UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

E.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL

PUENTES

“LÍNEAS DE INFLUENCIA EN PUENTES”

DOCENTE :

DR. ING. SERBANDO SOPLOPUCO QUIROGA

ESTUDIANTE :

ANDREI JHONATAN SALAS ZUMAETA

CÓDIGO :

093122

NIVELACIÓN Y AVANCE ACADÉMICO 2013

1. INDICE

1. ÍNDICE2. INTRODUCCIÓN3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA4. OBJETIVOS

4.1. Objetivo General4.2. Objetivos Específicos

5. FUNDAMENTO TEÓRICO

“LÍNEAS DE INFLUENCIA EN PUENTES”

5.1. Generalidades5.2. Definición de línea de influencia5.3. Líneas de influencia de las reacciones de una viga5.4. Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas5.5. Líneas de influencia de momentos flectores5.6. Líneas de influencia cualitativas5.7. Carga móvil5.8. Influencia de la carga unitaria5.9. Propiedades de la línea de influencia

5.9.1. Carga móvil concentrada5.9.2. Sistema de cargas móviles concentradas5.9.3. Cargas móviles uniformemente distribuidas

5.10. Fórmulas usuales para vigas simples obtenidas a partir de las líneas de influencia

5.11. Líneas de influencia en armaduras5.11.1. Generalidades5.11.2. Líneas de influencia para las reacciones en armaduras5.11.3. Líneas de influencia para elementos de armaduras de

cordones paralelos5.11.4. Líneas de influencia para elementos de armaduras de

cordones no paralelos5.11.5. Líneas de influencia para armaduras tipo K

6. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN7. DISCUSIÓN8. CONCLUSIONES9. RECOMENDACIONES10. BIBLIOGRAFÍA

2. INTRODUCCIÓN

El curso de PUENTES, en la Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura de la Universidad Nacional de San Martín es un curso terminal, vale decir en donde nosotros como estudiantes aplicamos todos los conocimientos adquiridos durante nuestra formación profesional, para el análisis y diseño de los tipos de puentes que se especifican en el sílabo del curso.

Contar con una base de conocimientos previos, que se han adquirido durante los años de formación básica resulta trascendental para la realización del análisis y diseño de los elementos de la superestructura y subestructura de un puente, y dentro de esos conocimientos previos, las líneas de influencia cobran un papel importante puesto que nos permiten determinar las ubicaciones de los esfuerzos máximos a los que se va someter la estructura que serán finalmente las que nos meten de lleno a las labores de diseño íntegramente.

En el presente informe se expondrá brevemente todo lo concerniente a las líneas de influencia, es decir se darán alcance de las generalidades y una definición de lo que son las líneas de influencia.Además de ello se estudiarán y analizarán las líneas de influencia para las reacciones de una viga, simplemente apoyada y de tramos continuos, también las líneas de influencias relacionadas a las fuerzas cortantes y momentos flectores.

Además del método directo para las líneas de influencia, que también se conocen como métodos cuantitativos, también existen una forma más rápida y sencilla de determinarlas y es empleando las líneas de influencia cualitativas.

También he considerado importante definir alguna terminología básica, como por ejemplo qué es una carga móvil, la influencia de la carga unitaria, propiedades de las líneas de influencia, tales como: carga móvil concentrada, sistemas de cargas móviles concentradas y cargas móviles uniformemente distribuidas.A partir de esto estudios, se pueden establecer fórmulas usuales para vigas simples.

Todo lo hasta aquí hablado sólo hace referencia a l.i. para vigas, pero el informe también incluye las líneas de influencia en armaduras, y una breve explicación de la forma de cálculo.

Sin mayores preámbulos, se da inicio al desarrollo del presente informe que se espera aporte cosas nuevas que alimenten el bagaje cultural de cada uno de sus lectores.

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En el marco del desarrollo del curso de puentes en el ciclo de nivelación y avance académico del 2013, se ha designado a cada uno de los estudiantes la realización de un trabajo de investigación sobre las líneas de influencia en los puentes que finalmente se plasmarán en un informe que sintetice y englobe de la mejor forma toda la información recabada, evitando en lo posible la redundancia y haciendo uso de un lenguaje compresible que facilite la asimilación de los nuevos conocimientos.

Debido a esto y como parte del proceso formativo del futuro ingeniero civil, es que surge la necesidad de realizar las investigaciones del caso, haciendo uso de varias fuentes, como libros y el internet, boletines y afines.

Al haber recabado la información necesaria, es que uno inicia el análisis de la misma para procesarla, ordenarla y presentarla en el informe respectivo y es en ese proceso que surgen múltiples interrogantes que nos conllevan al arribo de conclusiones y estas a su vez a las recomendaciones del caso.

Frente a todo esto es que surge la interrogante más grande que abarca todo el proceso de investigación ¿en qué medida mi proceso de investigación va a contribuir en el desarrollo de conocimientos sobre las líneas de influencia para puentes?

4. OBJETIVOS

4.1. OBJETIVO GENERAL

Dar alcances y nociones sobre las líneas de influencia en puentes.

4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Hacer extensivas las generalidades sobre las líneas de influencia en puentes y dar una definición.

Indicar el cálculo de las líneas de influencias para las reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores.

Conocer el método indirecto (líneas de influencia cualitativas) para el trazo de líneas de influencia y conocer sus propiedades.

Definir términos básicos que se emplean para el cálculo de las líneas de influencia.

