PRUEBA DE DEFINICIN DE NIVELES MATEMTICA Facultad de Economa y Facultad de Ingeniera CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE PREPARACIN SUMARIO: Unidad Pgina 1 Revisin de temas de Preclculo Ecuaciones cuadrticas1 Ecuaciones polinmicas10 Ejercicios y problemas13 Conjunto de valores admisibles17 Ecuaciones racionales20 Ecuaciones irracionales23 Ecuaciones bicuadrticas25 Ejercicios y problemas28 Intervalos31 Inecuaciones34 Inecuaciones cuadrticas39 Inecuaciones racionales42 Ejercicios y problemas45 2 Funciones bsicas Introduccin49 Definicin de funcin50 Grfica de una funcin52 Propiedades de las funciones54 Funciones bsicas y sus caractersticas63 Funciones seccionadas66 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos69 Ejercicios y problemas71 3 Graficacin de funciones: transformaciones Tcnicas de transformacin73 A. Desplazamientos73 B. Reflexiones75 C. Estiramientos77 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos82 Ejercicios y problemas83 4 Funciones exponencial y logartmica Funcin exponencial86 Grfica de funcin exponencial87 Propiedades de la funcin exponencial89 Transformaciones de funciones exponenciales89 La funcin exponencial natural90 Funcin logartmica91 Grfica de la funcin logartmica92 Propiedades de la funcin logaritmo93 Leyes de logaritmos93 Modelacin con funciones exponencial y logartmica95 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos96 Ejercicios y problemas97 5 Operaciones con funciones Introduccin99 Definicin de adicin, diferencia, producto, cociente100 Composicin de funciones105 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos109 Ejercicios y problemas110 6 Funcin inversa Funcin uno a uno112 Criterio de la recta horizontal112 Definicin: funcin inversa113 Principio de reflexin inversa114 Regla de composicin de la inversa115 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos117 Ejercicios y problemas118 7 Funciones trigonomtricas La circunferencia trigonomtrica (C.T.)120 Puntos terminales notables122 Funciones trigonomtricas123 Grficas de las funciones trigonomtricas (seno, coseno y tangente)125 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos131 Ejercicios y problemas132 8 Ecuaciones trigonomtricas Ecuaciones trigonomtricas135 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos145 Ejercicios y problemas146 9 Vectores en R2 y R3 Magnitudes escalares y vectoriales148 Operaciones con vectores150 Vectores coordenados unitarios151 Producto escalar152 ngulo entre vectores153 Producto vectorial en R3154 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos156 Ejercicios y problemas156 10 Matrices Conceptos bsicos158 Algunas operaciones con matrices161 Matrices escalonadas164 Transformaciones elementales165 Matrices equivalentes166 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos167 Ejercicios y problemas167 11 Sistema de ecuaciones lineales Conceptos bsicos169 Conjunto solucin170 Transformaciones elementales en un SEL171 Operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz172 Representacin matricial de un SEL172 Matriz ampliada del sistema173 Mtodo de eliminacin de Gauss174 Problemas de modelacin que se resuelven con SEL176 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos179 Ejercicios y problemas179 Este material fue preparado por los profesores del rea de Ciencias: Mg. Lic. Jose Cuevas Lic. Walter Figueroa Mg. Ing. Armando NovoaLic. Alejandro Serqun UPC, 2010 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 1 UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: REVISIN DE TEMAS DE INTRODUCTORIOS ECUACIONES CUADRTICAS. ECUACIONES POLINMICAS. Ecuaciones cuadrticas: La ecuacin0 2 5 32= x xesunejemplodeecuacincuadrtica,estasecuacionespertenecenalafamiliade ecuacionespolinmicasqueestudiaremosconmayorprofundidadmsadelante. Resolveremos este tipo de ecuaciones de dos formas:-Algebraicamente,atravslosmtodosdefactorizacin,completandoel cuadrado y el uso de la frmula cuadrtica. -Geomtricamente,usaremoselGeoGebraparamostrarquelasrespuestas obtenidasalgebraicamentetambinsepuedenaproximardeformagrfica,a travsdelasinterseccionesdelaecuacinconelejex delplanocartesiano, dichas aproximaciones por lo general son muy buenas. Definicin:Unaecuacincuadrticaenlavariablex escualquierecuacinquese puede escribir en la forma 02= + + c bx axdondeb a,ycson nmeros reales y0 = a . Una solucin cuadrtica enxse resuelve determinando sus races (soluciones). Las races de una ecuacin cuadrtica enxson todos los valores dexque satisfacen a dicha ecuacin. Importante saber: Enelsiguientecursodematemticadecadacarrera,setrabajaconfuncionesdela forma) (x f y =y dentro del anlisis de funciones se requiere determinar los ceros de la funcin, los ceros son los valores dexen la cual la funcin se anula, es decir, son UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 2 losvaloresenelejeXporlacualpasalagrficadelafuncin.Sisetratadeuna funcin cuadrtica los ceros seran determinados al resolver una ecuacin cuadrtica. A. Solucin por factorizacin El mtodo de solucin de ecuaciones cuadrticas por factorizacin se basa en la siguiente propiedad del factor cero de nmeros reales. Propiedad del factor cero Siaybson nmeros reales y0 = - b aentonces0 = a0 = b bien0 , = b aEn otras palabras, la propiedad del factor cero dice que el producto de dos nmeros reales es cero si y slo si uno de los factores ( ambos) es cero. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo1.Determineelconjuntosolucinde0 2 5 32= x x por factorizacin. Solucin algebraica. Para lograr la factorizacin nos ayudamos del aspa simple 21 32 5 32+ xxx x luego( )( ) 0 2 1 3 = + x xy aplicando la propiedad del factor cero se tiene: 0 1 3 = + x bien0 2 = xde donde las soluciones de la ecuacin son 31 = xy2 = x . Comprobando:Para 31 = xentonces0 23153132= |.|

\| |.|

\|Para2 = xentonces( ) ( ) 0 2 2 5 2 32= As el )` = 2 ;31.S C . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 3 Solucingrfica.Comencemosporescribir2 5 32 = x x y enlaopcinde entrada del GeoGebra, obteniendo su grfica tal como se muestra en la figura adjunta,luegoescribimoslaopcinInterseca[c,EjeX],estaopcinnospermitelocalizarlasinterseccionesx delagrficaconelejeX,dondec representa a la curva2 5 32 = x x y . Delagrficapodemosconcluirquelassolucionesdeestaecuacinson 33 , 01 ~ x y22 = x ,siendolaprimerasolucinunabuenaaproximacinala obtenida algebraicamente. Ejemplo 2. Determine el conjunto solucin de1 22= + x x . Solucin algebraica: Primero le damos la forma cannica, es decir: 0 1 22= + x xAl factorizar se obtiene( )( ) 0 1 2 1 = + x x , de donde1 = x bien 21= xAs el )` =21, 1 CS . Ejemplo 3. Determine el conjunto solucin de( ) ( ) 1 3 2 1 3 32+ = + x x . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 4 Solucin algebraica: Desarrollamos los parntesis para darle la forma cannica 0 1 6 92 6 3 922= + + = +x xx x Factorizando se tiene( )( ) 0 1 3 1 3 = x x , es decir( ) 0 1 32= xde donde3 / 1 = x . As el )`=31CS . Enlosejemplosanterioresnohubomayordificultadalahoradefactorizar,sin embargoexistenecuacionescomoporejemplo0 1 2 22= x x quenopuedenser factorizadascomolasanteriores.Lasecuacionesdeestetiposepuedenresolver mediante el mtodo de completar cuadrados. B. Solucin completando cuadrados Para utilizar este mtodo debemos seguir los siguientes pasos: 1.Se debe escribir la ecuacin en la forma acxabx = +2 (I) dondeelcoeficientede 2x es1, abeselcoeficientedex y ac eseltermino constante y debe estar al lado derecho de la ecuacin. 2.Se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente dex , es decir:

22 |.|

\|ab (II) 3.Sesumaelvalorobtenidoen(II)aambosladosdelaecuacin(I),luegose factoriza y se despejax . La importancia de este mtodo recae en el momento de la factorizacin, pues resulta que siempre se tendr un cuadrado perfecto.Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 4. Determine el conjunto solucin de0 1 2 22= x xcompletando el cuadrado. Solucin algebraica: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 5 Paso 1: Al dividir entre 2 y colocar el trmino constante al lado derecho se tiene:212= x x ... (I) Paso 2: El coeficiente dexes 1, luego 41212= |.|

\| . Paso 3: Sumamos 41 en ambos lados de (I) y factorizamos el lado izquierdo 21 1 14 2 4x x + = + 43212=|.|

\| xTalcomolohabamosmencionadoalfactorizarresultauncuadradoperfecto, finalmente nos queda despejarx1 3 1 32 4 2 2x = = As el )`+ =2321,2321CS . Solucingrafica:Escribimos1 2 22 = x x y enlaopcindeentradadel GeoGebra, obteniendo la siguiente grfica UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 6 45232=|.|

\|+ x2 22231233|.|

\|+ =|.|

\|+ + x x4523 = + x2523 = xLuegoescribimoslaopcinInterseca[c,EjeX],ytalcomopodemosobservarenla grafica las soluciones de la ecuacin cuadrtica son37 , 01 ~ xy37 , 12 ~ x . Utilizando una calculadora podemos comprobar que estos valores son una buena aproximacin a los encontrados de forma algebraica. Ejemplo 5. Determine el conjunto solucin de031312= + + x x . Solucin algebraica: Multiplicando por 3 y despejando el trmino constante, se tiene1 32 = + x xluego el coeficiente dexes 3, entonces

