rectángulo.

C.) de un triángulo obtusángulo. D.) de un triángulo acutángulo.


6.) Puesto que el área de un triángulo es el semiproducto de la base por la altura del

triángulo, concluyo que

A.) el área es de 29 unidades de superficie.

B.) el área del es de 145 unidades de superficie.

C.) el perímetro del es de 290 unidades.

D.) el perímetro del es de 29 unidades.

7.) La distancia del origen al punto P (X, - 4) es igual a 5 metros, infiero que

A.) el valor que toma X es 3 m.

B.) el valor que toma X es 9 m.

C.) el valor que toma X es m.

D.) el valor que toma X es 3 m.

8.) Las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento determinado por P1 (1,7)

y P2 (6, - 3) en la relación r = 2/3, son

A.) X = 3, Y = 3, formando el par P (3, 3).

B.) X = 3, Y = 2, formando el par P (3, 2).

C.) X = - 3, Y = 3, formando el par P (- 3, 3).

D.) X = - 3, Y = - 3, formando el par P (- 3, - 3).

9.) Cuando se realiza la localización en un sistema de coordenadas rectangulares de

los pares de puntos A (0, 4), B (3, - 2), y C (- 2, 8), observo que

A.) los puntos forman un triángulo.

B.) los puntos son colineales.

C.) los puntos representan un segmento de distancia 12.

D.) los puntos forman un triángulo isósceles.

10.) Con la representación gráfica de la forma, la

distancia AC en centímetros, es

A.) 82 cm.

B.)

C.)

D.) 58 cm.



Semana número_4_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)

FASE AFECTIVA


IDENTIDADES BÁSICAS

La trigonometría se caracteriza por la gran cantidad de fórmulas que presentan una

interrelación entre funciones trigonométricas, ejemplo: Csc = , expresa que la

función cosecante es inversa o recíproca de la función seno.

Estas fórmulas facilitan, con mucha frecuencia, el trabajo de evaluación de una función

o una expresión que contiene otras funciones.

Las identidades son conocidas como relaciones trigonométricas, entre ellas aparecen,

las inversas o recíprocas, las cocientes, y las pitagóricas. Las identidades o relaciones

fundamentales son válidas para todos los valores del ángulo en los que las funciones

contenidas en ellas están definidas.

En conclusión una identidad trigonométrica es una relación que contiene funciones

trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están

definidas las funciones.

♥ Verificar una identidad trigonométrica significa transformar una expresión en otra,

para ello tengo en cuenta:

Simplificar la expresión que aparenta ser más compleja.

Emplear las identidades fundamentales.

De ser posible, factorizar, adicionar fracciones, desarrollar binomios o

racionalizar algún denominador.

En algunos casos, escribir toda expresión en términos de seno o coseno.

De ser necesario, trabajar las dos expresiones hasta obtener un resultado

común.



Que yo reconozca las diferentes identidades fundamentales básicas, para dar

solución a cada situación problema.








MODELACIÓN:

Usando Csc = , entonces Cos .Csc = Cos . = = Cotan .

Si se aplica la relación Sin2 + Cos2 = 1, entonces

= = = 1 + Sin .


♥ Para los siguientes pensamientos, le construyo su respectivo mentefacto

proposicional:

P1: Una identidad trigonométrica es una relación con funciones trigonométricas válida

para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones, mientras que

una ecuación trigonométrica es una relación de la forma f(x) = k, siendo f(x) función

trigonométrica, k constante, válida para determinados valores del ángulo.

relación con funciones trigonométricas

válidas para todos los valores del

ángulo en los que están definidas las

funciones.

relación de la forma f(x) = k, siendo

f(x) función trigonométrica, k

constante, válida para

determinados valores del ángulo.

identidad Trigonométrica ecuación Trigonométrica diferir

IDENTIDAD

TRIGONOMÉTRICA

IDENTIDAD MATEMÁTICA

IGUALDAD MATEMÁTICA

ECUACIÓN MATEMÁTICA

IDE

NT

IDA

D

ALG

EB

RA

ICA

- Involucra razones trigonométricas. - Es válida para todos los valores del ángulo que aparecen en la igualdad.

Según las relaciones básicas comprendidas

I. T. RECÍPROCAS

I. T. POR COCIENTE

I. T. PITAGÓRICAS

I. T. AUXILIARES

- Involucra expresiones algebraicas. - Es válida para cualquier valor de la variable algebraica.

- Se verifica para cualquier valor de alguna variable de las tantas que intervienen.

- Expresión indicativa que dos cantidades son equivalentes. - Se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

- Sólo se verifican para algunos valores concretos de las variables, los valores llamados solución de la ecuación.


P2. Un ángulo de elevación es aquel que se forma cuando el objeto está a un nivel más alto que la visual horizontal del observador, mientras que el ángulo de depresión se forma cuando el objeto está a un nivel más bajo que el observador.

Utilizo las identidades trigonométricas

fundamentales:

1.) Al expresar la función trigonométrica

Tan , en términos de Sin , resulta

A.) Tan = .

B.) Tan = .

C.) Tan = .

D.) Tan = Sin Csc

2.) Del análisis de las relaciones básicas

de las identidades trigonométricas, se

hacen las siguientes afirmaciones:

I. Cos2 = 1 – Sin2 .

II. Csc = .

III. Cotan = .

De las afirmaciones, puedo decir que

son correctas

A.) la I y II.

B.) la II y III.

C.) la I y III.

D.) la I únicamente.

3.) Simplifico la expresión de la forma

Sec – Sec .Sin2 , y resulta:

A.) Sec .Cos .

B.) Sec2 .Cos .

C.) Cos .

D.) Sin .

4.) Al descomponer en factores la

expresión trigonométrica de la forma

Cos2 - Cos2 .Sin2 , obtengo:

A.) Cos4

B.) Sin4

C.) Cos2 (1 + Sin2 .

D.) Cos2 .Sin2

5.) Utilizo las relaciones trigonométricas

para encontrar los valores de las

funciones de , siendo que Sin = .

Una de las expresiones es falsa:

A.) Cos = .

B.) Tan = .

C.) Csc = .

D.) Cotan .

se forma cuando el objeto esta a un

nivel más bajo que el observador.

se forma cuando el objeto esta a un

nivel más alto que el observador.

ángulo de Depresión ángulo de Elevación diferir


1.) Sin Sec Tan .

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

2.) 1 – = Sin

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

3.) = Sin x.Tan x.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

4.) Sin .Cos β (Tan β + Cotan β) = 1.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5.) Encuentro el valor de , en el II y III cuadrante cuando la

función Tan = - .

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemática Colegios Arquidiocesanos de Cali

GUÍA-TALLER N° 5

Semana número _5_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)

FASE AFECTIVA


ECUACIÓN DE LA RECTA EN NUESTRA VIDA

Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A

modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad de pan que se

compra en mi casa, según el número de personas que se encuentran en ésta”.

Desarrollo: “Por decir algo, en mi casa cada persona se come dos panes al día,

además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca

quede vacía”, es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan

a comprar, y “n” la cantidad de personas que se encuentran en casa.

Con la información dada, si en casa hay una persona, la cantidad de pan a comprar

sería: P (1) = 2(1) + 3 = 5.