Conocer el método para el trazo de las líneas de influencia en armaduras.

5. FUNDAMENTO TEÓRICO

5.1. Generalidades1

En el análisis y diseño de estructuras de puentes, además de las cargas fijas, como el peso propio, se presentan otras de tipo móviles, como es el caso de los vehículos que circulan sobre los puentes,

Como es claro, la posición crítica de dichas cargas, es un factor determinante para el cálculo de los esfuerzos resultantes. En la búsqueda de los esfuerzos máximos, dicha ubicación crítica es objetivo vital e importante en el análisis de estructuras. De este modo conoceremos reacciones máximas en los apoyos, corte o momentos en sus tramos.

Es con este propósito, que se diseñaron las líneas de influencia. Ellas en síntesis, son representaciones gráficas de esfuerzos o reacciones, independientes de los sistemas de carga que pueden afectar al elemento estructural, en puntos específicos de ella debido a una carga unitaria dispuesta en esta posición.

5.2. Definición de línea de influencia2

El concepto de línea de influencia, utilizado por vez primera por el profesor E. Winkler, de Berlín, en 1867, muestra gráficamente la forma en que el movimiento de una carga unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecánico en la misma. Entre los efectos que pueden considerarse están las reacciones, fuerzas cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales y deflexiones.

La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Cada ordenada del diagrama de define el valor de la función cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.

Las líneas de influencia se utilizan primordialmente para calcular ciertas fuerzas y determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas críticas o máximas.

5.3. Líneas de influencia de las reacciones de una viga

1 Apaza H., Pablo. “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”, página 35.2 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 181.

3Consideremos una viga simplemente apoyada como la indicada en la figura adjunta.

Procederemos a realizar el proceso constructivo de la línea de influencia de la reacción en el apoyo M. Dispongamos para ello de una carga unitaria vertical y hacia abajo. Si la ubicamos en el apoyo M, en dicho punto obtendremos una reacción de igual valor y dirección, pero de sentido opuesto. De aplicarse en cambio, en el apoyo N, la reacción a obtenerse en el apoyo M será cero.

Con estos valores extremos dispongamos un diagrama tomando como base una línea AB de longitud L (igual a la de la viga). Coloquemos sobre ella los valores hallados y tracemos una recta uniendo ambos extremos, mediante línea CB.

3 Apaza H., Pablo. “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”, páginas de 36-41.

Debemos indicar que la línea de influencia para vigas estáticamente determinadas se compone de tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con respecto a la posición de la carga concentrada.

La interpretación del diagrama de líneas de influencia obtenido, será como sigue.

Si colocamos una carga vertical unitaria abajo en el punto E de la viga mostrada, la reacción a obtenerse en el apoyo M de ella será igual a la longitud “y” medida sobre el diagrama de líneas de influencia mostrado.

Consideremos ahora, que sobre la viga actúa una carga puntual vertical P a una distancia “x” del apoyo N de la viga simplemente apoyada de longitud L.

Las líneas de influencia para las reacciones en los apoyos M y N están indicadas en los diagramas adjuntos.

En la línea de influencia de la reacción en M, por semejanza de triángulos podemos plantear:

y= xL

Entonces la reacción en el apoyo M, debido a la carga P aplicada, estará indicada por:

RM=Py=P( xL)

De forma similar, para el apoyo N, el valor de la reacción debido a la carga P aplicada será:

RN=Py=P( L−xL

)

De aumentar la cantidad de cargas puntuales verticales dispuestas sobre la viga, la reacción en el apoyo se obtendrá de la suma de los efectos producidos por cada uno de ellos, tal como lo indica el principio de superposición.

RM=P (A )+Q (B )+S (C)Expresión en la cual A, B y C son coeficientes numéricas menores

que la unidad, calculables por semejanza de triángulos como:

A=aLB=b

LC= c

LQuedando la expresión reducida a:

RM=P( aL )+Q( bL )+S( cL )

Estamos, a partir de lo expuesto, en condiciones de generalizar los resultados como:

RM=∑ PiY i

En donde, tendremos:

R: Reacción en uno de los apoyos de la viga.

Pi: Carga puntual vertical aplicada en un punto cualquiera de la viga.

Yi: Coeficiente correspondiente a la carga, obtenida del diagrama de líneas de influencia. Su valor puede calcularse.

Gráficamente:

Construyendo el diagrama de influencia de reacciones a una escala conveniente, de modo que la lectura pueda realizarse la medición directa en el gráfico.

Analíticamente:

Se entiende como el cociente entre la distancias desde el punto de aplicación de la carga al apoyo opuesto, y la longitud de la viga simplemente apoyada.

Este coeficiente de influencia puede ser interpretado numéricamente como la reacción que ocasionaría en el apoyo considerado una carga unitaria en lugar de la carga P.

5.4. Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas4

Se utiliza la convención la convención de signos usual: la fuerza cortante “v” es positiva cuando la suma de las fuerzas transversales a la izquierda de una sección va hacia arriba, o bien, cuando la suma de las fuerzas de la derecha de la sección, va hacia abajo.

Si la carga unitaria se coloca sobre el apoyo izquierdo, no causa cortante en ninguna de las dos porciones. Al mover la carga unitaria 1 m a la derecha del apoyo izquierdo, se obtiene una reacción izquierda de 0.9, y la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección 1-1 vale 0.1 hacia abajo, o sea, que la fuerza cortante es -0.1. Cuando la carga se encuentra 2 m a la derecha del apoyo izquierdo y a una distancia infinitesimal de la sección 1-1, la fuerza cortante a la izquierda es -0.2. Si la carga es desplazada una distancia mínima a la derecha de la sección 1-1, la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección será de 0.8 hacia arriba, o bien, habrá una fuerza cortante +0.8.