As, )`+ =2523,2523CS{ } 381 , 0 , 618 , 2 = CSEjemplo 6. Determine el conjunto solucin de0 4 252= x . Solucin algebraica: Observamosqueelcoeficientedex escero,portalraznlasolucines Inmediata, como antes, se escribe la ecuacin en la forma 4 252= xo sea 2542= xSacando raz cuadrada en ambos lados se tiene 52 = x bien 52= xAs, )` =52,52CS UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 7 C. Solucin utilizando la frmula cuadrtica Enelmtodoanteriorexplicamoselprocesoparadeterminarlasposiblessoluciones de ecuaciones cuadrticas completando cuadrados, este mismo mtodo conduce a la siguienteformula,lacualserdemostradamsadelanteenlasesinParasaber ms. Frmula General Si02= + + c bx ax ;( 0 = a ) entoncesel discriminanteA es: ac b 42 = Ay dependiendo de este valor sabremos el nmero de soluciones que tendr el conjunto solucin, es decir:a.Si0 > Aentonces existen dos soluciones reales distintas 1xy 2x , as{ }2 1; x x CS = , donde aac b bx2422 , 1 =b.Si0 = Aentonces existen dos soluciones reales iguales 2 1x x x = = , as{ } x CS = , donde abx2 =c.Si0 < Aentonces no existe ninguna solucin real, as | = CS{ } = CSPorlotanto,quedaclaroquedadounaecuacincuadrtica,podemostener20 soluciones reales (incluyendo el caso en que las 2 respuestas sean iguales). Veamos algunos ejemplos: Ejemplo7.Determineelconjuntosolucinde0 1 5 32= + x x usandola formulageneral. Solucin algebraica: Empezamosidentificandoloscoeficientesdelaecuacin,esdecir 3 = a , 5 = b y1 = c .Luegotenemosdosalternativas,reemplazardirectamenteen laformulaanalizareldiscriminanteparaversiexistenonosoluciones,lo dejamos a criterio del lector, aqu analizaremos el discriminante ( ) ( )( ) 0 13 1 3 4 52> = = AUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 8 Conlocualsabemoslaexistenciadesoluciones,luegoreemplazamosenla formula cuadrtica, obteniendo ( )( ) 613 53 213 52 , 1= = xAs, el )`+ =613 5,613 5CS{ } 0,2324 , 1.4342 CS = Ejemplo 8. Use la formula general para determine el conjunto solucin de: (a) 91322 = x x(b) 3 4 22 = + x xSolucin algebraica (a)Dndolelaformacannicasetiene0 1 6 92= + x x ,conlocual ( ) ( )( ) 0 1 9 4 62= = A , luego la nica solucin es:( )31180 62 1= = = x xAs, )`=31CS(b)Dndolelaformacannicasetiene0 3 4 22= + + x x ,conlocual( ) ( )( ) 0 8 3 2 4 42< = = A . Por lo tanto el| = CS . Aplicaciones: Elsiguienteejemploesunproblemacuyasolucinimplicaplantearyresolveruna ecuacin cuadrtica, aqu el lector puede usar cualquier mtodo para resolverlo. Ejemplo9. Trayectoriadeuncohetedeagua:Unnuevomodelodecohete de agua se lanza verticalmente hacia arriba, de modo que su altura (medida en pies)tsegundos despus del lanzamiento est dada por 4 384 16 ) (2+ + = t t t ha. Determine el instante en que el cohete alcanza una altura de 1 284 pies. b.Cunto tiempo permanece el cohete en vuelo? Solucin: a.Del enunciado planteamos( ) 1 284 h t = , entonces: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 9 1284 4 384 162= + + t t0 1280 384 162= + t t0 80 242= + t t , despusdesimplificartenemosunaecuacincuadrticasimplederesolver, usando el mtodo de factorizacin se tiene ( )( ) 0 4 20 = t t , de donde20 = ty4 = t . Conclusin:Elproyectilalcanzaunaalturade1284pies,alos4y20 segundos despus de su lanzamiento. b.El cohete estar en vuelo hasta cuando0 ) ( = t h , luego 0 4 384 162= + + t t0 1 96 42= t t , usandolaformulacuadrticasetiene 89232 962 , 1= x ,luego01 , 01 ~ x y 01 , 242 ~ x . Veamos grficamente Lagraficamuestralatrayectoriadelcohete,dondeelpunto(0; 4) A significa que el cohete en el instante 0 esta a 4 pies del suelo (posicin de lanzamiento), UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 10 adems podemos observar que el cohete permanece en vuelo hasta que toca elsueloenelpunto(24, 01; 0) B ,enotraspalabrasdespusde aproximadamente 24, 01 segundos el cohete impacta con el suelo. Conclusin:Elproyectilpermaneceenvueloaproximadamente24,01 segundos. Ecuaciones polinmicas: SeaN n e , decimos que) (x Pes un polinomio de gradon si es de la forma0 12211) ( a x a x a x a x a x Pnnnnnn+ + + + + =donde 0 1 2 1, , , , , a a a a an n n son nmeros reales llamados coeficientes con0 =nacoeficiente principal y 0atermino independiente. Definicin:Lasecuacionespolinmicassonigualdadesdedosexpresiones algebraicasdondeunadeellasesunpolinomioylaotraescero,asunaecuacin polinmicaes de la forma 00 12211= + + + + +a x a x a x a x annnnnn Ejemplo 10. Cules son ejemplos de ecuaciones polinmicas? 1.02 14 20= + x x xes una ecuacin polinmica de grado 20. 2.0 2 5 2 22 4 5= + x x xes una ecuacin polinmica de grado 5. 3.0 432= xes una ecuacin polinmica de grado 1. 4.0 5 22= + x xes una ecuacin polinmica de grado 2. 5.0 32 2= +x x xno es una ecuacin polinmica porque hay un exponente negativo. 6.x x = 2 4no es una ecuacin polinmica porque 21x x =yN e21. Segn la definicin anterior, podemos decir que ya hemos estudiado dos ecuaciones polinmicasimportantescomosonlasecuacionesdeprimergrado(ecuaciones lineales)ylasecuacionesdesegundogradooecuacionescuadrticas.Aqu estudiaremosecuacionespolinmicasdegradomayora2poniendoenprcticalas herramientassobrefactorizacinyaquesiunpolinomiodecualquiergradoesta UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 11 factorizado, es decir, esta expresado como un producto de polinomios de grado 1 o de grado mayor pero sin races reales, el clculo de sus soluciones son inmediatas, pues sabemos que el producto de factores es igual a cero si y slo si todos o algunos de los factores es cero. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 11. Determine el conjunto solucin de( )( )( ) 0 1 2 42= + x x x . Solucin algebraica: Observamos que aplicando la diferencia de cuadrados en el primer trmino, el polinomio queda totalmente expresado como un producto de factores lineales, ( )( )( )( ) 0 1 2 2 2 = + + x x x xluego las soluciones de la ecuacin son 0 ;21; 2 ; 20 ; 0 1 2 ; 0 2 ; 0 2= = = == = + = + = x x x xx x x x As, el )` = 2 ; 0 ;21, 2 CSSolucin grfica: Al igual que en los casos anteriores, las soluciones de dicha ecuacin sern los cerosolosvaloresdelejeXdondelagrficade( )( )x x x x P 1 2 4 ) (2+ = se intersecta con el eje X. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 12 Ejemplo 12. Determine los ceros del polinomiox x x x P 2 3 ) (2 3 + =Solucin algebraica: Sabemosqueparardeterminarloscerosdebemosresolverlaecuacin 0 ) ( = x P ,portalraznpensamosenlafactorizacin,dedondeobservamos quex esunfactorcomn,luegoquedafactorizarunaexpresincuadrtica sencilla, es decir ) 1 )( 2 3 ( ) 2 3 ( ) (2+ = + = x x x x x x x Pigualandoacerocadafactorlineal,tenemos0 = x , 32= x y1 = x ,conlo cual concluimos que el polinomio tiene 3 ceros distintos y son -1, 0, 2/3. Ejemplo 13. Determine los ceros del polinomio6 5 ) (2 3 4 + + = x x x x x P . Solucin algebraica: Factorizando el polinomio por algn mtodo ya estudiado, como por ejemplo el mtodo de Ruffini, luego ( )( )( ) 1 3 2 ) (2+ + = x x x x Pde donde los ceros del polinomio son 2 y -3. Esimportanterecordarallectorquelaexpresin12+ x esestrictamente positiva, es decir0 12> + x , geomtricamente significa que la curva12+ = x yestaporencimadelejeXyportalraznnotenemoscerosrealesendicha expresin (ver figura). Ejemplo14.Determineunpolinomiodetercergrado,sabiendoque-1,2y3 son sus ceros y que el coeficiente del trmino de mayor grado es 5. Solucin algebraica:No es difcil darse cuenta que el polinomio factorizado sera ( )( )( ) 3 2 1 5 ) ( + + + = x x x x P . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 13 Ejercicios y problemas 1.Determineelvalordeverdad(V)ofalsedad(F)delassiguientesafirmaciones. Justifique adecuadamente su respuesta. a.El conjunto solucin de la ecuacinx x 4 22=es{ } 2 . b.El conjunto solucin de la ecuacin0 92= + xes{ } 3 ; 3 c.El valor del discriminante en la ecuacin0 22= x xes 8. d.Si la ecuacin0 42= + a x xtiene una nica solucin real entonces el valor deaes 4. e.El polinomio( )2 21 ) 1 ( ) ( x x x P + =es de grado 4 con coeficiente principal 1. f.Una de las soluciones de la ecuacin0 4 42 3= x x xes2 = x . g.Sea1 2 ) (2 + = kx x x Ptal que1 ) 2 ( = P entonces el valor dekes 3. 2.Determineelconjuntosolucin(C.S.)delassiguientesecuacionesmedianteel mtodo de factorizacin: a.( )( ) 0 2 4 = + x xb.0 6 22= + x xc.153 62 52 = + y yd.0 5 42= t te.0 12212= + z zf.( ) 6 1 2 = + t tg.( )( ) 0 1 2 = + w wh.1 42= si.( ) 102 1212= + xj.5 ) 13 6 ( = s sk.1 7 82= x xl.0 3 32= + x x3.Determineelconjuntosolucin(C.S.)delassiguientesecuacionesmedianteel mtodo de completar cuadrados: a.0 16 82= + x xb.( ) ( ) 1 2 1 = x x x xc.r r 2 42 = d.0 2 5 22= + y ye.( )( ) 4 5 2 1 22 + = + x x x xf.0 4 22= + n ng.2 32= t th.( )( ) 7 2 1 2 2 32 = + x x xi.( )( ) 4 1 9 1 2 = + r rj.0 2 7 42= z zUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 14 4.Determineelconjuntosolucin(C.S.)delassiguientesecuacionesmediantela frmula general: a.0 2 32= + + x xb.80 48412 = t tc.( ) 0 21 17 2 = + y yd.( ) 4 5 1 82 = x x xe.( ) 0 5 42= + y yf.2080 122= + p pg.0 14 32= + m mh.13 212= + x x i.832212=++ s s j.t x t = + 2 ) 1 ( ) 1 ( 22 k.( )( ) 5 3 2 1 = w wl. 25 2yy y= +m.0 5 , 2 5 , 3 5 , 12= + x x5.Utiliceeldiscriminanteparadeterminarelnmerodesolucionesrealesdelas siguientes ecuaciones: a.0 23 4202= + x xb.0 64 48 92= + + x xc.0 7 4 22= + + x xd.0 4 2 62= z ze.0 64 80 252= + m mf.0 3 22= + n n6.Delassiguientesexpresionesalgebraicasidentifiqueculessonpolinomios.En caso afirmativo, seala cul es su grado y trmino independiente. a.3 20 ) (2 21+ = x x x Pb. 3 23 1 ) ( m m m Q + =c.x x x x R + + =8 121) (t d.5 2 2 ) ( + = x x x fe.1 2 ) (2+ + =x xe e x gf.( )( ) 4 231) (2 + = s s s h7.Determineelconjuntosolucin(C.S.)delassiguientesecuacionespolinmicas, utilice un mtodo de factorizacin adecuado: a.( )( ) 0 1 14= + x x xb.0 1 83= + mc.0 2 6 7 22 3 4= + + x x x xd.( )( ) 0 2 3 2 122 3= + + x x x xe.0 82 5= x xf.0 6 5 5 52 3 4= + + p p p p UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 15 8.Determine los ceros de los siguientes polinomios: a. 2 3 46 ) ( x x x x P + =b.2 5 2 ) (2 3 + + = x x x x Qc.1 ) (8 = t t Rd.( )( ) 2 2 3 2 ) (2+ + = y y y y S9.Determineunpolinomio degradocuatro,sabiendoque1,-2y3son suscerosy que el coeficiente del trmino de mayor grado es 2. 10. Asocie la ecuacin con su grfica: A.22 + = x x yB.) 3 )( 2 ( 5 . 0 + = x x yC.8 62 = x x y 11. Unarquitectodeseadisearunplanoparalaconstruccindeunamansin,el propietario le pide que incluya dentro del plano un jardn rectangular proyectado en supatio,dondeellargodeljardndebemedireldobledesuanchoyelreadel jardndebeserde200m2.Sielpropietarioestainteresadoensabercuntos metrosdecercanecesitaparacercareljardn,culeslarespuestadel arquitecto? 12. Ungrupodeingenierosdeseandisearuntanquedeaguaqueconstadeun cilindro circular recto con extremos semiesfricos iguales. Ellos determinan que la superficiedelrecipientees 24 2 r rl S t t + = ,dondel esellargodelcilindroyres el radio de los extremos semiesfricos. Determine la longitud del radio de cada extremo semiesfrico si se sabe que el largo del cilindro es de 8 pies y el rea de la superficie es det 180pies2.13. Ungrupodeingenierosdeterminaquelaproduccindeunpozopetrolero dependiendodeltiempoqueesexplotadoestmodeladoporlaecuacin t t t t P 8 2 ) (2 3+ + = donde) (t P sonmillonesdebarrilesdepetrleoquese producenporaoyt representalacantidaddeaosdeexplotacinapartirdel ao cero. Determine cundo el pozo dejar de producir petrleo. 14. Laconstructoradelascasastienedepartamentosenventa,seestimaqueaun preciode$100000pordepartamentosevendernaproximadamente180 departamentospormes,sedecidesubirelpreciopordepartamentoyseestima que por cada aumento de $10 000 se vendern tres departamentos menos a.Seax el nmero de veces que se aumenta el precio en $10 000. Determine la ecuacin que relacione los ingresosR(en cientos de miles) conx . b.Cuntasvecestendraqueaumentarseelprecioparaen$10000para reducir los ingresos a cero? UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 16 15. El dueo de una ferretera compra cierta cantidad de varillas de fiero porS/. 120. Decide guardar 3 unidades y vender el resto un precio unitario de S/ 3 ms de lo que le cost, obteniendo S/. 15 menos del monto invertido. Determine a.El precio al cul compr las varillas de fierro. b.El nmero de varillas que compr. 16. Se desea construir un edificio para departamentos en un terreno rectangular cuyo permetro es de 90 m y 500 m2 de rea. Determine las dimensiones sobre la cual se construir el edificio. 17. Unjardntienelaformadeuntringulorectngulo,elcualsercercadocon pequeas flores en todo su contorno, determine el permetro del jardn si los lados del jardn vienen medidos (en metros) por tres nmeros pares consecutivos 18. Una pequea plancha metlica rectangular es 4 cm ms larga que ancha, se corta encadaesquinacuadradosde6cmdelado,luegosedoblanlosbordes obteniendo una caja sin tapa. Determinea.Una ecuacin que modele el volumen Ven trminos del anchox . b.Existe alguna restriccin para los valores que pueda tomar el anchox ? c.Las dimensiones de la caja si se requiere que esta tenga un volumen de 840 cm3. 19. Selanzadirectamentehaciaarribaunapelotadesdeelbalcndeunedificio,la altura de la pelota medida desde el suelo despus detsegundos est dada por 768 64 16 ) (2+ + = t t t hDetermine: a.en qu momento llega la pelota al suelo? b.culeselpuntomsaltoquealcanzalapelota?,desernecesarioestime dicho valor mediante algn graficador. 20. Ciertaespeciedeavesqueseencuentranenunzoolgicoaumentaydisminuye segn la ecuacin ( )217 30 000 1 t t N + = , dondeN eselnmerodeavesquehayeneltiempot ,siendot elnmerode aosdesdeelprimerodeenerode2002fechaenlacuallapoblacin dedichas aves fue estimada por primera vez. Determine a.enqufechalapoblacindeavesvolveraserlamismaquecundose estimo por primera vez? b.en qu fecha no habr ningn ave de dicha especie en el zoolgico? UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 17 ECUACIONES RACIONALES, IRRACIONALES Y BICUADRTICAS. Vamos a estudiar algunas tcnicas para resolver ecuaciones racionales, irracionales y bicuadrticas.Paratrabajarestastcnicasesnecesariorecordarelconjuntode valoresadmisibles(C.V.A.)queserdegranutilidadparasaberquevaloresson aceptablesenelconjuntosolucin(C.S.),esteconceptotomamayorfuerzaenel siguiente curso, pues permitir comprender y trabajar el concepto de dominio de una funcin.Sabemos que una expresin racional es de la forma) () (x Qx P donde tanto) (x Pcomo) (x Qson polinomios con0 ) ( = x Q .-Sisetratadeunaexpresinracional,observamosqueesmuyimportante saber que valores puede tomar la variablextal que0 ) ( = x Q , por tal razn en adelante se debe tener cuidado con las expresiones en trminos dexque se encuentren en el denominador de una expresin racional. -Si la expresin no es racional como por ejemploxx13 El lector debe tener bien en claro el concepto siguiente. Concepto: Paracualquierexpresinalgebraica,recordemosquedefinimosalConjuntode ValoresAdmisibles(C.V.A.)comoaquelenelquesuselementossontodoslos valores que puede tomar la variable.Veamos algunos ejemplos: Ejemplo15.Determineelvalordeverdadofalsedaddelasiguiente proposicin,justificandosurespuesta:ElC.V.A.deunpolinomio( ) Pxsiempre son los nmeros reales Solucin.Verdad.Cualquierpolinomio( ) Px puedetomarcualquiervaloren su variablex(porque no tiene restriccin) por lo que su. . . CVA = 9. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 18 Ejemplo 16. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones racionales: a. 4222+xx b. 212xxc. 252 3 22 12+ +x x xx Solucin. a.Observamosqueeldenominadoresestrictamentemayoracero,esdecir 0 42> + x para todo nmero real, por lo tanto el: R = C.V.A.b. En este caso se tiene que( )( ) 0 1 1 12= + = x x xentonces1 = xy1 = x , as el{ } 1 ; 1 C.V.A. = Rc.Tenemosunasumadedosexpresionesracionales,paradeterminarel C.V.A. nos centramos en el denominador de cada expresin, es decir 0 2 0 ) 2 )( 1 2 ( = . = + x x xde donde 21 = xy2 = x , as el )` = 2 ;21C.V.A. REsimportantequesetengaclaroqueparadeterminarelC.V.A.deunasuma, diferencia, producto y/o cociente de expresiones algebraicas, as como en el caso de ecuacioneseinecuaciones,lasexpresionessonanalizadasunaporunasinhacer algntipodeoperacin,unavezdeterminadoelC.V.A.decadaexpresinse intersectan los resultados para obtener el C.V.A. de expresin en general. Parapoderresolverlasecuacionesracionalessedebetenerciertashabilidades operativas, vamos a repasarlas mediante los siguientes ejemplos: Ejemplo 17. Determine el mnimo comn mltiplo (MCM) de los siguientes polinomios a.4 ; 42+ + x x xSolucin. Factorizando el primer polinomio se tiene( ) 4 + x x , luego el menor polinomio mltiplo comn es( ) 4 + x x . b.8 4 2 ; 2 32 3 2 + + + x x x x xSolucin. Factorizando los polinomios se tiene( )( ) 1 2 + + x xy( ) ( ) 2 22 + x xluego el menor polinomio mltiplo comn es( ) ( )( ) 2 1 22 + + x x x UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 19 Ejemplo 18. Determine el C.V.A. y simplifique21222 x x x Solucin.Comolasexpresionessonracionales,entoncesparaanalizarel conjuntodevaloresadmisiblenospreocupamosnicamenteporlos denominadoresdecadaexpresin,loscualesdebenestarfactorizados,esto nos llevaa la siguiente expresin ( ) 2122 x x x esascomopodemosdecirque2 0 = . = x x ,enotraspalabrasel { } 2 ; 0 C.V.A. = R , luego efectuando la resta se obtiene la siguiente expresin equivalente ( ) ( ) x x xxx xx 12) 2 (22 = = podemosobservarparaobtenerlaltimaexpresinfueimportanteelmanejo de MCM de polinomios.Ejemplo 19. Determine el C.V.A. y simplifique32 41 322++xxxx

