LÍMITES - CENTRO DE MULTIMEDIOS - EPN

Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

CÁLCULO EN UNA VARIABLE

LÍMITES

EJERCICIOS RESUELTOS

Ing. Ezequiel A. Guamán T.

Septiembre, 2013


LÍMITES: Ejercicios resueltos 3 septiembre 2013

1. Demostrar: 237lim3

xx

Puesto que x37 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto

que contenga a 3 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe

demostrar que:

Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 23730 xx

Análisis previo:

si xx 3930

si 333330 xxxx

si 3

1330 xx

Demostración:

El último enunciado indica que es adecuado tomar 3

1 . Con esta elección de se

establece el siguiente argumento:

33933333330 xxxx

3

12373237 que yaxx

Así, se ha establecido que si 3

1 , el siguiente enunciado se cumple:

si 23730 xx

Esto demuestra que

237lim3

xx

2. Demostrar: 21

1lim

2

1

x

x

x

Factorizando el numerador y, luego, simplificando, el límite se transformaría en:

21lim

1

11lim

1

1lim

11

2

1

x

x

xx

x

x

xxx

Como 1x está definido x , cualquier intervalo abierto que contenga a 1

cumplirá con el primer requisito de la definición épsilon-delta.


Ahora se debe demostrar que

,0,0 tal que si: 2110 xx

Análisis previo:

si 110 xx

El último enunciado muestra que es adecuado tomar . Con esta elección , se


212111110 xxxx

Así, se ha establecido que si , el siguiente enunciado se cumple:

si 2110 xx

Esto demuestra que:

21lim1

xx

, y por consiguiente que 21

1lim

2

1

x

x

x


xx

Puesto que 12 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que

contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe

demostrar que:


Análisis previo:

si 8240 xx

si 4240 xx

si 2

1440 xx

Demostración:




291228224240 xxxx

2

1912 que yax




si 91240 xx

Esto demuestra que

912lim4

xx


xx

Puesto que 85 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto

que contenga a 1 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se

debe demostrar que:


Análisis previo:

si 5510 xx

si 1510 xx

si 5

1110 xx




538555551510 xxxx

5

1385 que yax



si 38510 xx

Esto demuestra que

385lim1

xx



xx

Por definición:

bxfax

lim ssi bxfaxx 0,00

22lim2

xx

ssi 2220,00 xxx

Análisis previo:

22x

22

2222

x

xx

22

12

22

2

xx

x

x

Hipótesis:

2x

Se toma un entorno de 3,1 donde 1 :

12 x

121 x

523 x

523 x

252223 x

23

1

22

1

25

1

x

23

1

22

1

x

Se tiene dos relaciones:

1) 23

1

22

1

x

2) 20 x

1) x 2):

2322

2

x

x


2323

23,1 min

23

Demostración:

H: 1) 20 x 2) 23

1

22

1

x

1)

22

12

22

1

xx

x 2)

23

1

22

1

x

Por la ley transitiva:

23

1

22

1

22

2

xx

x se multiplica 1 y 2 miembro a miembro

23

1

22

2

x

x pero 23

2323

1

22

2

x

x

22

2

x

x

Multiplicando por la conjugada:

2

222

2222

222

x

xx

xx

xx

22x

2xf

22lim2

xx

ssi 2220,00 xxx


752lim

2

2

1

rr

rr

r6.

,

0

0

77

11

71512

11

752lim

2

2

2

2

1

rr

rr

rindeterminación

172

1lim

752lim

12

2

1

rr

rr

rr

rr

rr(factorizando),

72lim

752lim

12

2

1

r

r

rr

rr

rr(simplificando),

712

1

752lim

2

2

1

rr

rr

r(aplicando el límite),

9

1

72

1

752lim

2

2

1

rr

rr

r

2

16lim

2

4

k

k

k7.

,0

0

22

1616

24

164

2

16lim

22

4

k

k

k indeterminación

2

422lim

2

44lim

2

16lim

44

2

4

k

kkk

k

kk

k

k

kkk(factorizando),

42lim2

16lim

1

2

4

kk

k

k

rk(simplificando),

44242

16lim

2

4

k

k

k(aplicando el límite),

32842

16lim

2

4

k

k

k

h

xhx

h

22

0lim

8.

h

xhhxx

h

xhx

hh

222

0

22

0

2limlim

(expandiendo

2)( hx ),

h

hhx

h

xhx

hh

2

0

22

0

2limlim

(reduciendo),

hx

h

hxh

h

xhx

hhh

2lim

2limlim

00

22

0(factorizando y simplificando),

xx

h

xhx

h202lim

22

0

(aplicando el límite),


111

sen

sensenlim

senlim

sensenlim

,sen

sensensenlim

sensen

sen

senlim

sensenlim

sensenlim

000

000

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

x9.

11

1

01

1

0sen1

0cos

sen1

coslim

sen1

coslim

0

0

x

x

x

x

x

x10.

11

1

1

0cos

senlim

coslim

sen

coslim

sen

coslimcotlim

cotlim

0

0

000

0

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

xx

x

x

xxx

x11.

4

8lim

2

3

2

h

h

h12.

22

422lim

4

8lim

2

22

3

2

hh

hhh

h

h

hh(factorizando),

2

42lim

4

8lim

2

22

3

2

h

hh

h

h

hh(simplificando),

22

4222

4

8lim

2

2

3

2

h

h

h(aplicando el límite),

34

12

4

444

4

8lim

2

3

2

h

h

h

x

x

x

senlim13.