5.5. Líneas de influencia de momentos flectores5

Consideremos una viga simplemente apoyada AB, tal como la que se muestra adjunta, en la cual deseamos conocer los momentos que se originarían en una sección E, debido a un sistema de cargas cualesquiera dispuesta sobre ella.

Tracemos el diagrama de líneas de influencia para la reacción en uno de los apoyos; para el caso elegimos el correspondiente al apoyo A.

A partir de dicho diagrama determinemos la reacción que se producirá en el apoyo A debido a que se coloca una carga unitaria en la sección E. Aceptemos que dicha reacción estará indicada por el segmento de longitud “G”.

4 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 182-183.5 Apaza H., Pablo. “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”, páginas de 51-55.

Conocida la reacción, calcularemos el máximo momento en la sección E, multiplicando dicho valor “G” por la longitud de palanca “M”, que es la distancia del apoyo A al punto E.

Con el producto resultante, trazamos una vertical por la sección que se está estudiando, midiendo sobre ella el valor del momento calculado.

Partiendo del extremo de este segmento, dirigimos líneas rectas hacia los extremos, obteniendo así, la línea de influencia de momentos flectores para la sección E.

* Nota:

Por ser una viga de un solo tramo simplemente apoyado, las cargas verticales hacia abajo que se coloquen sobre ella, ocasionarán en la sección momentos positivos (viga se flectará hacia abajo). Aceptemos por ello, como convención, que los momentos positivos se graficarán debajo de la línea horizontal de referencia; en caso contrario, de ser el momento negativo, graficaremos sobre la línea horizontal de referencia.

Como podrá observarse este procedimiento, si bien es eficaz, resulta lento y tedios. Por ello, enunciaremos un método breve y simple de trabajo para el caso de vigas simplemente apoyadas de un solo tramo. Consideremos para ilustrar el proceso una sección E.

- A partir de la sección E, se mide su distancia hacia los apoyos. Consideremos para el caso mostrado que estas distancias son M y N.

- La mayor longitud vertical del diagrama, la cual se colocará en la sección especificada E, será numéricamente igual al cociente entre el producto y la suma de dichas distancias M y N.

- Determinado este valor máximo, se unirá el extremo del segmento con los extremos, del modo ya indicado, tal que como se muestra en la figura.

En caso que se desee conocer el valor de alguna ordenada del diagrama de influencia obtenido, procédase del modo siguiente

- De acuerdo al punto en que se desea conocer la ordenada del diagrama de influencia, mídase la distancia desde ese punto al apoyo correspondiente.

- El valor de la ordenada buscada, será igual a una fracción del máximo momento en la sección. Ella, estará compuesta por la longitud anteriormente calculada como numerador, y como denominador la distancia de la sección de máximo momentos al apoyo.

* Nota:

Considerando la viga simplemente apoyada de la figura adjunta y su diagrama de líneas de influencia para la sección E.

C= Momento en la sección E cuando se coloca una carga unitaria en la sección 1.

D= Momento en la sección E, cuando se coloca una carga unitaria en esta sección.

E= Momento en la sección E, cuando se coloca una carga unitaria en la sección 2.

5.6. Líneas de influencia cualitativas

6Es posible esquematizar muy aproximadamente diagramas de influencia con la suficiente exactitud para muy diversas aplicaciones, sin tener que calcular valores numéricos. A estos últimos diagramas se les denomina líneas de influencia cualitativas.

Las líneas de influencia cualitativas se basan en una regla o principio introducido por el investigador alemán Heinrich Müller-Breslau. Tal regla expresa: la configuración deformada de una estructura representa, en cierta forma, la línea de influencia para una función estructural, como reacción, fuerza cortante o momento flexionante, si a la función en estudio se le permite actuar sobre una pequeña distancia. En otras palabras, la estructura esquematizada su propia línea de influencia cuando se le aplica imaginariamente un desplazamiento apropiado.

7El principio de Müller-Breslau es útil para el esquematizado de líneas de influencia en estructuras estáticamente determinadas; pero su mayor utilidad se presenta cuando se trabaja con estructuras estáticamente indeterminadas. A pesar de que los diagramas se trazan de la manera ya descrita, hay que advertir que dichas representaciones constan de líneas curvas y no de líneas rectas, como sucede en el caso de las estructuras isostáticas.

5.7. Carga móvil

8Un sistema móvil de cargas es un sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura y cambia continuamente de posición. Los trenes, camiones, vagones y grúas son cargas de este tipo.

En el caso de cargas estacionarias constantes, las reacciones, los esfuerzos y las deformaciones (en una sección o punto particular) son constantes. Si las cargas son móviles, los efectos de carga se convierten en funciones variables de la posición de la carga.

5.8. Influencia de la carga unitaria

6 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 185.7 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 189.8 Tuma, Jan J. “Análisis estructural”, página 248.

9La línea de influencia es la representación gráfica de la variación del efecto F (reacción, esfuerzo o deformación) en un punto cualquiera i debido a una causa unitaria móvil.

