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Unidad 2

Solución de Ecuaciones No Lineales

Raíces de ecuaciones

Técnicas numéricas para encontrar:

• Raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentes. Determinan sólo una raíz real. Métodos Cerrados y Métodos Abiertos

• Raíces reales y complejas de polinomios. Determinan todas las raíces.

Problema del paracaidista

• Forma explícita: calcular v dadas g, m, c y t

Solución analítica

• Forma implícita: calcular c dadas g, m, v y t

Ecuación no lineal

No tiene solución analítica !!! Se resuelve numéricamente

v (t )=g m

c( 1−e

−cm

t )

f (c )=g m

c( 1−e

−cm

t ) −v=0

Métodos Cerrados

Métodos Cerrados: 1)Bisección 2)Falsa Posición La función cambia de signo en la vecindad de

una raíz. Dos valores iniciales que “encierren” a la raíz.

Reducen el tamaño del intervalo y así convergen a la respuesta aproximada correcta.

Raíz de una EcuaciónDefinición: valor de x tal queEn los métodos cerrados se requieren dos valores iniciales: los extremos

del intervalo xl y x

u (lower: inferior, upper: superior).

Generalmente si: f(x

l) y f(x

u) tienen signos opuestos: número impar de raíces

f(xl) y f(x

u) tienen el mismo signo: cero o un número par de raíces

f (x )=0

Métodos Gráficos

Son útiles para: determinar los valores iniciales. visualizar propiedades de las funciones.

Raíces múltiples Función discontinua

Raíz doble

Método de Bisección

[bisectar = dividir en dos segmentos iguales]

En general, si f(x) es real y continua en el intervalo [xl , x

u] y

f(xl) y f(x

u) tienen signos opuestos,

es decir

f(xl).f(x

u)<0 (1)

entonces hay al menos una raíz entre

xl y x

u.

Algoritmo del Método de Bisección

Paso 1: se elige intervalo [xl , x

u] donde haya cambio de signo de

la función. Verificar con (1)

Paso 2: se aproxima la raíz

como el punto medio del

intervalo

(2)

fórmula de la bisección

x r=x l + x u

2 raíz verdadera

raíz aproximada

f (x )

x

f (x l)

f (xr )

f (xu)

x l xuxr xrv


Paso 3: seleccionar aquel subintervalo en que f(x) cambie de signo

a) Si f(xl).f(x

r)<0 ,

la raíz está en el

subintervalo izquierdo

Hacer xu

xr

y volver al Paso 2

Iteración actual

Iteración siguiente

Este subintervalo se descarta

raíz verdadera

raíz aproximada

f (x )

f (x l)

f (xr )

f (xu)

x l xu xxr

xrv

x l xu=xranterior

f (x l)⋅f (x r )<0


b) Si f(xl).f(x

r)>0 ,

la raíz está en el

subintervalo derecho

Hacer xl x

r

y volver al Paso 2

c) Si f(xl).f(x

r)=0 ,

la raíz es xr ,

termina el cálculo

Iteración actual

Iteración siguiente

Este subintervalo se descarta

f (x )

raíz aproximada

raíz verdadera

f (x l)

f (xr )

f (xu)

x l xu xxr xrv

x l=xranterior xu

f (x l)⋅f (x r )>0

Representación Gráfica del Método

Método de Bisección: Ejemplo 5.3

Encontrar la raíz de la función:

Elegimos el intervalo donde hay cambio de signo en la función, por ejemplo [12,16]:

Se cumple que f(xl).f(x

u)<0

f (x )=667.38

x( 1−e−0.146843 x )−40

Iteración xl

xu

f(xl) f(x

u)

0 12 16 6.06 2.26


Iteración xl xu f(xl) f(xu) xr f(xr) signo f(xl) f(xr)

1 12 16 6.06 2.26 14 1.56 +

(cambio de signo en este intervalo)

Se hace: xl=xr=14 Nuevo intervalo: [14 , 16]



2 14 16 1.56 2.26 15 0.42


Se hace: xu=xr=15 Nuevo intervalo: [14 , 15]