Sea

2

1

txxt

txxt 0,

Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:

1

senlim

senlim

senlim

senlim

000

t

t

t

t

t

t

x

x

tttx


x

x

x

2

1

sen1lim

2

14.

Sea

2

1

txxt

txxt

2

1

2

1

02

1,

2

1


t

t

t

t

t

t

x

x

tttx

2

1sen1

lim2

1sen1

lim2

1sen1

lim

2

1

sen1lim

0002

0cos1

lim2

1sen1

lim

2

1

sen1lim

002

t

t

t

t

x

x

ttx

x

x

x cos

2

1

lim

2

15.

Sea

2

1

txxt

txxt

2

1

2

1

02

1,

2

1


11

1

senlim

1lim

sen

1lim

senlim

2

1cos

limcos

2

1

lim

0

0

0002

t

t

t

tt

t

t

t

x

x

t

t

tttx


21

11

0cos

1

1

1

cos

1lim

sen

1lim

sen

tanlim

,cos

1

sen

1lim

sen

cos

sen

sen

1lim

sen

tan

senlim

sen

tanlim

sen

tanlim

000

0000

0

x

x

xx

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xxxx

x16.

2

2

4coscoslim

tan1

cossenlim

,

cos

sencos

sencoslim

cos

sencos

cossenlim

cos

sen1

cossenlim

tan1

cossenlim

tan1

cossenlim

44

4444

4

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

xx

xxxx

x17.

xx

x

1senlim

18.

Sea

2

1

tx

xt

txx

t

11

0,1


1sen

limsen1

lim1

senlim00

t

tt

txx

ttx


253

13lim

23

1

xx

x

x19.

213

13lim

253

13lim

312

31

xx

x

xx

x

xx(factorizando el denominador),

2

1lim

253

13lim

312

31

xxx

x

xx(simplificando),

23

1

1

253

13lim

23

1

xx

x

x(aplicando el límite),

7

3

3

7

1

3

61

1

253

13lim

23

1

xx

x

x

2

1

32lim

;002

10

312

11

lim32

lim32

lim32

lim

32lim

3

34

32

7

333

3

3

3

3

4

3

3

3

34

3

34

3

34

xx

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

x20.

xx

senlnlim

2

21.

01ln2

senlnsenlnlim

2

x

x(aplicando el límite directamente)


49

32lim

27

x

x

x22.

3249

3232lim

49

32lim

2727

xx

xx

x

x

xx

multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,

,

3277

7lim

3249

7lim

49

32lim

,3249

34lim

3249

34lim

49

32lim

72727

272727

xxx

x

xx

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xxx

xxx

,

414

1

2214

1

49

32lim

,4214

1

37277

1

327

1lim

49

32lim

27

727

x

x

xxx

x

x

xx

56

1

49

32lim

27

x

x

x

xxx

xxxx

x

xx

x

xx

xx

x

11

1111lim

11lim

11lim

00

023.

multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,

xxx

xx

x

xx

xx

11

11lim

11lim

00

producto de la suma por la diferencia de dos cantidades,

xxx

xx

x

xx

xx

11

11lim

11lim

00(suprimiendo paréntesis),

xxx

x

x

xx

xx

11

2lim

11lim

00(reduciendo),

xxx

xx

xx

11

2lim

11lim

00(simplificando),

0101

211lim

0

x

xx

x (aplicando el límite),

111

lim0

x

xx

x


553

123lim

5

x

x

x24.

Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión.

12355553

55123123lim

553

123lim

55

xxx

xxx

x

x

xx

multiplicando el numerador y el denominador por 55123 xx ,

,1232553

55129lim

1232553

55129lim

553

123lim

555

xx

xx

xx

xx

x

x

xxx

,123515

5552lim

1232553

55210lim

553

123lim

555

xx

xx

xx

xx

x

x

xxx

152315

5552

12315

552lim

553

123lim

55

x

x

x

x

xx(aplicando el límite),

9

2

615

102

3315

552

9315

5252

553

123lim

5

x

x

x

,

x

xxx

xx

x

xx

xx

xxx

x

cos

senlimtanlimtanlim

0

tanlim

00

25.

,

sen

cos

1limsen

cos

1limtanlim

00

x

x

xx

x

xx

x

xxx

,

senlim

cos

1lim

senlim

cos

1limtanlim

0000

x

x

xx

x

xx

x

xxxxx

111

0cos

1tanlim

xx

x


x

x

x 3284

223lim

2

26.

Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión.

xx

xx

x

x

xx 3283284

328223lim

3284

223lim

22

multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador,

,32644

328223lim

3284

223lim

22 x

xx

x

x

xx

efectuando el producto conjugado en el denominador,

, 2232644

32822223lim

3284

223lim

22

xx

xxx

x

x

xx

multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del factor 22 x del

numerador,

,2232644

328423lim

3284

223lim

22

xx

xx

x

x

xx

efectuando el producto conjugado en el numerador,

,222128

23283

22128

3283lim

222128

32823lim

3284

223lim

222

x

x

xx

xx

x

x

xxx

32

3

4128

163

22128

883

24128

6483

3284

223lim

2

x

x

x

422lim

2

422lim

2

8lim

2

8lim

23

2

231

2

23

3

2

3

3

2

xxx

x

xxx

x

x

x

x

xxx

x27.

044404222222

8lim 3

223

2

3

3

2

x

x

x


x

x

x

28lim

3

0

28.

