ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DE CHIMBORAZO

ESCUELA DE MEDICINA PRIMER NIVEL

LGICA MATEMTICA

DOCENTE: Dra. Susana Pino MgS. ESTUDIANTE:

RIOBAMBA, MARZO 2015

UNIDAD I

Lgica Matemtica

OBJETIVO

Fortalecer el conocimiento bsico para asimilar el contenido de lgica matemtica. Aplicar conceptos bsicos de proposiciones en la solucin de problemas.

Lgica Matemtica: Es una ciencia que estudia los principios fundamentales para establecer si un razonamiento es correcto o incorrecto, proporciona reglas y tcnicas para determinar si es vlido o no el argumento dado por medio del desarrollo de una secuencia lgica, usando premisas, hiptesis que nos llevan a la obtencin de un determinado enunciado con un valor de verdad.

Razonamiento.-Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera que uno de ellos (llamado conclusin) se desprende o infiere de los otros (llamados premisas). La pretensin de que la conclusin se deriva de las premisas se manifiesta a travs de expresiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc.

Juicio.- Es una relacin o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmacin o aseveracin de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso.

Existen dos tipos bsicos de razonamiento: Inductivo y Deductivo

Inductivo: Si va de casos particulares a un caso general. Ejemplo: Si observamos varios partidos de bsquet y luego afirmamos los jugadores profesionales de baloncesto son altos, se parte de casos particulares para llegar a una conclusin general.

Deductivo: Si partimos de una ley general que se conoce, se infiere la veracidad o falsedad de un caso particular. Ejemplo: Se sabe que los cuerpos caen a la tierra por la fuerza de gravedad que existe, decimos si soltamos una tiza, sta caer al suelo.

Tambin se cuenta con el razonamiento intuitivo que consiste en realizar una aseveracin sin tener pruebas suficientes, slo basada en las experiencias, presentimientos o apreciaciones. La intuicin es sumamente til para plantear hiptesis cuya veracidad intuimos a verificar.

ACTIVIDAD 1: Ponga 5 ejemplos de cada tipo de razonamiento, aplicados a la vida real.

Enunciado: Es la expresin verbal o escrita que tiene sentido completo pueden ser: Expresivas Declarativas

Informativas: Maana es martesDescriptivas: La bandera ecuatoriana tiene 3 coloresExplicativa: Si el cielo est nublado es seal que va a llover

Exclamativas: Te quiero Interrogativas: Cmo te llamas? Imperativas: Cierra la puerta Desiderativas: Ojala haga sol Una proposicin es una expresin lingstica declarativa de cualquier enunciado lgico al que se le pueda asignar un valor de verdad verdadero (1) o falso (0) pero no ambos a la vez. p: La tierra es planaq: Pars est en Franciar: 5+ 8 = 11s: El tringulo rectngulo tiene un ngulo recto.t: 15 es divisible por 7

No son proposiciones

Los enunciados exclamativos. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: socorro!, auxilio! te quiero!Las oraciones imperativas. (rdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.Las desiderativas. (Deseos, splicas). Ej.: Ojala no haya clases.Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: Qu hora es?u: Cunto dinero tienes? No es proposicin por ser un enunciado interrogativo, no se puede decir si es verdadero o falso. v: Cmo te llamas? No es una proposicin porque no se puede determinar el valor de verdad.

Actividad 2: 1. Dar el valor de verdad de las proposiciones, excluya aquellas que no son proposiciones lgicas P1: El rectngulo tiene lados paralelos......... P2: El MCD de 8 es 12 y 24 ........... P3: (-3)2+ 52= 34 ......... P4: Qu hora es? .......... P5: El 7 es divisor de 360.......... P6: Riobamba capital de Chimborazo .......... P7: Es falso que 1+1 = 3 .. P8: Estn contentos? .......... P9: 4 ni menor que 2 .. P10: Esta fruta est verde ..........

2. Seale cules son enunciados o proposiciones verdaderas o falsas segn corresponda:a) ( ) 3+2= 8 f) ( ) Deseo saber a dnde vas. b) ( ) La tierra es redonda. g) ( ) Chimborazo es una provincia del Ecuadorc) ( ) Quines van al paseo? h) ( ) Si x+ 1 = 5 entonces x=4 d) ( ) 0/0 = 1 i) ( ) El hombre lleg a Plutn e) ( ) 10 x 4 = 40 j) ( ) El perro es un cuadrpedo

1.1 Clases de proposiciones Existen proposiciones: Simples, compuestas

Son proposiciones simples o atmicas las que no pueden ser subdivididas en otras proposiciones, es decir tienen un solo enunciado o aseveracin.Ejemplo: p: 3 es un nmero primo q: la suma de los ngulos internos en un tringulo es 180 Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que estn formadas por dos o ms proposiciones simples, ligadas por conectivos lgicos.

