DEPARTAMENTO DE FSICA

MANUAL DE LABORATORIO DE FSICA I

Corina Burgos Castillo

I N D I C E

PRESENTACIN...................................................................1 INTRODUCCIN...................................................................2

I.- Instrumentos de Medicin........................................................3 I a. Apreciacin o Exactitud de una Escala..............................3 I b. Escalas Nonio: Vernier (Pi de Metro)..............................5 I c. Micrmetro o Tornillo Micromtrico.................................7 I d. Cronmetro........................................................................8 I e. Catetmetro............9 I f. Dinammetro...............................................10 I g. Balanza.........11 I h. Regla de Medir (el metro)................12 II.- Sistema de Unidades...............................................................13 III.- Notacin Cientfica.................................................................14 IV.- Prefijos del Sistema Internacional..........................................15 V.- Operaciones con Potencias de 10............................................15 VI.- Aproximaciones Numricas....................................................16 VII.- Orden de Magnitud................................................................ 17 VIII.- Cifras Significativas.............................................................. 18 IX.- Cifras Significativas en operaciones aritmticas................... 18 Ejercicios............................................................................... 20 Experimento Sugeido. Medicin de Magnitudes Fsicas I.....23 X.- Medicin y Errores..................................................................25 XI.- Clasificacin de los Errores....................................................26 XII.- Propagacin de Errores...........................................................27 Ejercicios................................................................................32 Experiencia Sugerida. Medicin de Magnitudes Fsica II.....35 XIII.- Grficos..................................................................................37 XIII a. Grficos de algunas funciones elementales y su Conversin a la forma lineal......................................37 XIII b. Mtodo de los Mnimos Cuadrados...........................44 XIV.- Escalas....................................................................................49 XV.- Interpolacin y Extrapolacin................................................53 XIV.- Informe..................................................................................54

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I N T R O D U C C I O N

En este Manual de Laboratorio se iniciar enseando al alumno a utilizar

instrumentos de medicin, como la regla, balanza, Vernier ( pi de metro), etc, orientado

fundamentalmente a la buena utilizacin de la precisin o incertidumbre de los

instrumentos en las mediciones realizadas con cada uno de ellos.

Las mediciones obtenidas en un trabajo experimental necesitan de un trato

especial, por lo tanto es fundamental ver el carcter de las medidas, la exactitud de ellas,

los sistemas de unidades y los tipos de errores.

Luego las medidas se ordenan en una tabla de valores y posteriormente se

grafican para su interpretacin, establecindose una relacin entre las variables medidas,

esto ltimo permite obtener una ley fsica.

Finalmente la informacin recolectada en el proceso anterior se debe redactar

en un informe final del experimento realizado. Por ltimo, se entregan normas para la

elaboracin del trabajo experimental.

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P R E S E N T A C I O N

Este Manual de Laboratorio est orientado a entregar al alumno

conceptos, tcnicas usuales y conocimientos bsicos necesarios para el desarrollo del

laboratorio de Fsica, en particular la mecnica clsica de los primeros aos de estudios

universitarios. En consecuencia, para el logro de este objetivo se entregarn aspectos

fundamentales de matemtica, estadstica, instrumentacin y conceptos bsicos de fsica

experimental. Algunos tpicos tratados no se han desarrollado con toda la formalidad

matemtica requerida, pues no es el objetivo de este compendio.

Este Manual de Laboratorio se enmarca en los objetivos del Proyecto

MECESUP UCN-9905 orientado al mejoramiento del proceso enseanza aprendizaje de

la Fsica para las carreras de ciencias e ingeniera de la Universidad Catlica del Norte.

Dada la orientacin especfica de este trabajo no se pretende un

estudio exhaustivo y acabado de cada uno de los temas tratados, puesto que solo se

pretende preparar al alumno y facilitarle el desarrollo de las experiencias contempladas

en el programa de la asignatura de Fsica I ( Mecnica).

Como una declaracin de buenas intenciones, el presente trabajo podra

ser continuado con un segundo aporte orientado a elaborar un manual de Laboratorio con

guas correspondientes a las experiencias pertinentes.

Para terminar, quisiera agradecer a mis colegas Dra. Mara Loreto

Ladrn De Guevara y Dr. Miguel Murphy G por su colaboracin, al Departamento de

Fsica y al Proyecto MECESUP UCN-9905 por la oportunidad y facilidades para el

desarrollo de este Manual de Laboratorio, que espero cumpla con su objetivo

fundamental: que sea de utilidad para los alumnos que cursen la asignatura de Fsica

Mecnica en el rea de ciencias e ingeniera.

Corina M. Burgos C. Departamento de Fsica UCN

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I.- INSTRUMENTOS DE MEDICION

Las magnitudes fsicas son medidas que en la prctica se realizan en forma directa o indirecta. La forma directa consiste en utilizar un instrumento cuya escala permita leer el valor de una magnitud desconocida. La forma indirecta consiste en utilizar alguna relacin matemtica y/o geomtrica que permita saber el valor de la magnitud desconocida. Por ejemplo, el peso de los cuerpos se miden directamente mediante dinammetros. Tambin se puede medir indirectamente el peso de los cuerpos, utilizando una balanza para obtener la masa del cuerpo y finalmente se obtiene el peso a travs de ecuaciones (frmulas). Toda medicin directa o indirecta requiere siempre del uso de instrumentos que posean una escala para realizar la lectura de una medicin. Existen dos grupos de instrumentos: en el primer grupo estn los instrumentos que tienen una sola escala lineal para medir, como las reglas, termmetros, etc y los que poseen una escala lineal fija y otra auxiliar mvil, adherida a la primera, que permite aumentar la exactitud de la medida, como el Vernier o Pi de metro, el Catetmetro, etc. En el segundo grupo estn los que poseen escalas lineales circulares que giran frente a una aguja fija, como los que miden frecuencia, balanza de bao, etc. y los que poseen escalas no lineales, como el multmetro. Otros instrumentos, como los que tienen una escala digital, no se encuentran dentro de sta clasificacin.

I a.- APRECIACIN O EXACTITUD DE UNA ESCALA

Al iniciar un trabajo con instrumentos de medicin se debe analizar la escala para saber en qu unidades mide y cul es el intervalo de medicin entre lnea y lnea. Para conocer el intervalo de medicin se verifica si la escala es lineal o no. Una escala lineal se caracteriza porque la diferencia entre dos nmeros consecutivos es siempre constante. El cociente entre dos nmeros consecutivos y el intervalo comprendido entre

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ellos (nmero de lneas), entrega el mnimo valor que puede medirse con esa escala. A este valor se le llama precisin o exactitud del instrumento. En forma anloga se determina la precisin de otras escalas lineales. Ejemplo cm 10 11 12 El mnimo valor que mide la escala es 1.0/10 de cm o sea 0.1 cm

Para el caso de las escalas no lineales se procede como en el caso anterior, pero deber repetirse el clculo de la precisin en cada zona de la escala. Ejemplo

cm .1010

0.110

cm )0.110.12(Precisin ===

5 Cuando los instrumentos son de mala calidad o estn deteriorados por el uso, el error de calibracin aumenta y puede sobrepasar la exactitud de la escala. As, si la precisin de un dinammetro es de 0.2 N se justificar hacer lecturas, tales como, 7.4 N o 10.8 N, pero si el dinammetro est deteriorado por el uso, la precisin puede ser de 0.5 o ms, por lo que la dcima de las lecturas carecen realmente de significado. Los instrumentos de medicin deben ser revisados peridicamente por instrumentistas para evaluar los errores de calibracin que comete cada instrumento despus de algn tiempo de uso.