,

4828

482828lim

28lim

28lim

31

32

31

32

31

0

31

0

3

0

xxx

xxx

x

x

x

x

xxx

,

4828

88lim

4828

28lim

28lim

31

3203

13

2

3

0

3

0

xxx

x

xxx

x

x

x

xxx

,

4828

1lim

4828

lim28

lim3

13

2031

320

3

0

xxxxx

x

x

x

xxx

12

1

444

1

480280

128lim

31

32

3

0

x

x

x

1

43lim

3

2

2

x

xx

x29.

12

4232

1

43lim

3

2

3

2

2

x

xx

x(aplicando el límite directamente),

149

14

18

464

1

43lim

3

2

2 3

1

x

xx

x

2

2

0

2sen

limx

x

x30.

,

2

2sen

2

2sen

lim4

12sen

2sen

lim2sen

lim002

2

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

,1

senlim

4

1

2

2sen

lim

2

2sen

lim4

12sen

lim0002

2

0

kx

kx

x

x

x

x

x

x

xxxx 11

4

12sen

lim2

2

0

x

x

x


,4

4sen

2

2cos

2sen

lim1284

4sen

2

2tan42lim

4sen2tantanlim

,4

4sen4

2

2tan2lim

4sen2tanlim

4sen2tanlim

4sen2tanlim

5

0

55

06

25

0

5

05

5

06

5

0

6

5

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xxx

x31.

,4

4sen

2cos

1

2

2senlim128

4sen2tanlim

5

06

5

0

x

x

xx

x

x

xx

xx

1281111284

4senlim

2cos

1lim

2

2senlim128

4sen2tanlim

5

0

5

006

5

0

x

x

xx

x

x

xx

xxxx

01

01

cos

0sen1

tanlim

,cos

senlim

senlim

cos

sensenlim

cos

senlimcos

sen

limtan

lim

tanlim

22

2

0

200202

2

0

2

2

0

2

0

2

0

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxxx

x

32.

,cossen

cos

sencos

limcossen

cos

sen1

limcossen

cos

sen1

limcossen

tan1lim

cossen

tan1lim

4444

4

xx

x

xx

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

x

xxxx

x

33.

,

cos

1lim

cossencos

cossenlim

cossencos

sencoslim

cossen

tan1lim

4444xxxx

xx

xxx

xx

xx

x

xxxx

22

22

2

2

2

2

1

4cos

1

cossen

tan1lim

4

xx

x

x


2

2

0

39lim

x

x

x

34.

,39

99lim

39

3939lim

39lim

22

2

022

22

02

2

0

xx

x

xx

xx

x

x

xxx

,

390

1

39

1lim

39lim

39lim

22022

2

02

2

0

xxx

x

x

x

xxx

6

1

33

1

39

139lim

2

2

0

x

x

x

h

h

h

2

0

cos1lim

35.

,cos1lim

cos1limcos1

cos1lim

cos1lim

000

2

0h

h

hh

h

h

h

h

hhhh

;0

cos1lim00cos10

cos1lim

0

2

0

h

h

h

h

hh

xxxx

2lim36.

xxxx

2lim

,limlimlimlim22

22

2

222

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

,

11

1

1lim

1

1lim

1limlimlim

2

222

2

xx

xx

x

x

x

xx

x

xxx

x

x

xxxxxxxx

2

1

11

1

11

1

101

1lim 2

xxx

x


x

x

x 32

74lim

37.

x

x

x

x

x

x

x

x

xx 32

74

lim32

74lim

(dividiendo cada término por x ),

32

74

lim32

74lim

x

x

x

x

xx(simplificando),

,30

70

3lim2

lim

7lim4

lim

32

74

lim32

74lim

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

3

7

32

74lim

x

x

x

1

2lim

2

x

x

x38.

xx

xxx

x

x

x

xx 1

2

lim1

2lim

2

2


x

xx

x

x

xx 11

2

lim1

2lim

2

(simplificando),

11lim1lim

1lim2limlim

1

2lim

2

x

xx

x

x

xx

xxx

x

1

2lim

2

x

x

x


Analizar la continuidad de las siguientes funciones

,,24

213

2

f

xx

xxxf Dom

si

si39. en 2x

,044242)( 2 fi existe

xf

xxf

xxfii

x

xx

xx

222

22

22lim

044244limlim

512313limlim)(

no existe;

Por lo tanto, f es discontinua en 2, f es continua en todo número excepto en 2.

,,

11

12

1

f

xx

xx

xf Dom

si

si

40. en 1x

,11

1

21

11)(

fi existe

xf

xxf

xxfii

x

xx

xx

1

11

11lim

11

11limlim

11

1

21

1

2

1limlim)(

no existe;

Por lo tanto, f es discontinua en 1.

2

1

x- no existe cuando 2x , pero el domino aquí es 1,

x

1 no existe cuando 0x , pero el domino aquí es ,1

f es continua en todo número excepto en 1

Definición de continuidad



1,

44

41

1

f

xx

xxxf Dom

si

si

41. en 4x

0444)( fi

xf

xxf

xxfii

x

xx

xx

4

44

44 lim

0444limlim

5

1

14

1

1

1limlim)(

no existe;

Por lo tanto, f es discontinua en 4.

f es continua en todo número excepto en .41,-

3;32

33

x

x

xxxf

si

si42.

3,2

3,3

3,3

x

xx

xx

xf

Por lo tanto, f es continua en 3x .