De la misma forma

P (2) = 2(2) + 3 = 7

P (3) = 2(3) + 3 = 9

P (4) = 2(4) + 3 = 11

Por lo tanto podemos deducir que P(n) = 2n + 3 relación que representa la cantidad de

pan a comprar, cuando en mi casa se encuentran “n” personas.

Al inferir, y procediendo matemáticamente, la expresión de la forma Y = 2x + 3

representa la ecuación de la recta, la cual me muestra la cantidad de pan que debe

comprarse en mi casa.

La representación gráfica en un plano de coordenadas rectangulares, es:


♥ Que yo conozca las diferentes representaciones de la línea recta, para la búsqueda

de solución a cada situación problema y a los procesos aplicados a fenómenos

periódicos del mundo real.






Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje central

la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y coseno en la

solución de problemas en un contexto determinado.

CLARIDAD COGNITIVA

Toda relación de la forma AX + BY = C, donde A, B, C números reales, representa una

ecuación lineal con dos incógnitas (o variables), las soluciones son pares ordenados de

la forma (x, y). El par ordenado (x, y) corresponde a un punto de un sistema de

coordenadas rectangulares (plano cartesiano).

MODELACIÓN:

La ecuación L de la forma x + y = 4 Tabla de valores Gráfico.

x y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde

gráficamente una recta.

Cada par ordenado de números de la forma (x, y) corresponde a las

coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface

la ecuación.

Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta

correspondiente.

PENDIENTE DE LA RECTA

Se denomina pendiente “m” de una recta al grado de inclinación “” que tiene la recta

respecto del eje de las abscisas (eje x), lo cual se expresa, así:

x-

y - y

12

12

xm

1 -1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

Y


x1 x2

y1

y2

L

x2 – x1

y 2 –

y1

x

Y

x X

y

Y

L

ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Toda igualdad de la forma AX + BY = C

donde A, B, C R, también se puede

escribir en la forma Y = mX + n, es

decir como una función, donde m es la

pendiente o coeficiente de dirección y

“n” es la intersección de la recta con el

eje Y, llamada también coeficiente de

posición. La primera expresa la

ecuación general y la segunda la

ecuación explícita de la línea recta.

De esta forma, se puede afirmar que

una recta está perfectamente definida si

se conocen:

DOS PUNTOS DE ELLA

MODELACIÓN: Determino la ecuación

de la recta que pasa por los puntos

A (5, 4) y B (7, 8).

Calculo la pendiente m de la forma,

2 m 2

4 m

5 - 7

4 - 8 m

Como Y = mX + n, al considerar el punto

A (5,4) con x = 5 e y = 4.

Se tiene entonces que 4 = 2(5) + n,

luego 4 = 10 + n, resultando n = - 6.

Por último concluyo que la ecuación de

la forma y = 2x – 6 es la ecuación

pedida.

UN PUNTO Y SU PENDIENTE

Determino la ecuación de la recta que

pasa por el punto A (2, -5) y tiene

pendiente m = - 4

Como el punto es A (2, - 5) siendo x = 2,

y = - 5 y el valor de la pendiente es

m = - 4. Entonces para Y = mX + n.

Resulta que: - 5 = - 4 (2) + n.

Donde - 5 = - 8 + n

Luego: n = 3, por lo que Y = - 4X + 3

es la ecuación explícita pedida. Mientras

que 4X + Y = 3 es la ecuación general.

PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA

RECTA

CON LOS EJES COORDENADOS

Según la gráfica que se muestra, los

puntos donde la recta L corta al eje x es

de la forma (x, 0) y donde corta al eje y,

de la forma (0, y).

MODELACIÓN: Hallo la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los ejes coordenados: La intersección con el eje x: se hace cuando y = 0. Resulta, 2x = 12. Luego se obtiene que x = 6. Así la recta corta al eje x en el punto de la forma (6, 0). La intersección con el eje y: se hace cuando x = 0. Resulta, - 3y = 12. De donde: y = - 4. Así, la recta corta al eje y en el punto de la forma (0, - 4).


P.

Q.

R. X

S.

Respondo las preguntas 1 y 2, si en

un sistema de coordenadas

rectangulares localizo el par de puntos

de la forma A (6, - 5), y B (2, 3).

1.) La pendiente m que pasa por los

puntos A y B, es

A.) 2. B.) – 2.

C.)

. D.) -

.

2.) Propongo como ecuación de la recta

que pasa por el par de puntos, a

A.) 2X + Y = 7. B.) 2X – Y = 7.

C.) Y = 2X + 7. D.) Y = - 2X – 7.

3.) Dado el plano cartesiano, y en el

ubicamos los puntos de la forma P (a, b)

Q (- c, d), R (e, - f), y S (- g, - h). Puedo

asegurar que es falso que:

Y

A.) P pertenece al I Cuadrante.

B.) Q pertenece al II Cuadrante.

C.) S pertenece al III Cuadrante.

D.) R pertenece al I Cuadrante.

4.) Busco la ecuación general y la

ecuación explícita (punto-pendiente) de

la recta que pasa por el punto (- 3, 1) y

tiene pendiente m =

.

A.) – X + 3Y = 6 Ecuación general.

Y = 3X + 2 Ecuación explícita.

B.) – X + 3Y = 6 Ecuación general.

Y =

X + 2 Ecuación explícita.

C.) X + 3Y = 6 Ecuación general.

Y =

X + 2 Ecuación explícita.

D.) X + 3Y = 6 Ecuación general.

Y = 3X + 2 Ecuación explícita.

5.) El valor de la constante k que

aparece en la ecuación explícita de la

forma Y =

X – 1, para que pase por el

punto A (2, - 5), es:

A.) – 10. B.) 10.

C.) 2. D.) -

.

X

Y

6

-4


GUÍA-TALLER N° 6

Semana número 6 del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA


INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:

Uno de los genios más extraordinarios de la historia de las Matemáticas fue el

matemático Alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855).

En 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que dice que cada

ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a + bi, donde a y b son números reales,

e i es la raíz cuadrada de -1. Los números expresados en la forma

a + bi se llaman números complejos y Gauss demostró que se

podían representar análogamente a los puntos de un plano. En

1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: “todo

número natural se puede representar como el producto de primos

de una y solamente una forma”. Así dejó fundamentada la

Aritmética Superior. Su obra principal fue “Disquisitione

Arithmeticae”

1.) Puesto que en la información de Gauss aparece (1777 – 1855), lo cual expresa año

de nacimiento y año de muerte, deduzco matemáticamente la cantidad de años vividos.

______________________________________________________________________

2.) Dado que a + bi es la expresión de cualquier número complejo, siendo a y b

números reales, e i = cantidad imaginaria.

Expreso mínimo 5 ejemplos de números complejos:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



♥ Que yo utilice las diferentes representaciones de líneas rectas paralelas y rectas

perpendiculares, para la búsqueda de solución a cada situación problema y a los

procesos aplicados a fenómenos periódicos del mundo real.





Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además argumento,

realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de geometría analítica en

contextos de otras áreas del conocimiento.

Rectas Paralelas – Rectas Perpendiculares

Toda ecuación de la forma

(Ec. punto-pendiente), puede escribirse

en la forma (ecuación

general de la recta) siendo

.

Dos rectas son paralelas si y sólo si

tienen la misma pendiente, es decir,

m1 = m2.

Dos rectas son perpendiculares si y sólo

si el producto de sus pendientes es igual

a -1, es decir m1.m2 = - 1.