Aligualqueelejemploanteriorfactorizamoselprimerdenominador, obteniendo ( )32 ) 2 ( 21 32++ +xxx xx de donde el{ } 2 ; 2 C.V.A. = R , luego observamos que tenemosque sumar y restar expresiones racionales, es decir sacamos el M.C.M. en el denominador y efectuamos las operaciones ( ) ( )( )( )( ) ( )( )22 2 223 1 2 3 2 23 1 2 3 122 2 2 22 13( 2)( 2)x x x x xx x x xx x x xx xx x+ + + ++ + + += + ++ += + la ltima expresin se dice que es una expresin equivalente a la primera. HabiendorevisadoelC.V.A.yelM.C.M.yusndoloparaluegosimplificaruna expresinalgebraica,podemosformalizarelprocesopararesolverunaecuacin racional. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 20 Ecuaciones racionales Sonaquellasecuacionesdondeunodesusmiembrosesunaexpresinracional(formada por polinomios) y el otro es cero, es decir son de la forma 0) () (=x Qx P. Ejemplo 20. Son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes: -014 320 =+xx -02 12153=+ + x xx -01 24 52 34 172=+ + ++ +x x xx x Nosonejemplosdeecuacionesracionaleslassiguientes(tomndoseen cuenta que no estn formadas por polinomios): -0 242= +xx -0sen2 cos=+ +x xx x Veamosalgunosejemplosenloscualesresolvemosecuacionesracionalespasopor paso: Ejemplo 21. Determine el C.V.A. y el C.S. de ( )( ) 3 1 22311 23 +=+ x x x x Solucin algebraica: Paso 1: Determinar el C.V.A. Rpidamente observamos que321= . = x x , as el )` = 3 ;21C.V.A. R . Paso 2: Determinar el MCM de los polinomios que estn en el denominador El MCM es( )( ) 3 1 2 + x x . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 21 Paso 3: Multiplicar el MCM a ambos miembros de la ecuacin ( )( )( )( )((

+=+ +3 1 22311 233 1 2x x x xx x( ) ( ) 2 1 2 3 3 = + x x2 1 2 9 3 = x x12 = xPaso 4: Verificamos si la solucin satisface a la ecuacin principal Comenzamosobservandoque12pertenecealC.V.A. luegoreemplazamos en la ecuacin principal para verificar que la igualdad se cumple, es decir ( ) ( )( ) 3 12 1 ) 12 ( 223 1211 12 23 +=+ 22522252=esto nos garantiza que la solucin pertenece al conjunto solucin. En caso de que no hubiera pertenecido al C.V.A. inmediatamente se le excluye comoelementodelC.S.Lacomprobacinqueserealizareemplazandoenla ecuacinprincipalnoesobligatoriadehacerperosiesmuyimportantepara verificar nuestra respuesta. Paso 5: Finalizamos expresando el conjunto solucin { } 8 . = S CLos pasos anteriores ilustran el proceso para llegar al conjunto solucin, no es una receta estricta a cumplir, sin embargo se aconseja seguirlos siempre. Ejemplo 22. Determine el C.V.A. y el C.S. de 21 2242= ++xxx x xx Solucin algebraica: Paso 1: Observamos que 22 0 0 2 0 x x x x = . = . = , factorizando, esto se reduce a2 0 = . = x x , de donde el{ } 2 ; 0 C.V.A. = R . Paso 2: El MCM de los polinomios del denominador es( ) 2 x x . Paso 3: ( )( )((