I b.- ESCALAS NONIO: VERNIER

( pi de metro ) Hay instrumentos que pueden aumentar su precisin agregando a la escala fija una escala auxiliar mvil, llamada NONIO. Cuando es necesario medir longitudes con una precisin mejor que la resolucin de la escala del instrumento se recurre a un sistema inventado por el portugus Pedro Nez (s.XVI, conocido por su versin latina de nonius) y un siglo despus puesto en practica por Pedro Vernier, razn por la cual dicho dispositivo se llama Nonio o Vernier. A travs de un ejemplo se explicar la forma de utilizar el Vernier. La fig.1 muestra un objeto A del cual se desea determinar su longitud. Primero se determina la precisin o exactitud de la escala fija (regla). En la escala fija se aprecia hasta el mm, es decir: en seguida se determina la precisin del nonio. Como se observa en la fig. 2, el nonio tiene 20 divisiones en una longitud de 39 mm de la escala fija (regla) de modo que su exactitud es = 1 / 20 mm = 0.05 mm. Esto significa que cada divisin del nonio equivale a 0.05 mm. En el ejemplo de la fig.1, el cero del nonio sobrepasa 11 divisiones de la escala fija (regla) y una fraccin de milmetros; la sptima divisin del nonio coincide con una

mm 110

mm )1020(Precisin ==

6 lnea de la escala fija y la fraccin decimal es 14(0.05 mm) = 0,70 mm. De manera que la lectura correcta de la longitud del objeto A es, 11.70 mm. Este resultado es confiable si el cero de la escala fija coincide con el 0 del nonio.

Fig. 1

Fig. 2

A

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I c.- MICROMETRO O TORNILLO MICROMETRICO El tornillo micromtrico es un instrumento que se utiliza para medir espesores; es fcil de descalibrar, por lo que se recomienda utilizarlo con mucho cuidado. Este instrumento, que se ilustra en la fig.3, tiene la forma de una pinza ( lado izquierdo de la fig. 3), que es donde se coloca el objeto a medir. En el lado derecho est el tornilloT que a medida que gira, la pinza se va abriendo y se descubre una escala lineal fija que est sobre un cilindro macizo, generalmente con una escala en milmetros. En cada vuelta el tornillo avanza 1 mm de la escala fija. La periferia del tornillo esta dividida en 100 partes. Al medir, por ejemplo, un objeto B, quedan al descubierto un nmero de intervalos que indica el nmero de milmetros enteros que hay entre los extremos de B, la divisin centesimal que hay entre la periferia del tornillo T, indica las centsimas de milmetros. En la fig. 3 la lectura es: 16.45 mm.

Fig. 3

T

B

8 Se recomienda no apretar demasiado el tornillo, pues puede deformarse el objeto cuyo espesor se desea medir, lo cual puede variar la precisin de 1/100 mm que se pretende obtener con el instrumento. Para evitar este tipo de error se debe ejercer una presin suave sobre el objeto a medir. La descripcin del uso de estos dos instrumentos se consideran importantes por la utilizacin en los laboratorios de mecnica de los primeros cursos de Fsica.

I d.- CRONMETRO

El cronmetro se usa para medir intervalos de tiempo, pero se diferencia del reloj que se usa para dar la hora. Es evidente que bajo ciertas condiciones el reloj puede servir de cronmetro, pero en el laboratorio es normal usar un instrumento que se pueda detener o continuar midiendo bajo el control de un interruptor u otro mecanismo. Los cronmetros en general son instrumentos de alta exactitud, pero la precisin depende del error en hacer parar y andar el instrumento. Por motivo de diferencias en el tiempo de reaccin, el error en las primeras mediciones puede ser del orden de 0.5 s y con la prctica se puede lograr 0.2 s.

Fig. 4

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I e.- CATETOMETRO

El catetmetro sirve para medir diferencias de alturas entre dos puntos. Este consiste en una regla metlica con una escala fija que se dispone verticalmente sobre una base, y sobre la cual se desliza un nonio con un pequeo anteojo acoplado. Subiendo y bajando el anteojo con el nonio se puede medir la diferencia de altura entre dos puntos deseados, ubicados a poca distancia, uno o dos metros, por delante del catetmetro.

Fig. 5

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I f.- DINAMMETRO

El Dinammetro mide la fuerza con que se acta sobre un cuerpo. Se sostiene el dinammetro por un extremo y por el otro se engancha al cuerpo sobre el cual se va a aplicar la fuerza. En el interior del instrumento existe un resorte que al alargarse por efecto de la fuerza mueve una aguja por una escala fija lineal, la que una vez estabilizada indica el valor de la fuerza.

Fig. 6

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I g.- BALANZA La balanza sirve para medir la masa de los cuerpos. Existen varios tipos, en los cuales la medicin de masa se hace comparando la del cuerpo de masa desconocida con la masas patrn calibradas que posee el instrumento. Una vez que se logra el equilibrio, el indicador, llamado tambin aguja, deber oscilar levemente en torno a una raya central. Otras tienen un largo brazo con una escala fija por el cual desliza una pesa, que de acuerdo a su posicin, equilibra los cuerpos de masas desconocidas colocadas sobre un platillo fijo. Tambin existen de dos o tres brazos paralelos (fig. 7) cada uno con ranuras donde se ajusta la pesa que desliza por cada brazo, indicando el valor de la masa.

Fig. 7

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I h.- REGLA DE MEDIR ( el metro)

La regla de medir es uno de los instrumentos ms simples que existen y su escala es lineal. Una de sus ventajas es su construccin barata y puede dar resultados precisos hasta dentro de 1/5 de mm. Sin embargo, para conseguir esta precisin deben evitarse ciertos errores, tales como el error de paralaje (si hay un espacio entre el objeto que se est midiendo y la regla y la lnea de visin no es perpendicular a la regla, la medicin es incorrecta), el error en el cero (esto se debe a que el extremo de la regla se encuentre gastada o haberse falseado la posicin del cero por cualquier causa) y calibracin (la escala de la regla puede estar incorrectamente marcada. Por lo tanto, la regla debe calibrarse colocndola lado a lado de una regla patrn).

Fig. 8

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II.- SISTEMAS DE UNIDADES

Para trabajar en fsica con las leyes y sus ecuaciones correspondientes es importante hacer uso de las unidades de medicin. Para esto existen convenios internacionales que estandarizan los sistemas de unidades. Actualmente tenemos el sistema internacional (SI), donde el estndar de longitud es el metro, del tiempo el segundo y de la masa el kilgramo. Este sistema se llamaba antes sistema MKS ( metro-kilogramo-segundo) Un segundo sistema mtrico es el CGS, donde el centmetro, el gramo y el segundo son unidades estndar de longitud, masa y tiempo, respectivamente. El sistema britnico de ingeniera tiene como unidades estndares el pie para la longitud, la libra para la fuerza y el segundo para el tiempo. En fsica, son muy importantes las cantidades fsicas debido a que las leyes se fundamentan en ellas. Las cantidades fsicas se clasifican en cantidades bsicas y cantidades derivadas: las cantidades bsicas se definen en trminos de un estndar. Los cientficos, recomiendan el mnimo de cantidades bsicas que permitan una descripcin completa del mundo fsico. En el sistema SI son siete las cantidades bsicas y se muestran en la tabla. *

Cantidad Unidad Abreviatura Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Cantidad de sustancia mol mol Corriente elctrica ampere A Temperatura kelvin k Intensidad luminosa candela cd En la prctica, cada sistema de unidades que se adopta se fundamenta en la definicin de tres magnitudes fundamentales: masa, longitud, tiempo, para la Mecnica (cuatro para Electomagnetismo: masa, longitud, tiempo, carga elctrica). * Douglas C. Giancoli , Fsica para universitarios

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III.- NOTACIN CIENTFICA En ciencias, a veces se debe trabajar con nmeros extremadamente grandes o pequeos. Los fsicos por ejemplo, han logrado medir el dimetro de los tomos unos 0.000 000 0001 m. Por otra parte, la edad de la tierra se calcula en unos 5.000 000 000 de aos. Debido a que estos nmeros son engorrosos de leer y escribir resulta necesario adoptar una forma que simplifique su escritura y poder realizar operaciones con mayor comodidad. Surge entonces la Notacin Cientfica que permite el uso de las potencias de 10 que es de enorme utilidad en estos casos, veremos algunos ejemplos.