3 14 15 1.56 0.42 14.5 0.55 +


Se hace: xl=xr=14.5 Nuevo intervalo: [14.5 , 15]

Ejemplo 5.3: Estimación del Error

Iteración xl xu xr a (%) t(%)

1 12 16 14 5.279

2 14 16 15 6.667 1.487

3 14 15 14.5 3.448 1.896

4 14.5 15 14.75 1.695 0.205

5 14.75 15 14.875 0.840 0.641

Valor 'verdadero' hasta 6 cifras: x rverdadero

=14.7802

εa=|x rnuevo

−x ranterior

x rnuevo |⋅100 % εt=|x r

nuevo−x r

verdadero

x rverdadero |⋅100 %

Error relativo aproximado porcentual Error relativo verdadero porcentual

Criterio de finalización de iteraciones: tolerancia

εa <εs

(3) (4)

Método de Bisección: Curvas de Error

E t =|x rnuevo

−x rverd|⩽Δx /2

E a=|xrnuevo

−x rant|=Δx /2

La curva de error verdadero siempre está por debajo de la curva de error aproximado

Método de Bisección: Curvas de Error

y distantes

Iteración actual

x l xuxranteriorxr

v

x l xuxrnuevo

raíz verdadera cerca del centro del intervalo

|xrnuevo

−xrv|

|xrnuevo

−xranterior|

εa εt

y cercanos

Iteración anterior

Iteración actual

x l xuxranteriorxr

v

x l xuxrnuevo

raíz verdadera cerca del extremo del intervalo|xr

nuevo−xr

v|

|xrnuevo

−xranterior|

εa εt

Iteración anterior

εt=|x rnuevo

−xrverd

xrverd | εa=|x r

nuevo−xr

ant

x rnuevo |

Método de Bisección: Error Especificado

n=ln (Δ x 0 /E a ,d )

ln 2

Número de iteraciones para un error absoluto especificado

Sea Ea,d

el error absoluto deseado en el cálculo y x0 el intervalo

inicial de búsqueda. El número de iteraciones n que deben realizarse

para determinar la raíz con ese error especificado es :

(5)

Método de Bisección: Pseudocódigo

iniciar xl, xu // Paso 1 iniciar iter=0, imax, es, xr = xudefinir funcion frepetir: xv = xr // Para calcular ea xr = (xl + xu)/2 // Paso 2 si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 prueba = f(xl) * f(xr) // Paso 3 si prueba < 0: xu = xr en caso contrario: xl = xr hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

• Código en Octave: biseccion.m• Código en Python: biseccion.py• Planilla de cálculo: biseccion.ods

Método de la Falsa Posición

Bisección no es muy eficiente.Se prefiere el método de la falsa posición o regula falsi.

Se aproxima la raíz como la

intersección de la recta con

el eje x

Método de la Falsa Posición: Cálculo de xr

Triángulos semejantes , ángulos iguales:

Despejando xr:

f (x )

f (x l)

f (xr )

f (xu)

x l xu xxr xrv

tanα=f (x l)

x r−x l

=f (xu)

x r−x u

x r=x u−f (x u)(x l−x u)

f (x l )− f (x u)fórmula de la falsa posición (6)

Algoritmo del Método de la Falsa Posición

Paso 1: idéntico al Paso 1 del método de bisección.Paso 2: se aproxima la raíz con la fórmula de la falsa posición (6).Paso 3: idéntico al Paso 3 a) o b) del método de bisección.

Además, se introducen: cambios para reducir evaluaciones de la función (ver pseudocódigo Método de Regula Falsi).

contadores para evitar estancamiento (ver pseudocódigo Método de Regula Falsi Modificado).