MODELACIÓN:

Construyo el mentefacto para el

siguiente pensamiento:

P1: La función lineal, aquella que tiene la

forma F(x)= mX + k, donde “m” es una

constante diferente de cero, se

representa con una línea recta.

Determino el valor de la variable “y”

de manera que la recta que pasa por

(- 2, -1) y (10, y) sea perpendicular a la

recta que pasa por (6, -2) y (5, 7).

S// Busco las pendientes: m1=

=

.

m2 =

=

= - 9.

Como m1.m2 = - 1 por ser las rectas

perpendiculares, entonces resulta que

. (- 9) = - 1. Por tanto - 9y – 9 = - 12

luego – 9y = - 12 + 9

- 9y = - 3

9y = 3

Y =

.

Encuentro “y” de manera que la recta

pasa por (4, - 3) y (8, y) sea paralela a la

recta que pasa por (4, 4) y (3, 5).

S// Calculo adecuadamente las

pendientes.

Aquella…

Fn. Lineal L. Recta Representar


m1 =

=

. m2 =

=

= - 1.

Como las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales, por tanto

= - 1.

Entonces Y + 3 = - 1. (4)

Y + 3 = - 4.

Y = - 4 – 3 = - 7.

Y = - 7.

Respondo las preguntas 1 a 3, teniendo en cuenta la siguiente información: Los

punto P (- 2, 0), Q (4, 2) y R (0,4), vértices de un triángulo, en un sistema de

coordenadas rectangulares.

1.) La pendiente mPR del lado PR, es

A.) – 2.

B.) 2.

C.)

.

D.) -

.

2.) Verifico, los P, Q, y R, representan los vértices del triángulo:

I. Isósceles.

II. Equilátero.

III. Rectángulo.

IV. Escaleno.

Las afirmaciones correctas, son

A.) I y II.

B.) II y III.

C.) I y III.

D.) II y IV.

3.) La ecuación implícita de la recta paralela del lado PR por el vértice Q, es:

A.) Y = 2X + 6.

B.) Y = 2X – 6.

C.) Y = - 2X + 6.

D.) Y = - 2X – 6.

4.) Una de las siguientes afirmaciones es falsa:

A.) El punto A (0,0) pertenece a la recta de la forma 3x + 4y = 0.

B.) El punto B (- 1, 3) pertenece a la recta cuya ecuación es 2x + 3y – 7 = 0.

C.) Las rectas P: x – y + 2 = 0, y T: 2x – 2y = - 4, son paralelas.

D.) Las rectas A: 2x + y = 2, y B: y = 2x – 3, son perpendiculares.

5.) Sabiendo que el par ordenado de la forma (a, a+2) pertenece a la recta de ecuación de la recta 2x + 3y - 1 = 0, Determino las coordenadas de dicho par, y su valor es


A.) (- 1, 1).

B.) (1, - 1).

C.) (1, 1).

D.) (- 1, - 1).

6.) Al localizar los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares que

son pares ordenados de la forma A (3, 5), B (7, 1), C (- 4, 4), y D (- 2, 2), puedo deducir

que:

I. AB es perpendicular a CD.

II. AB es paralela a CD.

III. AC es paralela a BD.

Las afirmaciones correctas, son

A.) I y II.

B.) II únicamente.

C.) III únicamente.

D.) I y III.

7.) La recta que pasa por el punto J (8, 2) y que es perpendicular a la recta de la forma

5x – 3y = 7, tiene por ecuación:

A.) 3x + 5y – 34 = 0.

B.) 3x + 5y + 34 = 0.

C.) – 3x + 5y – 34 = 0.

D.) – 3X + 5y + 34 = 0.

8.) Trazo en un sistema de coordenadas las rectas T: - X + Y = 4, S: Y = X – 3,

J: Y = - x + 4.

Del análisis gráfico se hacen las siguientes afirmaciones:

I. T y S son rectas paralelas con pendientes m = 1.

II. S y J son rectas perpendiculares y de pendientes m = - 1.

III. T y J son rectas paralelas con pendientes m = – 1.

Las afirmaciones correctas son:

A.) I y II.

B.) II y III.

C.) I y III.

D.) III únicamente.




FASE AFECTIVA


¡ACERTIJOS MATEMÁTICOS!

♥ Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay

una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de

esa habitación, que está inicialmente apagada.

¿Cómo hace para conocer qué interruptor enciende la luz, recorriendo una sola vez el

trayecto del pasillo?

Pista: El hombre tiene una linterna.

RESPUESTA: Al principio del pasillo hay tres interruptores, A, B y C, nuestro

personaje pulsa el interruptor A, espera 10 minutos, lo apaga, pulsa el

interruptor B y atraviesa el pasillo.

Al abrir la puerta se puede encontrar con tres situaciones:

Primera situación: Si la luz está encendida el pulsador será el B.

Segunda situación: Si la luz está apagada y la bombilla caliente será el A.

Y si está apagada y la bombilla fría será el interruptor C.

♥ Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la

muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un vigilante, el prisionero

sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la

puerta por la que debe pasar, sólo puede hacer una pregunta a uno solo de los

vigilantes.

¿Cómo puede salvarse?

RESPUESTA: La pregunta podría ser: ¿Sí yo le pregunto al otro guardián por

qué puerta tengo que salir que me respondería?

En el caso de que estemos hablando con el que siempre miente te diría "El otro

guardián te diría que la puerta por la que debes salir es... (La puerta falsa)".


PROPÓSITO EXPRESIVO: Que yo clasifique las secciones cónicas a partir de su definición geométrica, para poder planear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.

EVALUACIÓN: INDICADOR O INDICADORES DE DESEMPEÑO:




Consideremos en un plano “ una circunferencia C. Tracemos una recta l

perpendicular a “ , que pase por el centro de la circunferencia C como lo muestra la siguiente figura.

Sea V un punto en l distinto del centro de C.

DEFINICION 1: La intersección de un

plano y un cono se llama sección

cónica. Si por el punto V trazamos un

plano perpendicular a la recta l, entonces

el cono queda dividido en dos figuras

simétricas respecto al plano trazado.

Cada una de estas figuras se llama hoja

del cono.

DEFINICION 2: Si un plano Ω corta sólo

a una hoja del cono, pero no es paralelo a ninguna generatriz, la sección cónica se

llama elipse. Un caso particular se obtiene cuando el plano Ω es perpendicular al eje l

del cono, y se llama circunferencia. Veamos la figura arriba.

♥ El conjunto de todas las rectas que pasan por el punto V y la circunferencia C

se llama cono circular recto.

♥ Cualquier recta que pase por V y por el punto C se llama generatriz del cono.

♥ La recta l que pasa por V y el centro de C se llama vértice del cono


DEFINICION 3: Si el plano Ω es paralelo a las dos generatrices

(y por tanto interseca a las dos hojas del cono), la sección cónica

se llama hipérbola. Cada curva que se forma en las hojas del

cono se llama rama de la hipérbola. Veamos la siguiente figura.

DEFINICION 4: Si el plano Ω es

paralelo a una única generatriz (y por

tanto interseca solo una hoja del cono), la sección cónica se

llama parábola. Veamos la figura.