- La masa de la Tierra es 5980 000 000 000 000 000 000 000 kg ; utilizando potencias de 10 se escribe 5.98 x 10 24 kg.

- El espesor de una hoja de papel de cuaderno es 0.00007 m; utilizando potencias de 10 se escribe 7 x 10 5 m.

- Una cantidad negativa, tal como -357; utilizando potencias de 10 se escribe 3.57 x 10 2( distinto a 3.57 x 10 2= 0.0375).

Con el objeto de uniformar la escritura con potencias de 10, adoptaremos el siguiente convenio: Al escribir un nmero real utilizando las potencias de 10 se elige un factor de valor absoluto entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 correspondiente, a esta forma de escritura se denomina notacin cientfica. Nmero real = (factor numrico de valor absoluto entre 1 y 10) x (potencia de 10 de exponente adecuado) N = f x 10 1 < f < 10 Ejemplos: Notacin Cientfica 32.01.......................................3.201 x 10 1 0.76.......................................7.6 x 10 1 3493.002.....................................3.493002 x 10 3 604.00 x 10 - 4 ..........................6.0400 x 10 - 2 0.005370................................5.370 x 10 - 3

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IV.- PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL Los prefijos de origen griego ms usados para expresar abreviadamente cantidades del tipo 10 n, siendo n un nmero real, son: Prefijo Factor Multiplicador Prefijo Factor multiplicador exa E 1.000.000.000.000.000.000 = 10 18 deci d 0.1 = 10 1 peta P 1.000.000.000.000.000 = 10 15 centi c 0.01 = 10 2 tera T 1.000.000.000.000 = 10 12 mili m 0.001 = 10 3 giga G 1.000.000.000 = 10 9 micro 0.000.001 = 10 6 mega M 1.000.000 = 10 6 nano n 0.000.000.001 = 10 9 kilo k 1.000 = 10 3 pico p 0.000.000.000.001 = 10 12 hecto h 100 = 10 2 femto f 0.000.000.000.000.001 = 10 15 deca da 10 = 10 1 atto a 0.000.000.000.000.000.001 = 10 -18 Ejemplo: 1 megahertz = 10 6 Hz, 1 nanometro = 10 9 m

V.- OPERACIONES CON POTENCIAS DE 10 Sean y dos nmeros expresados en potencias de 10, entonces: 1.- 2.- 3.- ( p real ) 4.- ( si a = b )

aAN 101 = bBN 102 =

( ) ( ) ( ) baba BABANN +== 10101021ba

b

a

BA

BA

NN =

= 101010

2

1

( ) ( ) apppap AAN 10101 ==( ) aba BABANN 10101021 +=+=+

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VI.- APROXIMACIONES NUMRICAS Una cantidad fsica puede ser dada mediante un nmero que contenga muchas ms cifras que las que se requieren, entonces se efecta una aproximacin numrica. Veamos el siguiente caso: el radio de giro de un planeta es R =1,758796 x 10 11 m y a) Se solicita usar slo cuatro cifras, entonces, podemos escribir R = 1,759 x 10 11 m b) Si se quiere tres cifras numricas R = 1,76 x 10 11 m c) Si se quiere dos cifras numricas R = 1,8 x 10 11 m d) Si se quiere una cifra numrica R = 2 x 10 11 m En general, para aproximar un nmero se adopta el siguiente convenio: Sea un nmero de n cifras y se quiere aproximar a k cifras ( n > k). 1.- Se aumenta en una unidad si el nmero formado por las ltimas n k cifras es mayor que 5 x 10 nk1. 2.- No se modifica si el nmero formado por las ltimas n-k cifras es menor que 5x10 n-k-1 3.- Cuando el nmero formado por las ltimas n-k cifras es igual a 5 x 10 n-k-1, se aumenta si la k-sima cifra es impar y no se modifica si es par (el cero se considera par).

17 En el ejemplo anterior , sin considerar la potencia 10 11 ni la unidad : n cifras k cifras n-k cifras 1 , 7 5 8 7 9 6 1 k-sima n-sima En este ejemplo se tiene 7 cifras, entonces n = 7 y se solicita aproximar a cuarto cifras, de modo que k = 4, el nmero formado con las ltimas n-k cifras es 796, luego: 5 x 10 7-4-1 = 500 500 < 796 por tanto la k-sima cifra (el 8) aumenta en una unidad de acuerdo al primer punto del convenio y el nmero solicitado se escribe en forma correcta como 1,759 x 10 11 m.

VII.- ORDEN DE MAGNITUD Se acostumbra dar el nombre de orden de magnitud de un valor (o magnitud fsica) a la potencia de 10 ms cercana al valor. Usted seguramente no sabe cunto es el dimetro de un lpiz grafito (8.2 mm aproximadamente). Sin embargo, no tendr dificultad en indicar cul es la potencia de 10 ms cercana al valor de ese dimetro. Es decir, podr decidir con facilidad si el dimetro del lpiz est ms cerca de 10 0 mm o de 101 mm. El orden de magnitud del lpiz grafito es 10 1 mm, puesto que sta es la potencia de 10 ms cercana al valor del dimetro. Otra forma conveniente de obtener el orden de magnitud de un valor es operar con los valores de ellas en notacin cientfica.

18 Ejemplo: 563.264 x 10 3 = 5.63264 x 102 x103 =101x105 =106 : el orden de magnitud es 10 6 2.86169 x 10 9 = 10 0 x 10 9 = 10 9 : el orden de magnitud 10 9

VIII.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Toda medida realizada tiene que ser obtenida con un nmero determinado de cifras significativas. El nmero de cifras, contado desde la izquierda, hasta la primera cifra afectada por el error, inclusive, se denomina nmero de cifras significativas. No se consideran los ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero. Los ceros a la derecha s son considerados cifras significativas. Ejemplo: Cifras Significativas 5.0 cm..............................2 0.78 cm................................2 0.0306 cm................................3 39.04 cm....................................4 100.080 cm..............................6 Es conveniente usar notacin cientfica y en ese caso las lecturas anteriores se escriben: Cifras significativas 5.0 cm ....................................2 7.8 x 10 2 cm ........................2 3.06 x 10 3 cm ......................3 5.904 x 10 cm ...........................4 1.00080 x 10 2 cm .....................6

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IX.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN OPERACIONES ARITMETICAS Se aplican los siguientes criterios:

a) Adiciones y sustracciones : la operatoria de la adicin y sustraccin debe realizarse aritmticamente, pero el resultado final debe dejarse con el mismo nmero de decimales que tenga el dato con menos decimales, aplicando el criterio de aproximaciones numricas descrito en pgina 16. Ejemplo: El semipermetro del rectngulo de largo L = 1.7 m y ancho a = 0.94 m, es L + a = (1.7 + 0.94) m = 2.64 m = 2.6 m.

b) Multiplicacin, divisiones, potencias, races: despus de realizadas las operaciones aritmticas, el nmero de cifras significativas del resultado ser igual al nmero de cifras significativas del dato con menos cifras significativas.

Ejemplo: Calcular el volumen de un paraleleppedo de lados a = 13.2 cm (3 cifras significativas), b = 9.6 cm (2 cifras significativas), c = 0.7 cm (1 cifra significativa), el resultado del volumen es: V = a x b x c = 13.2 x 9.6 x 0.7 cm3 = 88.704 cm3 = 9 x 101 cm3. Nuevamente se aplic el criterio de aproximaciones numricas al resultado.

c) Constantes: Aquellas que no provienen de mediciones, no influyen en el resultado, siempre que sean racionales y se expresen como fracciones de enteros; pero como los nmeros irracionales ( = 3.14159....), tienen infinitas cifras significativas se usan al menos con la misma cantidad de cifras significativas que el dato con mas cifras significativas disponible, de lo contrario se estara introduciendo un error adicional indeseado, evitable y no de carcter experimental.