Ejemplos t: 12 es un nmero divisible para 4 y para dos p: 12 es un nmero divisible para 4 q: 12 es divisible para dos El conectivo lgico es y

ACTIVIDAD: 3

Clasifique las proposiciones en simples o compuestas e indique su valor de verdad.a) Si el tringulo es issceles entonces tiene dos lados iguales y dos ngulos iguales.b) Juan trabaja y estudia entonces es un buen profesional competente.c) n es par si y solo si es divisible para dosd) El oxgeno es un compuesto del agua y x = 7 es la solucin de la ecuacin 2x = 14f) Aquella manzana es una planta o un pltano.

1.2 CONECTIVOS U OPERADORES LGICOS

En la lgica simblica los conectivos lgicos llamados tambin signos de enlace los ms utilizados son:

Smbolos MetalgicosSmbolos LgicosOperaciones lgicas

No~ o Negacin

Y^Conjuncin

OVDisyuncin

OVDisyuncin exclusiva

entoncesCondicional

si y slo siBicondicional

no y no; ni y ni

Conjuncin negativa o barra de Shaffer /

1.3 OPERACIONES LGICAS

NEGACIN: Dada una proposicin p, se define la negacin de p como la proposicin ~p que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". Adems se puede traducir como: jams,nunca, ni, in, i

~p : el vidrio no es transparente p: el vidrio es transparente~q : 18 es un nmero irracional q: 18 es un nmero racional r : lo culparon por documentado ~r: Lo culparon por indocumentado A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lgicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en funcin de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a travs de las tablas de verdad de dichas operaciones.p~p

10

01

p~p

VF

FV

Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es la siguiente:

A continuacin se describen las principales operaciones lgicas entre dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad: pqp ^ q

111

100

010

000

pqp ^q

VVV

VFF

FVF

FFF

Conjuncin: es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q". pqp v q

111

101

011

000

pqp v q

VVV

VFV

FVV

FFF

Disyuncin: es aquella proposicin que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa cuando las dos proposiciones son falsas. Se escribe p v q, y se lee "p o q". pqp v q

110

101

011

000

pqp v q

VVF

VFV

FVV

FFF

Disyuncin exclusiva: es aquella proposicin que es verdadera cuando una y slo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p v q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

pqp q

111

100

011

001

Pqp q

VVV

VFF

FVV

FFV

Condicional: es aquella proposicin que es falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y la condicin necesaria q es falsa. Se escribe pq, y se lee "si p entonces q".

pqp q

VVV

VFF

FVF

FFV

pqp q

111

100

010

001

Bicondicional: es la proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y slo si p entonces q

RESUMEN DE LAS TABLAS DE VERDADpq~ pp qp v qp qp qp qp q

VVFFVFVFFVFVVFVF

VVVFVFVVVFFVFVVFFFFV

Una proposicin se dice que es una tautologa si su valor de verdad es siempre verdadero (1) independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Una proposicin se dice que es una contradiccin si su valor de verdad es siempre falso 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Una paradoja, indecisin o contingencia es una proposicin a la que se le puede asignar valores verdaderos o falsos a la vez; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lgico. 1.3.1. EQUIVALENCIAS LGICASDos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en funcin de las proposiciones elementales que lo componen; esta definicin equivale a decir que la proposicin es una tautologa. Por ejemplo, las proposiciones p q y ~ p v q son equivalentes.pq~ pp q~ p v q

VVFFVFVFFVFVVFVVVFVV

Determinar el valor de verdad por medio de tablas [(p ^ q) ^ r ] [p ^ ( q ^ r) ]

pqrp qq r(p q) r(p (q r )[(p q) r ][p ( q r) ]

VVVVVVVV

VVFVFFFV

VFVFFFFV

VFFFFFFV

FVVFVFFV

FVFFFFFV

FFVFFFFV

FFFFFFFV

La proposicin compuesta [(p ^ q) ^ r ] [p ^ ( q ^ r) ] resulta TAUTOLOGA por tanto es equivalencia

