Límites de Funciones
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Lmites de FuncionesLmites de FuncionesLmites LateralesContinuidadRecta tangente a la CurvaLmites de FuncionesEn esta secci\on veremos el concepto de ``arbitrariamente proximo", idea que ya fue desarrollada en lmite de sucesiones, es decir, en funciones de , la diferencia en este estudio ser\a principalmente en el dominio, que en esta oportunidad es un subconjunto de . Recordemos que una vecindad de es de la forma , donde (en general una vecindad de es un abierto que contiene a ). Punto de Acumulaci\onSea y ( no necesariamente en ). Diremos que es un punto de acumulaci\on de si toda vecindad de , , contiene alg\un punto diferente de . En notaci\on m\as formal
\o
El conjunto derivado de , denotado por , es el conjunto de todos los puntos de acumulaci\on de , es decir,
Sea . Como toda vecindad de intersecta a se tiene que es un punto de acumulaci\on de (es decir, ). En forma f\acil se puede ver que . Sea . no es punto de acumulaci\on de pues existe vecindad de tal que . Una forma de visualizar los puntos de acumulaci\on, est\a dada en la siguiente proposici\on Sea no vaco si y solo si toda vecindad de contiene infinitos puntos de Demostraci\on: ( ) Trivial ( ) Si tomamos vecindades de la forma ( es decir, con ). Para existe y existe tal que . Para existe y existe tal que , etc. Por un proceso inductivo se puede garantizar la existencia de
todos puntos de . Sea no vaco
Esto se puede ver en la demostraci\on de la proposici\on anterior
Claramente se ve que , m\as a\un
Sea entonces , lo mismo ocurre con (i-rra-cionales), . Estos resultados se deben al hecho que todo intervalo tiene infinitos racionales, en el primer caso, o infinitos irracionales, en el segundo caso Sea . Claramente se ve que ning\un punto de es punto de acumulaci\on ya que tomando, , vecindad , ella s\olo tiene un punto en com\un con , y si siempre existe una vecindad que no contiene puntos de . Luego tenemos . Un punto en se dice aislado, si existe una vecindad de , , tal que En el ejemplo anterior est\a formado s\olo por puntos aislados, lo mismo ocurre con y con Observacin: Si , tenemos la certeza que arbitrariamente cerca de siempre hay elementos de , esto no ocurre si es un punto aislado de . Definicin de lmite de funcionesSean funci\on y Diremos que el lmite de es cuando tiende a si para toda vecindad de existe una vecindad de , tal que Note_1
es decir, los elementos arbitrariamente cercanos a (los puntos de la vencindad ), salvo el mismo , que son tomados por (ya que deben est\ar en ) tiene sus imagenes arbitrariamente cercanas a (ya que deben estar en ) Notaci\on:
La definici\on anterior es necesario escribirla en un lenguaje que nos permita operar con ella. Como las vecindades de son de la forma , la frase para ``toda vecindad de '' equivale a tomar cualquier \o ; lo mismo ocurre con las vecindades de , , en este caso el cuantificador en la definici\on es existe, Por lo anterior tenemos que
si y slo si
Figura
Ahora recordando que
se puede escribir: Definici\on Tradicional:
si y s\olo si
As, demostrar que consiste en: encontrar un para un dado (arbitrario) y que verifique la implicaci\on
Demostraci\on de Lmite .Sea . Demostrar que Soluci\on: Ya que para todo existe tal que
As,
?`Por qu\e tomamos ? Para que justamente se d\e la desigualdad y no otra desigualdad. Notemos que: El buscado debe satisfacer:
y como es creciente, debe satisfacer
o equivalentemente
de lo cual tenemos
As, para dado, buscado debe cumplir (cualquier positivo menor o igual que ) Observaci\on: En general se tiene que si con y y , entonces . En este caso basta tomar ya que . Si se tiene que . Sea , (Ver figura ms abajo). Demostrar que
Solucin: Notar que . El lmite es correcto ya que lo siguiente es verdadero: Para cada existe tal que: . La implicacin anterior es verdadera por la siguiente cadena:
Sea . Demostrar Soluci\on: Dado
es decir,
As, . La pregunta natural es: Para ?`Cu\al tomar (c\omo se obtiene un ) apropiado para que todo quede como la definici\on tradicional? La t\ecnica consiste en buscar una relaci\on entre , esta se consigue buscado una relaci\on entre
En el ejemplo se considera y ; Dado que , si queremos (esto equivale a ), necesitamos entonces tomar es decir, necesitamos tomar con . En el ejemplo se considera y . ?`C\omo est\a relacionado con la segunda expresi\on? Para contestar esto necesitamos trabajar con la segunda expresi\on