5.9. Propiedades de la línea de influencia

5.9.1. Carga móvil concentrada10

Para obtener el valor del efecto F en i debido a una carga concentrada P en j, se debe multiplicar la magnitud de P por el valor de influencia nF, ij correspondiente a la posición de P. Para obtener el máximo de F, la carga se debe desplazar hasta la posición de influencia máxima.

5.9.2. Sistema de cargas móviles concentradas11

Para obtener el valor del efecto F en i debido a un sistema de cargas concentradas P1, P2,…, se debe multiplicar la magnitud de cada P por el valor de influencia correspondiente a la posición de la carga respectiva. Para obtener la F máxima, las cargas se deben desplazar hasta la posición que haga máximos los productos de las magnitudes y los valores de influencia.

5.9.3. Cargas móviles uniformemente distribuidas12

Para obtener el valor del efecto F en i debido a una carga móvil uniformemente distribuida de longitud d e intensidad p, se debe multiplicar la intensidad por el área del diagrama de influencia que está por debajo de d.

9 Tuma, Jan J. “Análisis estructural”, página 248.10 Tuma, Jan J. “Análisis estructural”, página 249.11 Tuma, Jan J. “Análisis estructural”, página 249.12 Tuma, Jan J. “Análisis estructural”, página 249.

Para obtener la F máxima, la carga se debe desplazar hasta la posición que haga máxima el área de influencia que está por debajo de d.

5.10. Fórmulas usuales para vigas simples obtenidas a partir de las líneas de influencia13

Con las líneas de influencia se pueden deducir algunas expresiones útiles para el momento flexionante en vigas simples. Se obtendrán aquí fórmulas para el momento flexionante con respecto al punto central de una viga simple, imponiéndose en primer lugar un carga uniforme y luego otra concentrada en el punto medio. Así mismo, se obtiene fórmulas para el momento flexionante en cualquier punto de una viga simple, con carga uniforme y con una carga concentrada en dicho punto.

Caso (1) Caso (2)Carga uniformemente repartida:

M cL=(w )( 1

2∗l∗l

4 )=w l2

8

Carga uniformemente repartida:

M cL=(w )( 1

2∗l∗ab

l )= wab2

Carga concentrada P en el punto medio o central:

M cL=¿ Pl

4

Carga concentrada P en el punto medio o central:

M cL=Pab

l

5.11. Líneas de influencia en armaduras5.11.1. Generalidades14

La variación de las fuerzas internas en los elementos de armaduras debida a la acción de cargas móviles, es muy importantes. Se pueden trazas líneas de influencia y utilizarlas para calcular las fuerzas en los elementos, o bien, pueden esbozarse sin calcular los valores de las ordenadas, y emplearlas para situar las cargas móviles que produzcan esfuerzos máximos o mínimos.

13 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 191.14 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 201.

El procedimiento empleado para el trazo de líneas de influencia en el caso de armaduras, está íntimamente relacionado con el que se utiliza para las vigas, sobre todo las que tienen cargas aplicadas por medio de viguetas longitudinales.5.11.2. Líneas de influencia para las reacciones en armaduras15

Las líneas de influencias correspondientes a las reacciones en armaduras simplemente apoyadas se usan para determinar las cargas máximas que pueden aplicarse a los apoyos. Aunque su trazo es sencillo, son un buen medio de introducción al aprendizaje de la elaboración de diagramas de influencia en el caso de los elementos de una armadura.

5.11.3. Líneas de influencia para elementos de armaduras de cordones paralelos16

Estas líneas de influencia para las fuerzas axiales o esfuerzos en las barras pueden trazarse de la misma manera que las de las diversas funciones estructurales consideradas anteriormente (reacciones, cortante y momentos). La carga unitaria se desplaza a lo largo de la armadura, y las ordenadas correspondientes a la fuerza en el elemento que se considera, pueden calcularse para la carga en cada nudo de panel. En la mayoría de los casos no se necesita colocar la carga en cada punto de conexión y luego calcular el valor resultante de la fuerza interna en los elementos, pues se puede ver de inmediato que varios segmentos de las líneas de influencia constan de líneas rectas para los diversos paneles.

5.11.4. Líneas de influencia para elementos de armaduras de cordones no paralelos17

Las ordenadas de las líneas de influencia para la fuerza ejercida en una cuerda de una armadura de “lomo curvo”, se pueden determinar pasando un corte vertical por el tablero, y tomando momentos con respecto a la intersección de la diagonal y la otra cuerda.

15 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 204.16 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 204.17 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 206.

Las ordenadas de la l. de i. para la fuerza en una diagonal se obtienen pasando un corte vertical por el panel de la armadura, y tomando momentos con respecto a la intersección de la cuerda superior y la otra cuerda.

5.11.5. Líneas de influencia para armaduras tipo K18

Los cálculos necesarios para elaborar los diagramas para las cuerdas, son iguales a los que se emplearon para las cuerdas de las armaduras tratadas anteriormente. Los valores necesarios para trazar los diagramas correspondientes a miembros verticales e inclinados son ligeramente más difíciles de obtener.

Las fuerzas en las dos diagonales de cada panel se pueden obtener a partir del valor de la fuerza cortante en el tramo. Sabiendo que las componentes horizontales son iguales y opuestas, la relación entre sus componentes verticales se pueden hallar a partir de su pendiente. Si las pendientes son iguales la fuerza cortante soportada se reparte en partes iguales entre ambas. Las l. de i. para los montantes, se pueden determinar a partir de las l. de i. para las diagonales inmediatas, si se dispone de ellas. Por otra parte, las ordenadas pueden calcularse independientemente según diversas posiciones de la carga unitaria.