23)( fi

0333lim3limlim)(333

xxxfiixxx

0333lim3limlim333

xxxfxxx

por lo tanto, 0lim3

xfx

;lim3)(3

xffiiix

Por lo que, f es discontinua en 3. Dicha discontinuidad es eliminable y desaparece si

redefinimos 3f




2;2

242

t

tt

tttf

si

si43.

044422)( 2 fi

044424limlim)( 22

22

ttfii

xt

2limlim22

ttf

tt

por lo tanto, tft 2lim

no existe;

Por lo tanto, f es discontinua en 2. Dicha discontinuidad es esencial.

0;55

yy

yyf44.

5555

55

55

555555

yy

y

yy

y

yy

yy

y

y

0)( fi no existe; f es discontinua en 0

10

5

52

1

550

1

55

1lim

55limlim)(

000

yyy

yyfii

yyy

La discontinuidad es eliminable; la discontinuidad desaparece si se redefine 10

50 f

3

2;

23

49 2

x

x

xxf45.

3

2)( fi no existe; por lo tanto, f es discontinua en 3

2

;42

3

2323lim

23

2323lim

23

49limlim)(

32

32

2

32

32

x

x

xx

x

xxfii

xxxx

Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se

debe redefinir 43

2

f .





2;223

29 2

t

tt

tttf

si

si46.

549292)( 2 fi

existe; no tftftf

ttf

ttfii

ttt

tt

xt

222

22

22

22 limlimlim82622323limlim

549299limlim)(

Por lo tanto, f es discontinua en 2, y la discontinuidad es esencial

3;13

12

32

12 2

2

2

x

xx

xx

xx

xxxf47.

33)( en adiscontinu estanto, lo por existe; no ffi

;

4

7

13

43

1

4lim

13

34lim

32

12limlim)(

332

2

33

x

x

xx

xx

xx

xxxfii

xxxx

Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se

debe redefinir 4

73 f .




6159

5913

6353

5313

65

51

3

65

51

3

134

39

1313

3332

11

32lim

11

32lim

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx48.

;0

0

22

33 0

0

66

22

indeterminación en el interior del valor absoluto y en el exponente.

65

51

3

2

2

11

32lim

xx

xx

x xx

xx

51

51

65

51lim

3

2

2

2

2

3

11

11

32

32

11

32lim

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

5165

512lim

2

2

3

22

22

3

32

11

121

32lim

xxxx

xxx

x

x

xx

xx

xxx

xx

5123

512lim

2

2

3

2

22

3

32

11

121

32lim

xxxx

xxx

x

x

xx

xx

xxx

xx

5123

512lim

2

2

3

23

32

11

121

32lim

xxxx

x

x

x

xx

xx

xxx

xx

5123

62lim

3

23

32

11

3

13lim

xxxx

x

x

x

xx

xx

xx

xx

5123

32lim

3

23

32

111lim

xxxx

x

x

x

xx

xx

x

x

512

2lim

3

23

32

111lim

xxx

x

x

xx

xx

x

x

591323

2

3332

1313

3

13

4

23

2

2

22

3

8

9

3

4

3

2

6

4

3

4

33

22

3

4 2

1

2

1

22

2

421

2

4

23

11

32lim

65

51

3

2

2

xx

xx

x xx

xx


2

2

1

2

2

12

13lim

x

x

x xx

xx

49.

21

2

2

2

lim

2

21

2

2

12

13lim

12

13lim

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

,

12

13

12lim

13lim

12

13lim

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

x

xindeterminación

2

2

2

2

2

2

2

2

112

113

lim12

13

lim12

13lim

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

xxx

2

3

002

003

1lim

1lim2lim

1lim

1lim3lim

2

2

xx

xx

xxx

xxx

,

11lim

lim

1lim

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

xindeterminación

110

1

1lim1

lim

1lim

11

1lim

1lim

1lim

222

2

2

2

2

2

xx

x

xxx

xxx

x

x

x

x

x

3

2

2

3

12

13lim

11

2

2 2

2

x

x

x xx

xx


ttt

t

1

05

5

42

5

1lim

50.

y ;1

lim155

42

5

1lim

00

tt

tt

testo es,

tt 5

5

42

5

1tiene la forma indeterminada

1

Entonces, sea:

,55

42

5

1ln

15

5

42

5

1lnln

55

42

5

1

1

1

ttttt

ttt

ty

y (1),

De modo que:

(2),t

y

tt

tt

55

42

5

1ln

limlnlim00

Hallemos el límite del miembro derecho de (2):

0lim055

42

5

1lnlim

00

t

t

tt

t y

Esto es, f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0 ; por lo que para calcular el límite es

aplicable la regla de L’Hopital:

(3)5

2ln5ln45

5

42

5

1ln

lim

;5

2ln5ln4

254

2ln25ln54

1

254

2ln25ln54

lim

55

42

5

1ln

lim

0

00

00

00

t

t

tt

t

tt

tt

t

tt

t

Sustituyendo (3) en (2), se obtiene:

;5

2ln5ln4lnlim

0

y

t

(4) en (1)

(4);

51

5

2ln5ln41

0

5

2ln5ln4

0

125055

42

5

1lim

lnlim

e

ey

ttt

t

t


1

10

2

1lim

22

x

x

x

x

x51.