1.3.2 LEYES O PROPIEDADES DE LAS PROPOSICIONES

Se verifican las siguientes propiedades estructura de lgebra de las proposiciones:PROPIEDADESconjuncindisyuncin

Idempotencia

Conmutativa

Asociativa

Absorcin

Distributiva

Complementariedad

De Morgan

Identidad

Condicional

Bicondicional

Conjuncin negativa

Disyuncin exclusiva

ARGUMENTOS LGICOS

Un argumento lgico es un razonamiento en el que a partir de una serie de enunciados llamados premisas se obtiene un resultado llamado conclusin. Se dice que un argumento es vlido si asumiendo que todas las premisas son verdaderas la conclusin tambin es. Cuando un razonamiento no es vlido se dice que es un sofisma.

Para demostrar la validez de un argumento debemos partir del hecho de que tenemos las proposiciones p1, p2, p3 . pn para llegar a la conclusin q por medio de las leyes de las proposiciones lgicas, escribiendo todas las premisas p1 de la forma p q encadenando dichas proposiciones (una a continuacin de otra) y procurando que ninguna proposicin est negada.

Ejemplo Exprese la siguiente proposicin ~[(p v q) (q r)] utilizando solo el conectivo

Para cumplir con la condicin es necesario cambiar el conectivo por el conectivo Ya que utilizando la ley de la implicacin es posible pasar del conectivo V al conectivo ~[(p v q) (q r)] es equivalente por la ley de Morgan a [~ (p v q) v ~ (q r)]Considerando las proposiciones ~ (p v q) y ~ (q r) como p y q respectivamente y utilizando la ley de la implicacin obtenemos [ (p v q) ] [ ~ (q r)] esta expresin se podra escribir utilizando la ley de Morgan y luego de implicacin nuevamente se obtiene [~p q) (q ~r)] y est escrita solo con el conectivo

ACTIVIDAD: 41. Sea n: hace calor q: est nublado traduzca las formas proposicionales de los siguientes enunciados al metalenguaje:

a) ~n b) n v q c) n q d) n q e) n q f ) n q g) ( n ) h) ( n v q ) n 2. Determinar el valor de verdad de la proposicin ( p q ) p q utilizando las tablas3. Demostrar por medio de las tablas de verdad que: a) n q n q b) n q ( n q ) ( n q)4. Verifique que ( n q ) ( n v q ) es una tautologa5. Verifique que ( n q ) (n v q) es una contradiccin6. Establezca las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:a) ( n q ) ( n v q) b) ( n v q) ( ( n q ) ( n q ))7. Demostrar utilizando las tablas de verdad la siguiente equivalencia p (q r) (pq) (pr)8. Determinar si la proposicin es una tautologa ( pq ) ( p q) CUANTIFICADORES LGICOSUna proposicin cuantificada es aquella en donde est determinado cuntos elementos de un conjunto lo satisfacen.Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones:P: Todos los nmeros enteros son pares o impares.Q: Existe un x, x R, tal que x2 = 25 R: Ningn entero es irracionalLas palabras todos, existe, ningn que nos dicen cuntos elementos satisfacen la proposicin se denominan cuantificadores y se clasifican en Universal y existencial.

Cuantificador Universal es todo o para todo y se representa con el smbolo La expresin x, x R significa que para todo x , x es un elemento de los reales.

Cuantificador existencial es existe (n) algn (os) y se representa con el smbolo .

La expresin x/x +10= 13 significa que existe algn nmero tal que x+10 =13Negacin de los cuantificadores para realizar la negacin de los cuantificadores en las proposiciones se usan las siguientes reglas:

~(x/ x) x/ ~x

~( x/x) x, ~xEjemplo:Si p: Todos los nmeros son enteros ~p: Existe al menos un nmero que no es entero q: Algunos tringulos son rectngulos ~q: Todos los tringulos no son rectngulos

REFUERZO N 1

1.- Sean; p: 3 > 1, q: 1+ 3 = 5, r: 2 + 1 = 3. Enuncie con palabras las siguientes proposiciones.