18 McCormac C., Jack. “Análisis estructural”, página 207.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Considerando una carga “P” una distancia “X” del apoyo fijo de la viga.

15A B

P=1 Tonx

Ahora hacemos sumatoria de momentos en cada apoyo para obtener la ecuación de las líneas de influencia de las reacciones en A y B.

∑MB=0 :

−RA L+(L−x )=0

RA=L−xL

=1− xLy RB=

xL

L.I. para la reacción en A

1

L.I. para la reacción en B

1

Ahora, suponemos que queremos la línea de influencia de la cortante para el punto medio de la viga.

Nos fijamos que la cortante en el tramo que corresponde desde el apoyo A hasta el punto medio del tramo será idéntica a la línea de influencia de la reacción en A pero con el signo negativo. Y del punto medio en adelante hasta el apoyo B la línea de influencia será idéntico a la línea de influencia de la reacción en B. Pero habrá un cambio brusco unitario cuando la carga pasa del lado izquierdo al derecho del punto medio de la viga.

Lo que queda demostrado en el siguiente análisis haciendo un corte en el punto medio:

1x

RA V

Entonces: ∑F y=0; sabemos que RA=1− xL

Entonces queda: 1+v−1+ xL=0→v=− x

L; lo que corrobora el análisis inicial, el

análisis para el otro tramo se hace de manera análoga.

Por lo tanto la línea de influencia quedará de la siguiente manera:

1

Para construir la línea de influencia del momento flector en el punto medio de la viga se puede proceder de manera similar a lo que se hizo antes, es decir haciendo un corte.

L/2

M

1x

RA V

∑M c=0

M−RAL2=0; como RA=1− x

L

M=(1− xL ) L2

M=(L−x )

2

Línea de Influencia del momento flector en la mitad de la viga:

3.75

A B C D E10 9 8 10

La presente viga se desarrollará con el método de cross.

Encontrando los valores de las rigideces relativas:

K BA=34 ( I10 )

K BC=KCB=( I9 )KCD=K DC=( I8 )K DE=

34 ( I10 )

Factores de distribución:

d BA=0.075

0.075+0.111=0.403

d BC=0.111

0.075+0.111=0.597

dCB=0.111

0.125+0.111=0.471

dCD=0.125

0.125+0.111=0.529

dDC=0.125

0.125+0.075=0.625

dDE=0.075

0.125+0.075=0.375

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo B del miembro BA. Los demás momentos de empotramiento se consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

+59.466-

59.466 -14.726 +14.726 +2.980 -2.980-0.001 -0.002

+0.003 ← +0.007 +0.008-0.014 ← -0.029 -0.017

+0.082 +0.092 → +0.046-0.234 -0.347 → -0.173

+0.581 ← +1.162 +1.307-2.469 ← -4.939 -2.963

+14.047 +15.803 → +7.902

-40.299-

59.701 → -29.851+100.000 +0.000

0.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375A B C D E

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo B del miembro BC. Los demás momentos de empotramiento se consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

-40.534 +40.534 -14.726

+14.726 +2.980 -2.980

-0.001 -0.002+0.003 ← +0.007 +0.008

-0.014 ← -0.029 -0.017+0.082 +0.092 → +0.046

-0.234 -0.347 → -0.173+0.581 ← +1.162 +1.307

-2.469 ← -4.939 -2.963

+14.047+15.80

3 → +7.902-

40.299 -59.701 → -29.8510.000 +100.0000.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375

A B C D E

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo C del miembro CB. Los demás momentos de empotramiento se consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

0.789 -0.789 49.333-

49.333 -9.984 9.984

0.005 0.007-0.011 ← -0.023 -0.025

0.048 ← 0.096 0.058-0.273 -0.308 → -0.154

0.784 1.162 → 0.581-1.946 ← -3.893 -4.379

8.272 ← 16.544 9.926

-47.059-

52.941 → -26.471100.000 0.000

0.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375A B C D E

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo C del miembro CD. Los demás momentos de empotramiento se

consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

0.789 -0.789 -50.667 50.667 -9.984 9.984

0.005 0.007-0.011 ← -0.023 -0.025

0.048 ← 0.096 0.058-0.273 -0.308 → -0.154

0.784 1.162 → 0.581-1.946 ← -3.893 -4.379

8.272 ← 16.544 9.926-47.059 -52.941 → -26.471

0.000 100.0000.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375

A B C D E

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo D del miembro DC. Los demás momentos de empotramiento se consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

-2.980 2.980

13.629

-13.629 37.718

-37.718

-0.017 -0.026

0.043 ← 0.085 0.096-0.182 ← -0.363 -0.218

1.033 1.162 → 0.581-

2.963 -4.390 → -2.195

7.353 ←14.70

6 16.544-

31.250 ← -62.500-

37.500100.00

0 0.0000.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375

A B C D E

Luego suponemos que existe un momento de empotramiento de +100 ton-m en el extremo D del miembro DE. Los demás momentos de empotramiento se consideran inexistentes y se realiza la distribución de momentos en la forma ya conocida.