CÓNICAS: Denotemos con S cualquiera de las tres cónicas

no degeneradas distintas a una circunferencia, en el plano Ω,

entonces existen una recta d, un punto F en Ω y un número

real positivo e, tal que S coincide con el conjunto de puntos de Ω, donde el cociente de

la forma

es constante e igual a e.

La recta d se llama directriz, el punto F foco y el número e, excentricidad de la cónica

S. Muchas veces la excentricidad de una cónica nos ayuda a determinar a qué clase

corresponde.

1. Construcción de una elipse. Sobre una hoja de papel pergamino

trazo una circunferencia de tamaño

mediano. Dibujo en su interior un punto

F cualquiera (evitando que sea el

centro).

Uno el punto F con un punto P sobre la

circunferencia y marco bien el doblez.

Trazo la mediatriz del segmento FP.

Repito el paso anterior tantas veces

como sea posible, de modo que uno el

punto F con puntos de todas las zonas

de la circunferencia y trazo la mediatriz

en cada caso. El conjunto de

mediatrices envuelve una figura en

forma de una elipse. Escribo en mi

cuaderno por qué sucede esto.

2. Construcción de una hipérbola. En una hoja de papel pergamino trazo

una circunferencia grande. Dibujo en su

exterior un punto F cualquiera.

Uno el punto F con un punto C de la

circunferencia, marco bien el doblez y

trazo la mediatriz del segmento FC.

Repito el paso anterior tantas veces

como sea posible, de modo que uno el

Si e = 1 la sección cónica es una parábola.

Si e > 1 la sección cónica es una hipérbola.

Si e < 1 la sección cónica es una elipse.


punto F con puntos de todas las zonas

de la circunferencia y trazo las

mediatrices respectivas.

El conjunto de mediatrices envuelve una

figura en forma de hipérbola, cuyos

focos son el punto F y el centro de la

circunferencia. Escribo en mi cuaderno

por qué sucede esto.

3. Construcción de una parábola. En una hoja de papel pergamino trazo un segmento horizontal en la parte inferior de la hoja. Dibujo por encima del segmento un punto F centrado horizontalmente en la hoja. Uno el punto F con un punto S del segmento, marco bien el doblez y trazo la mediatriz del segmento FS. Repito el paso anterior tanta veces como sea posible, de modo que uno el punto F con puntos de toda la zona del segmento y trazo las mediatrices correspondientes. El conjunto de mediatrices envuelve una figura en forma de parábola, cuyo foco es el punto F y su directriz es la recta que contiene el segmento trazado. Escribo en mi cuaderno por qué sucede esto.

Con base en las figuras que se

obtuvo anteriormente, escribo en mi

cuaderno la(s) respuesta(s) a las

siguientes preguntas:

1.) ¿Qué pasa cuando coloco el punto F en la misma circunferencia? ________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

_______________________________

2.) ¿Qué ocurre cuando ubico el punto F

en el centro de la circunferencia?

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

3.) ¿Qué les pasa a las elipses y a las

hipérbolas cuando alejo o acerco F a la

circunferencia?

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

4.) ¿Qué le pasa a la parábola cuando

alejo o acerco F a la directriz?

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

5.) ¿Qué le pasa a la parábola cuando

situó F sobre la directriz?

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



Semana número 8 del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)

FASE AFECTIVA


EL CÍRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA.

Desde la más remota antigüedad, la relación entre la longitud del contorno de un círculo

y su diámetro fue una preocupación de filósofos y matemáticos. Ese

dato, muy importante en todos los cálculos astronómicos, para la construcción de

objetos o la delimitación de parcelas circulares de tierra, era un enigma. Si bien era

sabido que la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es una constante

para todas las figuras circulares, cada vez que la

calculaban obtenían como resultado un número

que no conocían; no era un número entero.

El Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a.C.,

muestra que los egipcios le atribuían a ese número

el valor 3,16… y en la Biblia figura con valor de 3.

La aparición de las calculadoras en el siglo XX

revolucionó el conocimiento acerca de ese número.

En esta unidad se va a explorar esa relación y su

valor enigmático.

1.) Construyo una circunferencia. Mido su diámetro con alguna unidad de medida,

ejemplo una pita, una regla, luego busco la manera de medir la longitud de la

circunferencia.

Por último, realizo la razón entre las longitudes resultantes, y escribo

conclusiones.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________



Que yo construya las diferentes ecuaciones de una circunferencia a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.


Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.




Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado, con dos

variables, conocida su centro de la forma C (h, k), y su radio r.

En conclusión, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano,

que equidistan de un punto C (h, k) llamado Centro, y un radio r.

MODELACIÓN:

1.) Realizo la obtención de la ecuación canónica de la circunferencia:

Por definición de distancia entre dos puntos, se tiene:

r = d (C, P). Esto es: d (C, P) = 22 )()( kyhx r = 22 )()( kyhx .

Elevo al cuadrado: 2222 ])()([ kyhxr

Por tanto: r2 = (x - h)2 + (y - k)2.

Ecuación canónica de la Circunferencia de centro C (h, k) y radio r.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

2.) Realizo la expansión o desarrollo la Ecuación Canónica (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y

resulta:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2

Entonces x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 =r2

Ahora tengo:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Donde A = B y no aparece producto de la variable ó incógnita x, y.


3.) Para la expresión de la forma (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; ecuación de una

Circunferencia.

Se puede deducir que h = 1 y k = - 3, luego el centro de la circunferencia es C (1,-3), y su radio es r = 4.

4.) Dada la relación de la forma x2 + (y – 4)2 = 7. Ecuación de una Circunferencia.

En su análisis, deduzco que el centro es de la forma C (0, 4) y el radio r = 7 .

5.) Si el centro de la Circunferencia es C (0,0) y el radio r = 5.

La ecuación de la Circunferencia se expresará de la forma: x2 + y2 = 52.

Resultando: x2 + y2 = 25.

6.) Una circunferencia tiene centro C (- 3, 4) y pasa por el punto P (1, -2).

Determino su Ecuación General: Para llegar a la ecuación general parto de la ecuación canónica, de la forma:

r2 = (x - h)2 + (y - k)2

Observo que si el centro, es C (- 3, 4) pero el radio no está dado. ¿Cómo

encontrarlo?

Es sencillo, ya que me dan un punto P (1, -2) por donde pasa las circunferencia; y se

sabe que r = d (C, P).

Entonces, por definición de distancia, resulta:

r = d(C, P) 2242)3(1 r

2264 r

3616r

52r .

Luego, sustituyendo tengo:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x+3)2 + (y - 4)2 252 .

Desarrollando la Ecuación canónica, la ecuación general queda expresada por:

x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0.

Gráficamente:


1.) Siendo el centro de la circunferencia

de la forma C (- 2, 3), y de radio r = 4,

infiero que su ecuación será

A.) x2 + y2 + 4x – 6y = 3.

B.) x2 + y2 – 4x – 6y = 3.

C.) x2 – y2 + 4x – 6y = 3.

D.) x2 + y2 – 4x + 6y = 3.

2.) Para la circunferencia cuya ecuación

es de la forma x2 + y2 – 3x + 5y – 14 = 0,

el centro C (h, k), y el radio r, son:

A.) C (

, -

), r =

.

B.) C (

,

), r =

.

C.) C (-

, -

), r =

.

D.) C (-

,

), r =

.