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Determine el valor de verdad de las proposiciones del numeral anterior

3.- Escriba con smbolos las siguientes proposiciones, si se sabe que;

p: 5 7, q: 1 + 1 = 2, r: 3 + 2 = 5, s: 4 - 2 = 5

a) 5 7 entonces 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5 b) 5 7 si y solo si 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5 c) 1 + 1 = 2 o 3 + 2 = 5; pero no ambosd) Ni 5 7 implica que 1 + 1 = 2, ni 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5

4.- Demostrar por medio de tablas de verdad cada uno de los siguientes enunciados aplicando el mtodo indicado a)

b) c) d)

5.- Mediante las leyes demostrar si es una tautologa o contradiccin los siguientes enunciados.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

6.- Por medio de tablas de verdad, demostrar si es equivalencia lgica, cada uno de los siguientes enunciados.

a) b)

7.- Aplicando tablas de verdad, demostrar las implicaciones lgicas que se indica a continuacin

Demostrar que:

Demostrar que:

8. Simplificar las proposicin [ ~T (~S T)] ~S9. Demostrar que la funcin proposicional en dos variables ( AB ) ( A B ) es siempre falsa.10. Sean las proposicionesA: Hoy es mircolesB: tengo que dar un examenC: He estudiado D: Saldr mal del examenEscriba en smbolos la proposicin: Hoy es mircoles y tengo que dar un examen, pero si he estudiado entonces no saldr mal del examen

1.4 TEORA DE CONJUNTOS 1.4.1 NOCIN INTUITIVA DE CONJUNTO Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una coleccin de objetos que se caracterizan en algo comn. En matemtica tiene el mismo significado, slo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.La nocin simple de una coleccin o conjunto de objetos es fundamental en la estructura bsica de las matemticas y fue Georg Cantor en los aos 1870 quien primero llam la atencin de los matemticos a este respecto.Un conjunto es la reunin de objetos bien definidos y diferenciados entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. Ejemplos de conjuntos: : el conjunto vaco, que carece de elementos. N: el conjunto de los nmeros naturales. Z: el conjunto de los nmeros enteros. Q : el conjunto de los nmeros racionales. R: el conjunto de los nmeros reales. C: el conjunto de los nmeros complejos. 1.4.2 DETERMINACIN DE UN CONJUNTOHay dos formas de determinar conjuntos.Por extensin Forma Tabular: Cuando se enlista cada uno de los elementos que comprende el conjunto.A = { a, e, i, o, u }B = { 0, 2, 4, 6, 8 }C = { c, o, n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensin no se repite un mismo elemento.Por Comprensin Forma Constructiva: cuando se da una caracterstica o propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto.A = { x/x es una vocal }B = { x/x es un nmero par menor que 10 }C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }En el cuadro comparativo se indican las formas de determinacin de conjuntosPor extensinPor comprensin

A = { a, e, i, o, u }A = { x/x es una vocal }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un nmero par menor que 10 }

C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 }D = { x/x es un nmero impar menor que 10 }

E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }E = { x/x es una consonante }

Un conjunto se suele denotar encerrando a sus elementos entre llaves, si se define por extensin, o por comprensin. Por ejemplo:A = {1,2,3, ... ,n} B = {p Z | p es par}1.5 TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACO: Es el que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el smbolo o { }, pero no ambos. A = { x/x N x < - 5} A = { }A =

B = { x / x es un mes que tiene 53 das}B = { }B =

C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { }C =

D = { x / x es un da de 90 horas }D = { }D =

CONJUNTO UNIVERSAL: Contiene a todos los elementos posibles. Es un trmino relativo. Se le denota por la letra U. Sean los conjuntos:A = { aves }B = { peces } C = { conejos } D = { monos }Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = {animales}Grficamente se representa por un rectngulo Denominado diagramas de VENN Sean los conjuntos:E = { mujeres }F = { hombres }Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = {seres humanos}Grficamente se representa por un rectngulo tal como se observa a continuacin.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSIGUALDAD DE CONJUNTOSSe dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece tambin a A. La igualdad se denota A = B.En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

A = {1, 2, 3,4}C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}E = {vocal de la palabra mundo}B = {3, 4, 1,2}D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,}F = {u, o}A = BC = DE = F

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultneamente A B y B A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica). La relacin entre conjuntos iguales se denomina igualdad.INCLUSIN DE CONJUNTOS

Se dice que A est contenido en B o tambin que A es un subconjunto de B y se denota A B, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, a A a B. La relacin entre estos dos conjuntos se conoce con el nombre de inclusin.