-2.980 2.980

13.629

-13.629

-62.282 62.282

-0.017 -0.026

0.043 ← 0.085 0.096-0.182 ← -0.363 -0.218

1.033 1.162 → 0.581-

2.963 -4.390 → -2.195

7.353 ←14.70

6 16.544-

31.250 ←-

62.500 -37.500

0.000100.00

00.403 0.597 0.471 0.529 0.625 0.375

A B C D E

Una vez que se ha encontrado los momentos finales causados por la introducción de +100 ton-m en cada punto se puede escribir las ecuaciones para los momentos finales en función de estos momentos que hemos encontrado y la aplicación de una carga de 1 ton a lo largo de cada tramo, para lo cual tenemos el siguiente cuadro resumen:

Tamo ABMAB MBA

x 10-x x2 (10-x)2 x2x(10-x)/100 x(10-x)2/100 M0BA=MBA-(1/2)MAB0 10 0 100 0 0 02 8 4 64 -0.32 1.28 1.444 6 16 36 -0.96 1.44 1.926 4 36 16 -1.44 0.96 1.688 2 64 4 -1.28 0.32 0.96

10 0 10 0 0 0 0

0

Tramo BCMBC MCB

x9-x x2 (9-x)2

x2x(9-x)/81 x(9-x)2/81

0 9 0 81 0 03 6 9 36 -0.67 1.336 3 36 9 -1.33 0.679 0 81 0 0 0

Tramo CD

MBC MCB

x 8-x x2(8-x)2 x2x(8-x)/64 x(8-x)2/64

0 8 0 64 0 02 6 4 36 -0.375 1.1254 4 16 16 -1 16 2 36 4 -1.125 0.3758 0 64 0 0 0

Tramo DE

MDE MED

x10-x x2

(10-x)2

x2x(10-x)/100

x(10-x)2/100

M0DE=MDE-(1/2)MED

0 10 0 100 0 0 02 8 4 64 -0.32 1.28 -0.964 6 16 36 -0.96 1.44 -1.686 4 36 16 -1.44 0.96 -1.928 2 64 4 -1.28 0.32 -1.44

10 0100 0 0 0 0

Entonces en el siguiente cuadro resumen podemos tener los valores que va a tener la línea de influencia en las abcisas indicadas.

X MBA MBC MCB MCD MDC MDE MB MC MD0 0.00 0.000 0.000 0.0002 1.44 0.856 -0.212 0.0434 1.92 1.142 -0.283 0.0576 1.68 0.999 -0.247 0.0508 0.96 0.571 -0.141 0.02910 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 0.00013 -0.67 1.33 0.281 0.756 -0.15316 -1.33 0.67 0.546 0.525 -0.10619 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 0.00021 -0.38 1.13 -0.036 0.343 0.46223 -1.00 1.00 -0.038 0.643 0.47725 -1.13 0.38 -0.020 0.621 0.25427 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 0.00029 -0.96 0.029 -0.131 0.59831 -1.68 0.050 -0.229 1.04633 -1.92 0.057 -0.262 1.19635 -1.44 0.043 -0.196 0.89737 0.00 0.000 0.000 0.000

Construcción de las líneas de influencia en función de los datos obtenidos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

Línea de influencia del momento en BSeries2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

Línea de influencia del momento en CSeries2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

Línea de influencia del momento en DSeries2

10.00 m 9.00 m 8.00 m 10.00 m

A B C D E

REACCIÓN A B C D Ea 0.00 m del apoyo A 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000a 1.00 m del apoyo A 0.872 0.168 -0.052 0.014 -0.002a 2.00 m del apoyo A 0.746 0.331 -0.100 0.026 -0.003a 3.00 m del apoyo A 0.623 0.486 -0.142 0.038 -0.005a 4.00 m del apoyo A 0.505 0.630 -0.176 0.047 -0.006a 5.00 m del apoyo A 0.394 0.756 -0.195 0.052 -0.007a 6.00 m del apoyo A 0.292 0.862 -0.200 0.053 -0.007a 7.00 m del apoyo A 0.199 0.944 -0.186 0.040 -0.006a 8.00 m del apoyo A 0.119 0.997 -0.151 0.040 -0.005a 9.00 m del apoyo A 0.052 1.016 -0.088 0.023 -0.003

a 10.00 m del apoyo A 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000a 11.00 m del apoyo A -0.036 0.945 0.118 -0.031 0.004a 12.00 m del apoyo A -0.057 0.856 0.258 -0.065 0.008a 13.00 m del apoyo A -0.066 0.743 0.409 -0.099 0.013a 14.00 m del apoyo A -0.065 0.614 0.560 -0.125 0.016a 15.00 m del apoyo A -0.057 0.474 0.707 -0.142 0.018a 16.00 m del apoyo A -0.044 0.336 0.832 -0.142 0.018a 17.00 m del apoyo A -0.029 0.206 0.929 -0.121 0.015a 18.00 m del apoyo A -0.013 0.090 0.989 -0.076 0.010a 19.00 m del apoyo A 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000a 20.00 m del apoyo A 0.009 -0.061 0.958 0.107 -0.013a 21.00 m del apoyo A 0.014 -0.095 0.869 0.241 -0.029a 22.00 m del apoyo A 0.016 -0.106 0.744 0.389 -0.043a 23.00 m del apoyo A 0.015 -0.100 0.597 0.541 -0.053a 24.00 m del apoyo A 0.012 -0.081 0.437 0.680 -0.056a 25.00 m del apoyo A 0.008 -0.055 0.277 0.840 -0.051a 26.00 m del apoyo A 0.004 -0.026 0.126 0.929 -0.033a 27.00 m del apoyo A 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000a 28.00 m del apoyo A -0.003 0.020 -0.096 1.029 0.050a 29.00 m del apoyo A -0.005 0.034 -0.162 1.018 0.115a 30.00 m del apoyo A -0.006 0.042 -0.200 0.969 0.195a 31.00 m del apoyo A -0.007 0.046 -0.216 0.890 0.287a 32.00 m del apoyo A -0.007 0.045 -0.211 0.783 0.390a 33.00 m del apoyo A -0.006 0.040 -0.189 0.654 0.501a 34.00 m del apoyo A -0.005 0.033 -0.154 0.506 0.620a 35.00 m del apoyo A -0.003 0.022 -0.108 0.346 0.743a 36.00 m del apoyo A -0.002 0.012 -0.056 0.175 0.871a 37.00 m del apoyo A 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000