Respondo las preguntas 3 y 4,


información: Sea una circunferencia

donde uno de sus diámetros tiene el

segmento de recta que une los puntos

(5, - 1) y el punto (- 3, 7).

3.) Al calcular adecuadamente el centro

de la circunferencia C (h, k), se concluye

que es

A.) C (1, - 3).

B.) C (1, 3).

C.) C (- 1, 3).

D.) C (- 1, - 3).

4.) La ecuación general de la

circunferencia, se expresa por:

A.) x2 + y2 – 2x + 6y + 22 = 0.

B.) x2 + y2 – 2x + 6y - 22 = 0.

C.) x2 + y2 + 2x + 6y - 22 = 0.

D.) x2 + y2 – 2x - 6y - 22 = 0.

5.) El centro y la ecuación de una

circunferencia que pasa por el punto

A (0, 0), con radio r = 13, siendo la

abscisa de su centro – 12, es.

A.) C (- 12, 5), x2 + y2 + 24x – 10y = 0.

B.) C (- 12, 5), x2 + y2 - 24x – 10y = 0.

C.) C (12, - 5), x2 + y2 + 24x + 10y = 0.

D.) C (12, - 5), x2 + y2 - 24x + 10y = 0.


acuerdo con la siguiente información:

Dada una circunferencia de centro de

forma C (h, k) y radio r, pasa por los

puntos P (5, 3), Q (6, 2), y R (3, - 1).

6.) El valor del radio r, es

A.) .

B.) 29.

C.) .

D.) 5.

7.) En la búsqueda del centro C (h, k),

resultó

A.) C (1, 4).

B.) C (4, 1).

C.) C (- 1, 4).

D. C (1, - 4).

8.) La ecuación de la circunferencia que

resulta es de la forma:

A.) x2 + y2 – 8x + 2y + 12 = 0.

B.) x2 + y2 – 8x - 2y + 12 = 0.

C.) x2 + y2 + 8x + 2y + 12 = 0.

D.) x2 + y2 – 8x - 2y - 12 = 0.




FASE AFECTIVA


LA IMPORTANCIA DE UNA PARÁBOLA

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede

apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o cuando golpeamos una

pelota de tenis.

En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una

trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta

parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada

desplazamiento horizontal “x” la altura “y” alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas

rectangulares, son visibles dos propiedades fundamentales: Tiene un punto

extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este

punto es el vértice de la parábola. Las alturas a las que llega la pelota son las mismas

en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta

paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

En términos generales, se podría definir la parábola como el conjunto de punto de la

forma (x, y) equidistante de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada

directriz.

1.) Dibujo lo que considero según la lectura parábolas representativas.

_________________________________________________________________

2.) Para la siguiente representación expreso

abiertamente mi análisis.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Y

F

V

X2

2

5



Que yo construya las diferentes ecuaciones de una parábola a partir de su

definición como sección cónica, para poder planear y resolver problemas

cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.

INDICADOR DE DESEMPEÑO:




La Parábola, es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan

(están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una recta fija llamada

directriz.

Vemos la gráfica para identificar los elementos

en un sistema de coordenadas cartesianas.

Por Definición: d (P, F) = d (P, M)

F = Foco. E = Eje. V = Vértice

I = Punto de Intersección. Eje Directriz.

d (F, V) = d (V, I) = p parámetro.

OBSERVACIONES:

1.) Cuando la parábola abre hacia arriba, el punto más bajo es el vértice. Si la parábola

abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto. La recta que divide a la parábola en

dos partes simétricas pasando por el vértice es el eje de simetría.

2.) CASOS ESPECIALES:

2.1) Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónica es:

(x – h)2 = 4p (y – k). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS: V (h, k), F (h, k+p), I (h, k-p) Eje: x = h Directriz: y = k – p.

2.2) Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es:

(x – h)2 = - 4p (y – k). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS: V (h, k), F (h, k - p), I (h, k + p), Eje: x = h, Directriz: y = k – p.

2.3) Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica es:

(y – k)2 = 4p(x – h). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS: V (h, k), F (h+p, k), I (h-p, k), Eje: y = k, Directriz: x = h – p.

2.4) Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación canónica es:

(y – k)2 = - 4p(x – h). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS: V (h, k), F (h-p, k), I (h+p, k), Eje: y = k, Directriz: x = h + p

Y

F

V

X2

2

5


ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso llegamos a una ecuación de la forma:

1.) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 ó 2.) Ay2 +Cx +Dy + E=0

P1: Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y

propiedades establecidas por los valores de la excentricidad e: si e = 1, la cónica es una

parábola, si e 1, la cónica es una elipse, mientras que si e 1, la cónica es una

hipérbola.

P2: La expresión matemática x2 = 4ay representa la ecuación de la parábola, cuando

el foco pertenece al eje y.

según su forma y propiedades establecidas por los valores de

la excentricidad e.

para e = 1

para e 1

parábola

elipse

hipérbola

para e 1

secciones cónicas clasificar

x2 = 4y ecuación de la parábola

cuando el foco pertenece al eje y

representar


Respondo las preguntas 1 a 3, si la

ecuacion y2 - 4y - 12x + 28 = 0

corresponde a una parábola.

1.) Al interpretar la ecuación, deduzco

que

A.) el eje es paralelo al eje x.

B.) el eje es paralelo al eje y.

C.) Y = - 2.

D.) X = - 3. 2.) Las coordenadas del vértice V, es

A.) V (2, 3).

B.) V (3, 2).

C.) V (2, 2).

D.) V (2, 5).

3.) El foco, está representada por las

coordenadas de la forma

A.) F (2, 5).

B.) F (2, 2).

C.) F (3, 2).

D.) F (2, 3).

4.) La ecuación de la parábola de vértice

V (3, 2), y foco F (5, 2), es de la forma

A.) y2 – 4y – 8x – 28 = 0.

B.) y2 – 4y - 8x + 28 = 0.

C.) y2 + 4y + 8x + 28 = 0.

D.) y2 + 4y + 8x – 28 = 0.

5.) La ecuación de la parábola de vértice

el origen, de eje el de coordenadas “y”,

y que pasa por el punto (6, - 3), es de la

forma

A.) x2 + 12y = 0.

B.) x2 = 12y.

C.) y2 = - 12x.

D.) y2 + 12x = 0.

Dada la parábola de ecuación con

forma y2 + 8y – 6x = - 4, podemos

deducir en las preguntas 6 a 8.

6.) Las coordenadas del vértice V, es

A.) V (2, - 4).

B.) V (- 2, 4).

C.) V (- 2, - 4).

D.) V (2, 4).

7.) La ecuación de la directriz, es

A.) x =

.

B.) x = -

.

C.) y =

.

D.) y = -

.

8.) Las coordenadas del foco de la

parábola, es

A.) F (- 4, -

). B.) F (-

, - 4).

C.) F (4,

). D.) F (

, 4).

9.) Para la representación gráfica de la

ecuación y2 – 4y – 2x + 6 =0, concluyo

que

A.) Se abre hacia arriba.

B.) Se abre hacia abajo.

C.) Se abre hacia la izquierda.

D.) Se abre hacia la derecha.

10.) Las coordenadas del foco y la

ecuación de la directriz de la parábola

de ecuación x2 = -

y, son:

A.) F (0, -

), y =

.

B.) F (0, -

), y = -

.

C.) F (0,

), y = -

.