20 Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro circular recto de radio 5,4 cm y altura 54,6 cm. En la frmula , V = r 2 h, la constante (= 3.14159....) debe usarse al menos con tres cifras significativas. V = r 2 h = 3.14 (5.4) 2 54.6 cm 3 = 4944.3696 cm 3 = 4.9 x 10 3 cm 3

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EJERCICIOS

1.- Indique la lectura a) Vernier:............................ cm

b) Probeta:......................... 2.- Aproximar a tres cifras numricas las cantidades a) 73450 ; 7,3459 ; 7,245 b) 62351 ; 6,235 ; 6,2355 3.- Calcular el orden de magnitud de las operaciones a) ( 4x10 4 x 9x10 7) / ( 3x106 x 7x1012) b) ( 6x10 4 x 8x10 7 x 3x10 15 ) c) 68,2 x 0,0032 d) ( 354,2 x 10 3 ) (0,132)

0 1 2 3

50 40 30

ml

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 / 10

22 4.- Aplique el criterio de cifras significativas en las siguientes operaciones

a) 1.25 + 4.786 + 3.7 =.................... b) 558.626 - 43.5371 =............................... c) 2.3 x 3.45 =............................... d) [4.567 x 10 3 ] [67.893 x 10 2 ] =................. e) 4 x 4.5 =................................ f) 18.7 2 64 = ............................................. 5.- Escribir en notacin cientfica las siguientes magnitudes fsicas a) Constante gravitacional G = 0,00000000000667 [ N m2 / kg ] ............................. b) Rapidez de la luz c = 299.790.000 [ m / s ] ................................................ c) Carga del electrn e = 1.602.192 x 10 27 [ C ] ........................................... d) Radio de la Tierra R T = 6.378.00 [ m ] ....................................................... e) Acel. de gravedad g = 9803 x 10 3 [ m / s2 ] .............................................. 6.- Determine el nmero de cifras significativas de las siguientes magnitudes fsicas

a) 632.5 [s]................. b) 0.000362 [m]................. c) 67.538 x 106[kg]. c) 8437292[km]. e) 0.032700 [kg]. f ) 0.000083 [km].

g) 0.489000[cm]......... h) 53.7 x 10 4[cm]............. i ) 0.06330 [gr] 7.- Aproximar al nmero de cifras numricas indicadas en parntesis los nmeros a) 0.0065 ( 2 ).................b) 36.284 x 10 3 ( 1 ).................c) 7.4550 ( 3 )..................... d) 93525 ( 4 )..................e) 0.852 x 10 6 ( 2 )..................... f) 0.5293 ( 2 )...................... 8.- Aproxime a tres cifras numricas dndole la forma de notacin cientfica a los nmeros

a) 1.595 x 10 -4 ........................................ b) 184.4079................................................. c) 0.000034519........................................ d) 742.86 x 10 6...........................................

e) 725.49000............................................ f) 0.459 x 10 2...........................................

23 9.- Dada la expresin : 4 [ 8,17 x 10 5 ] 2 [7,41 x 10 6 ] X = 9,065 x 10 4

determine su valor y luego aproxime a tres cifras numricas.

10.- Dada la expresin:

[ 83,6 x 10 3 ] 4 [ 76,90 x 10 5 ] Y = 100 [37,1 x 10 5 ]

determine su valor y luego exprselo en notacin cientfica

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EXPERIMENTO SUGERIDO

MEDICION DE MAGNITUDES FSICAS I. OBJETIVOS: - Aprender a manipular con destreza y habilidad los instrumentos de medicin: Vernier, Tornillo Micromtrico, Balanza y Regla. - Aprender los conceptos cifras significativas, notacin cientfica y

orden de magnitud, criterios de aproximacin y forma de expresar el resultado de una medicin. INTRODUCCIN: En esta sesin de laboratorio se utilizarn diferentes instrumentos para medir longitudes y masas, y as determinar volmenes y densidades de diferentes cuerpos geomtricos. Con esta actividad se pretende aplicar algunos conceptos y la forma de escribir una medida dadas en las secciones anteriores. MATERIALES: Tornillo Micromtrico, Vernier, Regla, Balanza, y una esfera metlica pequea. ACTIVIDADES 1.- Mida el dimetro de la esfera con los instrumentos que se indican, escriba su valor e indique el nmero de cifras significativas (C.S). Tornillo Micromtrico...............................mm C.S................................................ Vernier ......................................................mm C.S................................................ Regla.........................................................mm C.S................................................

25 2.- Exprese las medidas en METROS y luego escriba en Notacin Cientfica (N.C.). Tornillo Micromtrico..............................m N.C............................................... Vernier .....................................................m N.C............................................... Regla.........................................................m N.C............................................... 3.- Mase la esfera e indique el Orden de Magnitud (O.M.) de la medida. Balanza....................................................gr O.M................................................ 4.- Determine el volumen de la esfera (V esf. = 4 / 3 r 3 ) en cm3, utilizando las medidas hechas con los tres instrumentos. Aplique aproximaciones numricas y cifras significativas. 5.- Determine la densidad de la esfera (densidad = masa / volumen) en gr/cm3, utilizando cada uno de los volmenes calculados anteriormente. Aplique aproximaciones numricas y cifras significativas.

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X.- MEDICIONES Y ERRORES

El resultado de una medicin fsica no puede considerarse algo en s exacto, por estar limitado por la precisin propia del instrumento y otros factores que pueden alterar el resultado obtenido en relacin al valor real de la magnitud fsica. Al presentar el resultado de una medicin, es entonces necesario dar cuenta no slo del valor numrico que entrega el aparato, sino de una incertidumbre asociada a ese valor. Por ejemplo, si como resultado de la medicin con una balanza de una masa M obtenemos la cantidad 2,923 g, sta debe ser expresada de la forma M = 2.923 0.001 gr, donde el valor 0.001 g corresponde en este caso a la incertidumbre de la medicin. Esto quiere decir que el valor real de la masa M posiblemente no es menor que 2.923 0.001 g ni mayor que 2.923 + 0.001 g, o en otras palabras, se encuentra dentro de un intervalo determinado por la incertidumbre. Cualquiera que sea la medida a realizarse, dicha medida es imprecisa y esto depende de varios factores como la calidad de los instrumentos, las condiciones en que se realizaron las medidas en el laboratorio, el mtodo utilizado, la habilidad del experimentador, etc. La teora de errores estudia fundamentalmente este problema y llama a la incertidumbre, error de la medida o error absoluto. Este error se designa por x y se define como la diferencia entre el valor medido X y el valor verdadero Xo :

x = X Xo . Pero en la prctica no se conoce el valor verdadero Xo, por lo que es conveniente hablar del mdulo x de la medicin y definirlo como la diferencia entre el valor medido, X y el valor verdadero Xo :

x = | X Xo |

27 De esta definicin resulta:

Xo = X x , lo que indica que el valor verdadero Xo no es posible precisar. Tambin en la teora de errores para las mediciones se utiliza el concepto de error relativo (e.r). Este se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medido:

e.r. = x / X , y se expresa con un decimal, tambin se puede expresar como un porcentaje, pero en este caso se le llama error porcentual, y se define:

E% = e.r. x 100 que indica el error cometido en 100 unidades de la magnitud medida, por lo tanto nos indica la precisin de la medida. En la teora de errores es ms cmodo trabajar con el error porcentual que con el error absoluto, ya que la primera da una precisin de la medicin y la segunda da una exactitud de la medicin.

XI.- CLASIFICACION DE LOS ERRORES

Los errores se clasifican en: errores sistemticos, errores casuales o aleatorios y errores personales. a) Errores Sistemticos Son aquellos que se repiten constantemente en un experimento o durante una serie de medidas afectando de manera sistemtica los resultados finales, siempre de la misma forma si se cumplen las mismas condiciones de experimentacin.