= ++21 2242xxx x xxx xUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 22 ( ) ( ) x x x x = + + 1 2 2 424 2 4 x x x x = + +0 22= + x x( ) 0 2 = + x xTenemos dos posibles soluciones0 = xy2 = x . Paso4: Observamos queC.V.A. 0eyC.V.A 2e , con lo cual descartamos a 0 como parte del conjunto solucin quedando nicamente -2, siendo este valor parte del conjunto solucin, pues( )2 ) 2 () 2 ( 1) 2 (2) 2 ( 2 24 22 =+ + 4343 = Paso 5:{ } 2 . . = S CSolucin geomtrica: Lagraficamuestralacurvadelaecuacin 21 2242 ++=xxx x xxy ,donde podemos apreciar que en0 = xhay un hueco y en2 = xla curva se va hacia el menos y ms infinito (a la izquierda y derecha de dos respectivamente), esto UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 23 significa que la curva no toma ningn valor en el eje Y para dichos valores del ejeXyporlotanto2 0 = . = x x talcomoloafirmelC.V.A.,adems muestra que el nico cero es -2, con lo cual comprobamos que el C.S. obtenido algebraicamente es correcto. En el ejemplo anterior podemos observar el C.V.A. nos sirve para descartar soluciones que no sern parte del conjunto solucin y evitar la tarea de comprobacin de algunos valores, adems podemos establecer como regla general en ecuaciones polinmicas y racionalesquetodoslosvaloresquepertenecenalconjuntodevaloresadmisibles (C.V.A.)sonpartedelconjuntosolucin(C.S.),evitandotambinlatareade comprobacindelrestodevaloresysimplemente(amenosqueellectorcometa erroresenelprocesodedesarrollo)podemoscolocardemaneradirectaelconjunto solucin. Sinembargolasecuacionessiguientesnocumplenconestaregla,peroelC.V.A. sigue ayudando a discriminar valores. Ecuaciones irracionales Son aquellas en las que alguna de sus incgnitas est afectada del smbolo radical. Veamos algunos ejemplos en los que se explica el mtodo de solucin: Ejemplo 23. Determine el C.V.A. y el C.S. de5 3 = + x x . Solucin algebraica: Paso 1: Determinar el C.V.A.Si el ndice del radical es par entonces la expresin que esta en el interior debe ser positivo e incluso cero, esto indica que para determinar el C.V.A. debemos plantear la siguiente desigualdad 3 0 3 x x > >es decir son todos los valores reales mayores e iguales a 3. Paso 2: Este paso tiene como estrategia dejar en un lado de la ecuacin el radical y en el otro lado el resto de trminos, luego elevar al cuadrado y resolver( ) ( )225 3 x x = 210 25 3 x x x + = 0 28 112= + x xUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 24 ( )( ) 0 7 4 = x xtenemos como posibles soluciones a4 = xy7 = x , ambos valores pertenecen al C.V.A. ya que son mayores a 3, sin embargo el hecho de elevar al cuadrado hacequealgunasotodaslassolucionesobtenidaspuedannoperteneceral C.S.,portalmotivoenestetipodeecuacionessiemprehayquecomprobar reemplazando los valores obtenidos en la ecuacin principal: Para4 = xse tiene que5 5 5 4 3 4 = = + , es decir es parte del C.S. Para7 = xse tiene que5 9 5 7 3 7 = = + , es decir no es parte de C.S. Paso 3:C.V.A. 3; =+;{ } 4 C.S. =Solucin geomtrica: Engeneral,paraecuacionesirracionalesnoesnecesariocalcularelC.V.Aamenos que sea pedido. Ejemplo 24. Determine el C.S. de2 4 = + x x . Solucin algebraica: Paso 1: Elevando al cuadrado y haciendo las operaciones necesarias para eliminar el radical, se tiene ( ) ( )222 4 = + x xUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 25 ( ) 4 4 4 2 = + + x x x x( ) x x x 2 8 4 2 = ( ) ( ) ( )224 4 x x x = 2 28 16 4 x x x x = 16 4 = x4 = xPaso 2: Comprobando se tiene2 2 2 4 4 4 = = + , es decir{ } 4 C.S. = . Ecuaciones Bicuadrticas Una ecuacin bicuadrtica es una ecuacin polinmica de grado cuatro de la forma 02 4= + + c bx axcon0 = a . Sihacemos 2x y = yreemplazamosenlaecuacinoriginaltransformamosuna ecuacindegrado4enunaequivalentedegrado2,esdecirdelaforma 02= + + c by ay ,estaltimaecuacinesunaecuacincuadrticaquepuedeser resueltaporcualquieradelosmtodosaprendidosenlasesinanterior,sinolvidar quey x = . Por ejemplo: Ejemplo 25. Determine el C.V.A y el C.S. de0 4 32 4= x x . Solucin algebraica:ComosetratadeunaecuacinpolinmicaentonceselR = . C.V.A ,luego haciendo 2x y =, reemplazando y factorizando se tiene140 4 32yyy y = ( )( )( )( )( )( )( ) . 0 1 2 20 1 40 1 422 2= + + = + = + x x xx xy y UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 26 Como0 12> + x entonces2 = x y2 = x sonpartedel conjuntosolucinya quelaecuacinespolinmicayambosvalorespertenecenalC.V.A,porlo tanto{ } 2 ; 2 . C.S = . Solucin geomtrica: Segn la grfica queda claro que los ceros de la ecuacin4 32 4 = x x yson -2 y 2. Existeotrotipodeecuacionesquealhaceruncambiodevariablelaecuacin equivalente que resulta es una ecuacin cuadrtica, por ejemplo Ejemplo 26. Determine el C.V.A y el C.S. de0 4 17 18 = + x xSolucin algebraica: Comotenemosunradicalconndiceparentonceselconjuntodevalores admisiblessontodoslosvaloresmayoreseigualesacero,elcuallo expresamos en la forma siguiente { } 0 / . C.V.A > = x xPorotrolado,haciendox y = entoncesx y =2,conlocualsetienela siguiente ecuacin equivalente 0 4 17 182= + y y . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 27 Factorizando se tiene( )( ) 0 1 2 4 9 = y yluego 21;94= = y y 21;94= = x x41;8116= = x xAmbos valores pertenecen al C.V.A., pero por la presencia del radical hay que comprobar si satisfacen la ecuacin principal Para 8116= x se tiene0 0 0 4811617811618 = = + |.|

\|, es decir. C.S8116ePara 41= x se tiene0 0 0 441174118 = = + |.|

\|, es decir. C.S41ePor lo tanto el )`=41;8116. .S C UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 28 Ejercicios y problemas: 21. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a.El C.V.A. de la expresin 112+ x es{ } 1 9 b.El C.S. de la ecuacin122=++xx esRc.La expresin 112+xx no es racional d.El C.S. de la ecuacin212= xx es{ } 1 R . e.Sea 3 21) (++=xaxx Ptal que3 ) 1 ( = Pentonces el valor deaes 14. 22. Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones: a. 212) (xxx E=b.1 2 ) ( = x x Fc. sss E1 2) (=d. 9 65 2210) (2+ + +=x xxxx Pe. 5 3121) (2 +++=t t tt Ff. 2 3221 4422 2+ =+++x x xxx xx g.422=+ x h. 11 2314+=xxxx i. 414 2) (2++=xxxxx G 23. Determine el C.V.A. y el C.S. de las siguientes ecuaciones racionales: a.111= x b.122= xx c. 442142 2+= xxx xx d. ( ) 1312112 2=++ x xx UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 29 e.xx xx x+ + =+ +23 2 32 f. x x x x xx2121232 2 3=+++ 24. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones irracionales: a.3 1 = + x xb.x x x 2 3 5 + = c.2 36 + = x xd.4 3 2 = + + t t25. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones bicuadrticas: a.0 62 4= + x xb.( ) 0 81 14= + xc.0 35 3 22 4= + x xd.( ) ( ) 0 6 1 7 1222= + + + + t t26. Determine el C.V.A. y C.S. de: a.0 6 53234= + w wb.2 22= x xc.2133 4635 52 =++ +x x x xx d.9 3 3613121 = x x xe. 6 5133222+ += x xxx xx f.1 4 22 4 = + m mg.0 6 5 = + t th. 9 644 10322 102 2+ =x xxx x x 27. Se va ha construir una casa sobre un terreno rectangular cuya rea es de 300 m2, determine: a.Una ecuacin que exprese el permetro del terreno en trminos de su largox . b.El permetro, si el largo del terreno es de 25 m. c.Lasdimensionesdelterreno,sisesabequeelterrenotienecomopermetro 70 m.28. Sedeseadisearnuevosenvasesdeyogurt,elyogurtserenvasadoenun recipiente cilndrico de radiory alturah (ambos en centmetros) y como tapa se usar una capa semiesfrica de radio igual a la del cilindro, esta ser enroscada a lapartecilndrica.Sesabequeeltotaldematerialplsticoaemplearencada envaseestadeterminadoporlaecuacin 22 2 r rh S t + t = yqueademsel contenido neto de yogur es de 200 g.a.Se desea emplear 52,5t cm2 de material plstico. Plantee una ecuacin que permitadeterminarlasdimensionesdelnuevoenvase.(use1gdematerial tiene un rea de 1 cm2) b.Cules son las dimensiones del nuevo envase?, estime mediante geogebra o una calculadora adecuada. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 30 29. Si dos motores de agua trabajan al mismo tiempo, tardan 15 horas en desaguar un pozo.Sisolotrabajaeldemenorcapacidadtardaraenvaciarelpozo16horas msquesitrabajarasloeldemayorcapacidad.Sisolofuncionaeldemayor capacidad, determine cuntas horas demorara en vaciar el pozo. 30. Un tanque de petrleo puede ser llenado por una llave en 20 minutos. Si despus de cinco minutos que esta llave ha estado trabajando, se abre una segunda llave,llenando el tanque en tres minutos ms. Cunto tiempo tardara la segunda llave sola en llenar el tanque? 31. ElgobiernoestarealizandoenlacuidadBungranproyectoquedebeser entregadoloantesposible,laconstructoraganadoradelalicitacinurgedelos materialesdeconstruccinquesonfabricadosenlacuidadA.Sesabequelas ciudades estn separadas 900 km y que para poder iniciar la obra los materiales solicitadosdebenllegaren12horasasudestino,elcaminquetrasladalos materiales desde la ciudad A recorre 540 km hasta que por razones del mal clima el chofer debe bajar la velocidad, an as logra llegar a tiempo. Si la velocidad en elprimertramofuemayoren30km/haladelsegundotramo.Determinelas velocidades a la cul recorri el camin para llegar justo a tiempo. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 31 INTERVALOS E INECUACIONES Intervalos:Llamamos intervalo a todo subconjunto de nmeros reales sin huecos en su interior. Ejemplo 27. Son ejemplos de intervalos los conjuntos| | 4 ; 2 = A ;| | 5 ; 4 = By | | 14 ; = Cpues en cada uno de ellos no hay ningn valor que falte en su interior, en otras palabras no hay saltos ni huecos en el interior de cada uno de ellos, en cambio el conjunto | |{ } 2; 4 2; 4 4; D = + =+no es un intervalo pues tiene un hueco en4 . Los intervalos son clasificados como acotados y no acotados y se pueden representar en tres formas equivalentes, la primera es llamada notacin de intervalo, colocando enlosextremoslosnmerosrealesa yb conb a < ,lasegundaesllamada notacin de desigualdad pues se hace uso de las desigualdades>; os y la terceraesllamadanotacingrficapuesrecordemosqueseusaunarectapara representaralconjuntodelosnmerosrealesyporconsiguientecualquier subconjunto puede ser representado sobre la recta real, en particular los intervalos. En seguidahacemosunadescripcinrpidadelos8tiposdeintervalosconlosque vamos a trabajar. Intervalos acotados de nmeros reales: Seanaybnmeros reales conb a < . Notacin de intervalo Tipo de intervalo Notacin de desigualdad Notacin grfica | | b a; Cerrado a x b s s | | b a; Abierto a x b < < ababUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 32 | | b a; Semi abierto a x b s < | | b a; Semi abierto a x b < s Intervalos no acotados de nmeros reales: Seanaybnmeros reales conb a < . Notacin de intervalo Tipo de intervalo Notacin de desigualdadNotacin grfica | | ; a Cerrado por izquierda { } / x a x e9 s < o { } / x x a e9 > | | ; a Abierto por izquierda { } / x a x e9 < < o{ } / x x a e9 > | | b ; Cerrado por derecha { } / x x b e9 < so{ } / x x b e9 s | | b ; Abierto por derecha { } / x x b e9 < Inecuaciones: Entendemos por inecuacin a dos expresiones algebraicas conectadas por los signos de desigualdad: 1 2 1 2 1 2 1 2E.A. >E.A. ; E.A. E.A. ; E.A. sUnnmerorealesunasolucindeunainecuacinsiseobtieneunenunciado verdadero al reemplazar la variable (incgnita)por dicho nmero.Elconjuntodetodoslosnmerosrealesquesatisfacenunainecuacinesllamado conjunto solucin (C.S.), y ser representado mediante los intervalos. 2 53 1 tUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 35 Se emplear como mtodo paraobtener el conjunto solucin el mtodo de los puntos referencialesopuntosdereferencia(P.R.),llamadotambinmtododelospuntos crticos, este mtodo consiste en trabajar con los signos (+ -) sobre la recta real, el cual detallaremos al detalle ms adelante. Acontinuacinsepresentaalgunaspropiedadesquesernusadascomo herramientas en el proceso de solucin de una inecuacin. Propiedades: Seana ;bycnmeros reales.1.c b c a b a + < + < . Ejemplo 32. 2< 5 entonces 2+8< 5+82.c b c a b a < < . Ejemplo 33.2< 5 entonces 2 - 8< 5 8, es decir -5< -3 3.Si0 > c entoncescb ca b a < < . Ejemplo 34.2< 5 entonces (10)(2)< (10)(5), es decir 20< 50 4.Si0 < c entoncescb ca b a > < . Ejemplo 35.2< 5 entonces (-4)(2)> (-4)(5), es decir -8> -20 Esta propiedad nos dice que al multiplicar en una desigualdad por un nmero real negativo, la desigualdad debe cambiar. Frecuentemente se comete errores por tal razn debemos ser muy precavido cuando se aplique esta propiedad.5.Sib a > ; ; ;Cero0UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 37 Solucin geomtrica: Quesepuedainterpretarlosvaloresobtenidosalresolverunainecuacines demuchaimportanciasobretodocuandotengaqueenfrentarseaproblemas deaplicacionesencursosposteriores,porellodesdeahoraempezamosa impulsar esta forma de pensar. UsandoGeoGebra,setrazalagrficadelaecuacin5 2 + = x y ,obteniendo la curva que se muestra en la figura, donde se observa que la curva est por encima del eje Xa partir del punto A, es decir valores mayores a-2,5 en eje X. Podemosconcluirqueresolver0 5 2 > + x implicadeterminarlosvaloresenel ejeXtalquelacurvaesteporencimadelejeX,esascomodemostramos geomtricamentequeelconjuntosolucinesefectivamenteelintervalo