D.) F (0,

), y =

.



Semana número 10 del ___ al ___ de_____________________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA


GRÁFICA DE LA PARÁBOLA

La parábola es una curva que tiene una gran

importancia en física y que se ajusta a la descripción o

a la representación matemática de muchos

fenómenos. Pero la parábola también tiene

importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque

muchas veces no nos fijemos o no seamos

conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a

nuestro alrededor. Ejemplos importantes: antenas

parabólicas, las tenciones de un puente colgante

entre otras.

Ahora al observar la figura, la curva se abre hacia

arriba, por encima del eje x, con el foco F (- 3, 7), y eje

focal x = - 3.

1.) Expreso ejemplos prácticos del diario

vivir que puedan ilustrar la

representación de parábola:

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

2.) Interpreto el gráfico e indico

claramente la ecuación de la directriz:

________________________________

________________________________

3.) Escribo algunas coordenadas de la

forma (x, y) que pertenecen a la curva

de la parábola:

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

4.) Como líneas rectas, expreso la

característica de la directriz respecto al

eje focal:

________________________________

________________________________



Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una

parábola a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y

resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.





Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x, y pasa por el

punto P (- 5,10), hallo su ecuación y realizo su representación gráfica.

Como el vértice es (0,0) y el eje focal es el eje x,

Entonces la ecuación de la parábola es de la

forma: =4px.

Puesto que la parábola pasa por el punto P (-5,10)

entonces sus coordenadas deben satisfacer la

anterior ecuación.

Por tanto: , entonces

Luego la ecuación de la parábola es: Como p es negativo, entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen.

Dada la parábola que tiene por ecuación y2 + 6x + 8y + 1 = 0 busco el vértice, el

foco, la ecuación de la directriz, la ecuación del eje y. Trazo el gráfico representativo.

Gráfico.

Como y2 + 6x + 8y + 1 = 0.

(y2 + 8y) = - 6x –1.

(y2 + 8y + 16) = - 6x – 1 + 16.

(y + 4)2 = - 6x + 15

(y + 4)2 = - 6 (x –

).

4,2

5

2

112/364

2

12

vaa


Como el vértice es de la forma V (

, - 4), entonces la coordenadas del foco, se

expresará por F (

-

, - 4) = F (1, - 4).

La ecuación de la directriz, x =

+

= 4.

Ecuación del eje y, es y = 4.

Relaciono la ecuación general de la parábola dada en la izquierda, con su

correspondiente ecuación canoníca que se encuentra a la derecha.

Dada la ecuacion general de cada parábola, completo la tabla con sus elementos que se encuentran a la derecha.

Ecuación general Vértice V.

Foco F.

Ecuación de la directriz

(-3,

) Y =

(1, 2)

(

, - 3)

(1, 4)

(1, 0) Y = - 6

(4, 4)

A.) y2 – 4y – 8x + 20 = 0. ( ) 1. (x – 2)2 = 10 (y – 3).

B.) y2 – 2y + 2x – 1 = 0. ( ) 2. (y + 3)2 = 16 (x – 1).

C.) y2 + 6y – 16x + 25 = 0. ( ) 3. (y – 2)2 = 8 (x – 2).

D.) x2 – 6x + 12y + 21 = 0. ( ) 4. (x – 3)2 = - 12 (y + 1).

E.) x2 – 4x 10y + 34 = 0. ( ) 5. (y – 1)2 = 2 (x – 1).

F.) x2 – 6x – 12y + 21 = 0. ( ) 6. (y – 1)2 = - 2 (x – 1).

G.) x2 – 2x + 10y + 21 = 0. ( ) 7. (x – 3)2 = 12 (y – 1).

H.) x2 – 2x + 10y + 21 = 0. ( ) 8. (x – 1)2 = 10 (y – 2).



acuerdo con la siguiente información.

Una parábola con vértice en el origen

V (0, 0), que se abre hacia la derecha y

eje de simetría el eje x, cuya ecuación

es de la forma y2 – 3x = 0.

1.) En la búsqueda de las coordenadas

del foco F, obtengo.

A.) F (-

, 0).

B.) F (

, 0).

C.) F (0, -

).

D.) F (0,

).

2.) La ecuación de la directriz, la

expreso por.

A.) x = 0.

B.) x =

.

C.) x = -

.

D.) x = - 3.

3.) Deduzco, que el valor de la longitud

del lado recto de dicha parábola, es

A.) 3.

B.) – 3.

C.)

.

D.) -

.

Contesto las preguntas 4 y 5,


información. Se muestra la gráfica de

una parábola.

4.) Del análisis de la gráfica establezco

las siguientes afirmaciones:

I. El vértice está expresa por V (2.5, 4).

II. Ecuación de la directriz x = - 4.

III. El punto (1, - 7) pertenece a la curva

de la parábola.

De las afirmaciones son correctas

A.) la I y II.

B.) la III únicamente.

C.) la I y III.

D.) la II únicamente.

5.) Las coordenadas del foco, y la

ecuación del eje y respectivamente son

A.) F (1, - 4), La ecuación y = 4.

B.) F (1, 4), La ecuación y = - 4.

C.) F (1, - 4), La ecuación y = - 4.

D.) F (- 4, 1), La ecuación y = 4.

Respondo las preguntas 6 y 7 de

acuerdo a la siguiente situación: El

vértice de una parábola es el centro de

la circunferencia cuya ecuación es de la

forma ,

además la parábola tiene como

coordenadas del foco F (- 2, 0).

6.) Las coordenadas del vértice, son

A.) V (- 2, 1).

B.) V (2, 1).

C.) V (1, 2).

D.) V (1, - 2).

7.) En la búsqueda de la ecuación de la

parábola, se obtiene de la forma

A.) x2 + 4x + 4y + 8 = 0.

B.) x2 + 4x - 4y + 8 = 0.

C.) x2 - 4x + 4y = 0.

D.) x2 + 4x + 4y - 8 = 0.



Semana número 11 del ___ al ___ de____________________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA


ÓRBITAS ELÍPTICAS

Es posible que creas que la mayoría de los objetos que orbitan alrededor de algo se

muevan en círculos, pero este no es el caso. Aún cuando los objetos siguen órbitas

circulares, la mayoría de las órbitas tienen forma de círculos u óvalos "estirados hacia

afuera". A esta forma ovalada, los matemáticos y astrónomos la llaman, elipse. Todos

los planetas de nuestro sistema solar, gran cantidad de satélites, y la mayoría de las

lunas, se desplazan a lo largo de órbitas elípticas.

Una elipse puede ser muy larga y delgada, también puede ser bastante redonda -casi

como un círculo. Para describir cuán redonda y "estirada hacia afuera" es una elipse,

los científicos se refieren a ella con el término especial, "excentricidad". Si la

excentricidad de una elipse se encuentra cerca de 1 (como 0.8 ó 0.9), la elipse es larga

y delgada. Si la excentricidad está cerca de cero, entonces la elipse es casi un círculo.

La Tierra se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica. La órbita de la Tierra es

prácticamente un círculo perfecto, ¡su excentricidad es de sólo 0.0167! Plutón tiene la

órbita menos circular de todos los planetas del sistema solar. La órbita de Plutón tiene

una excentricidad de 0.2488.


Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una elipse a partir de su definición como sección cónica, para poder plantear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.








http://www.windows2universe.org/our_solar_system/solar_system.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/physical_science/physics/mechanics/orbit/eccentricity.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/earth/earth.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/sun/sun.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/pluto/pluto.html&lang=sp


La Elipse es el lugar geométrico de los puntos P (X, Y), cuya suma de distancias a dos

puntos fijos F’, y F es constante. Los puntos fijos se llaman focos. (Observo el gráfico).

Sean los dos puntos fijos F (c, 0) y F’ (- c, 0), y 2a la suma constante, (a c), P(x, y)

punto de la elipse, luego por definición F’P + PF = 2a.

Es decir: + = 2a.

Luego: = 2a - .

Elevo al cuadrado y reduzco términos semejantes, cx – a2 = - a .

Por tanto, elevo al cuadrado nuevamente y simplifico, (a2 – c2).x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2).

Ahora divido por a2 (a2 – c2), y resulta:

+

= 1.

Como a c, entonces (a2 – c2) es positivo, y si lo hago igual a b2, es decir a2 – c2 = b2.

Entonces resulta la ecuación de la elipse:

+

= 1.

Otra manera de expresar la ecuación, sería: b2x2 + a2y2 = a2b2.

OBSERVACIÓN: Como la ecuación sólo contiene potencias pares de x e y, la curva es

simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen (0, 0),

el punto “0” es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menor.

Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0, - c), el eje mayor estaría sobre

el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma:

+

= 1.

La excentricidad e =

=

, también puede suceder que c = e.a.

Como toda elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices, por tanto las

ecuaciones de las directrices D’D’ y DD son respectivamente: x +

= 0, y x -

= 0.

Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices sería de la forma

y +

= 0, y y -

= 0.


Se denomina longitud del lado recto de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor

por uno de los focos, y se calcula con la expresión:

. Los puntos en los cuales la

elipse corta al eje mayor, se llaman vértices.

Si el centro de la elipse es C (h, k) y el eje mayor tiene la dirección del eje x, la ecuación

de la elipse es de la forma:

+

= 1.

Cuando el eje mayor es paralelo al eje y, resulta:

+

= 1.

Luego la forma general de la ecuación de la elipse, es: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0, siempre que A y B sean del mismo signo.

1.) Con la ecuación de la elipse de la forma 9x2 + 16y2 – 576 = 0, determinaré: 1)

semiejes. 2.) la excentricidad. 3.) las coordenadas de los focos. 4.) las ecuaciones de

las directrices. 5.) la longitud del lado recto.

Organizo la ecuación dada: 9x2 + 16y2 = 576.

Divido entre 576, entonces:

+

= 1. Por lo que resulta a = 8 semieje mayor, y b = 6

semieje menor. La excentricidad e =

=

=

=

=

=

; e =

.

Como c = , entonces c = = = = = 2 , c = 2 .

Las coordenadas del foco: (2 , 0) y (- 2 0).

Ecuaciones de las directrices: x =

=

,

y la longitud del lado recto

=

= 9.

2.) Encuentro la ecuación de la elipse de centro el origen, foco F (0, 4) y semieje mayor

igual a 6.

Como el foco es F (0, 4), entonces c = 4, y a = 6 semieje mayor, por tanto

b = = = = = 2 .

Al aplicar la expresión

+

= 1, luego la ecuación es:

+

= 1,

Es decir:

+

= 1


Respondo las preguntas 1 a 3 si

tengo una elipse de centro el origen

C (0, 0), foco en el punto F (- 3, 0) y

semieje menor igual a 4.

1.) El valor del semieje mayor de la

elipse, es

A.) – 4. B.) 5. C.) – 5. D.) 4.

2.) La ecuación de la elipse es de la

forma:

A.)

+

= 1. B.)

+

= 1.

C.)

+

= 1. D.)

+

= 1.

3.) Al hacer el esquema correspondiente

del gráfico de la elipse, concluyo que

A.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).

B.) pasa por los puntos ( 3, 0), (0, ).

C.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).

D.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, 0).

Teniendo en cuenta la siguiente situación: “Una elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x, y pasa por los puntos (4, 3), Y (6, 2)”, doy solución a las preguntas 4 y 5.

4.) Los valores que toman los semiejes son:

A.) semieje mayor a = , semieje

menor b = .

B.) semieje mayor a = - , semieje

menor b = - .

C.) semieje mayor a = 52, semieje menor b = 13.

D.) semieje mayor a = - 52, semieje menor b = - 13.

5.) La ecuación de la elipse está representada en la forma.

A.)

+

= 1. B.)

+

= 1.

C.)

+

= 1. D.)

+

= 1.

Para determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la correspondiente a la recta de la forma x – 16 = 0, busco la solución de las preguntas 6 y 7.

6.) La ecuación de la elipse la expreso por

A.)

+

= 1. B.)

+

= 1.

C.)

+

= 1. D.)

+

= 1.

7.) El valor de los semiejes mayor “a”, y el semieje menor “b”, son:

A.) a = 8, b = 4 .

B.) a = 64, b = 48.

C.) a = 8, b = 48.

D.) a = 64, b = 4 .

8.) Una elipse cuya ecuación es de la forma 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0, con semiejes 6 y 4. Su ecuación, y el centro, son:

A.)

+

= 1. Ecuación.

(- 6, 4) Centro.

B.)

+

= 1. Ecuación.

(6, 4) Centro.

C.)

+

= 1. Ecuación.

(6, - 4) Centro.

D.)

+

= 1. Ecuación.

(6, - 4) Centro.



Semana número 12 del ___ al ___ de_____________________ de 20___ (4 horas / semana)

FASE AFECTIVA


LENGUAJE EN MATEMÁTICAS

La ley de Boyle establece que el volumen V de un gas es inversamente proporcional a

la presión, suponiendo que la masa y la temperatura son constantes.

Si denotamos con P a la presión y con V al volumen, resulta la expresión de la forma

PV = k, siendo k constante.

♥ Trazo el gráfico correspondiente de P en función de V, teniendo en cuenta que

15mm3 de gas están a presión de 400kPa a temperatura constante.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una

hipérbola a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y

resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.









DEFINICIÓN

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los

puntos fijos F (c, 0) y F’ (- c, 0) es constante e igual a 2a.

La ecuación estándar de la hipérbola es de la forma:

-

= 1. Con centro C (0, 0),

Focos F (c, 0), y F’ (- C, 0), Ecuación de las asíntotas: y =

x, cuando el eje real o

transversal es el eje x.

Si los focos fueran F (0, c), y F’ (0, - c), la ecuación sería de la forma:

-

= 1.

Ahora cuando el centro es C (h, k), la ecuación es:

–

= 1, con a 0, b 0,

c = . Focos: F ( h + c , k ), y F’ ( h – c , k ).

Vértices: V ( h + a , k ), y V’ ( h – a , k ). Ecuación del eje focal: y = k.

Ecuación del eje normal: x = h. Distancia focal: 2c. Longitud del lado recto:

Centro C (h, k). Ecuación de las directrices: x = h

. Longitud del eje conjugado: 2b.

Ecuación de las asíntotas: y = k

. Longitud del eje transverso: 2a.

Excentricidad: e =

> 1.

Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0.

( A > 0 C < 0 A E 2 + C D 2 – 4 A C F < 0 ), h =

, k =

.