CONJUNTOS DISJUNTOS: Si dos conjuntos A y B no tienen ningn elemento comn entonces A y B son disjuntos. La relacin se llama disyuncin.Conjuntos disjuntosConjuntos no disjuntos

A = { 2, 4, 6 }M = { o, p, q, r, s }

B = { 1, 3, 5 }N = { s, t, v, u }

A y B son disjuntos.M y N no son disjuntos.

C = { x/x es una letra del alfabeto}P = { x/x es una letra de la palabra aritmtica }

D = { x/x es un nmero }Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }

C y D son disjuntosP y Q no son disjuntos

CONJUNTOS INTERSECANTES: Si dos conjuntos A y B tienen por lo menos un elemento comn y otros que no son comunes entonces A y B son intersecantes. La relacin se llama intersecancia.Conjuntos intersecantesM = { o, p, q, r, s } N = { s, t, v, u }M y N son intersecantes por tener en comn la letra s.

P = { x/x es una letra de la palabra aritmtica } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }P y Q son intersecantesPARTES DE UN CONJUNTO O CONJUNTO POTENCIAEl conjunto formado por todos los subconjuntos A se llama partes de A, y se denota P (A).

Ejemplos: Si A = {a,b} entonces P (A) = { ,{a},{b},A}. Si a P A entonces {a} PP (A).La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2n . N = { 1, 2 }El conjunto N tiene 2 elementos

2n= { {1}, {2}, {1, 2}, }entonces 22 = 4 elementos

N = { 1, 2, 3 }El conjunto N tiene 3 elementos

2n = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2,3}, }

entonces 23 = 8 elementos

ACTIVIDAD

a. Conjunto es :...................................................................................................................b. El conjunto es vaco cuando:.......................................................................................... c. Si el conjunto A que tiene 4 elementos el conjunto de partes estar formado por........... subconjuntos d. Cuando A B B A se dicen que los conjuntos son :.............................................e. Los conjuntos son intersecantes cuando: f. Al conjunto que se expresa con la caracterstica comn est determinado por: g. Si A = {x/x es pas fronterizo con Ecuador} El conjunto esta expresado por .................h. Los conjuntos tienen relacin de inclusin cuando: 2.Los conjuntos escriba por tabulacin:a) El conjunto de los das de la semanab) Los nmeros impares menores de 11c) Los nmeros pares mayor que 10 y menor que 20d) Los nmeros primos menores de 15

3.Colocar V F segn lo afirmado sean verdadero o falso

a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 }b)y { o, p, q, x }c)x { o, p, q, y } d) Per { pases de Europa }e) Amazonas { ros de Amrica }

4.Clasifique los siguientes conjuntos, segn corresponda :

a) A = { x / x es da de la semana}

b)B = { vocales de la palabra vals}

c)C = { x N y x = x}

d)D = { x / x es un habitante de la luna}

e)E = { x N / x < 15}

f)F = { x N y 5 < x < 5 }

g)G = { x N y x > 15}

j)J = { x / x es nmero de caballos total de Riobamba}

1.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIFERENCIA DE CONJUNTOSSe denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos tambin como:A - B = {x / x A y x B}Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen Cuando tienenCuando todos los elementos de un

elementos comuneselementos comunesconjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:a)A - Cb)B - Cc)A - B

Tenemos: a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e }Representacin grfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = {a, e} y C = { d, f, g }B - C = { a, e }

Representacin grfica de la diferencia de conjuntos B y Cc) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }A - B = { b, c, d }Representacin grfica de la diferencia de conjuntos A y BDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOSi un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simblicamente se expresa: A' = { x/x U y x A }a)Sean U = { m, a, r, t, e }yA = { t, e }

Su complemento de A es:A' = { m, a, r }

En forma grfica:

b)Sean U = { letras de la palabra aritmtica}yB = { vocales palabra vida }

Determinado por extensin tenemos

U = { a, r, i, t, m, e, c }B = { i, a }

Su complemento de B es:B' = { r, t, m, e, c }

En forma grfica:

Es fcil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: ' = U . U ' = . (A')' = A . A B B' A' .Si A = { x U | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A' = { x U | p(x) es una proposicin falsa}.UNIN DE CONJUNTOSLa unin de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unin de conjuntos se define como:A U B = {x / x A o x B}En forma grfica:

Cuando no tienen Cuando tienen algunosCuando todos los elementos de un

elementos comuneselementos comunesconjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:a)A U Cb)B U Cc)A U B