f (x )

raíz verdadera

f (x l)

f (xr1)

f (xu)

x l xu xxr1xr

v xr2

punto estancado

f (x )

raíz verdadera

f (x l)

f (xr1)

f (xu)

x l xu xxr1xr

v xr2

punto estancado

f(x) no tiene un punto de inflexión en [xl , x

u]

a) f(xl).f(x

r)<0


f (x )

raíz verdadera

f (x l)

f (xr1)

f (xu)

x l xu xxr1 xr

vxr2

punto estancado

f (x )

raíz verdadera

f (x l)

f (xr1)

f (xu)

x l xux

xr1

xrv

xr2

punto estancado

f(x) no tiene un punto de inflexión en [xl , x

u]

b) f(xl).f(x

r)>0

Representación Gráfica del Métodof (x )

f (x l1)

f (xr1)

f (xu1)

x l1 xu

1 xx l2=xr

1

xrv

f (x l)⋅f (x r )>0

xu3=xr

2 xu2

f (xr2)

x l3

xr3

Los superíndices denotan el número de iteración

Iteración 1:

Iteración 2:

Iteración 3:

f (x l)⋅f (x r )<0

f (x l)⋅f (x r )>0

f(x) tiene un punto de inflexión en [x

l , x

u]

Caso General:

Método de la Falsa Posición: Pseudocódigo

iniciar xl, xu // Paso 1 iniciar iter=0, imax, es, xr = xudefinir funcion ffl = f(xl), fu = f(xu) //cambios para reducir evaluaciones de la funciónrepetir: xv = xr // Para calcular ea xr = xu fu*(xlxu)/(flfu) // Paso 2 si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 fr = f(xr) prueba = fl * fr // Paso 3 si prueba < 0: xu = xr fu = fr en caso contrario: xl = xr fl = fr hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

Método de la Falsa Posición: Ejemplo 5.5

Resolver, por el método de la Falsa Posición, con g = 9.8, m = 68.1, t = 10:

f (c )=g m

c( 1−e

−cm

t ) −v=0

• Planilla de cálculo: regula_falsi.ods

• Código en Octave (opción 1): regula_falsi.m

• Código en Octave (opción 2): regula_falsi2.m

• Código en Python: regula_falsi.py

Método de la Falsa Posición: Curva de Error

Método de la Falsa Posición Modificado

Existen problemas si la función es casi constante: el avance hacia la raíz es lento, ya que uno de los puntos se estanca si la función no tiene un punto de inflexión .

Modificación de la falsa posición: cuando la función se estanca, se divide por dos el valor de la misma en el punto estancado.

Se detecta el estancamiento a través de contadores.

Método de la Falsa Posición Modificado

f (x )

raíz verdadera

f (x l1)

f (x l2)

f (xu1)

x l1 xu

1 xxr1 xr

vxr2

punto estancado en las tresprimeras iteraciones

xr3

f (x l3)

f (xu2)

f ( xu2)

2

3º iteración: Regula Falsi Regula Falsi Modificada

1º iteración

2º iteración3º iteración

Método de la Falsa Posición Modificado: Pseudocódigo

iniciar xl, xu // Paso 1 iniciar iter=0, imax, es, xr = xudefinir funcion ffl = f(xl), fu = f(xu) //cambios para reducir evaluaciones de la funciónrepetir: xv = xr // Para calcular ea xr = xu fu*(xlxu)/(flfu) // Paso 2 si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 fr = f(xr) prueba = fl * fr // Paso 3 si prueba < 0: xu = xr fu = fr iu = 0 , il = il + 1 // contadores para evitar estancamiento si (il>=2): fl = fl/2 en caso contrario: xl = xr fl = fr il = 0 , iu = iu + 1 // contadores para evitar estancamiento si (iu>=2): fu = fu/2 hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

Falsa Posición Modificado: Ejemplo 5.5

Resolver por el método de la Falsa Posición Modificado, con g = 9.8, m = 68.1, t = 10:

f (c )=g m

c( 1−e

−cm

t ) −v=0

• Código en Python: ejemplo5_5_RFM.py • Planilla de cálculo: ejemplo5_5_RFM.ods

Falsa Posición Modificado: Ejemplo 5.6

Resolver, por el método de la Falsa Posición Modificado, con x

l = 0 , x

u = 1.3:

f (x )=x 10−1=0

• Código en Python (regula falsi):ejemplo5_6_RF.py • Código en Octave: regFalsiMod.m• Código en Python:regFalsiMod.py • Planilla de cálculo: regFalsiMod.ods

Problemas 5.1 a 5.19, pag. 139

Métodos Abiertos

• También emplean iteraciones sucesivas.• No requieren que el intervalo inicial encierre a la

raíz.• En general, son más eficientes que los cerrados,

aunque no siempre funcionan.• Se extienden para sistemas de ecuaciones no

lineales.