Por último: CA

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4

4–

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4

4––

CA

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2

MODELACIÓN

Dados los focos y los vértices de una hipérbola con: F (5, 0), F’ (-5, 0), V (4, 0),

V’ (-4,0), respectivamente.

Calculo la ecuación de la hipérbola y realizo la construcción gráfica e indico las

asíntotas.

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:

12

2

2

2

b

y

a

x


En este caso: a = 4; c = 5, de donde 31625 b .

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 1916

22

yx

Gráfico representativo:

En este caso, analizaré la hipérbola cuya ecuación es de la forma:

-

= 1.

De la ecuación se obtiene: a2 = 49, b2 = 25, por tanto a = 7, y b = 5, luego c2 = 49 + 25,

entonces c = .

Focos: F ( , 0), y F’ (- , 0). Vértices: V (7, 0), y V’ (- 7, 0).



situación: La hipérbola de centro el

origen C (0, 0), eje real sobre el de

coordenadas x, y pasa por los puntos de

la forma P (4, 6), y Q (1, - 3).

1.) Los valores de “a” y “b”

respectivamente, son

A.)

, y 2. B.) 2, y

.

C.)

, y 2. D.) 2, y

.

2.) La ecuación correspondiente es de la

forma:

A.)

-

= 1. B.)

-

= 1.

C.)

-

= 1. D.)

-

= 1.

Hallo adecuadamente las

coordenadas de los vértices, las

coordenadas de los focos, las

ecuaciones de las directrices.

Las ecuaciones de las asíntotas para la

hipérbola 18x2 – 32y2 – 200 = 88.

3.) Las coordenadas de los vértices y

los focos respectivamente, son:

A.) (0, 4), (0, - 4); y (0, 5), (0, - 5).

B.) (4, 0), (- 4, 0); y (5, 0), (- 5, -0).

C.) (4, - 4), (0, 0); y (0, 5), (0, - 5).

D.) (4, 0), (- 4, 0); y (0, 0), (5, - 5).

4.) Las ecuaciones de las directrices y

las ecuaciones de las asíntotas

respectivamente, son:

A.) directrices x =

. Asíntotas: y =

x.

B.) directrices x =

. Asíntotas: y =

x.

C.) directrices x =

. Asíntotas: y =

x.

D.) directrices x =

. Asíntotas: y =

x.


1.) Si la hipotenusa de un triángulo

rectángulo, con ángulos interiores de

60°, 30°, y 90°, mide 9 m.

A.) Deduzco que la medida de los

catetos, es 4 m, y 4 m.

B.) Deduzco que la medida de los


C.) Deduzco que la medida de los


D.) Deduzco que la medida de los


2.) Un árbol de 10,26 m de alto,

proyecta una sombra de 2,85m en una

determinada hora del día. El valor del

ángulo de elevación ∂ del sol en ese

momento, será:

A.) ∂ = 70° 30’ 40’’.

B.) ∂ = 74° 28’ 33.2’’.

C.) ∂ = 75°.

D.) ∂ = 45°.



información: Dados los puntos de la

forma P (- 2, - 3) se localiza en el III

cuadrante, y Q (- 3, 4) en el I cuadrante.

3.) La distancia d (P, Q), es

A.) 5. Unidades.

B.) 5 Unidades.

C.) Unidades.

D.) 2 Unidades.

4.) El punto medio de PQ, es

A.) (

, -

).

B.) (5, 2).

C.) (-

,

).

D.) (- 5, - 2).

5.) El valor de la constante k que

aparece en la ecuación explícita de la

forma Y =

X + 3, para que pase por el

punto A (- 2, 1), es:

A.) – 6. B.) 6.

C.) -

. D.) -

.

6.) La ecuación de la recta que pasa por

(2, 3) y es paralela a la recta que une

los puntos (4, 1), y (- 2, 2), es:

A.) x + 6y + 20 = 0. B.) x – 6y – 20 = 0.

C.) x + 6y – 20 = 0. D.) x – 6y + 20 = 0.

7.) La recta que pasa por el punto

P (- 4, 3) y que es perpendicular a la

recta de la forma 2x + 3y = 1, tiene por

ecuación:

A.) 3x - 5y – 17 = 0.

B.) 3x + 5y + 17 = 0.

C.) – 3x + 5y – 17 = 0.

D.) – 3X + 5y + 17 = 0.



información: Dada una circunferencia

donde uno de sus diámetros tiene el

segmento de recta que une los puntos

(4, 1) y el punto (2, - 7).

8.) Al calcular el centro de la

circunferencia C (h, k), se concluye que

es

A.) C (- 3, - 3).

B.) C (3, 3).

C.) C (3, - 3).

D.) C (- 3, 3).

9.) La ecuación general de la

circunferencia, se expresa por:

A.) x2 + y2 – 6x + 6y + 50 = 0.


B.) x2 + y2 – 6x + 6y - 50 = 0.

C.) x2 + y2 + 6x + 6y - 50 = 0.

D.) x2 + y2 –6x - 6y - 50 = 0.

Dada la parábola de ecuación con

forma y2 + 6y – 4x = 3, se puede deducir

en las preguntas 10 a 12.

10.) Las coordenadas del vértice V es

A.) V (3, - 3).

B.) V (- 3, 3).

C.) V (- 3, - 3).

D.) V (3, 3).

11.) Las coordenadas del foco de la

parábola es

A.) F (- 2, - 3). B.) F (- 2, 3).

C.) F (2, 3). D.) F (2, - 3).

12.) La ecuación de la directriz es

A.) x =

.

B.) x = -

.

C.) y =

.

D.) y = -

.

Respondo las preguntas 13 a 15; si

tengo una elipse de centro el origen

C (0, 0), uno de los focos en el punto

F (0, 4) y semieje mayor igual a 5.

13.) El valor del semieje menor de la

elipse es

A.) – 4. B.) 5. C.) – 5. D.) 4.

14.) La ecuación de la elipse es de la

forma:

A.)

+

= 1. B.)

+

= 1.

C.)

+

= 1. D.)

+

= 1.

15.) Al hacer el esquema

correspondiente del gráfico de la elipse,

concluyo que

A.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).

B.) pasa por los puntos ( 3, 0), (0, ).

C.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).

D.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, 0).



situación: La hipérbola de centro el

origen C (0, 0), eje real sobre el de

coordenadas “x”, y pasa por los puntos

de la forma A (4, 6), y B (1, - 3).

16.) Los valores de “a” y “b”

respectivamente son

A.)

, y 2. B.) 2, y

.

C.)

, y 2. D.) 2, y

.

17.) La ecuación correspondiente es de

la forma:

A.)

-

= 1. B.)

-

= 1.

C.)

-

= 1. D.)

-

= 1.

18.) La ecuación de la circunferencia de

centro C (0, 5) y radio r = 5 es de la

forma:

A.) x2 + y2 + 10y = 0.

B.) x2 + y2 - 10y = 0.

C.) x2 - y2 + 10y = 0.

D.) x2 + y2 – 10x = 0.

19.) Si tengo la ecuación de una elipse,

así: 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 6 = - 30,

deduzco que:

A.) las coordenadas del centro es (2, 3).

B.) las coordenadas del centro es (2, -3)

C.) las coordenadas del centro es (-2, 3)

D.) las coordenadas del centro es (2, 3).

Matematica 10 1 periodo

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