LUGARES.pdf

7/28/2019 LUGARES.pdf

1/12

191

CX

CAPITULO 7

LUGARES GEOMETRICOS

7.1 INTRODUCCION

Si tenemos elementos que pueden variar sus valores en un circuito, ya sea una resistencia una reactancia o la frecuencia de laseal de entrada, las respuestas impedancia, torsin o control del circuito variarn. Cuando analizamos a la impedancia

compleja Z ; la cual es dependiente en su modulo de la frecuencia ya que esta puede aumentar o disminuir la parte imaginariade la impedancia. Por ejemplo:

L LZ R jX X jWL , si 0 W R Z

De ah tambin observamos que cuando mayor sea la velocidad angular (W) la reactancia inductiva predominar LX R

comportndose en forma inductiva pura cuando W y para esta frecuencia 90 concluimos que:

( )WZ f la impedancia es una funcin de la frecuencia.

Figura 1

Entonces observamos que las respuestas irn tomando diferentes valores segn se vare uno de los elementos.

Para la figura 2 se tiene una resistencia variable de 0 R . Vamos a representar en forma fasorial como se vadesplazando el fasor tensin sobre una curva.

Figura 2


2/12

192

Podemos ver el comportamiento del circuito que al variar la resistencia desde cero hasta R el valor de la tensin sobreesta se va incrementando y la tensin sobre CX va disminuyendo, y vemos como el punto A se desplaza sobre la curva de la

semicircunferencia hastacundoR que el circuito se comporta como resistivo puro cayendo toda la tensin de la fuentesobre la resistencia variable.

7.2 LUGAR GEOMTRICO DE LAS IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS PARA R VARIABLE

a) Para la impedancia: Z R jX , como la reactancia es fija, es decir tendr un solo punto sobre el ejeimaginario, el par ordenado (R, X) que representa a la impedancia se ir desplazando sobre la recta paralela al eje de

las abscisas (real) as tendremos una idea ms general del comportamiento de la impedancia cuando 0 R y

para sus valores limites 0R Z jX R Z R

W =constante

jX =constante

0 R

b) Para las admitancias: debemos tener en cuenta que las escalas de la admitancia es diferente a la escala con quehemos graficado el lugar geomtrico de las impedancias.

Z R jX Y G jB

1Y

R jX

. (1)

A partir de laecuacin (1) podemos obtener los valores limites para la grafica de las admitancias

1 10R Y j

jX X y cuando R 0Y


3/12

193

Lugar geom trico de lasimpedancias

Lugar geom trico de lasadmitancias

Sera muy tedioso si comenzamos a trabajar punto por punto por lo que haremos las siguientes operaciones hasta encontraruna expresin adecuada que me represente al conjunto de todos los valores de las admitancias.

*

*

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1

0

1 10

2 2

1 1

2 2

YZ Z

Y YY

G BZ R jX j

G B G B

B BX G B

G B X

BB G

X X X

B GX X

7.3 LUGAR GEOMTRICO DE LAS ADMITANCIAS E IMPEDANCIAS PARA X AJUSTABLE

Z R jX

Igual que el caso anterior 0 X , solo que ahora el elemento a variar es la reactancia de cero a infinito

Cuando 0X Z R resistivo

Cuando X Z inductivo

Aqu R permanece constante junto con la frecuencia, solo estamos variando es el valor de la inductancia o del capacitor.

El lugar geomtrico de las impedancias ser la lnea paralela al eje de lasordenadas (Im).

El segmento de la recta positiva representa para todas las soluciones en

que Z es inductivo y el segmento de recta negativo en el que laimpedancia se comporta capacitivamente

Para el caso de la admitancia que es la inversa de la impedancia compleja,

por lo tanto a partir de la expresin1

YZ

encontramos los valores

mnimos y mximos.

1Y

R jX

0X

1Y

R

X 0

Y


4/12

Para encontrar todos los puntosdel luga

2 2 2

1 G BZ j

G B G BY

Como R es constante

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 1

2 2

1 1

2 2

G GR G B

G B R

GG B

R R R

G BR R

Podemos observar que el lugar geomtri

Podemos observar que el lugar geomtsegmento de recta en el eje positivo o n

7.4 ADMITANCIA EN FUNCIN DE LA

En los siguientes grficos se puede ver

de la admitancia.

Hay dos casos: con resistencia variable

Con resistencia variable. En el circuitovariable la cual se convierte a admitanci

X

geomtrico, trabajamos:

2R jX

0

0

co de las admitancias es un semicrculo de radio1

2Rico para los casos analizados impedancia y admitancia haygativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y

VARIACIN A SUS ELEMENTOS

ue los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos deter

reactancia variable.

que se representa en la figura N 3, se observa con una impa.

