mat121 - calculo ii - f´ısica QUINTA LISTA DE EXERC´ICIOS...
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mat121 - calculo ii - fısica
2o sem 2011 - profa. daniela m. vieira
QUINTA LISTA DE EXERCICIOS - GABARITO
Um Curso de Calculo, Vol II. H. Guidorizzi. 7a. Edicao.
23.1
(3)
c) Df = {(x, y) ∈ R2|y ≥ x2 e y ≤ 2x}
y
x
y = x2
y = 2x
d) Df =
(x, y) ∈ R2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x2
(
1√2
)2+ y2 > 1
.
y
x
Df
1
1√2
1
f) Df = {(x, y) ∈ R2 |−|x| ≤ y ≤ |x|} .
y
x
y = xy = −x
h) Df = {(x, y) ∈ R2 | y 6= x+ 2kπ, k ∈ Z ou y 6= −x+ (2k + 1)π, k ∈ Z} .
y
x
y = x
Df
y = x+ 2π
y = x− 2π
y = −x+ π
y = −x − π
y = −x+ 3π
y = −x− 3π
2
23.2
(1)
a)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
c)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
3
e)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
h)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
4
i)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
j)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
5
l)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
m)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
6
n)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
q)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
7
(2)
a) Im(f) = R. b) Im(f) = R. c) Im(f) = R.
h) Im(f) = R+. i) Im(f) = [0, 1]. j) Im(f) =
[
−1
2,1
2
]
.
(a) Curva de Nıvel a) (b) Curva de Nıvel b) (c) Curva de Nıvel c)
(d) Curva de Nıvel h) (e) Curva de Nıvel i) (f) Curva de Nıvel j)
8
(3)
(a) Curva de Nıvel (b) Grafico
(14) Sim, se o ponto nao pertence ao domınio, assim olhe para as curvas de nıvel da funcao
f(x, y) =x
√
x2 + y2. Mas se o ponto pertence ao domınio, a resposta e NAO, e para verificar
isto, suponha, por absurdo, que interceptem, entao contrariaremos o fato de f ser funcao.
9
23.3
(1)
a) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1} .
Figura 1: O domınio e a superfıcie e a parte interior
b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≤ 1} .
Figura 2: O domınio e o grafico e a regiao abaixo do grafico.
10
c) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z ≤ 1} .
Figura 3: O domınio e o grafico e a regiao abaixo do grafico.
e) Df = R3 \ {(0, 0, 0}.
y
z
x
11
(2)
(a) Curva de Nıvel a) (b) Curva de Nıvel c) (c) Curva de Nıvel d)
24.1
(1)
a) 0 b) Nao existe c) 0 d) Nao existe
e) Nao existe f) Nao existe g) Nao existe h) Nao existe
(3) Falsa. Analise o limite da funcao f(x, y) =x2
x2 + y2no (0, 0).
(5) Nao existe
(7) 1
(8) 0
24.2
(1)
a) R2 b)
{
(x, y) ∈ R2
∣
∣
∣
∣
x2
3+
y2
2≤ 1
}
c) {(x, y) ∈ R2 |y < x}
e) R2 \ {(0, 0)} f) R
2 g) R2
(2) E contınua em (0, 0).
12
(3) Use a continuidade da funcao f tomando ε =f(x0, y0)
2.
Calculo, Vol II. J. Stewart. 4a. Edicao.
14.1
30
a) VI b) V c) I d) IV e) II f) III
Dica: Veja para quais pontos f(x, y) = 0.
45 46
51 B e III 52 C e II 53 F e V 54 A e VI 55 D e IV 56 E e I
Dica: Veja para quais pontos f(x, y) = 0 e as imagens f(x, 0) e f(0, y).
61 f parece ter maximo de 15 e nenhum mınimo. E 5 parece ser maximo local.
13
62 f parece ter maximo global de 0, 2 e mınimo global de −0, 2.
65
Figura 4: c = 1: verde; c = 2: azul; c = 4:vermelho; c = 6 amarelo.
14
14.2
19 Nao existe.
20 Nao existe.
31 {(x, y) ∈ R2| |y| ≤ x}.
32 {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 1}.
34 {(x, y, z) ∈ R3| x+ y + z ≥ 0}.
35 R2 \ {(0, 0)}
37 0.
38 0.
15