LÍNEA DE INFLUENCIA DE LA REACCIÓN EN A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

LÍNEA DE INFLUENCIA DE RA

A

LÍNEA DE INFLUENCIA DE LA REACCIÓN EN B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

LINEA DE INFLUENCIA DE RB

B

LÍNEA DE INFLUENCIA DE LA REACCIÓN EN C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

LINEA DE INFLUENCIA DE RC

C

LÍNEA DE INFLUENCIA DE LA REACCIÓN EN D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

LINEA DE INFLUENCIA DE RD

D

LÍNEA DE INFLUENCIA DE LA REACCIÓN EN E

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

LINEA DE INFLUENCIA DE RE

E

A.

SOLUCION

LÍNEA DE INFLUENCIA (RA)

0.70.3

1.0

A B C D

LÍNEA DE INFLUENCIA (RD)

CUANDO LA CARGA UNITARIA SE APLICA EN (A)

∑ F Y=0

−1+RA+AGsin∝=0

−1+1+AGsin∝=0

AG=0

∑ F X=0

AB=0

CARGA UNITARIA SE APLICA EN LOS NUDOS (A, B, D)

∑ F Y=0

RA+AGsin∝=0

RA+AGsin∝=0

AGsin∝=−RA

AG12

√193=−RA

AG=−√19312

RA

∑ F X=0

AB+AG sin∝=0

AB=−AG7

√193

AB=−(−√19312

RA) 7√193

AB= 712

RA

LÍNEA DE INFLUENCIA (AB)

LÍNEA DE INFLUENCIA (AG)

CUANDO LA CARGA ACTÚA EN “A” (metros de la seccionamiento)

∑ F Y=0

1−1+GB sin∝=0

GB=0

∑ F X=0

GF+AB+AGsin∝=0

GF+AB+GBcos∝=0

GF=0

CUANDO LA CARGA UNITARIA ACTÚA EN LOS NUDOS (A; B; C; D)

∑ F Y=0

RA−GBsin∝=0

GB=√19312

RA

∑ F X=0

AB+GF+GBcos∝=0

712

RA+GF+ √19312

RA=0

GF=−76RA

LÍNEA DE INFLUENCIA (GF)

LÍNEA DE INFLUENCIA (GB)

∑ F Y=0

RD−FB sin∝=0

FB=√19312

RD

∑M F=0

RD (10.5 )−BC (6 )=0

BC (6 )=10.5 RD

BC=74RD

CARGA EN (C; D)

∑ F Y=0

RA−FB sin∝=0

FB=√19312

RA

∑M F=0

RA (10.5 )−BC (6 )=0

BC (6 )=10.5 RA

BC=74RA

LÍNEA DE INFLUENCIA

∑MC=0

FE (6 )+RD (7)=0

FE=−76RD

∑M C=0

−RA (14 )−FE (6 )=0

FE=146RA

LÍNEA DE INFLUENCIA (FE)

D I BC

∑ FX=0 U EN “B”

∑ FX=0

−BC−FC cosα−FE=0

BC=−(−√19312

RD) 7√193

−(−76RD )

BC=( 2112

RD)CUANDO ACTÚA EN (C; D)

∑ FX=0

BC+FE+FC cos α=0

BC=−FE−FC7

√193

BC=−(−146

RA)−(√19312

RA)( 7√193

)

BC=( 2112

RA)

∑ FY=0

RD+FC sinα=0

RD= −12

√193FC

FC=−√19312

RD

CUANDO ACTÚA EN (C; D)

∑ FY=0

RA−FC sinα=0

FC=√19312

RA

LÍNEA DE INFLUENCIA (FC)

CUANDO LA CARGA UNITARIA ACTÚA EN (A; B; C)

∑ FY=0

RD−EC sinα=0

FC=√19312

RD

CUANDO ACTUA EN “D”

∑ FY=0

RA+EC sin α=0

EC=−√19312

RA

LÍNEA DE INFLUENCIA (E)

∑ FY=0

RD+EDsin α=0

EC=−√19312

RD

∑ FX=0

CD+EDcos α=0

CD= 712

RD

EN (D)

∑ FY=0

RA−EDsinα=0

ED=√19312

RA

∑ FX=0

CD+EDcos α=0

CD=−712

RA

LINEA DE INFLUENCIA (ED)

AB C

D0.80.4

LINEA DE INFLUENCIA (CD)

6. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN

Concluido el proceso de investigación, plasmado en el presente informe es que con seguridad se puede afirmar que se obtuvieron los siguientes resultados, que para bien son todos muy satisfactorios:

- Se ha logrado el cumplimiento fehaciente del objetivo general del presente informe, a través del desarrollo de los objetivos específicos propuestos.