(( ;25 hallado de forma algebraica. A partir de la grfica tambin podemos sacar como conclusin que el C.S. de la inecuacin0 5 2 < + xson todos los valores del eje X tal que la curva se encuentre por debajo del eje X, es decir el intervalo

(( 25; . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 38 Enadelanteseaconsejacomprobarlassolucionesalgebraicasmedianteel uso de GeoGebra. Ejemplo 39. Determine el conjunto solucin de( ) 5 2 2 1 2 > + x x xSolucin Algebraica: 5 2 2 2 2 > + x x xx 2 5 2 > +x >27 Cuya notacin grafica es Luego (((( =27; C.SyR = . C.V.A . Ejemplo 40. Determine el conjunto solucin de( )( ) 15 1 22+ < + x x xSolucin algebraica: 15 2 22 2+ < + x x x x17 < x17 > xCuya notacin grfica es Luego,| | = ; 17 C.SyR = . C.V.A . Ejemplo 41. Determine el conjunto solucin de3322 + + c bx ax;02< + + c bx axo02s + + c bx axdondea ,bycson nmeros reales con0 = a . En adelante se usar el mtodo de los Puntos de Referencia para obtener el conjunto solucin. A continuacin se analizan algunos ejemplos en donde se utiliza el mtodo nombrado. 8 4 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 40 Ejemplo 43. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin0 2 3 22> x xSolucin algebraica: Es fcil ver que elR = . C.V.A , al factorizar tenemos ( )( ) 0 2 1 2 > + x x (I) IgualandoacerocadatrminoseobtienelosPuntosdeReferenciaqueson 21 y2,luegoseubicanenlarectareal,yseeligeunvalorcualquieraque estentrelosPuntosdeReferenciaysereemplazaenlainecuacin(I) colocandosobrelarectaelsignoresultante,resumimostodoenelsiguiente cuadro: IntervaloElegimosSigno en ( ) 1 2 + xSigno en ( ) 2 xSigno en ( )( ) 2 1 2 + x x21 < < x-22(-2)+1 = (-) -2 2 = (-)(-)(-) = + 221< < x02(0)+1 = (+)-2 2 = (-)(+)(-) = - < < x 2 32(3)+1 = (+)3 2 = (+)(+)(+) = + Enadelanteelprocesosepuedehacersedemaneramentalcolocando nicamente los signos, es decir Enestecaso,ladesigualdaden(I)indicatomartodoslossignospositivos resultantes,esdecirlossignosqueestnporencimadelarectaquesean positivos Luego el| | (((( = ; 221; C.SEjemplo 44. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin42< xSolucin algebraica: 0 42< x21 2) )( ( +) )( ( +) )( ( + ++212+ +UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 41 ( )( ) 0 2 2 < + x xDedondesetienea-2y2comovalorescrticos(opuntosdereferencia)y adems la desigualdad indica tomar el signo negativo, es decir

El| | 2 ; 2 . C. = SSolucin geomtrica.Trazamoslagraficadeecuacin42 = x y ,lacualsemuestraenlafigura adjunta a.a b.a De donde observamos que resolver42< ximplica determinar los valores en el eje X tal que la grfica de 42 = x yeste por debajo del eje X. Ejemplo 45. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin( ) 0 32< xSolucin algebraica: ElR = . C.V.A , adems se observa que no existe ningn valor real tal que elevado al cuadrado sea menor que cero, as el| = . C.S . 2 2+ +UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 42 Ejemplo 46. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin( ) 0 22> + xSolucin algebraica: ElR = . C.V.A , adems observamos que excepto cuando2 = xla expresin es verdadera, pues todo nmero real elevado al cuadro siempre es positivo o cero, luego{ } 2 . C.S = R . Ejemplo 47. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin( )2 23 1 2 x x x < +Solucin algebraica: ElR = . C.V.A , desarrollando se tiene: ( ) 0 3 1 2 22 2< + + x x x x0 3 2 4 22 2< + + x x x x0 22< + + x x04721siempre Positivo2< +|.|

\|+ xDe donde| = . C.S . Inecuaciones racionales: Son aquellas expresiones que tienen una de las formas 0) () (>x Qx P ;0) () (>x Qx P;0) () (+xx Solucin algebraica: El{ } 2 . C.V.A = R , los valores crticos son -1 y 2, luego analizamos los signos en la recta, obteniendo: Luego, el| | | | = ; 2 1 ; . C.SEjemplo 49. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuacin231 2 xentonces2 > x . b.Si32< xentonces3 < x . c.El C.V.A. de la inecuacin02< xesR . d.El C.S. de la inecuacin02< xesR . e.El C.S. de la inecuacin ( )0112 < x es| | ; 1 . f.Los conjuntos | | 4 ; 2y4 2 s s xrepresentan al mismo intervalo. g.SeaN x eluegoxpuede tomar 5 valores en el intervalo| | 4 ; 1 . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 46 33. Determine cul de los siguientes conjuntos es un intervalo y de serlo exprselo en sus diversas notaciones. a.| | | | 3 ; 2 2 ; 3 = Ab. ((

(((( = 6 ;2121; 2 Bc.{ } 4 = R Cd.| | | | = ; 0 1 ; 3 D34. Grafique los siguientes intervalos a.| | 25 ; t b.| | 24 ; 21 c.| | 47 ; d.| | ; 035. Determine el C.V.A y el C.S. de las siguientes inecuaciones: a.( ) x x 2 1 3 1 2 > +b.( ) ( )2 21 1 + > x xc. 5 31321 xxx+ s ++ d. 212353s+< x e.3 42 > + x xf.512 3 < + < x g.0 12 5 22 4> x xh. ( ) ( ) ( )55 2132 524 3 + + x xx l.x xxx < < 3122 36. La figura muestra la grfica de la ecuacin