Figura N 3.Circuito de impedancia a admitancia

194

0X

una transformacin de unositivo respectivamente.

inar el lugar geomtrico

dancia con resistencia


5/12

195

Sabemos:

Z =

Entonces:

Z = R + JX()

Y = G+ JB ()De ()y():

R + J X = (G

G + B) J (

B

G + B)

Racionalizando e igualando las partes reales e imaginarias, tenemos:

R =G

G + B(I)

X = (II)

De la ecuacin (II)

G +B = B

X

G + B +B

X= 0

Dando forma:

G +B +B

X+

1

2X=

1

2X

G + B +1

2X=

1

2X

Bueno llegamos a una ecuacin de una circunferencia de

Despejando B:

B =1

2X G

1

2X

Para una impedancia inductiva: Z = Z

Si: G = 0 B = 0 oB =

G = B =


6/12

196

Grafico N 3. Admitancia con comportamiento inductivo en resistencia variable

Para una impedancia capacitiva: Z = Z

Si: G = 0 B = 0 ; B = ;

G = B =

Grafico N 4. Admitancia con comportamiento capacitivo en resistencia variable


7/12

Con Reactancia variable: En el circuitovariable la cual se convierte a admitanci

Ahora trabajamos con la ecuacin (I):

Dndole forma:

Entonces:

Llegamos a una ecuacin de circunferen

Despejando:

Para una impedancia indu

Si:

que se representa en la figura N 4, se observa con una impa.

Figura N 4.Circuito de impedancia a admitancia

cia de radio

ctiva:

197

dancia con reactancia


8/12

198

En el planoY:

Grafico N 5. Admitancia con comportamiento inductivo en reactancia variable

Para una impedancia capacitiva Z = Z

Si: B = 0 G = y G= 0

B = G =

Grafico N 5. Admitancia con comportamiento capacitivo en reactancia variable


9/12

199

LUGARES GEOMETRICOS

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAN 01

Encontrar el lugar geomtrico de las impedancias y admitancias para el circuito mostrado:

Resolucin:

Podemos observar que cuando el valor de la resistencia va de cero a infinito la admitancia toma sus valores lmites, siendo unalnea paralela a las abscisas su lugar geomtrico, de lo estudiado anteriormente podemos decir que su lugar geomtrico de lasimpedancias ser un semicrculo en el eje negativo

0

1 1

1

R

ZY jWC

R

1Y jWC G jBR

PROBLEMA N02

En el siguiente circuito determine usted si existe algn valor deL

R para la condicin de resonancia, adems trazar el lugar

geomtrico de admitancia del circuito.


10/12

200

0.0975

1Y

TY

2Y

G

jB

0.022

0.05

0.05

0

.122

51.34

Resolucin:

Para la rama R-C es una admitancia devalor fijo que podemos representarla en el plano complejo como un vector cuyo moduloy argumento lo podemos calcular

1 4 5Z j Fijo 0.0975 0.122Y j

1 0.156 51.34Y

Para la rama R-L como R varia su lugar geomtrico de las admitancias ser un semicrculo de radio 0.05 y este se calculacuando R = 0

2 10Z R j Variable 21

10Y

R j

Es una semicircunferencia de radio1

2X

10.05

20j

Lugar geomtrico de las admitancias

1 2TY Y Y

Como no hay cruce con el eje real no hay resonancia

Qu es la resonancia?

Se denomina resonancia de un circuito serie o paralelo cuando la reactancia de la impedancia total se anula es decir que elcircuito se comporta resistivo puro.

0Z R jX R jX

Esto se da para una determinada frecuencia o cuando se varia uno de los elementos del circuito. Es decir, el circuito esta enfase y se dice que tiene un factor de potencia unitario.

PROBLEMA N 03

Del circuito de la figura sepide:

Dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B delcircuito.

Para que condiciones el circuito tiene un factor de potenciaunitaria.


11/12

Resolucin:

La impedancia 1 tiene un valor fijo y la p

su lugar geomtrico es un semicrculo d

1 2totalZ Z Z

1 LZ R jX

Para 2Z

2

1

C

Y jWC R

las condiciones para que el circuito

sea resonante usted debe analizar delgrfico y sacar sus conclusiones

PROBLEMA N 04

Trazar el lugar geomtrico de la intensiddiferencia de fase entre V e I sea 45.

Resolucin:

La admitancia de la rama fija es de 1/RRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:

El grafico ser:

odemos representar en el plano en el eje positivo superior,

radio 2

CR

ad de corriente quecircula por el circuito mostrado y hallar

0.1. El dimetro de la semicircunferencia del lugar geomtr

201

n cambio la impedancia 2,

el valor de RC para el que

ico de la rama RCser en


12/12

Se observa que la intensidad esta adelaque los putos real e imaginario de Yt deb

De:

De donde: RC=2

PROBLEMA N 05

El circuito de la fig. Debe resonar a 455tiene un lugar geomtrico de la admitanc

Resolucin:

Diagramas del lugar geomtrico

tada respecto a la tensin un ngulo de 45en le punten ser iguales:

Hz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, elia con escala adecuada.

202

o indicado esto significa

actor de calidad y adems

LUGARES.pdf

Documents

Transcript of LUGARES.pdf