,23

199lim

23

201021lim

1

10

2

1lim

2

2

2

232322

xx

xx

xx

xxxxxx

x

x

x

x

xxx

,23

199

lim1

10

2

1lim

222

2

222

2

22

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

(dividiendo cada término por

2x ),

,23

1

1991

lim1

10

2

1lim

2

222

xx

xx

x

x

x

x

xx

(simplificando),

,001

001

1

10

2

1lim

22

x

x

x

x

x(evaluando el límite y utilizando el Teorema de Límite),

11

10

2

1lim

22

x

x

x

x

x

bxaxxx

lim52.

,limlim 2 abxbaxxbxaxxxx

abxbaxx

abxbaxxabxbaxxbxaxx

xx

2

22

limlim

(multiplicando y dividiendo la expresión por su conjugada),

,limlimlim

22

22

abxbaxx

abxba

abxbaxx

abxbaxxbxaxx

xxx

,limlim

2

x

abxbax

x

x

x

ab

x

xba

bxaxxxx



2

2

1

limlim

x

abxbax

x

abba

bxaxxxx

(simplificando e introduciendo la x bajo el signo radical),

,

11

limlim

22 x

ab

x

ba

x

abba

bxaxxxx

(separando términos y simplificando),

,0011

0lim

babxaxx

x(evaluando el límite y utilizando el Teorema de Lím),

211

limbaba

bxaxxx

12

1lim

21

xx

x

x53.

,

12

121lim

1212

121lim

12

1lim

22

2

122

2

121

xx

xxx

xxxx

xxx

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

xxx

1lim

12lim

1

12lim

1

121lim

12

1lim

1

2

12

12

2

121

2111212lim 22

1

xx

x

: constante positiva

Cuando 1x , x1 tiende a 0 , y lo hace a través de valores negativos.

Se obtiene:

12

1lim

21 xx

x

x


4

3

43

2lim

24 tttt

54.

,

14

132lim

4

3

14

2lim

4

3

43

2lim

442

4

tt

t

tttttt ttt

,

14

35lim

14

332lim

4

3

43

2lim

442

4

tt

t

tt

t

ttt ttt

4

1lim

1

35lim

4

3

43

2lim

442

4

tt

t

ttt ttt

Ahora

5

17

5

17

14

435

1

35lim

4

t

t

t

: constante negativa (1)

negativos valores de través a hace lo y a tiende

positiva constante

:

,04,4

11lim

:4

1lim 4

4 tttt

t

De lo anterior, se concluye que:

4

1lim

4 tt

(2)

De (1) y (2), se concluye que:

4

1lim

1

35lim

44 tt

t

tt

4

3

43

2lim

24 tttt

x

x

x 4

2cos1lim

0

55.

002

1

2

2cos1lim

2

1

2

2cos1

2

1lim

4

2cos1lim

000

x

x

x

x

x

x

xxx


x

x

x

2

1cos1

3lim

2

2

0

56.

,

2

12

1sen

lim

12lim

2

12

1sen

12lim

4

12

1sen

4

1

3

lim

2

1sen

3lim

2

1cos1

3lim

2

0

0

20

2

2

2

2

02

2

02

2

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

121

12

2

1cos1

3lim

22

2

0

x

x

x

x

x

x 2

tanlim

057.

,cos

1lim

senlim

2

1

cos

1senlim

2

1

cos2

senlim

2

cos

sen

lim2

tanlim

000000

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxxxx

2

1

1

1

2

1

0cos

11

2

1

2

tanlim

0

x

x

x

20

senlim

x

x

x 58.

,1

limsen

lim1sen

limsen

lim000

20 xx

x

xx

x

x

x

xxxx

1sen

lim2

0 x

x

x

x

x

x 3sen

2lim

059.

3

2

1

3

2

3

3senlim

3

2lim

lim

3

3sen3

2

lim3sen

2lim

0

0

000

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx


x

x

x 7sen

9senlim

060.

,

7

7sen9

9sen

lim7

9

7

7sen9

9sen

7

9lim

7

7sen9

9sen

7

9lim

7

7sen79

9sen9

lim7sen

9senlim

00000

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

xxx

xx

x

x

xxxxx

7

9

1

1

7

9

7

7senlim

9

9senlim

7

9

7sen

9senlim

0

0

0

x

xx

x

x

x

x

x

x

2

3

0

senlim

x

x

x61.

,sen

limsen

limsenlimsensen

senlimsen

lim00002

3

0 x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

xxxxx

010110sensen

lim2

3

0

x

x

x

5

5

0 4

2senlim

x

x

x62.

,

2

2senlim8

2

2senlim8

2

2sen8lim

32

2sen8lim

4

2senlim

5

0

5

05

5

05

5

05

5

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxx

8184

2senlim

5

5

5

0

x

x

x

x

x

x

4cos1lim

0

63.

004

4

4cos1lim4

4

4cos14lim

4cos1lim

000

x

x

x

x

x

x

xxx


3

2

0

1senlim

xx

x64.

Como 1sen1 t para cualquier t ,

1sen0 t para cualquier t ,

11

sen03

x

si 0x ,

2

3

2 1sen0 x

xx si 0x (1)

Como 00lim0

x

y 0lim 2

0

x

x, de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se

concluye que:

01

senlim3

2

0

xx

x

xxxgxgx

,324,lim4

3 si 65.

, 444

32432324 xxgxxxg

(1) 43243244 xxgx

Como

; 4432lim432lim4

3

4

3

xx

xx

de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se deduce que:

4lim3

xgx


xxxgxgx

,253,lim2

2 si 66.