Métodos Cerrados y Abiertos

• Idea: reescribir la ecuación

como

– Despejando x– Sumando x miembro a miembro

• Ejemplos:

Iteración de Punto Fijo

f (x )=0

x=g (x )

x 2−2 x +3=0⇒x=

x 2+32

sin x=0⇒ x=sin x + x

• Esquema iterativo: (7)

• Error aproximado: (8)

Iteración de Punto Fijo: Cálculo de xr

x i+1=g (x i )

fórmula de iteración de punto fijo

εa=|x i +1−x i

x i +1|⋅100%

Iteración de Punto Fijo: Ejemplo 6.1 Hallar, mediante iteración de punto fijo, la raíz de:

f (x )=e−x−x

Se reescribe como: x i+1=e−x i

Valor inicial: x 0=0

x 1=e−x 0=e−0=1

x 2=e−x 1=e−1=0.367879...

1º iteración:

2º iteración:

• Planilla de cálculo: punto_fijo.ods• Código en Python: punto_fijo.py• Código en Octave: punto_fijo.m

Resolver x = g(x) equivale a encontrar la intersección de las gráficas de las funciones:

Esta intersección se denomina punto fijo de la función g(x)

f 1(x )=x

f 2(x )=e−x

Iteración de Punto Fijo: Interpretación Geométrica


CONVERGE

DIVERGE

COMPORTAMIENTOMONÓTONO

COMPORTAMIENTOOSCILATORIO

Ecuación iterativa:

Solución exacta:

Restando m. a m.:

Por TVM:

con:

Condición de Convergenciax i+1=g (x i )

x r=g (x r )

x r−x i +1=g (x r )−g (x i)

g ' (ξ)=g (x r )−g (x i )

x r−x i

x i≤ξ≤x r

Como es proporcional a , el método eslinealmente convergente o divergente.

Reemplazando: (9)

Por lo tanto: (10)

Condición de Convergencia

E t , i +1=g ' (ξ )E t , i

|g ' ( ξ)|<1

∀ξ∈[x i , x r ]

Esto significa que se asegura la convergencia si en todo el intervalo . |g ' (x )|<1 [x 0 ,x r ]

E t ,i +1 E t ,i

g 1(x )

x 0

Verificar la condición de convergencia de las funciones de iteración de punto fijo de:

CONVERGE

Condición de Convergencia: Ejemplo

x 2−2 x−2=0 , x 0=2

g 1(x )=√ 2 x +2

g ' 1(x )=1

√ 2 x +2

|g ' 1(2)|<1

Función de iteración g1(x):

DIVERGE de la raíz cercana a x

0=2

Condición de Convergencia: Ejemplo

g 2(x )=x 2

−22g ' 2(x )=x

|g ' 2(2)|>1

Otra función de iteración g2(x):

CONVERGE a otra raíz !!

Cuidado:

g 2 (x )

x 0

Iteración de Punto Fijo: Pseudocódigo

iniciar xv, iter=0, imax, es definir funcion grepetir: xr = g(xv) si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 xv = xr hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

Igualando la pendiente a f '(x):

f ' (x i)=f (x i)−0

x i−x i +1

Despejando (...):

x i+1=x i−f (x i )

f ' (x i )

Método de NewtonRaphson

(11)fórmula de NewtonRaphson

Encontrar, por el método de NewtonRaphson, la

raíz de: f (x )=e−x−x

f ' (x )=−e−x−1

f (x 0)=e−0−0=1

f ' (x 0)=−e−0−1=−2

x 1=x 0−f (x 0)

f ' (x 0)=0−

1−2

=0.5 ...