28

Fuentes de errores sistemticos: error de calibracin de los instrumentos, condiciones experimentales no apropiadas, tcnicas imperfectas, formulas incorrectas, error de paralaje (lectura hecha por el observador bajo un ngulo de inclinacin), etc. b) Errores casuales o aleatorios Son aquellos que siempre estn presentes en la medida y no es posible determinar su causa. Cuando son significativos, se pueden disminuir aumentando el nmero de medidas. Tienen tratamiento matemtico. Fuentes de errores casuales: error de apreciacin en la lectura del instrumento, condiciones de trabajo (las condiciones ambientales pueden cambiar). c) Errores personales Son aquellos errores ocasionados por equivocaciones del experimentador y se pueden evitar aumentando el cuidado y la atencin al efectuar las mediciones. El objetivo principal de la teora de errores es estudiar un mtodo matemtico que debe darse a los diferentes resultados obtenidos al medir una magnitud , para tratar de hallar el valor ms probable, o sea, la mejor estimacin de la medida buscada.

XII.- PROPAGACIN DE ERRORES Cuando se operan dos valores con sus respectivos errores (error absoluto), de algn modo stos errores participan en las operaciones y se propagan hasta el resultado. Existen reglas matemticas de derivacin para la propagacin de los errores que se pueden ver en cursos ms avanzados. Aqu se darn a conocer otras reglas para las que es suficiente el lgebra, pues stas pueden ser tiles en este curso.

29 ADICION Y SUSTRACCIN En general, sea A y B dos medidas y A y B sus respectivos errores. La suma de estas medidas es: Si consideramos sus respectivos errores habra que plantear: I.- de tal modo que , es la suma de los errores: Esta regla es vlida para ms de dos sumandos. Sea donde A y B tienen los errores A y B, respectivamente. Teniendo en cuenta esto se tiene: II.- Note que aunque las medidas se restan los errores se suman: Esta regla es vlida para varios trminos restados. Ejemplos: 26, 3 0, 1 cm 25, 0 0, 2 cm + 8, 5 8 0, 0 1 cm _ 15, 0 3 0, 0 1 cm 34, 8 8 0, 1 1 cm 9, 9 7 0, 2 1 cm El resultado correcto es: 34,9 0,1 [cm] El resultado correcto es: 10,0 0,2 [cm]

( ) ( ) ( ) ( )BABAs BABAS ++=+=

( ) ( ) ( ) ( )BABAR BABAR +==

BAS +=

s ( )BAs +=

BAR =

( )BAR +=

30 PRODUCTO Y COCIENTE Sea P = AB donde A y B tienen los errores A y B, respectivamente. Entonces: III.- La regla es vlida para ms de dos factores Sea C = A / B donde A y B tienen los errores A y B, respectivamente. Entonces: IV.- Ejemplos: ( 25,10 0,05 ) cm ( 2,3 0,1) cm = (25,10)(2,3) (25,10)(2,3)[0,05 / 25,10 + 0,1 / 2,3] = 57,73 2,625 = 5,8 x 10 0,3 x 10 cm2 El resultado correcto es: ( 5,8 0,3 ) x 10 [cm2]

( )( )

+==BA

ABABBAP BABAP

+=BA

AB BA 1

+==

BABA

BA

BAC BA

B

AC

+=BAB

A BA 1

31 445,25 0,05 gr 445,25 445,25 24,7 0,3 cm3 24,7 24,7 = 18,026316 0,2209674 = (18,0 0,2 ) gr / cm3 El resultado correcto es: (18,0 0,2 ) [gr / cm3] POTENCIACION Y RADICACIN Una medida y su error absoluto elevado a un exponente n que puede ser mayor que 1 (potenciacin) o menor que 1 (radicacin), se procede as : la medida se eleva al exponente n ms menos la medida elevada al exponente se multiplica por n y por el cociente entre el error y la medida. Se aplica el criterio de cifras significativas y aproximaciones numrica al resultado final. Si n > 1 n < 1, se tiene: V.- Ejemplo de potenciacin: ( 83,4 0,2 ) 2 = ( 83,4 ) 2 ( 83,4) 2 [ 2 x 0,2 / 83,4] = 6955,56 33,36 = 69,6 x 102 0,3 x 10 2 El resultado correcto es: ( 69,6 0,3 ) 10 2

= [ 0,05 / 445,25 + 0,3 / 24,7 ]

=A

nA An 1

( )

==A

nAAAM AnnnAM

32 Ejemplo de radicacin: ( 15,3 0,1) 1/ 2 = ( 15,3 ) 1/ 2 ( 15,3 ) 1/ 2 [ 1 / 2 x 0,1 / 15,3 ] = 3,9115214 0,0127827 El resultado correcto es: 3,91 0,01 NOTA: Se recomienda en todos los casos aproximar los resultados al final. CASOS ESPECIALES I.- Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por una constante fsica, dicha constante multiplica o divide a la medida y el error, aplicando al resultado final el criterio de cifras significativas y aproximaciones numricas: Sea k una constante fsica, A una medida y A su error, luego:

F = k ( A A ) = kA kA

Ejemplo Ia : Sea la constante fsica g, la aceleracin de gravedad, y m la medida de una masa con su respectivo error. Se pide determinar el peso en newton (N). Peso = m g = 9,8 m / s 2 ( 3,1 0,1 ) kg = ( 9,8 x 3,1 9,8 x 0,1 ) kg m / s2 = ( 30,38 0,98 ) N Resultado final: Peso = ( 30 1 ) N

33 II.- Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por una constante matemtica, dicha constante slo multiplica a la medida. Al resultado final se aplica el criterio de cifras significativas y aproximaciones numricas. Sea k una constante matemtica, B una medida y B su respectivo error, luego:

H = k ( B B ) = kB B

Ejemplo IIa.- Sea la constante matemtica y R una medida que corresponde al radio de un crculo, medido en cm. Se pide calcular el permetro del crculo. Permetro = 2 R = 2(3,14) (2,34 0,05) = 6.28 ( 2,34 0,05) = 14.6952 0,05 = 14,70 0,05 Resultado final : Permetro = (14,70 0,05 ) cm Ejemplo IIb.- Sea la constante matemtica y R una medida que corresponde al radio de un crculo, medido en cm. Se desea calcular el rea del crculo. rea = R2 = 3.14 (2,23 0,05) 2 = 3,14 [(2,34) 2 (2,34) 2 (2 x 0,05 / 2,34)] = 3,14 [5,4756 0,234] = 17,1933.... 0,234 Resultado final: rea = (17,2 0,2) cm2 En este ejemplo se desarrolla primero la potenciacin ( frmula V ) y luego se aplica la regla II (casos especiales).

34

EJERCICIOS

1.- De las medidas dadas, determine la(s) medida(s) que Ud. considere estn erradas. Fundamente su respuesta. a ) (5,03 0,1) cm ....................... b) (3,10 0,02) cm............................ c) (3,00 0,05) cm ...................................... d) (2,04 0,05) cm............................ e) (4,05 0,01) cm ....................................... f) (6,5 0,2) cm ................................... *2.- Se miden, con diferentes instrumentos, los lados de la siguiente figura. Determine el volumen de la figura. (36,20 0,02) mm (18,25 0,05) mm (32,0 0,1) mm (120,0 0,1) cm *3.- Los lados de un rectngulo son: a = (6,5 0,2) cm y b = (4,25 0,05) cm Determine:

a) el rea del rectngulo b) el permetro del rectngulo

35 *4.- Con dos instrumentos A y B de precisiones 0,01 mm y 0,2 mm, respectivamente, se miden las dimensiones de un paraleleppedo rectangular (ver fig.), obtenindose los siguientes valores: Instrumento A : ancho = 24,61 mm y alto = 24,61 mm Instrumento B : largo = 92,6 mm

a) Determine la diferencia entre las reas achuradas I y II del paraleleppedo. b) Determine el rea basal del paraleleppedo. Entre qu valores flucta el rea

basal? *5.- Experimentalmente se desea determinar el volumen de un cilindro pequeo, de madera. El dimetro se mide con un Micrmetro, la lectura es: d = 10,50 0,01 mm y la altura se mide con un Vernier, el que se registra en la figura siguiente: Entre que valores flucta el volumen del cilindro de madera? *6.- Una persona de masa m1 = (50,8 0,2) kg y otra de masa m2 = (82,0 0,1) kg estn sentadas frente a frente de modo que sus centros estn separados una distancia r = (60,0 01) cm. Determine la magnitud de la fuerza gravitacional que cada persona ejerce sobre la otra. Constante gravitacional G = 6.67 x 10 11 N m 2 / kg 2 .