, 222

25325253 xxgxxxg

(1) 32532522 xxgx

Como

; 3325lim325lim2

2

2

2

xx

xx

de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se deduce que:

3lim2

xgx

x

x

x

4senlim

067.

4144

4senlim4

4

4sen4lim

4senlim

000

x

x

x

x

x

x

xxx

n

n

n n

n

1

1lim

68.

Caso 1. Si n es par positivo o negativo 11 n

101

01

11

11

lim1

1lim

n

n

n

n

nn

Caso 2. Si n es impar positivo o negativo 11 n

101

01

11

11

lim1

1lim

n

n

n

n

nn

Como para ambos casos el lim es igual a 1:

1

1

1lim

n

n

n n

n


nnn

1lim69.

En todos los límites donde el denominador no tenga términos en “ n ”; se debe buscar

tales términos, en este caso, basta multiplicar el numerador y denominador por la

conjugada.

nnnn

nnnn

nn

nn

nnn

1

1lim

1

1lim1

1

1lim

Dividiendo para n :

02

0

101

0

11

1

1

lim

11

1

lim1

1

lim

n

n

n

n

n

n

nn

n

nnn

1

432lim

4

2

x

xx

x70.

Dividimos para 4x :

4

2

2

4

4

2

4

4

2

11

4321

lim1

4321

lim1

432lim

x

xxx

x

x

xxx

x

xx

xxx

pero como :; 22 xxx

2

01

002

11

432

lim1

1

4321

lim1

1

4321

lim

4

2

4

2

2

4

2

2

x

xx

x

xxx

x

xxx

xxx


3

32lim

xx

x

x

71.

Dividiendo para 3 3x :

201

02

11

32

lim

32

lim32

lim3

323 3

3

3 3

3

x

x

x

xx

x

x

xx

x

xxx

xx

x

x 10lim

2

72.

Dividimos a toda la expresión para 2x :

00

1

110

1lim

10lim

10lim

222

2

2

2

xxx

xx

x

x

x

xx

x

xxx

xxx

x

x lim73.

Dividimos a toda la expresión para x :

21

1lim

1limlimlim

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

xxx

x

xxxx

1001

1

111

1

11

1lim

34

xxx

x

x

x


3 31lim xxx

74.

Multiplicamos y dividimos para la conjugada:

3 233 32

3 233 323 3

3 3

11

111

lim1lim

xxxx

xxxxxx

xxxx

3 233 323 233 32

33

11

1lim

11

1lim

xxxxxxxx

xx

xx

3 633 32 211

1lim

xxxxxx

El x de mayor exponente es 6x pero por encontrarse dentro de una raíz cúbica el x de

mayor exponente será 23 6 xx . Por lo tanto dividimos a toda la expresión para 2x :

36

633 3

2

3 6

3 63

2

3 3

2

2

2

2111

1

lim211

1

lim

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xx

336

33

2

3363 3

3 3

2

121

11

1

1

lim

1211

1

1

lim

xxx

x

xxx

x

x

xx

0

3

0

111

0

100101

0

33


1lim

2 x

x

x75.

El x de mayor exponente es 2x pero por estar dentro de una raíz cuadrada el x de

mayor exponente es xx 2 . Pero como ;, xxx por lo tanto dividimos a toda

la expresión para 2x tomando en cuenta la restricción del valor absoluto:

101

1

11

1lim

1lim

1lim

22

22

xx

x

x

x

x

xxx

1lim

2 x

x

x76.

El x de mayor exponente es 2x pero por estar dentro de una raíz cuadrada el x de

mayor exponente es xx 2 . Pero como ;, xxx por lo tanto dividimos a

toda la expresión para 2x tomando en cuenta la restricción del valor absoluto:

101

1

11

1lim

1

1lim

1lim

22

22

xx

xx

x

xxx

2

13lim

xx

x77.

2

3

2

13lim

13lim

x

x

xx

xx


0

3

0

03

1

13

lim3

x

x

x

Nota.- en este caso tenemos que analizar el signo de 2

3 13

x

x cuando x .

Para esto utilizamos un número relativamente grande que se acerque a , por ejemplo

10 . Al reemplazar 10 el signo será negativo para dicha expresión, por lo tanto la

respuesta es .


x

xx4

2lim

278.

2

3

2

42lim4

2lim

x

xx

x xx


0

4

0

40

1

42

lim3

x

x

x

Nota.- en este caso tenemos que analizar el signo de 2

342

x

x cuando x .

Para esto utilizamos un número relativamente grande que se acerque a , por ejemplo

10 . Al reemplazar 10el signo será negativo para dicha expresión, por lo tanto la

respuesta es .

3 33 3 1lim

xxxx

79.

Multiplicamos y dividimos para la conjugada:

3 233 333 23

3 233 333 233 33 3

11

111

lim

xxxxxx

xxxxxxxxx

x

3 233 333 23

33

11

1lim

xxxxxx

xxx

x

3 233 333 23 11

1lim

xxxxxx

x

x

3 463 333 246 1212

1lim

xxxxxxxx

x

x

El x de mayor exponente es 6x pero por encontrarse dentro de una raíz cúbica, el x de

mayor exponente es 23 6 xx , por lo tanto dividimos a toda la expresión para

2x :


36

46

36

33

36

246

2

1212

1

lim

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

x

362

36353

342

2

121

1111121

11

lim

xxxxxxxx

xx

x

0

2

0

0010000001

00lim

333

x

2

3

0

senlim

x

x

x80.