5852523 + = x xxyDetermine los valores en el eje X tal que: a.0 = yb.0 > yc. 0 > y d.0 < ye.0 s yAdems,expliqueconsuspropias palabras el significado de cada uno de los resultados obtenidos. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 47 37. En la grfica adjunta trace la recta2 = yydeterminelosvaloresenelejeXtal que: a.2 62> + xb.2 62< + xVerifiquelosresultadosobtenidos enlas partesa.yb.medianteeldesarrollo algebraico. 38. Selanzadirectamentehaciaarribaunapelotadesdeelbalcndeunedificio,la altura (en metros) de la pelota medida desde el suelo despus detsegundos est dada por 768 64 16 ) (2+ + = t t t ha.Determine durante que tiempo la pelota estuvo por encima de los 768 m. b.Plantee una inecuacin que permita saber cunto tiempo demoro la pelota en caer al suelo. c.Determine el intervalo de tiempo en qu la pelota estuvo en vuelo.39. LaempresaA&Sdedicadaalaproduccinyventademquinaspara construccin, hace un estudio en sus ingresos, obteniendo la siguiente ecuacin 22 , 0 40 x x I =dondeI representaelingresomensualenmilesdedlaresyx elnmerode maquinas producidas y vendidas cada mes, adems el costo de produccin al por mayor de cada maquina es de 28 mil dlares. Determine el nmero de maquinas quedebeproduciryvenderalavezA&Sparaobtenerunaganancia(ingreso- costo) de al menos 100 mil dlares. 40. Unacompetenciadeautosarealizarseennuestropasindicaqueelrecorrido ser por dos tramos distintos, el primer tramo se recorrer en una pista asfaltada y elsegundotramoesunacarreteraarenosa,ciertoautofuediseadopararendir 50kilmetrosporgalnenlapistaasfaltaday35kilmetrosporgalnenla carretera arenosa. Se sabe que la capacidad del tanque de gasolina de dicho auto esde17,6galones.Supongaqueexistencondicionesidealesdemanejoy determineunintervaloparaladistanciaquepuedarecorrerunautodeestas caractersticas con el tanque lleno. Interprete el resultado. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 48 41. La relacin entre las temperaturas Celsius (C) y Fahrenheit (F) est dada por la ecuacin( ) 3295 = F Ca.En Lima, se pronostica que para este mes la temperatura variarentre 20C y 35C. Determine el intervalo en grados Fahrenheit para el mismo periodo. b.El pronostico de la temperatura en la cuidad de Chiclayo, se dice que esta en elintervalo77 86 F < < .DeterminelatemperaturaengradosCelsiuspara este mismo periodo. 42. Cierto cultivo ha sido atacado por una fuerte plaga, se pide producir un bactericida quepermitaeliminardichaplaga,unexperimentoindicaqueat horasdeser aplicado el nuevo bactericida, el nmero de bacterias que quedan esta dado por la ecuacin: 000 21000 10) (2++=tt NDetermine: a.Despus de cuntas horas el nmero de bacterias est por debajo de 4 000. b.Si es posible saber si el bactericida puede eliminar la totalidad de bacterias en dicho cultivo. 43. Un ingeniero gana $7 000 en cierto negocio, decide prestar por un ao parte de su dinero al 10% y el resto lo deposita en una cuenta a plazo fijo en un banco que le paga 4% anual. Cul es el monto mnimo que debe prestar si al cabo de un ao desea obtener un ingreso por inters de al menos $ 400? UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 49 UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: FUNCIONES BSICAS OBJETIVOS: 1.Identificar si una curva representa una funcin mediante el Criterio de la Recta Vertical. 2.Determinar el dominio y el rango. 3.Identificar y clasificar grficamente los puntos de discontinuidad. 4.Determinar grficamente los intervalos de monotona. 5.Determinar grficamente las cotas de una funcin. 6.Identificarydeterminarenformagraficalosvaloresextremos(localesyabsolutos)deuna funcin. 7.Determinar la paridad y la simetra de una funcin. 8.Determinar grficamente las ecuaciones de las asntotas de una funcin. 9.Determinar los ceros de una funcin.10.Conocer caractersticas y grfica de 8 funciones bsicas. 11.Graficar funciones seccionadas. Introduccin: EnestaUnidadpresentaremoselconceptodefuncinyestudiaremoslasprincipales propiedades de las funciones bsicas; se recomienda a los interesados estardispuestosahabituarsealaterminologaqueseutilizaparadescribiralas funciones. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de ingeniera, finanzas, economa, estadstica, medicina, qumica y fsica, de astronoma, de geologa, y de cualquier rea social donde haya que relacionar variables. Por ejemplo cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial,siempreserelaciona un conjuntodedeterminadosobjetosoproductos alimenticios,conelcostoensoles,ellonospermitesabercuntasunidadesde determinadoproductopodemoscomprar;silollevamosalplanocartesiano, podemosescribirestacorrespondenciacomounaecuacindefuncin" x ,en otras palabras: ) (x f y =donde y representa la cantidad de productos o artculos comprados a un precio x ensoles.Siasumimosqueenplanocartesianolacurvaquedescribeafesta dada por: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 50 Talcomopodemosnotarellenguajeylanotacindefuncionessonidealespara describirestasituacin,portalraznsuimportanciadentrodelamatemtica.A continuacin se define el concepto de funcin. Definicin de funcin: Una funcin de un conjuntoD a un conjuntoR , es una regla que asigna a cada elemento deD un nico elemento enR . El conjuntoD de todos los valores de entrada es llamado dominio de la funcin y el conjuntoRde todos los valores de salida es llamado rango de la funcin. Observacin: Una funcin puede verse como unaasignacin o transformacin de los elementos del dominio en elementos del rango. Enlafigura1,podemosobservarquesetratadeunafuncinpuesparacada elementodeldominioseleasignaunnicoelementodelrango,encambioenla entonces podemos interpretarlos puntos sobrelagrafica,porejemploelpunto ( ) 4 ; 2 representaquecuandoelprecio porunidades2solesseadquieren4 unidades de un determinado producto; el punto( ) 1 ; 5 indicaquecuandoelprecio es5solessepuedeadquirirunaunidad de dicho producto. bac123fdominiorangodFig. 1 bac123fdominiorangod4Fig. 2 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 51 figura 2 observamos que parabenel dominio se le asignan2 y4en el rango,por lo cual concluimos que no se trata de una funcin. Notaciones: Variables:Lasfuncionesqueestudiaremosrelacionanadosvariables, mayormente denotadas porxey , donde x recibe el nombrede variable independiente y y variable dependiente. Formaexplicitadeunafuncin:Llamamosregladecorrespondenciade una funcin a la expresin) (x f y = , dondeydepende de x . Dominio:Dada) (x f y = laregladecorrespondenciadeunafuncin,el dominio ser denotado por: { } condicin / ) ( 9 e = x f DomAlresolverlacondicin,seobtienelosvalores x paralacuallafuncin estabiendefinida,esdecir,alintroducirunvalorx (valordeentrada)en ) (x f seobtieneotrovalor(valordesalida),esteslaformaalgebraicade obtenereldominio,laotraformadeobtenereldominioesapartirdesu grfica. Rango:Elrangoserdeterminadomayormenteapartirdesugrfica,y escribiremos{ } ) ( / ) ( ) ( f Dom x x f f Ran e = . Ejemplo1(Formaalgebraicadedeterminareldominio):Dadalareglade correspondencia, determine el dominio de cada funcin: a.6 2 ) ( + = x x fb. 242) (xxx g=c.4 8 ) (2 4 + = t t t hd. rrr u=1) (3 e. 22 ) ( x x x w =Solucin:Encadacasodebemospreguntarnosquvaloresdebetomarla variable independiente? de tal manera que la regla de correspondencia este bien definida, es decir: si() f Dom x eentonces( ) x fexiste. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 52 a.Comosetratadeunarazcuadradatenemos() { } 0 6 2 / > + 9 e = x x f Dom , donde la condicin es la inecuacin0 6 2 > + x , al resolverla tenemos3 > x , as el dominio defes el conjunto: () | | = ; 3 f Domb.Sesabeque( ) { } 0 4 /2= 9 e = x x g Dom ,debemosresolverlaecuacin 0 42= xpara saber que valores hay que discriminar en el dominio,2 20 ) 2 )( 2 (0 42 = . == + = x xx xx Luego( ) { } { } 2 ; 2 2 2 / 9 = = . = 9 e = x x x g Domc.Talcomopodemosobservarenestafuncinnoexisteningunarestriccin para la variable independiente por lo tanto( ) { } 9 = 9 e 9 e = t t h Dom / . d.En el numerador no tenemos ninguna restriccin, en el denominador tenemos una raz cuadrada entonces ( ) { } 0 1 / > 9 e = r r u Dom ={ } 1 / < 9 e r r =| | 1 ; e.Lacondicines0 22> x x entonces( )( ) 0 1 2 > + x x ,usandoelmtodo de los puntos crticos tenemos: Luego el() | | 1 ; 2 = w Dom . Grfica de una funcin Sifes una funcin con dominio D, entonces la grfica defes el conjunto de puntos( ) () { } f Dom x x f x e / ) ( ; . En otras palabras, llamaremos grfica de una funcin a la curva que describe la unin de todos los puntos( ) ) ( ; x f x . Criteriodelarectavertical:Unagrfica(conjuntodepuntos( ) y x; )enel plano XY define aycomo una funcin dex , si y slo si, ninguna recta vertical intersecta a la grfica en ms de un punto.2 1+UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 53 Ejemplo 2: De las cuatro grficas que se muestran, cules no corresponden a la grfica de una funcin? Al trazar una recta vertical en cada una de las grficas podemos observar que las curvas de las figuras 1 y 3 no corresponden a la grfica de una funcin. Siconocemoslagrficadeunafuncinf ydeseamosconocersudominio, entoncesdebemosobservarlosvaloresenelejeXdondef exista,parael rango debemos observar los valores) (x f , en el eje Y,tal que() f Dom x e . Ejemplo3(Formagrficadedeterminareldominio):Determineeldominioy el rango a partir de la grfica de las siguientes funciones: a.La figura siguiente muestra la grfica de una funcinf . Fig. 1Fig. 2Fig. 3 Fig. 4 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 54 ObservandolosvaloresdelejeXtenemos() | | | | | | 8 ; 6 6 ; 2 2 ; 3 = f Dom ,o tambin se puede escribir() | |{ } 6 12 ; 3 = f Dom , el rango es() | | 5 ; 5 = f Ran b.La figura muestra la grfica de una funcing . ObservandoelejeXtenemos{ } 2 ; 2 ) ( 9 = g Dom yalobservarelejeYpodemos decir que el| | | | = ; 2 0 ; ) (g Ran . Propiedades de las funciones Analizarunafuncinnoesnicamenteanalizareldominioyelrango,sino existenotraspropiedadesmuyimportantes,talescomo:continuidad,intervalos demonotona,acotamiento,extremoslocalesyabsolutos,simetras,asntotas, los ceros, entre otras. A. Continuidad La continuidad es una propiedad importante de la mayora de las funciones que modelan comportamiento del mundo real,haremos un estudio desde el punto de vista grfico con el deseo de alimentar lo que ser la parte algebraica en el curso posterior; grficamente, podemos decir que una funcin es continua en un puntosi la grfica no se separa en ese punto. Para clasificar el tipo de discontinuidad en una funcin, ilustraremos el concepto con algunas grficas. Continuidad en toda x: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 55 Obsrvesequelagrficanoserompe.Estosignificaquesiestudiamosel comportamiento de la funcinfpara valores dexcercanos a cualquier nmero real particulara , podemos estar seguros que los valores) (x fsern cercanos a ) (a f . Discontinuidad removible: En la primera grfica, observamos que es continua en todas partes, excepto en elagujeroa x = .Siestudiramoselcomportamientodeestafuncinf para valoresx cercanosalnmeroa ,nopodemosasegurarquelosvalores) (x fserncercanosa) (a f .Enestecaso) (x f esmenorque) (a f parax cerca dea .Estetipodediscontinuidadesllamadoremovible,yaquepodramos redefinir) (a f detalmaneraquedesaparezcaelagujeroyhagaquef sea continua ena . En la segunda grfica, tambin existe una discontinuidad removible ena x = . Si estamosestudiandoelcomportamientodeestafuncinf paravaloresxcercanos aa , no aseguramos que los valores) (x fsern cercanos a) (a f , ya que en este caso) (a fni siquiera existe. Es removible, ya que podramos definir ) (a fde tal manera que se tape el agujero y se hagafcontinua. Discontinuidad de salto: Talcomopodemosobservarf esdiscontinuaena x = ,peroladiscontinuidad no es del tipo removible; este tipo de discontinuidad es llamado de salto, ya que msqueunagujeroena x = ,existeunsaltoenlosvaloresdelafuncinque formaunespacioimposibledellenarconsolounpunto( ) ) ( ; a f a , independientemente de cmo tratemos de redefinir) (a f . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 56 Discontinuidad infinita: Enestecasoobservamosunadiscontinuidadena x = ,quenoesdeltipo removible ni de salto; este tipo de discontinuidad es llamada infinita, ya que los valoresxprximos aahacen que( ) x ftienda a ser un valor infinito positivo o negativo. Debe quedar claro que la discontinuidad de una funcin la hemos definido en un puntoa x =y no en intervalos y que existen tres tipos posibles de discontinuidad los cuales podemos clasificarlos como removibles, de salto o infinita. Ejemplo4:Enbasealagrfica,digasiexistenpuntosdediscontinuidady clasifquelos. Solucin: NuestravisindebeestartantoenlagrficacomoenlosvaloresdelejeX, tenemos que la funcin es discontinua: -En3 = xy es del tipo infinita. -En2 = xy es del tipo de salto. -En6 = xy es del tipo removible. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 57 B. Funciones crecientes y funciones decrecientes Ahoraestamosinteresadosenlosintervalos(valoresdeldominio)enlacualla funcin es creciente o decreciente, estos intervalos definen la monotona de una funcin. Definiciones: -Una funcinfes creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo enxocasiona un cambio positivo en) (x f . -Una funcinfes decreciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos enelintervalo,uncambiopositivoenx ocasionauncambionegativoen ) (x f . -Unafuncinf esconstanteenunintervalosi,paracualquierdospuntos en el intervalo, un cambio positivo enxocasiona un cambio nulo en) (x f . Ejemplo5:Enbasealagrfica,determinelosintervalosdemonotonadef , as como los intervalos dondefes constante. Solucin:Adiferenciadeldominioyelrango,losintervalospedidoshayque separarlos mediante una coma (,).Intervalos de monotona: -Los intervalos dondefes creciente son:| | | | 12 ; 8 , 3 ; -Los intervalos dondefes decreciente son:| | | | 8 ; 6 , 2 ; 3 Por otro la funcinfes constante en el intervalo| | 6 ; 2 . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 58 C. AcotamientoDefiniciones: -Cota inferior: Una funcinfest acotada por debajo si existe algn nmero a queseamenoroigualatodonmeroenelrangodef .Cualquierade estos nmerosbse denomina cota inferior def . -Cotasuperior:Unafuncinf estacotadaporarribasiexistealgn nmerob queseamayoroigualatodonmeroenelrangodef . Cualquiera de estos nmerosbse denomina cota superior def . -Funcin acotada: Una funcinfest acotada si y slo si est acotada por arriba y por debajo.Observacin: Si no existe ninguna cota, entonces se dice que la funcin no est acotada. Ejemplo 6: Dada la grfica de una funcin, determine en cada caso si la funcin esta acotada inferiormente, acotada superiormente o es acotada.

Como el| | = ; 0 ) ( f Ranentonces existe ms de un valor menor a cualquier valor en el rango. Por lo tantofesta acotada inferiormente.

Como el| | 2 ; ) ( = f Ranentonces existe ms de un valor mayor a cualquier valor en el rango. Por lo tanto la funcin esta acotada superiormente. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 59