* Aplique propagacin de errores, cifras significativas y aproximaciones numricas.

cm0 1 2 3

II I

rea Basal

0 10

36

EXPERIENCIA SUGERIDA

MEDICION DE MAGNITUDES FSICAS II OBJETIVO: - Saber representar una medida considerando el error absoluto. - Identificar los posibles errores en la medicin. - Aprender a operar con magnitudes que tienen error absoluto. INTRODUCCIN: En la primera experiencia se utilizaron instrumentos que miden longitudes pequeas sin considerar el error absoluto de su medida, en esta sesin ser necesario considerarlo para las operaciones entre medidas experimentales y ver la forma como se combinan y modifican los errores a travs de las reglas propuestas por la propagacin de errores. MATERIALES: Vernier, Tornillo Micromtrico, Balanza y Golillas. ACTIVIDADES 1.- Mida el dimetro externo e interno de una golilla con el VERNIER y su altura con el TORNILLO MICROMETRICO (como el de la fig). d ext = .................. .................. mm d int = .. ................. mm h = ................... ................. mm

d ext

d intd int h

d ext.

37 *2.- Determine el Volumen de la Golilla, en cm 3. 3.- Mase la Golilla : M = .................. ................gr *4.- Determine la densidad de la Golilla, en gr / cm 3.

*Aplique propagacin de errores y cifras significativas

PREGUNTAS 1.- Qu indica el error absoluto? 2.- Entre qu valores flucta ( esta comprendido) el volumen de la Golilla? 3.- Cul es el orden de magnitud de la densidad de la Golilla? 4.- Cuntas cifras significativas tiene la masa y altura externa de la Golilla?

38

XIII.- GRAFICOS En un experimento es importante investigar siempre la dependencia funcional entre dos variables fsicas. Supongamos que X e Y son magnitudes fsicas que estn interrelacionadas en un fenmeno, haciendo un experimento sobre dicho fenmeno podemos ir dando valores a X, controlados con instrumentos de medicin, y medir los valores de Y que resulten en cada caso. Con una serie de valores experimentales de (X,Y) puede determinarse la dependencia matemtica entre ambas variables, o sea, la funcin f(x) que evala los valores de Y: Y = f (X) En otras ocasiones se conoce la dependencia funcional de X con Y, y lo que se desea es determinar un parmetro dado de esa relacin (o sea, si se sabe que y = kx2 puede ser de inters determinar k). Tanto en el primer caso como en el segundo caso el experimentador puede auxiliarse de grficos cartesianos x, y, colocando los puntos experimentales (x,y) medidos, y trazando luego la curva que mejor los une. El objetivo de este captulo es dar a conocer la informacin matemtica que nos puede dar un grfico, la forma en que deben escogerse las escalas en los ejes coordenados y cmo trazar la mejor curva.

XIII a.- Grficos de algunas funciones elementales y su conversin a la forma lineal.

Puesto que la recta es la nica forma de grfica que se puede trazar con alguna seguridad, fcil de calcular su pendiente y obtener la ecuacin, se darn mtodos para convertir algunas ecuaciones a una forma que d una grfica proporcional o lnea recta. Toda funcin y = f (x) representa una curva en el planos X ,Y ; esta puede ser continua o no, segn la funcin que represente. En este curso de laboratorio se utilizarn slo las curvas continuas cuyas funciones elementales son:

39 I.- y = mx + b, con m y b constantes II.- y = a x n , con a y n constantes III.- y = a e kx , con a y k constantes IV- y = a x 2 , o potencias ms elevadas de x El grfico de la ecuacin I representa una lnea recta la cual corta al eje Y. La relacin entre las variables X e Y se llama lineal (grfico N 1). En el caso que b = 0 , y = m x , entonces la relacin entre las variables x e y es tambin lineal ( grfico N 2 ). y = m x + b y = m x Grfico N 1 Grfico N 2 Por lo tanto, es necesario recordar algunas propiedades de la recta. Su ecuacin bsica es: y = mx + b donde m y b son constantes. La constante m es la pendiente de la recta y es una medida de su inclinacin respecto a la recta horizontal. Un valor pequeo de m representa poca inclinacin respecto a la horizontal y un valor grande de m indica que la recta tiende a la vertical.

y

x x

y

b

40 La pendiente m se puede calcular a partir de la expresin: donde los puntos de coordenadas (x1, y1) , (x2 , y2) se escogen arbitrariamente sobre la recta (grfico N 3).

Grfico N 3

Una pendiente positiva significa que la recta asciende a medida que x aumenta, y una negativa que la desciende. De la ecuacin bsica se ve que cuando x = 0, y = b, esto significa que la recta corta al eje y en un punto cuyo valor es b. Por tanto, la constante b es el intercepto de la recta con el eje y. La ecuacin II representa una variedad de curvas llamadas potenciales. Para graficar estas curvas es conveniente aplicar logaritmo a ambos miembros de la ecuacin:

x 1 x 2

Y y 1 y 2

x

y

x

12

12

xxyy

xym

==

41

y = a x n ; en que a y n son constantes por determinar, resultando

log y = n log x + log a de manera que el cambio adecuado de variables que linealiza el problema es: Y = log y ; X = log x y al reemplazar en la ecuacin anterior se tiene :

Y = m X + b , donde m = n y b = log a las que se pueden obtener del grfico lineal. En la ecuacin III, y = a e kx , el exponente kx debe ser siempre adimensional. Si x tiene unidades cm, entonces k debe tenerlas en cm 1. Al aplicar logaritmo neperiano a ambos miembros de la ecuacin, se tiene: ln y = k ln x + ln a de manera que el cambio adecuado de variables que linealiza el problema es: Y = ln y ; X = x y al remplazar en la ecuacin anterior se tiene: Y = m X + b donde m = k ln x y b = ln a. La pendiente m y el intercepto b se calcula por el mtodo de los mnimos cuadrados, k y a se puede calcular para una base dada (base 10, base e = 2,718...) de la relacin exponencial.