Método de NewtonRaphson: Ejemplo 6.3

La derivada de la función es :


1º iteración:

Método de NewtonRaphson: Ejemplo 6.3

• Planilla de cálculo: newton_raphson.ods• Código en Python: newton_raphson.py• Código en Octave: newton_raphson.m

La ecuación iterativa de NR:

Es una ecuación de iteración de punto fijo:

Siendo:


x i+1=g (x i)

x i +1=x i−f (x i)

f ' (x i)

g (x i )=x i−f (x i )

f ' (x i )

g ' (x i )=f (x i ) f ' ' (x i)

[ f ' (x i)]2Si existe: ∀ x i∈[x 0 , x r ]


El Teorema de NewtonRaphson demuestra que se asegura la convergencia si en todo el intervalo .

|g ' (x )|<1[x 0 ,x r ]

Como es proporcional a , el método escuadráticamente convergente o divergente.

Análisis de Error Newton Raphson

Partiendo de la serie de Taylor se puede demostrar que:

E t ,i +1 E t ,i2

E t , i +1=−f ' ' (x r )

2 f ' (x r )E t , i

2

Esto significa que el número de cifras correctas aproximadamente se duplica en cada iteración cuando el método converge.

(12)

Desventajas del método de NewtonRaphson

NewtonRaphson: Pseudocódigo

iniciar xv, iter=0, imax, es definir funcion fdefinir funcion dfrepetir: xr = xv f(xv)/df(xv) si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 xv = xr hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

x i−1x i

xx i+1x r

f (x )línea

secante

Se aproxima la derivada f '(x) de NewtonRaphson con una diferencia finita hacia atrás:

Método de la Secante

f ' (x i)=f (x i−1)− f (x i)

x i−1−x i

Sustituyendo en la fórmula de NewtonRaphson y despejando xi+1:

Si bien necesita 2 puntos, no se clasifica como un método cerrado.

Método de la Secante

x i+1=x i−f (x i ) ( x i−1−x i )

f (x i−1)− f (x i )(13)

fórmula de la secante

Encontrar, por el método de la secante, la raíz de:f (x )=e−x

−x

Método de la Secante: Ejemplo 6.6

La raíz verdadera es:

Valores iniciales:1º iteración:

x=0.56714329 ...

x−1=0.0 , x 0=1.0

x−1=0 , f (x−1)=1.00000

x 0=1 , f (x 0)=−0.63212

x 1=1−−0.63212 (0−1)

1−(−0.63212)=0.61270 , ε t=8.0 %

Método de la Secante: Ejemplo 6.6

• Planilla de cálculo: secante.ods• Código en Python: secante.py• Código en Octave: secante.m

Como es proporcional a , el método tiene convergencia o divergencia superlineal, ya que .

Análisis de Error Secante

Se puede demostrar que:

E t ,i +1 E t ,i1.618

E t , i +1=| f ' ' (x r )

2 f ' (x r )|0.618

E t , i1.618 (14)

Lo que significa que: E t , i +1=cte E t , i1.618

1< p=1.618 <2

Falsa Posición Secante: Diferencias

Método de la Secante: Pseudocódigo

iniciar x0, x1, iter=0, imax, es definir funcion frepetir: x2 = x1 (f(x1)*(x0x1))/(f(x0)f(x1)) si x2 != 0: ea = abs((x2 x1)/x2)*100 iter = iter + 1 x0 = x1; x1 = x2 hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar x2

Considera un cambio fraccionario para estimar la derivada:

f ' (x i)=f (x i+δx i)− f (x i)

δx i

Reemplazando en la ecuación de NR:

x i+1=x i−δ x i f (x i )

f (x i +δ x i )− f (x i )

Método de la Secante Modificado

fórmula de la secante modificada

(15)

No se pueden usar métodos cerradospara raíces múltiples pares.

Los métodos de NewtonRaphson y de la secante tienen convergencia lineal cuando hay raíces múltiples.

Raíces Múltiples

Se puede demostrar que u(x) tiene las mismas raíces que f(x):

u (x )=f (x )

f ' (x )

Planteando NR para u(x): x i +1=x i−u (x )

u ' (x )Desarrollando (...),

x i +1=x i−f (x i) f ' (x i)

[ f ' (x i ) ]2− f (x i ) f ' ' (x i)

Método de NewtonRaphson Modificado

fórmula de NewtonRaphson modificada

(16)

Tiene convergencia cuadrática para raíces múltiples.