Enestecasoel| | 1 ; 1 ) ( = f Ranentonces existen valores menores a-1yvaloresmayoresa1,es decirexistencotasinferiorese inferioresalavez.Porlotantola funcin est acotada. Como el{ } 0 ) ( 9 = f Ranentonces no existen cotas inferiores ni superiores. D. Valores extremos de una funcin Muchas grficas se caracterizan por tener picos y estn cambiando de crecientes a decrecientes y viceversa, a continuacin definimos lo que llamaremos extremos locales y absolutos de una funcin. Valores extremos absolutos: Seafuna funciny) ( f Dom c e : -Si) ( ) ( x f c f > paratodo) ( f Dom x e entonceselnmero) (c f sellama valor mximo absoluto defalcanzado enc x = . -Si) ( ) ( x f c f s paratodo) ( f Dom x e entonceselnmero) (c f sellama valor mnimo absoluto def alcanzado enc x = . A estos valores se les conocen como valores extremos absolutos def . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 60 Valores extremos locales: -Al nmero) (c fse llama valor mximo relativo o local defalcanzado en c x = si) ( ) ( x f c f > paratodox enalgnintervaloabiertodentrodel dominio defque contiene ac . -Al nmero) (c fse llama valor mnimo relativo o local defalcanzado en c x = si) ( ) ( x f c f s paratodox enalgnintervaloabiertodentrodel dominio defque contiene ac .A estos valores se les conocen como valores extremos locales def . Ejemplo 7: Dada la grfica de una funcinf , si existen, determine los extremos locales y absolutos def . Despus de haber ledo e interpretado la definicin sobre los valores extremos de una funcin, podemos entender la siguiente respuesta: Valores extremos absolutos: -El mximo absoluto defes 6 alcanzado en4 = x . -Tal como podemos observar no hay mnimo absoluto. Valores extremos locales: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 61 -Talcomopodemosobservarenlagrficaexistendosmximoslocales,el primeroes2alcanzadoen1 = x yelsegundoes0alcanzadoen 5 = x (observeclaramentequeenambosexistenintervalosabiertos conteniendo a 1 y 5 respectivamente). -Tal como podemos observar el nico mnimo local es 1 alcanzado en4 = x . Nota: 1.Deexistir,losvaloresextremosabsolutossonnicos;peropuedenser alcanzados en muchos (o infinitos) valoresxdel dominio def . 2.De existir, los valores extremos locales no necesariamente son nicos. E. Paridad y simetra de una funcin Definiciones: -Una funcinfse le dice funcin par si y slo si) ( ) ( x f x f = . -Una funcinfse le dice funcin impar si y slo si) ( ) ( x f x f = . Nota:Geomtricamente,cuandounafuncinesparsugrficaessimtrica respectoalejedelasordenadas;cuandolafuncinesimparsugrficaes simtrica respecto al origen de coordenadas.Ejemplo 8: En cada una de las funciones determine la paridad. a. 2) ( x x f =b. 3) ( t t f =c. xxx g = ) ( d. uuu g2) ( = Solucin: a.Como) ( ) ( ) (2 2x f x x x f = = = . Por lo tantof es una funcin par. b.Como) ( ) ( ) (3 3t f t t t f = = = . Por lo tantofes una funcin impar. c.Como) ( ) ( x gxxxxx g = == . Por lo tantogno es par ni impar. d.Como) () () (2 2u guuuuu g = == . Por lo tanto la funcin es par. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 62 F. Asntotas -La rectab y =es una asntota horizontal de la grfica de una funcinf , si) (x fse aproxima abcomo lmite, cuandoxtiende a +o . -Larectaa x = esunaasntotaverticaldelagrficadeunafuncinf ,si) (x f tiendea + o ,cuandox seaproximaaa porcualquier direccin.Ejemplo9:Dadalagraficadelafuncin 2) (2 =x xxx f ,determinelas ecuaciones de sus asntotas verticales y horizontales. La funcinftiene como asntotas verticales a las rectas1 = xy2 = x ; y como asntotahorizontalalaecuacin0 = y tantoporderecha(cuandox tiendeal + ) como por izquierda (cuandoxtiende a ). G. Ceros de una funcin: Determinarloscerosdeunafuncin,esequivalenteadeterminarlas interseccionesx delagrficade) (x f y = ,olassolucionesdelaecuacin 0 ) ( = x fteniendo en cuenta) ( f Dom xe . Ejemplo 10: En cada una de las funciones, determine los ceros de la funcin. a.5 ) (2 = x x f b. 63) (+=xxx gc.( )232=tt tt hUniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 63 Solucin: a.El9 = ) ( f Dom ;luego0 ) ( = x f implica0 52= x ,alresolversetiene 5 = x . Por lo tanto los ceros de la funcin son5 y5. b.El| | = ; 3 ) (g Dom ; luego063=+xx implica0 3 = xentonces el nico cero de la funcin es 3. c.El| | = ; 2 ) (h Dom ;luego0232=tt timplica( ) 0 3 = t t entonces0 = t y 3 = t , como) ( 0 h Dom eentonces el nico cero de la funcin es 3. Funciones bsicas y sus caractersticas Hasta el momento hemos dado a conocer la definicin de funcin, su dominio y su rango, as como varias propiedades importantes; a continuacin presentamos grficamente8funcionesenlascualesqueremosdescribirlosatributos explicados en las pginas anteriores. 1.Funcinconstante:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaesk x f = ) (con9 e ky su grfica es: Anlisis de la funcin constante -9 = ) ( f Domy{ } ( ) Ran f k =-Intervalos de crecimiento: No hay.Intervalos de decrecimiento: No hay. -Intervalos dondefes constante:| | ;-fes acotada por el valor dek . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 64 9 = ) ( f Dom9 = ) ( f Ran9 = ) ( f Dom| | = ; 0 ) ( f Ran-Elvalork esmximoymnimolocalyabsolutoalavezparatodox del dominio. -f espar,pues) ( ) ( x f k x f = = .Perosi0 ) ( = x f entoncesf espare impar a la vez, pues) ( 0 ) ( x f x f = = .-f essimtricarespectoalejeYparatodo9.Peropara0 ) ( = x f ,f es simtrica tanto con el eje Y como con origen.-Sik tomaunvalorpositivoentoncesf espositivaentodo9,puesla grfica estara por encima del eje X. -Sikes negativo entoncesfes negativa en todo R, pues su grfica estara por debajo del eje X. -Si0 ) ( = x f entoncesf tieneinfinitoscerosysik x f = ) ( con0 = kentonces f no tiene ceros. Enlas7funcionesrestantespresentaremos,laregladecorrespondencia,la grfica, su dominio y su rango, dejando como ejercicio el resto del anlisis. 2.Funcin identidad: Es aquella cuya regla de correspondencia esx x f = ) (y su grfica es:

3.Funcincuadrtica:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaes 2) ( x x f =y su grfica es:

UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 65 9 = ) ( f Ran9 = ) ( f Dom| | = ; 0 ) ( f Dom| | = ; 0 ) ( f Ran9 = ) ( f Dom| | = ; 0 ) ( f Ran4.Funcincbica:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaes 3) ( x x f = y su grfica es:

5.Funcinrazcuadrada:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaes x x f = ) (y su grfica es: 6.Funcinvalorabsoluto:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaes < >= =0 si ,0 si ,) (x xx xx x fy su grfica es: UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 66 9 = ) ( f Dom9 = ) ( f Ran{ } 0 ) ( 9 = f Dom{ } 0 ) ( 9 = f Ran7.Funcinrazcbica:Esaquellacuyaregladecorrespondenciaes 3) ( x x f =y su grfica es: 8.Funcin reciproca: Es aquella cuya regla de correspondencia es xx f1) ( =y su grfica es: Funciones seccionadas Llamaremos funcin seccionada a las funciones de la forma: eee=) ( ), () ( ), () ( ), () (2 21 1n nf Dom x x ff Dom x x ff Dom x x fx f Donde: ) ( ) ( ) ( ) (2 1 nf Dom f Dom f Dom f Dom= y ) ( ) ( ) ( ) (2 1 nf Ran f Ran f Ran f Ran= UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 67 Ejemplo11:Encadaunadelasfunciones,tracesugrficaydeterminesu dominio,rango,intervalosdemonotona,lospuntosdediscontinuidad (clasificar), cotas, valores extremos y los ceros:a. > < s < s +=0 ,2 , 1) (x xx xx h3.Trace la grfica de las siguientes funciones e indique su dominio y rango. a. >y acortndola si0 1 C < < . C.2.Estiramiento horizontal: Lagrficade( ) y f Cx = estirahorizontalmentelagrficade ( ) y f x =alargndola si0 1 C < . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 78 Ejemplo 5: Trace la grfica de: a. 22 y x =b.( )34 y x =Solucin: En el primer caso, la grfica tiene un alargamiento vertical con factor 2,enelsegundocaso,lagrficatieneunacortamientohorizontaladel tamao original, veamos: a.

b. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 79 Ejemplo 6: Trace la grfica de: 33 2 1 y x = + Solucin: Veamosalgunosotrosproblemasquesepuedenresolverconloestudiadoenesta Unidad: Ejemplo 6: Si la grfica de la funcin f es la que se muestra a continuacin: Determine la grfica de( 1) 1 y f x = +UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 80 Solucin: La grfica de la funcin pedida deber seguir los siguientes pasos: 1.desplazar una unidad a la derecha:( 1) y f x = 2.reflejar en el eje x:( 1) y f x = 3.desplazar una unidades hacia arriba:( 1) 1 y f x = + Ejemplo7:Silagrficasiguientecorrespondeaunafuncincuadrtica, determine su regla de correspondencia. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 81 Solucin:observamosquelagrficasehadesplazado3unidadesala derecha,luegosehareflejadoenelejex yfinalmentesehadesplazado2 unidades hacia arriba, luego, la regla de correspondencia es: 2( ) ( 3) 2 f x x = +Podemos comprobarlo con un par de puntos, por ejemplo: -el vrtice:( ) 3; 22(3 3) 2 0 2 2 y + = + = =-el punto:( ) 1; 2 ( ) ( )2 21 3 2 2 2 4 2 2 y + = + = + = = Ejemplo7:Sieldominiodeunafuncinfes3; 2 ysurango4; 6 , determineeldominioyrangodelafuncing conregladecorrespondencia ( ) 2 ( ) 3 gx f x = +Solucin: Analicemos paso por paso: -( ) 2 ( ) gx f x = , la grfica de la funcin se estir verticalmente al doble, luego, el dominio sigue siendo3; 2 y el rango ahora es:8;12 -( ) 2 ( ) gx f x = , la grfica de la funcin se reflej en el ejex , luego, el dominio sigue siendo3; 2 y el rango ahora es:12;8 -( ) 2 ( ) 3 gx f x = + ,lagrficadelafuncinsedesplaz3unidades hacia arriba, luego, el dominio sigue siendo3; 2 y el rango ahora es: 9;11 . UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 82 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos: Las siguientes preguntas ayudarn a saber si se logr los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los Ejercicios y problemas finales: OBJETIVO 1: 1.Determineelvalordeverdadofalsedaddelassiguientesproposiciones justificando sus respuestas: a.Lagrficadelafuncinconregladecorrespondencia 2( ) ( 2) f x x = correspondealagrficadelafuncinbsica 2( ) f x x = desplazada2 unidades hacia la derecha. b.Lagrficadelafuncinconregladecorrespondencia 2( ) ( ) 2 f x x = +correspondealagrficadelafuncinbsica 2( ) f x x = desplazada2 unidades hacia la derecha. OBJETIVO 2: c.No se puede graficar la funcin con regla de correspondencia( ) f x x = porqueenlosrealesnoestdefinidalarazcuadradadeunnmero negativo. d.Lagrficadelafuncinconregladecorrespondencia( ) f x x = corresponde a la grfica de la funcin bsica( ) f x x =reflejada en el eje y . OBJETIVO 3: e.Sielpunto( ) 2; 3 pertenecealagrficade( ) y f x = ,entonces necesariamente el punto(4; 3) pertenece a la grfica de2 ( ) y f x = f.Lagrficade(3 ) y f x = eslagrficade( ) y f x = alargada horizontalmente 3 veces. OBJETIVO 4: 2.Determine una ecuacin de las siguientes grficas si: a.Parte de la funcin bsica( ) f x x = UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 83 b.Parte de la funcin bsica 3( ) f x x = OBJETIVO 5: 3.Silafuncinf estdefinidapor 3( ) f x x = con| Dom 2; 4f = ,determineel dominio de la funcin con regla de correspondencia( ) ( 2) 3 gx f x = + Ejercicios y problemas: 1.Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas: a.Completandocuadrados,sepuedeobservarquelagrficade 22 4 y x x = +es una parbola con vrtice en( ) 1;3 , tomando en cuenta el desplazamiento vertical y horizontal de la funcin bsica cuadrtica. b.La grfica de4 2 y x = +es creciente en el intervalo4; 2.Trace la grfica, utilizando las tcnica de transformacin enseadas, de: a.( )2 1( ) 4 22f x x = + UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 84 b. ( )33( )2xgx+=c.( ) 2 3 1 hx x = + +d. 2( ) 2 i x x = e.( ) 1 j x x = f.( ) 1 k x x = + g. 3( ) 3 2 l x x = + h.( ) 1 2 mx x = + i. 2( ) 4 1 nx x = +3.Siendo la grfica( ) y f x =la que se muestra a continuacin: Determine la grfica de: a.( 3) y f x = +b.3 ( 2) y f x = UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 85 c.2 (3 ) y f x = + d.3 ( 2) y f x = 4.Siendolafuncinf conregladecorrespondencia( ) f x x = ydominio3; 6 , determineeldominioyrangodelafuncing conregladecorrespondencia ( ) ( ) 2 gx f x = +5.Siendolafuncinf conregladecorrespondencia( ) f x x = ydominio2;5 , determineeldominioyrangodelafuncing conregladecorrespondencia ( ) 2 3 1 gx x = +6.Determine la ecuacin de las siguientes grficas si: a.Es una funcin cuadrticab. Es una funcin valor absoluto UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 86 UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICA OBJETIVOS: 1.Determinar cundo una funcin es exponencial y cundo logartmica. 2.Graficar las funciones exponencial y logartmica en cualquier base. 3.Utilizarlaspropiedadesdeloslogaritmospararesolverproblemasde modelacin. 4.Reconoceeldominio,rangoeintervalosdecrecimientoydecrecimientodelas funciones exponencial y logartmica. FUNCIN EXPONECIAL: Definicin:Una funcin exponencial en x estdefinida por la regla de correspondencia: xb x f = ) (donde1 , 0 = > b b , conx cualquier nmero real. Notas: 1)Si1 = b , entonces1 1 ) ( = =xx f, que no representa una funcin exponencial, sino una funcin constante. 2)La condicin que0 > b , es porquexpuede tomar cualquier valor realy puede ocurrirelcasoenquenoexistatalexpresin.Ejemplosi2 = b y 21= x se tiene2 ) 2 (21 = lo cual no tiene sentido en los reales. Cuandosetrabajaconfuncionesexponencialespuedesernecesarioaplicaralgunas reglasdelateoradeexponentes.Siendoxeynmerosrealesya,bnmeros positivos.a).y x y xa a a+= b) y xyxaaa=c) y x y xa a.) ( = d) x x xb a b a = ) . ( e) nnaa1=f) xxxbaba= |.|