42 Para el caso de la ecuacin IV es necesario mostrar las grficas y sus correspondientes ecuaciones, de manera de encontrar la relacin con la grfica experimental. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Si las ecuaciones de la forma y = a x 2 (i) ; y = b x 3 (ii) o potencias ms elevadas de x se grafican, normalmente se obtienen curvas. Sin embargo, si sustituimos x2 = u en la ecuacin (i) o x3 = u en la ecuacin (ii), entonces las ecuaciones se convierten en: y = a u ; y = b u , las cuales representan la forma de la lnea recta. En consecuencia, en la ecuacin (i), los valores de y debern transportarse en funcin de los x2, y en la (ii) en funcin de x3.

x

y y

x

y

x x x

y y y

x

2xy = 3xy =2/1xy =

2/1= xy 1= xy 2/3xy =

43 Por ejemplo, si se tienen los siguientes valores: Y 1 2 3 4 5 6 X 1 4 9 16 25 36 Al observar la grfica se ve que es similar al caso (iii), que corresponde a la ecuacin algebraica y = x , por lo tanto corresponde a una ecuacin de potencia. Una vez reconocida la curva y su ecuacin se procede a linealizar la curva, para esto se busca una variable auxiliar que sustituya a la variable que tiene la potencia, es decir, x = u, entonces la nueva ecuacin es y = u, que al graficarla representar una recta. Si se da valores a la variable X, se obtiene la siguiente tabla: Y 1 2 3 4 5 6 u 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

y

1 4 8 12 16 20 24 28 32 36 x

44 Finalmente, la grfica queda as: Y la pendiente es y su ecuacin Ejemplo de una ley fsica: Para el Pndulo Simple la relacin entre la longitud L y el tiempo de oscilacin T es de la forma:

6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 u

Y

gLT 2=

gLT 22 4=

12424 =

=m

224TgL =

uy =

45 Si se transporta directamente los valores de L en funcin de los correspondientes de T, se producir una curva cuadrtica, de la forma (i) de las grficas mostradas anteriormente. Pero si sustituimos por una variable auxiliar X, la nueva ecuacin transportada ser: , que representa una recta que pasa por el origen y su pendiente es igual . Las transformaciones que se intentan en todos los casos anteriores hasta obtener la relacin lineal entre X e Y permiten finalmente obtener la relacin funcional entre las variables originales

2T

( )XfY =

XgL 24=

24g

46

XIII b.- METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Una ley fsica entre las variables puede expresarse como:

y = f (x,m,b) = mx + b , donde f : funcin lineal y : variable dependiente x : variable independiente m y b : constantes por determinar; m pendiente de la recta y b intercepto(ordenada del origen). De acuerdo a lo explicado anteriormente, si las variables (x,y) muestran una relacin lineal, la recta debe pasar por todos los puntos, pero esto es difcil puesto que existen varios puntos (x i , y i) con i = 1,2,3,...n y una recta queda determinada slo por dos puntos. Un mtodo es encontrar la mejor recta que ajuste los datos; y = mx + b (ecuacin de la recta), y los valores numricos de los parmetros m y b se determinarn utilizando un mtodo estadstico llamado mtodo de los Mnimos Cuadrados. Mtodo de los Mnimos Cuadrados: La aplicacin del mtodo, al ajuste de una recta, dada una determinada nube de puntos, como el de la fig.1, permitir cuantificar los parmetros m y b de la expresin general de la recta a ajustar :

Fig.1

y

x

bmxy +=

bmxy +=

47 La condicin que debe cumplirse es que:

= mnimo

Esto es Se trata de minimizar la funcin f (b,m), lo cual se puede lograr mediante la igualacin a cero de sus derivadas parciales con respecto a los parmetros m y b, o sea: , . Estas ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones con las dos incgnitas: m y b. La solucin de este sistema da como resultado, , , donde m es la pendiente y b es el intercepto

( ) ( )[ ] mnimo , 2 =+= ii mxbymbf

( ) 021

==n

ii mxbymf

( ) 021

==n

ii mxbybf

( )

= 22

ii

iiii

xxN

yxyxNm ( )22

2

=

ii

iiiii

xxN

yxxyxb

( ) ( )[ ] +=n n iii mxbyyy1 1

2

48

y la recta y = mx + b pasa por un punto muy particular, de coordenadas donde ( corresponde al valor medio o promedio de x e al valor medio o promedio de y) Entonces, una vez que se encuentran experimentalmente los n pares de datos (x i , y i ) y se calculan los valores de , se traza la recta que pasa por el punto C, llamado centroide, e intercepte el eje y en el punto ( 0, b), ver figura 2. La pendiente de dicha recta tiene que ser igual al valor calculado con la ecuacin de la pendiente m. Figura 2

bx

y

C

Nx

x i= Ny

y i=

y

x

yxb ,,

x y

( )yxC ,

49

Ejemplo Sean los siguientes pares de valores (x, y) a los que se desea ajustar una recta:

N 1 1.9 10.0 19 100 2 4.2 20.0 84 400 3 5.8 30.0 174 900 4 7.8 40.0 312 1600 5 10.4 50.0 520 2500 6 12.6 60.0 756 3600 42.7 210.0 1865 9100

Las ecuaciones son:

,

que de acuerdo a los datos de la tabla resultan: , de manera que la recta de ajuste ser: y = 0.21x 0.29, llamada tambin recta de regresin

( )22 iiiiii

xxNyxyxNm

= ( )22 iiiiiii

xxNyxxyxb

=

ix iy ii yx 2ix

( ) ( )( ) ( ) 21.00.21091006

7.420.210186562 =

=m ( ) ( )( ) ( ) 29.00.2109100618650.2107.429100

2 ==b

50 Luego se determina el centroide . De acuerdo a los resultados la grfica queda como lo muestra la figura.

x2

y

Nx

x i=Ny

y i=

0 10.0 20.0 30.0 35.0 40.0 50.0 60.0

0.356

0.210 ==x 1.76

7.42 ==y

12.6 10.4 7.8 7.1 5.8 4.2 1.9

- 0.29

C

0

51

XIV.- ESCALAS

En una experiencia llevar los puntos experimentales (x, y) a un grfico no es algo trivial, es necesario saber seleccionar una escala que permita visualizar en forma global la representacin grfica de las cantidades fsicas. Existen dos tipos de escala que pueden ser tiles; la escala lineal (uniforme) y la escala no lineal (escala de potencias de 10). Se utiliza una escala lineal cuando los valores a representar tienen rdenes de magnitud similares; si estos valores tienen un rango amplio de rdenes de magnitud se utiliza una escala de potencias de 10. La escala lineal se caracteriza porque los nmeros que se asignan a la escala deben estar a igual distancia unos de otros, es decir, la diferencia entre dos nmeros consecutivos de la escala debe ser siempre constante. Ejemplos de escalas lineales: Recomendaciones para construir una escala lineal 1.-Se elige un sistema de coordenadas; a menudo se usa el sistema de coordenadas ortogonales. 2.-Sobre una hoja de papel milimetrado se dibujan los ejes x e y ; en cada eje se escoge un trazo de largo L medido en cm mm (ver fig.1), a eleccin, dejando un margen entre ambos extremos de cada eje.

- 30 - 20 -10 0 10 20 30 1,0 x 10 2 2,0 x 10 2 3,0 x 10 2

52 3.-En los extremos del trazo L elegido se ubican los valores experimentales cercanos al valor mnimo (V mn ) y al mximo (V mx) que se van a representar (ver fig.1) 4.-Los valores experimentales ( Vx ) que faltan por graficar se ubican dividiendo el trazo en partes iguales utilizando la siguiente expresin algebraica:

Figura 1

5.-Cuando se selecciona la escala debe tratarse que los puntos experimentales no queden muy juntos. 6.- No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos; el grfico tiene que construirse con una recta o curva suave y continua que pase lo ms cerca posible de los puntos obtenidos (recta o curva de aproximacin) figura 2 En la figura 3 se muestran dos casos para una relacin lineal y otra no lineal.

Figura 2 lo que no debe hacerse lo que debe hacerse

Vmx

L

Vmn Vx

l

LVVVV

lmnmx

mnx

=

53 Figura 3

REPRESENTACIN DE DATOS: Tablas y Grficos

TABLAS. En el trabajo de cualquier experimento, se toman una serie de valores, stos deben ser ordenados en una tabla de datos, la que contendr diferentes columnas para cada serie de valores, con el propsito de facilitar la lectura, la comprensin de los datos y visualizar relaciones entre magnitudes cuyos valores aparecen en las diversas columnas. Adems, toda tabla debe llevar un ttulo y cada columna debe tener una letra que represente la variable fsica con su respectiva precisin y unidad.