NewtonRaphson Modificado: Pseudocódigo

iniciar xv, iter=0, imax, es definir funcion fdefinir funcion dfdefinir funcion d2frepetir: xr = xv (f(xv)*df(xv)) / (df(xv)**2f(xv)*d2f(xvt)) si xr != 0: ea = abs((xr xv)/xr)*100 iter = iter + 1 xv = xr hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar xr

NewtonRaphson Modificado: Ejemplo 6.9

Calcular, por los métodos de NewtonRaphson estándar y modificado, la raíz múltiple de:

f (x )=x 3−5 x 2

+7 x −3

• Código en Python: newton_ej6_9.py • Código en Octave: newton_ej6_9.m• Código en Python: newtonRaphsonMod.py • Código en Octave: newtonRaphsonMod.m



Raíces de Polinomios

• Deflación polinomial

• Método de Müller

• Permite encontrar sucesivamente las raíces de un polinomio P(x).

• Una vez encontrada una raíz x1, para no

volver a la misma raíz se divide a P(x) por (x – x

1). El nuevo polinomio ya no

posee la raíz x1.

Deflación Polinomial

Encontrar las raíces de:P (x )=x 3−2 x 2

−x +2

Aplicando el método de NewtonRaphson con x0 = 0:

Primera raíz: 2.00000 ( 2 iteraciones)

Nuevo polinomio:

g (x )=x 2−1

Deflación Polinomial: Ejemplo

g (x )=P (x )

x−2

Nuevo polinomio:

Tercera raíz: 1.00000 (1 iteración)

Para realizar P(x)/(x2), se puede utilizar Octave: >> P=[1 2 1 2];>> p1=[1 2];>> [g,r]=deconv(P,p1)g = 1 0 1r = 0 0 0 0

P (x )=1 x 3−2 x 2−1 x +2

p 1(x )=1 x −2

resto del cociente


Aplicando el método de NR con x0 = 1:

h (x )=g (x )

x−1=x +1

Segunda raíz: 1.00000 ( 1 iteración)

Método de la secante:

2 puntos función lineal→

Método de Müller:

3 puntos función cuadrática→

Método de Müller

Método de Müller

Se escribe la función cuadrática de la forma:f (x )=a (x−x 2)

2+b (x−x 2)+c

Evaluando en los puntos x0, x1 y x2 (…) se tiene que: c = f (x 2)

f (x 0)− f (x 2)=a (x 0−x 2)2+b (x 0−x 2)

f (x 1)− f (x 2)=a (x 1−x 2)2+b (x 1−x 2)

Método de Müller

Reemplazando,

Haciendo: h0=x 1−x 0

Reemplazando en las anteriores y resolviendo para a y b (...), se tiene:

a=δ1−δ0

h1+h 0

h1=x 2−x 1

δ0=f (x 1)− f (x 0)

x 1−x 0

δ1=f (x 2)− f (x 1)

x 2−x 1

b=a h1+δ1 c = f (x 2)

Método de Müller

Para encontrar la raíz, x 3−x 2=−2 c

b±√b 2−4 a c

Se elige el signo central de modo que coincida con el signo de b.Se descarta un valor (x0, x1 ó x2):

– Raíces reales: el más alejado de x3

– Raíces complejas: (x0, x1, x2) = (x1, x2, x3)

Método de Müller

x 3=x 2−2 c

b±√b 2−4 a c

(17)

fórmula de Müller

Encontrar una raíz de la función:

f (x )=x 3−13 x−12

Partiendo de (x0, x1, x2) = (4.5, 5.5, 5.0)

f (4.5)=20.625 , f (5.5)=82,875 , f (5.0)=48

h 0=5.5−4.5=1 h1=5.0−5.5=−0.5

δ0=f (x 1)− f ( x 0)

x 1−x 0

=62.25 δ1=f (x 2)− f (x 1)