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxxxsenlim

senlim

senlimsen

sensenlim

senlim

00002

3

0

00110sen11senlim110

xx

x

x

x 3senlim

2

2

081.


2

202

2

0 3sen

1lim

3senlim

x

xx

x

xx

Multiplicamos y dividimos al denominador para 9 :

9

1

119

1

3

3senlim

3

3senlim3lim

1lim

9

3sen9

1lim

000

0

2

20

x

x

x

x

x

x

xxx

x

x


x

x

x

3sen

senlim

182.

Sea yxxy ;1; :

yyyy

y

y

y

x

x

yyx sen2coscos2sen

senlim

3sen

senlim

3sen

senlim

1

yyy

y

yyyyy

y

yy 2coscos2sen

senlim

sen2coscoscossen2

senlim

2

3

1

12

1

2coscos2

1

2coscos2

1lim

22

yyy

xx

x

senlim

83.

Sea y

xyxx

y

;0;; :

1sen

limlimsenlimsenlim000 y

yy

yxx

yyyx

20

cos1lim

x

x

x

84.

xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

xxxx cos1

senlim

cos1

cos1lim

cos1

cos1cos1lim

cos1lim

2

2

02

2

02020

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx cos1

1lim

senlim

senlim

cos1

1sensenlim

0000

2

1

11

1

0cos1

111


ax

ax

ax

sensenlim85.

22

2sen

2cos2

lim2sen

2cos2

limsensen

limax

axax

ax

axax

ax

ax

axaxax

2

2sen

2coslim

2

2sen

2

2cos2

limax

ax

ax

ax

axax

axax

aaa

ax

ax

ax

axaxcos1

2cos

2

2sen

lim2

coslim

2

tglim

2 x

x

x

86.

Sea 2;0;0;2;2 yxyyxxy :

y

y

y

y

y

y

x

x

yyyx

tglim

2tglim

2tglim

2

tglim

0002

1

tglimlim

tglim

000 y

y

y

y

yyy

x

xx

xtg1

cossenlim

4

87.

xx

xxx

x

xx

xx

x

x

xx

x

xx

xxxxsencos

cossencoslim

cos

sencos

cossenlim

cos

sen1

cossenlim

tg1

cossenlim

4444

2

2

4coscoslim

cossen

cossencoslim

44

x

xx

xxx

xx


2

tg1lim1

xx

x

88.

Sea yxyxxy 1;0;1;1 :

yy

yy

xx

yyx 22tglim

2

1tglim

2tg1lim

001

y

y

y

y

y

yyy

2sen

2cos

lim

22cos

22sen

lim00

Dividiendo para “ y ” a toda la expresión:

2

12

1

2

2sen

lim2

lim

2coslim

2

2sen

2

2cos

lim

2sen

2cos

lim

00

0

00

y

y

y

y

y

y

y

y

y

yy

y

yy

xx

x 2cot2cotlim

0

89.

xx

xx

x

x

x

xxx

xxx cos2sen

sen2coslim

2sen

2cos

2sen

2coslim

2cot2cotlim

000

2

1

12

01

cos2

sencoslim

cos2

2coslim

coscossen2

sen2coslim

22

22

0200

x

xx

x

x

xxx

xx

xxx


30

sentglim

x

xx

x

90.

303030

cos

cossensen

lim

sencos

sen

limsentg

limx

x

xxx

x

xx

x

x

xx

xxx

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx cos1

cos1cos1tglim

cos

cos1senlim

cos

cossensenlim

303030

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxxx cos1

1lim

senlim

tglim

cos1

sentglim

cos1

cos1tglim

02

2

003

2

03

2

0

2

1

11

1

0cos1

111

2

x

x

x 3sen

2arctglim

091.

Sea 2

tg;0sen;0tg;0;2tg

xxx :

tg

2

tg3sen

tglim

2

tg3sen

lim3sen

2arctglim

0tg0tg0

x

x

x

1

1

tg3

2lim

tg2

3

2

tg3sen

1lim

tg3

2lim

tg2

3

2

tg3sen

2

3

tglim

0tg0tg0tg0tg

3

2

1

1

3

2

tglim

1lim

3

2lim

tg3

2lim

tg3

2lim

0tg

0tg

0tg0tg0tg


x

x

x

1

2cos

lim1

92.

Sea yxyxxy 1;0;1;1 :

y

y

y

y

y

y

x

x

yyyx

11

2sen

lim11

22cos

lim11

12

cos

lim1

2cos

lim0001

y

yy

y

y

y

y

yy

2sen11

lim11

11

11

2sen

lim00

y

y

y

y

yy

yyy

2

2sen

lim112

lim

2

2sen11

2lim

000

122

10112

20

cos1lim

x

x

x

93.

xx

x

xx

xx

x

x

xxx cos1

cos1lim

cos1

cos1cos1lim

cos1lim

202020

xxx

x

x

x

xx

x

xx cos1cos1

cos1lim

cos1

cos1

cos1

cos1lim

2

2

020

xxx

x

xxx

x

xxx cos1cos1

1lim

senlim

cos1cos1

senlim

02

2

02

2

0

4

1

1111

11

0cos10cos1

11


x

xx

x

sen1sen1lim

0

94.

xxx

x

xxx

xxxx

xx sen1sen1

sen2lim

sen1sen1

sen1sen1sen1sen1lim

00

1

11

2

0sen10sen1

21

sen1sen1

2lim

senlim

00

xxxx

x

xx

xx

x

1senlim

095.