Tenemos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representacin grfica de la unin de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Representacin grfica de la unin de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }A U B = { , 1, , 3, , 5 }

Representacin grfica de la unin de conjuntos A y B

INTERSECCIN DE CONJUNTOSe define la interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A interseccin B. La interseccin de A y B tambin se puede definir:

A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienenCuando no tienenCuando todos los elementos de un

elementos comuneselementos comunesconjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:a)A Cb)B Cc)A B

Tenemos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }A C = { , }

Representacin grfica de la interseccin de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 } B C = { } Representacin grfica de la interseccin de conjuntos B y C c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }A B = { , }Representacin grfica de la interseccin de conjuntos A y B

REFUERZO N 2

1)Colocar V F segn lo afirmado sean verdadero o falso

a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 }( )

b)y { o, p, q, x }( )

c)x { o, p, q, y }( )

d)Per { pases de Europa }( )

e)Amazonas { rios de Amrica }( )

2)Cules de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x / x es da de la semana}. . . . .

b)B = { vocales de la palabra vals}. . . . .

c)C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . .

d)D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . .

e)E = { x N / x < 15}. . . . .

f)F = { x N y 5 < x < 5 }. . . . .

g)G = { x N y x > 15}. . . . .

h)H = { x N y x = x}. . . . .

i)I = { x / x es presidente del Ocano Pacfico}. . . . .

j)J = { x / x es nmero de caballos total de Riobamba}. . . . .

ANALICE, SEALE Y JUSTIFIQUE LA RESPUESTA CORRECTA

3) Un conjunto es una coleccin... de objetos no definidos bien definida de objetos de cualquier clase de trminos no definido

4) Cuntas formas hay para determinar un conjunto? Hay una forma Hay cuatro formas Hay dos formas

5) A = {x/x es pas fronterizo con Ecuador} El conjunto esta por ... Comprensin Extensin Tabular

6) B = {x/x es una vocal de Internet} El conjunto es ... Unitario. Infinito. Finito.

7) Los que representan conjuntos disjuntos son ... A = {e, m, a, i, l} y B = {c, o, r, e} C = {3, 6, 9} y D = {4, 8, 12} E = {2, 4, 8} y F = {3, 4, 5}

8) La unin de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A U B = {c, h, a} A U B = {a, c, h, l, r, t} A U B = {l, r, t}

9) La interseccin de conjuntos de A = {n, e, w, s} y B = {n, o, t, i, c, a} Es un conjunto vaco Es un conjunto unitario Es un conjunto universal

10) La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A - B = { c, h, a } A - B = { r, l } A - B = { t }

11) Si U = {letras de la palabra evaluacin} y A = {vocal de la palabra internet}. El complemento de A es A' = {n, t, r} A' = {a, c, l, n, o, u, v} A' = {v, a, l, u, c}

12. Dadas las siguientes notaciones: a A, a A, C D, A, F E, A B =E.

A=B, A B = C, A B = D, De un ejemplo que ilustre cada notacin.

13. Dados A ={4,6,8,10,12}, B={3,5,7,9} y C={4,7,5,10,11} y ={x N:2< X < 13} halle:

a) A B b) (A B) Cc) (A - B ) (B - C)

d) (A - B) - B e) C - (A B ) f) [(AB) (C - B)]

14. Se hace una encuesta en un supermercado a 33 clientes que se encuentran haciendo compras, 3 de ellas no usan jabones del tipo A, ni B, peor C, 15 usan jabones solo del tipo A o solo del tipo C, las personas que usan jabones A y B son la mitad de los que usan jabones B y C y estos ltimos exceden en 5 a las personas que usan jabones solo del tipo B, el nmero de personas que utilizan jabones B es 3 veces mayor que el que usan solo A, no hay personas que usen A, B y C. Determine:

a) Cul de los jabones es el ms usado?b) Cuntas personas usan los jabones A, B o C?c) Cuntas usan los tres jabones?d) Cuntas utilizan A o B pero no C?e) Cuntas no usan jabones B?f) Cuntas utilizan jabones A y B pero no C?g) Cuntas no consumen A o B?

15. Entre un grupo de personas conversan sobre tres pelculas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto ninguna de las tres, la mitad del nmero de personas que han visto solo B es igual al que han visto C, las que han visto A y B es una tercera parte de los que solo B. 7 personas han visto la pelcula A y 5 han visto solo A. Las personas que ven C no ven ninguna otra pelcula. Determine:

a) Cuntas personas han visto A y B?b) Cuntas han visto B o C?c) Cuntas han visto solo A o solo B o solo C?d) Cuntas personas no han visto B?