x 2−x 1

=69.75

Método de Müller: Ejemplo 7.2

a=...=15 , b=62.25 , c =48

√b 2−4 a c =...=31.54461

x 3=x 2+−2 c

b+√ b 2−4 a c

=...=3.976487

εa=| 3.976487−53.976487 |=25.74 %

Planilla de cálculo: muller.ods

Método de Müller: Ejemplo 7.2

iniciar x0, x1, x2, iter=0, imax, es definir funcion ff0 = f(x0) ; f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)

repetir: h0 = x1 – x0 ; h1 = x2 x1delta0 = (f1f0) / h0 ; delta1 = (f2f1) / h1

a = (delta1delta0) / (h1+h0)b = a*h1 + delta1 c = f2

D = sqrt(b*b4*a*c) E = b + D si abs(bD) > abs(E): E = bD

x3 = x2 – 2*c / E f3 = f(x3) si x3 != 0:

ea = abs((x3 x2)/x3)*100 iter = iter + 1 x0 = x1; x1 = x2; x2 = x3f0 = f1; f1 = f2; f2 = f3

hasta que (ea<es or iter>=imax)mostrar x3

Método de Müller: Pseudocódigo

Encontrar las raíces de: f (x )=x 3−x−1

Método de Müller: Ejemplo

f(x) tiene una raíz real y dos raíces complejas.

Método de Müller: Ejemplo

• Planilla de cálculo: muller2.ods• Código en Python: muller2.py• Código en Octave: muller2.mPartiendo de:

(x0, x1, x2) = (0, 1, 2), se encuentra

(x0, x1, x2) = (0, 4, 7), se encuentra

(x0, x1, x2) = (0, 4, 7), se encuentra

x r 1=1.3247

x r 2=−0.66236+0.56228 i

x r 3=−0.66236−0.56228 i

• Octave: Raíz de una función: fzero(funcion, valorInicial) >> f = inline('exp(x)x','x');

>> xr = fzero(f,0.0)

xr = 0.56714

Raíces de un polinomio: roots(vectorCoefPol) >> P = [1 0 1 1]; % x^3x1

>> r = roots(P)

r =

1.32472 + 0.00000i

0.66236 + 0.56228i

0.66236 0.56228i

Herramientas disponibles

• Planilla de cálculo: búsqueda de valor destino, destino.ods

• Python: librerías Numpy y Scipy

Raíz de una función: fsolve(funcion, valorInicial)>>> from scipy.optimize import fsolve

>>> def f(x): return exp(x)x

...

>>> xr = fsolve(f,0.0)

>>> xr

0.56714329040978384


Raíces de un polinomio:

roots(poly1d(vectorCoefPol))

>>> from numpy import poly1d, roots

>>> p=poly1d([1,0,1,1]) # x^3x1

>>> p

poly1d([ 1, 0, 1, 1])

>>> r=roots(p)

>>> r

array([ 1.32471796+0.j, 0.66235898+0.56227951j,

0.662358980.56227951j])

>>> xr2=r[1] # se extrae la segunda raiz de r

>>> xr2

(0.66235897862237292+0.56227951206230109j)


Estudio de casos (Cap. 8)

Ley de los gases no ideales

• Ley de los gases ideales

pV=n RT

• Ecuación de Van der Waals

p a

v2 v−b=RT , v=Vn

Volumen molar

Ley de los gases no ideales

• Calcular el volumen molar para el dióxido de carbono y el oxígeno

• Solucion en Octave: caso_81.m

R=0,082054l atmmol K

a b

CO2

3,592 0,04267

O2

1,360 0,03183

Flujo en canales abiertos

• Ecuación de continuidad Q=U A=U B H


• Ecuación de Manning U=

1nR2 / 3 S1 / 2

R=AP

Radio hidráulico

P=B2H Perímetro mojado

• Reemplazando (...),

Q=S1 / 2

nB H 5 / 3

B2H 2 / 3


• Datos*: Q = 4 m³/s, B = 2 m, S = 0.001, n = 0.015

• Incógnita = H• Resolver

• Resuelto por iteración de punto fijo en canales.ods

f H =S1 / 2

nBH 5 / 3

B2H 2 / 3−Q=0

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