Para resolver partimos del recorrido del sen :

11

sen1 x

xx

x 1

sen

xx

xxxx 000lim

1senlimlim

01

senlim00

xx

Entonces por el método del sánduche: 01

senlim0

xx

1

2

2

1lim

x

x

x x96.

Sea 1

2;

1

2

x

xxg

xxf :

01

limlim2

xxf

xx

201

2

11

2lim

1

2limlim

x

x

xxg

xxx

001

lim1

lim 21

2lim

2

1

2

2

x

x

x

x

x

x

x

xx


x

x x

21lim97.

101

21lim

21lim

lim x

x

x

x

x

xx indeterminación

22

2

22

2

21lim

21lim

21lim ee

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

1lim98.

1

1lim

1lim

lim x

x

x

x

x

x

x

x

x indeterminación

x

x

x

x xx

x

1

11lim

1lim

Sea 11

;0;;1

1

yxyx

xy :

1

0001lim1lim1lim

1

11lim

11

1

yyyx yyy

x

x

yy

1111

0

1

0011lim1lim

1

eeyyyy

y

x

xx

1

sen1lim0

99.

1sen1limsen1lim

1

0lim

1

00

xxx

xxxx

indeterminación

x

x

xxx

xx

x

x

xxx

sen

000

sen

11

sen1limsen1limsen1lim

xsen

sen

eexx

x

x

xx

1

senlim

0

0sen

1

sen1lim


x

xx

1

coslim0

100.

En este caso sumamos y restamos 1 a xcos para encontrar una expresión semejante al

límite fundamental algebraico:

1cos

1cos111

1cos1lim1cos1limcoslim000

x

x

xxxxxx

xxx

x

x

x

xx

x

x

xxxx

1cos

0lim

1cos

11cos

1cos

1

1cos1lim1cos1lim00

xx

x

xxx

x

xxx

xx

xx

x

xx

x

x eeeee cos1

2sen

0lim

cos1

2cos1

0lim

cos1

cos11cos

0lim

1cos

0lim

1cos

0lim

1011

01

0cos1

0sen1

cos1

sen

0lim

sen

0lim

eeee x

x

xx

x

x

2

1

coslim0

x

xx

101.

1cos

1cos

2

1

2

1

2

1

1cos1lim1cos1limcoslim000

x

x

xxxxxx

xxx

2

1cos

0lim

2

1cos

1cos

1

1cos

1

1cos1lim1cos1lim00

x

x

xx

x

xx

xxxx

xx

x

xxx

x

xxx

xx

xx

x

xx

x

x eeeee cos12

2sen

0lim

cos12

2cos1

0lim

cos12

cos11cos

0lim

2

1cos

0lim

2

1cos

0lim

eeeee xxx

x

x 12

1

11

11

0cos1

121

cos1

1

0lim

2sen

0lim


2ln12lnlim

xxx

102.

2

12limln

2

12lnlim2ln12lnlim

x

x

x

xxx

xxx

Dividimos a toda la expresión para x :

2ln01

02ln

21

12

limln

x

x

x

x

x

x

101loglim

0

103.

x

xxxx

x

xxx

1

101loglim101log1

lim101log

lim000

10

10

1

10

101

101limlog101limlog101limlog000

xxx

xxxxxx

10

10

1

10

101

101limlog101limlog101limlog000

xxx

xxxxxx

x

x

xx 1

1ln

1lim

0104.

x

x

x

xx x

x

x

x

x

x

x

1

0

1

00 1

1limln

1

1lnlim

1

1ln

1lim

xx

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

12

1

0

2

1

0

2

1

0 1

21limln

1

21limln

1

1limln

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

ex

x

x

x

1

1lim

1

1lim

2

1

0

1

1

2

1

0

0

0

ln1

21limln

1

21limln

eeee lnlnln 101

1


20

coslnlim

x

x

x105.

2

1

2

1

coslimlncoslnlimcosln

lim0020

xxxx

x

x

xxx

1cos2

1cos

2

1

1cos1limln1cos1limln00

xx

x

xxx

xx

2

1cos

1cos

12

1cos

1cos

10

lim

001cos1limln1cos1limln

x

x

xx

x

xx

xxxx

xxx

x

xxx

x

xxx

xx

xx

x

x

eeeecos1

1

0lim

2

2sen

0lim

1cos2

2sen

0lim

1cos2

1cos1cos

0lim

2

1cos

0lim

lnlnlnln

2

1ln

2

1lnln

2

1

0cos1

11

eee

x

a x

x

1lim

0

106.

Sea ;0;0;1 yxay x

1 yax

1lnln yax

1lnln yax

a

yx

ln

1ln

1ln

1

lnlim

1ln

lnlim

ln

1lnlim

1lim

0000

y

y

a

y

ay

a

y

y

x

a

yyy

x

x

ae

a

y

a

y

a

y

a

yyy

y

y

y

y

yln

ln

ln

1limln

limln

1lnlim

lnlim

1ln

lnlim

111

0

0

0

0

0


x

e x

x sen

1lim

0

107.

x

xe

e

e

x

e

e

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

x sen

1

limsen

1

limsen

1lim

000

1

11

1

senlimlim

1

senlim

1lim

000

0

x

xe

x

xe

e

e

x

x

x

x

x

x

x

x

LÍMITES - CENTRO DE MULTIMEDIOS - EPN

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