16. Se hace una encuesta entre 25 personas sobre los barrios (A, B, C, D) en que ms les gustara vivir, y se encontr que ninguna persona dijo que les gustara vivir en cualquiera de tres barrios, el nmero de personas que les gustara vivir en C y D es igual al de personas que les agradara solo en C y es el mismo que el de personas que les gustara vivir en A y B y es igual a la mitad de los que les gustara vivir solo en B, 7 personas viviran en A, 20 personas viviran en B o C o D, todas las personas encuestadas eligieron al menos un barrio, 13 personas eligieron vivir en B o C. Determine:

a) A cuntas personas les gustara vivir en C?b) Cuntas personas eligieron un solo barrio?

17. A 11 personas les gusta los productos C, a 26 personas les gusta los productos A, B o C a 20 personas no les gustan los productos A, a 7 personas les gusta B pero no A, a 12 personas les gusta B, el nmero de personas que les gusta C es igual al de las personas que les gusta A. El mismo nmero de personas que les gusta A y B es igual al de personas que no les gusta ningn producto. Adems se conoce que no hay personas que les agraden los tres productos. Encuentre:

a) A cuntas personas les gusta A y B?b) A cuntas personas no les gusta B?c) A cuntas personas les gusta uno solo de los productos?d) A cuntas personas les gusta dos productos?

18. Se realiz una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes resultados: 14 personas toman coca-cola y sprite, 11 personas beben solo sprite, a 9 personas les gusta solo fanta, a 5 personas les gusta las tres colas; el nmero de personas que beben solo coca-cola y fanta es igual al de personas que toman solo fanta y sprite, se conoce adems que el nmero de personas que toman sprite es 3 ms de los que toman fanta y 3 ms de los que toman coca-cola; a 40 personas toman otro tipo de colas. Se pregunta:

a) Cuntas personas toman coca-cola y fanta?b) Cuntas personas toman solo coca-cola?c) Cuantas toman cualquiera de estas colas?

19. En un sondeo realizado a 123 empleados de una empresa se obtuvieron los siguientes datos: 49 poseen casa, 50 tienen automvil, 42 finca, 14 casa y automvil, 19 casa y finca, 24 automvil y finca, 9 poseen los tres bienes y 93 por lo menos uno de los tres bienes. Se desea saber: ( utilice los diagramas de Ven ) a) El nmero de personas que no tienen ninguno de los tres bienes.b) El nmero de personas que tiene uno de los tres bienesc) El nmero de personas que slo tiene casa.d) El nmero de personas que tienen automvil y finca solamente.

20. En un curso de la universidad hay 100estudiantes de los cuales 28 estudian Qumica, 35 estudian trigonometra, 33 Algebra, 15 Qumica y Trigonometra, 8 Qumica y lgebra; 9 Trigonometra y lgebra y 7 estudian Qumica, Trigonometra y lgebra

a) Cuntos no estudian ninguna materia?b) cuntos estudian slo Trigonometra?c) Cuntos estudian slo Qumica? d) Cuntos estudian slo lgebra.?

21. 190 Estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Hall y Knight, 80 libros Mataix, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Hall y Knight y Mataix, 30 estudiantes piden los libros de Hall y Knight y Ardura, 40 estudiantes solicitan los libros de Mataix y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un libro.

a) Cuntos estudiantes piden los tres libros?b) Cuntos estudiantes piden Mataix pero no Ardura?c) Cuntos estudiantes piden Hall y Knight o Ardura?d) Cuntos estudiantes piden Hall y Knight y Ardura o Mataix y Hall y Knight?

22. Se reparten 180 productos del tipo A, B y C entre 125 personas de tal manera que a cada persona le corresponde al menos un productos, 15 personas recibieron productos solo del tipo A y B, 35 recibieron A y C o B y C; el nmero de personas que recibieron solo A excede en 10 al de personas que recibieron solo B, el nmero de personas que recibieron A es igual al nmero de personas que recibieron B y es igual al de personas que recibieron C. Se pide:

a) Cuntas recibieron los tres tipos de productos?b) Cuntas recibieron solo productos del tipo C?c) Cuntas recibieron productos de tipo A y B?

Lgica Matemtica Dra. Susana Pino MgS.Pgina 23