- Si bien es cierto que el método directo para el cálculo de las líneas de influencia en puentes resulta siendo tedioso, puesto que hay que calcular tramo a tramo y de las menores longitudes posibles, es el más efectivo de los métodos manuales.

- De lo estudiado, resulta obvio que para tener mayores facilidades en el aprendizaje del cálculo de las líneas de influencia, primero hay que conocer la terminología básica y con esto tener ideas generales del comportamiento de las cargas de tráfico en puentes y los efectos que estas generan en los diferentes puntos del cuerpo en estudio.

- Para el cálculo de las líneas de influencia en armaduras, hay aspectos de cálculo semejantes a los que se emplean en vigas, la diferencia elemental, radica en los puntos de aplicación de cargas y consideraciones diversas de los efectos que generan en cada uno de sus elementos (barras).

- Con toda la información recaba, posteriormente ordenada y sintetizada con toda seguridad puedo afirmar que el resultado más satisfactorio de todo el proceso de investigación es que quien se tome el tiempo de dar lectura a este informe estará a la finalización del mismo muy compenetrado con las líneas de influencia.

7. DISCUSIÓN

- Para lograr el cumplimiento de los objetivos hubo la necesidad de efectuar una revisión bibliográfica múltiple, a partir de la cual se pueda agrupar y sintetizar todos los conceptos encontrados, de los cuales buena parte estaba dentro de los conocimientos previos que se tenían acerca de las líneas de influencia en puentes, de sus tipos y afines, además de incorporarse al bagaje cultural nuevos conocimientos.

- Si bien es cierto las ideas previas forman parte del proceso de aprendizaje, no necesariamente estas serán cercanas a la realidad, de allí que el sílabo se

convierte en un elemento fundamental dentro de esta investigación, ya que proporciona la línea base para el desarrollo de la misma y que permitirá expandir más el desarrollo de nuevos contenidos relacionados.

- Las definiciones que se pueden encontrar sobre las líneas de influencia son de variada índole, a pesar de sus pequeñas discrepancias concuerdan en que esas gráficas indican efectivamente los efectos que se generan en la estructura del puente por la aplicación de cargas móviles en distintos puntos.

Así que esa fue la matriz de la conceptualización de una línea de influencia, que de hecho concordaba con los conocimientos previos que se tenía al inicio de la presente investigación.

8. CONCLUSIONES

A la finalización del presente informe, y como en cualquier otro trabajo de investigación es que se arriban a las siguientes conclusiones:

Es necesario que como estudiantes, futuros ingenieros civiles al servicio de la comunidad, comprendamos el porqué de las líneas de influencia en los puentes para que cuando corresponda ejecutar las labores de diseño de estas estructuras estemos premunidos de un buen criterio en el diseño de todos sus elementos. Pudiendo de esta manera escoger entre una vasta cantidad de materiales, formas y tipos de puentes, dependiendo de los cuales la mayor o menor economía de los proyectos a realizar.

Todos y cada uno de los elementos de los puentes deben ser analizados a partir de las líneas de influencia, para determinar cargas máximas de diseños y también los puntos críticos que se deben reforzar convenientemente.

El grado de dificultad en el cálculo de los valores en líneas de influencia está directamente relacionado con el grado de hiperestaticidad de la estructura, así por ejemplo resulta más breve el cálculo de una viga simplemente apoyada a que una de múltiples tramos continuos.

En el caso de las cerchas (armaduras) que está íntimamente relacionado a los puentes con arriostramiento de acero, el análisis resulta siendo mucho más trabajoso, puesto que hay la necesidad de definir los efectos de la cargas por cada tramo de barra por el que se desplaza la carga unitaria móvil en cada uno de los elementos que componen la cercha.

9. RECOMENDACIONES

En función de las conclusiones, se hacen extensivas las siguientes recomendaciones:

Realizar durante las clases diálogo acerca de todo lo investigado, para que en conjunto se arriben a nuevas conclusiones y en beneficio nuestro se obtengan mayores conocimientos.

Para alcanzar mayor precisión con los datos que permiten el trazo de las líneas de influencia, las longitudes de los tramos de análisis deben ser las mínimas y en el caso de estructuras

hiperestáticas se deben emplear cualesquiera de los métodos de cálculo, para encontrar el valor correspondiente de las reacciones, cortantes y momentos flectores.

Las cerchas demandan un estudio minucioso de cada uno de sus elementos, aquí obviamente sólo se estudian las cargas axiales respectivas, las reacciones en los apoyos y efectos de las cortante y momentos en la calzada del puente.

El talón de Aquiles del estado peruano radica básicamente en la poca inversión en investigaciones para el desarrollo de manuales propios y que se adecúen a la realidad de nuestro país. La recomendación va en que como estudiantes debemos bregar por el camino de la investigación concienzuda que aporte nuevos conocimientos en beneficio del desarrollo del país.

10. BIBLIOGRAFÍA

APAZA H., Pablo; “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”; Azul editores gráficos; 3ra edición; Lima; Perú; 1992.

MCCORMARC C., Jack. “Análisis estructural”; HARLA S.A. de C.V.; Tercera edición; México D.F., México, 1983..

Ministerio de Transportes y Comunicaciones – Dirección general de caminos y ferrocarriles.; “Manual de diseño de puentes”; Megabyte Grupo Editorial; Primera edición; Lima; Perú; Febrero del 2009.