Veamos un ejemplo sencillo que ilustra lo anterior. Supongamos que se desea determinar el valor de la aceleracin de gravedad. Un mtodo consiste en medir el tiempo que demora un cuerpo en caer en el vaco desde cierta altura. La relacin entre el camino recorrido y el tiempo empleado es:

de donde

y y

x x

2

21 gtht = 22t

hg =

54 La tabla que se muestra a continuacin contiene los valores de h y t obtenidos experimentalmente, as como otras columnas de datos elaborados, para obtener la aceleracin de gravedad.

Tabla de Datos: Cada Libre h 0.1 [cm] t 0.01 [s] (t 0.01) 2[s 2] ( g g ) x 102[cm /s2] 140.0 0.53 0.28 9.97 0.38 120.0 0.51 0.26 9.23 0.37 - - - -

Respecto a los valores numricos que corresponda colocar en las diversas columnas, en algunos casos es necesario reducir el nmero de cifras en la columna incluyendo el factor de multiplicacin junto a la unidad, como por ejemplo:

L 0.0001 [m] (L 1) 10 4 [m]

0.0013 13 0.0002 2

- -

Recomendaciones que se deben tener en cuenta al representar los valores de una tabla de datos en un grfico:

1.- Todo grfico deber tener un ttulo que este relacionado con la experiencia realizada. 2.- Los ejes deben llevar claramente indicadas las magnitudes que ellos representan y las unidades correspondientes.

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3.- En el eje de las abscisas se representa la variable independiente o sea la magnitud cuyo valor controla el experimentador y en el eje de las ordenadas la variable dependiente que es la magnitud que se mide para algn valor de la variable independiente. 4.- Los puntos experimentales deben marcarse en forma ntida y precisa, se recomienda representarlos mediante cruces. 5.- La curva que representa los puntos debe trazarse de modo que sea lo ms representativa posible del fenmeno en estudio, es decir, trazar una lnea continua promedio entre los puntos. 6.- Es conveniente que el origen (ceros de ambas escalas) aparezcan en el grfico, sin embargo, las escalas deben desplazarse cuando los datos experimentales estn en un intervalo que as lo requiera, en tal caso, debe destacarse que la interseccin de los ejes no es el origen (ver escalas lineales). 7.- De preferencia se presenta en cada grfico una sola lnea o curva, si es necesario dibujar dos o ms curvas en un mismo grfico, debe explicarse claramente qu significa cada una de ellas. 8.- Se recomienda graficar en papel milimetrado.

XV.- INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN Las mediciones efectuadas en un experimento nos proporcionan, en general, un conjunto de pares de datos numricos correspondientes a dos variables. Con el objeto de visualizar el fenmeno fsico se construye el grfico y al trazar la curva que une los puntos experimentales se esta interpolando, ya que al hacerlo se generan infinitos puntos que no provienen de mediciones. El proceso de estimar valores entre puntos correspondientes a datos se llama interpolacin.

56 El proceso de hacer predicciones basadas en la expansin de la curva ms all de los puntos lmites que corresponden a mediciones se llama extrapolacin Cuando se trabaja en un grfico es conveniente conocer las condiciones bajo los cuales fue obtenida la informacin y usar el grfico con mucho cuidado, especialmente en la interpolacin y extrapolacin, ya que una repeticin de la experiencia puede mostrar que la interpolacin o extrapolacin ha fallado.

XVI.- EL INFORME Durante su carrera de ingeniero o cientfico y en su vida laboral futura Ud. tendr, que escribir muchsimos informes de un trabajo de investigacin o laboral, su memoria de ttulo, por lo que se hace necesario adoptar ciertas normas para redactar un informe de laboratorio. El informe debe estar redactado en lenguaje preciso y ameno, tratando de atraer y retener la atencin de los lectores. Debe mostrar un recuento claro y completo de la actividad experimental realizada, datos, grficos, conclusiones y discusiones El informe no debe ser considerado como un trabajo que se presenta con el solo fin de cumplir, sino que debe ser pensado como un trabajo capaz de mostrar por escrito ideas y resultados. Con esto en mente, los informes que se realizan en los cursos bsicos de laboratorio son un muy buen entrenamiento para mejorar redaccin y la capacidad de comunicar temas cientficos y tcnicos. A continuacin se dan algunas pautas y sugerencias sobre cmo organizar un informe de laboratorio informal y formal Informe Informal. Es aquel que generalmente se entrega al comienzo del periodo siguiente de la clase de laboratorio en que se realiz la experiencia.

57 Un esquema de este tipo de informe es el siguiente.

1.- Portada

a) Nmero y ttulo de la experiencia b) Nombre del alumno o los alumnos c) Fecha de realizacin de la experiencia

2.- Detalle de la clase de laboratorio

a) Un dibujo del fenmeno experimental b) Materiales utilizados c) Tabla de Datos d) Grficos (recta verdadera y mejor recta)

3.- Anlisis El anlisis debe contener una discusin de cada uno de los problemas planteados en el desarrollo de la experiencia. Informe Formal. Son mucho ms completos y deben entregarse dentro de un tiempo prudente, de acuerdo a la dificultad del trabajo, este plazo puede ser una semana. El informe debe contar con secciones bien diferenciadas. Se sugiere el siguiente esquema, que es usualmente empleado en publicaciones cientficas y tcnicas. 1.- Portada

a) Ttulo de la experiencia b) Autor (nombre del o los alumnos) c) Fecha de realizacin de la experiencia

2.- Cuerpo del informe

a) Resumen. El resumen debe dar un adelanto de lo que se leer en el informe, en lo posible en no ms de 100 palabras. Se debe indicar concisamente el tema del trabajo, referirse sucintamente a la metodologa seguida y destacar los resultados ms importantes obtenidos.

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b) Objetivo (s) de la experiencia c) Teora. Se incluye una fundamentacin terica breve relacionada con la

experiencia d) Dibujo del fenmeno experimental y materiales e) Procedimiento Experimental. Se describe la experiencia totalmente de tal forma

que cualquier persona sea capaz de entender o volver a realizarla. No debe copiarse el procedimiento dado en la gua. Su redaccin debe ser impersonal y en tiempo pretrito, nunca en primera persona

f) Resultados. Los resultados deben presentarse preferentemente en tablas de datos y grficos. Los datos del experimento deben estar diferenciados de otros datos y seguir las indicaciones dadas en este libro para su confeccin. No es necesario anotar el desarrollo de las operaciones aritmticas que se realicen. Los grficos deben ser incluidos cuando se necesitan. Para ello no olvidar las recomendaciones dadas.

g) Discusin. En esta parte se debe explicitar el anlisis de los datos obtenidos. Comparar lo realizado con lo planificado, discutir los mtodos y procedimientos empleados

h) Conclusiones. Se comenta objetivamente qu se aprendi del experimento. Indicar el grado en que se ha cumplido el objeto. Un buen informe es aquel que demuestra el mayor nmero de conclusiones correctas alcanzadas a partir de los datos obtenidos.

i) Referencias. Las referencias bibliogrficas se ordenan al final del informe. j) Apndices. A veces son necesarios para la mejor comprensin de alguna parte del

informe. Por lo general, no es conveniente distraer al lector con muchos clculos, despejes de trminos y propagacin de errores en la mitad del informe, as que este lugar puede ser utilizado si se quiere destacar algn clculo.

Las formas propuestas estn encaminadas a satisfacer las necesidades de los experimentos a realizarse en el curso de mecnica

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BIBLIOGRAFIA

C.B. Daish. D.H. Fender Fsica Experimental Primera Edicin en espaol Unin Tipogrfica Editorial Hispano Americana

Mxico. Douglas C. Giancoli Fsica para Universitarios Vol. I Tercera Edicin Pearson Educacin. Vincenzo Giamberardino Teora de los Errores Editorial Revert Venezolana, S.A. L. Laroze et al. Conceptos y Magnitudes en Fsica Edit. UFSM Valparaso, Chile. 1980. Ral Portuondo Duany Procesamiento de Datos Experimentales La Habana, 1988. C. Schaefer. L. Bergmann Prcticas fundamentales de Fsica Editorial Labor, S.A.