\|g)a a =1 h)10= a UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 87 Grfica de funcin exponencial A.Grfica de funciones exponenciales cuando1 > b . Ejemplo 1.Graficar la funcin exponencial xx f 3 ) ( = . Solucin:Paratrazarlagrficadelafuncin xx f 3 ) ( = ,podemostabular algunos puntos. La grfica se muestra en la figura adjunta. x x3-2 91 -1 31 01 13 29 327 Observaciones sobre la grfica. 1.Eldominioeselconjuntodetodoslosnmerosrealesyelrangoelintervalo ; 0 . 2.La grfica corta alel eje y en el punto (0;1). 3.Lagrficadelafuncinesestrictamentecreciente,esdecirconformex aumenta, f(x) tambin aumenta. 4.Elejexsecomportacomounaasntotahorizontaldelagrficadelafuncin exponencial. Lasobservacionesdadassonciertasparafuncionesexponencialescuyabasebes mayor que 1 ( 1 > b ). Ahora veremos un ejemplo cuando la base b est entre 0 y 1. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 88 B.Grfica de una funcin exponencial con1 0 < < b . Ejemplo 2.Graficar la funcin exponencial xx f |.|

\|=31) (Solucin: Para trazar la grfica se puede tabular algunos puntos. La grfica se muestra en la siguiente figura.x x|.|

\|31 -327 -29 -13 01 1 31 2 91 Observaciones sobre la grfica. 1.Eldominioeselconjuntodetodos losnmerosrealesyelrangoelintervalo ; 0 . 2.La grfica corta alel eje y en el punto (0;1). 3.La grfica de la funcin exponenciales estrictamente decreciente, es decir si x aumenta, f(x) disminuye. 4.Elejexsecomportacomounaasntotahorizontaldelagrficadelafuncin exponencial. En general la grfica de una funcin exponencial tiene una de las dos formas descritas anteriormente dependiendo del valor de la base b. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 89 Propiedades de la funcin exponencial 1.ElDominiodeunafuncinexponencialeselconjuntodetodoslosnmeros reales y el rango es el intervalo ; 0 . 2.La grfica corta al eje y en el punto (0;1), no tiene intersecto con el eje x. 3.Si 1 > b , la grfica es estrictamente creciente. Si 1 0 < < b , la grfica es estrictamente decreciente. 4.Si1 > b ,Lagrficaseaproximaalajexconformextomavaloresnegativos cada vez ms grandes. Si 1 0 < < b , la grfica se aproxima al eje x conforme x toma valores positivos cada vez ms grandes. Transformaciones de funciones exponenciales. Enestaparteusaremoslastcnicasdegraficacinparatrazargrficasdefunciones exponenciales que se trasladan vertical y horizontalmente. A.Traslacin vertical. Ejemplo 3. Usando la grfica de la funcinxx f 3 ) ( = , graficar2 3 ) ( =xx fy2 3 ) ( + =xx f . Solucin:Lasfuncionestienenlaformac x f + ) ( ,cuando2 = c ,lagrfica seobtienerecorriendolagrficade xx f 3 ) ( = dosunidadeshaciaabajo.Ycuando2 = c lagrficaseobtienerecorriendolagrficade xx f 3 ) ( = dos unidades hacia arriba. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 90 B.Traslacin horizontal. Ejemplo4.Usandolagrficadelafuncin xx f |.|

\|=31) ( ,graficar 231) (|.|

\|=xx fy231) (+|.|

\|=xx fSolucin: Las funciones tienen la forma) ( c x f , cuando2 = c , la grfica se obtiene desplazando la grficaxx f|.|

\|=31) (dos unidades hacia la derecha.Y cuando2 = cla grfica se obtiene desplazando la grficaxx f |.|

\|=31) (dos unidades hacia la izquierda. La funcin exponencial natural xe x f = ) (Como1 > e ,lafuncin xe x f = ) ( tienepropiedadesanlogasalagrafica xx f 3 ) ( = ,cuandolabasedelafuncinexponenciales59 7182818284 , 2 ~ e ,la funcinesllamadafuncinexponencialnatural.Aunquee puedepareceruna baseextraa,lafuncinexponencialnaturaltieneunagranimportanciaenel clculo. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 91 Ejemplo 5. Esboce la grfica de las funciones xe x f = ) (y xe x f= ) (Solucin:Paragraficarlafuncin xe x f = ) ( podemosusarlacalculadorapara tabularalgunospuntos,vemosquesecomportacomolasfuncionesconlabase 1 > b ylafuncin xe x f= ) ( secomportacomolasfuncionescuyabaseest 110 < xy 1 , 0 = > b b , entoncesx yblog = si y solo siyb x = . Ejemplo 6: 1)3 8 log2=porque 8 23=2)3 000 1 log10=porque000 1 103=3)25 52=entonces2 25 log5=Definicin: Unafuncincuyaregladecorrespondenciaesx x fblog ) ( = lallamaremos funcin logartmica de base b, donde1 , 0 = > b b .UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 92 Grafica de una funcin logartmica con1 > b Ejemplo 7: Graficar la funcinx x f2log ) ( = . Solucin: si queremos tabular algunos valores es ms fcil tabular la funcin yx 2 = , es decir dar valores a y para encontrar los valores de x. y x y2log =( ) xy= 2-3 81 -2 41 -1 21 01 12 24 A partir de la grfica, puede observarse que el dominio dex x f2log ) ( =son todos los nmeros reales positivos ( )0; y el rango consiste en todos los nmeros reales. La grfica corta al eje x en el punto (1; 0) y es estrictamente creciente. Grafica de una funcin logartmica con1 0 < < b Ejemplo 8: Graficar la funcinx x f21log ) ( =Solucin: si queremos tabular algunos valores es ms fcil tabular la funcin yx |.|

\|=21, es decir dar valores a y para encontrar los valores de x. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 93 Propiedades de la funcin logaritmo1.Eldominiodeunafuncinlogaritmoeselintervalo| | ; 0 .Estoes,noexiste logaritmo de nmeros negativos ni del cero. 2.El rango es el intervalo ;. 3.Su grfica corta al eje x en el punto (1; 0), no existe interseccin con el eje y. 4.Tiene al eje y como una asntota vertical.

Leyes de logaritmos Sea 1 , 0 = > b b , A, B y C nmeros reales con0 > Ay0 > B . 1. ( ) log log logb b bAB A B = + 2.B ABAb b blog log log =|.|

\| 3. log logCb bA C A = y x y21log =xy= |.|

\|21 -38 -24 -12 01 1 21 2 41 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 94 Observacin Los logaritmos de base 10 son llamados logaritmos comunes.Generalmente se omite el subndice 10 de la notacin: es decir: x log=x10logLoslogaritmosdebaseesonmuyimportantesenelclculoyseleconocecomo logaritmos naturales. Para tales logaritmos se utiliza la notacin ln. Es decir: x ln=xelog Grafica de la funcin logaritmo natural. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 95 Modelacin con funciones exponencial y logartmica: Las funciones exponenciales y logartmicas tienen muchas aplicaciones Ejemplo9.(Crecimientodebacterias)ElnmeroBdebacteriasenelcultivode una caja de Petri al cabo de t horas est dado por0,693100tB e = . a)Culfueelnmeroinicialdebacteriasenelcultivo?b)Despusde6horas.Cuntasbacteriasestarnpresentes?c)Cundoelnmerodebacteriasser200?Solucin: a) El nmero inicial de bacterias se da cuando0 = t ,es decir: 0100 100 B e = = . El nmero inicial de bacterias fue de 100. b) Cuando6 = tse tiene 0,693(6)100 6 394, 36 B e = ~Al cabo de 6 horas hay aproximadamente 6 394 bacterias. c) Observe200 = Bpor lo tanto 0,693200 100te = te693 , 0100200=, aplicando logaritmos se tiene 1693 , 02 ln2 ln 693 , 0~ ==tt

Aproximadamente en una hora la cantidad de bacterias sern de 200. Ejemplo10.(Modelacinderumor)Unrumorsepropagaenformalogsticade modo que tet S8 , 016 1789) (+=modela el nmero de personas que han escuchado el rumor al final de t das.a)Inicialmente cuantas personas han escuchado el rumor? b)Cuntas personas han escuchado el rumor acabo de 6 das? Solucin:a)Elnmeroinicialqueescucharonelrumorseencuentra reemplazando0 = tes decir: 4616 1789) 0 (0 ~+=eSAproximadamente escucharon inicialmente el rumor 46 personas. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 96 b)Al reemplazar6 = tse obtiene. 69716 1789) 6 () 6 ( 8 , 0~+=eS Acabo de 6 das escucharon el rumor aproximadamente 697 personas. Preguntas para comprobar el logro de los objetivos: Las siguientes preguntas ayudarn a saber si se logr los objetivos planteados para esta Unidad, le sugerimos que las responda antes de realizar los Ejercicios y problemas finales: 1.Determineelvalordeverdadofalsedaddelassiguientesproposiciones justificando sus respuestas: OBJETIVO 1: a.Lafuncinf conregladecorrespondencia 25) ( x x f = defineunafuncin exponencial. b.Labasedeunafuncinlogaritmopuedetomarcualquiervalorreal.Justifique su respuesta. OBJETIVO 2: c.Lagraficadelafuncinf ,conregladecorrespondencia 2) (=xe x f seha trasladado2unidadeshacialaizquierda,respectoalagraficadelafuncin xe x f = ) ( . d.La grfica de la funcinf , con regla de correspondenciax x f ln 2 ) ( + =se ha trasladado 2x x f ln ) ( = . OBJETIVO 3: 2.Para cierta poblacin de clulas, el nmero de ellas en el instante t est dada por ) 2 (0ktN N = ,donde 0N eselnmerodeclulasen0 = t ykesunaconstante positiva.entonceseltiemponecesarioparatenerunapoblacin 1N es ( )102logNNt k = ? OBJETIVO 4: 3.Tracelagrfica( ) y f x = donde3 ) 2 log( ) ( + = x x f .Determinesudominio, rango e intervalos donde la funcin es creciente y donde es decreciente. 4.Trace la grfica( ) y f x =donde 31 ) ( =xe x f . Indique dominio, rango y a partir de que punto la funcin es negativa. UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 97

Ejercicios y problemas: 1.Determine el valor de verdad o falsedad, justificando sus respuestas: a.La funcin exponencial es estrictamente decreciente en todo su dominio. b.El rango de la funcin logartmica es ;c.La funcin cuya regla de correspondencia es 2) (=xe x fse ha trasladado 2 unidades hacia la derecha respecto a la grfica de xe x f = ) ( . d.Laasntotaverticaldelafuncinconregladecorrespondencia: ) 2 ln( 3 ) ( = x x fes la recta3 = x . 2.Graficarlassiguientesfuncionesindicandodominio,rangoeintervalosdondela funcin es creciente y donde es decreciente: a. xx f 2 ) ( =b. xx f 2 3 ) ( + = c. 32 ) (=xx f 3.Graficarlassiguientesfuncionesconregladecorrespondenciaqueseindica. Determine su dominio, rango e intervalos donde la funcin es positiva o negativa. a.x x f ln ) ( = b.x x f ln 3 ) ( + = c.) 2 ln( 3 ) ( + = x x f 4.Evalu las siguientes expresiones sin usar calculadora. a.5 log5 b.000 1 logc. e1ln5.Resuelva las ecuaciones pasando a su forma exponencial. a.3 log = x b.0 ln = xc.1 ) 3 ( log2= x x6.Cul de los enunciados es Falso? a.4 81 log3=b.1 ln = ec.2 log 10 log 5 log = d.5 log2 log10 log= UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas(UPC)CuadernoAutoinstrutivodeDefinicindeNivelesMatemtica 98 7.Sean todas las funciones con regla de correspondencia de la formaxb x f = ) (con 1 0 < < b , qu