Por lo tanto, la segunda expresi\on es menor que si la primera tambi\en lo es, es decir, debe ser igual a . En el ejemplo los t\erminos a comparar son y . En este caso queremos que
Por lo tanto, , este \ultimo paso sugiere que debe ser tomando como , pero esto no es correcto ya que es un n\umero positivo y no una funci\on de . En este caso se acota superiormente y esa cota se hace menor que con alg\un apropiado. Note que si y
Por lo tanto y si y a la vez () se tiene
Por lo tanto
Esta t\ecnica se usa generalmente cuando aparece s\olo como un factor en y tal procedimiento es llamado acotamiento. Veamos ahora un caso m\as complicado para un estudiante que tenga pro-ble-mas con las desigualdades entre inversos. El ejemplo se ver\a diferente al anterior pero s\olo usaremos la t\ecnica de acotamiento. Demostrar . Notemos que si entonces Solucin: Dado , existe tal que
Por lo tanto
Observaci\on: En general, se puede demostrar que si I) Demostrar que Determine si la siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas II) Dado , existe tal que
III) Dado , existe tal que
Solucin: I) Veamos como se encuentra en . Como
entonces debemos acotar por un nmero Si se tiene que:
Por lo tanto, dado tal que
Por lo tanto por y tenemos
II) Verdadero. Por lo anterior: Dado , existe tal que
y como entonces
III) Falso. Si tenemos
ahora si , existe pero pues
Demostrar que Solucin: Necesitamos buscar el trmino (factor) (o equi-va-len-temente el trmino ) en
Ya que
bastar acotar superiormente , por un nmero positivo , puesto que si
se tendra
as, bastara tomar y se obtendra
Veamos si es posible acotar superiormente para en una vecindad de .
As, si se tiene no es acotado superiormente. El problema en este caso es que la vecindad tomada en torno al incluye al valor quin anula a . La vecindad debe excluir a y cercano a l. Por ejemplo la vecindad dada por
luego si De esta forma, dado basta tomar ya que si se tiene
y adems
El acotamiento realizado en este problema consisti realmente en determinar en qu conjunto se encuentra el recorrido de la funcin para valores cercanos a . Analizando el grfico de , para una vecindad apropiada del se tiene naturalmente que ser acotada; si la vecindad es grande como para contener a no ser acotada superiormente ya que es infinitamente grande cerca de (ver figura )
Demuestre que
Solucin: Nuestro objetivo es buscar en . Como
tendremos que acotar en una vecindad del punto . Veamos esto grficamente en la figura que sigue
. donde Naturalmente que es acotado, tomando una vecindad de de radio es decir, se tiene por el gr\afico que
es decir, si , entonces se tiene que: y . De esta forma, dado , existe y tal que
As,
Por lo tanto
Teoremas Bsicos sobre LmitesA continuaci\on veremos un teorema que es utilizado para probar la no existencia de lmites, el teorema de unicidad de unicidad El lmite de una funci\on (en un punto) es \unico Sea funci\on . Si existe el lmite de f cuando entonces es \unico. Es decir,
Demostraci\on: Por el absurdo. Supongamos , entonces podemos tomar vecindades disjuntas y , es decir . Como , existe una vecindad de a, , tal que , por otra parte se tiene , entonces existe una vecindad de a, tal que . Es claro que (es imposible que sea vaca la intersecci\on ya que ambas son vecindades de y es un punto de acumulaci\on de
por lo tanto
pero contradici\on. As Note_2 Sea (por lo tanto ). Sea y . Si entonces . Reciprocamente. Si B contiene un intervalo abierto que contiene a se tiene que si entonces . Demostraci\on: La demostraci\on de la primera parte es basada en teora de conjunto. Si se tiene que para toda vecindad de existe una vecindad de tal que
por lo tanto tambi\en se tiene
ya que
luego
La otra parte del teorema realza el concepto de lmite en el sentido que basta analizar los puntos cercanos a . Claramente se ve que . Aqu se est\a pensando en la funci\on . El teorema anterior nos dice que cumple que
Sea , Probemos no existe (Por el absurdo). Supongamos que existe, es decir, . con luego, si con-si-de-ramos
entonces seg\un el teorema anterior.
pero claramente para todo y para todo . Por lo tanto
lo que contradice Por consiguiente no existe. En forma analoga se prueba la no existencia de , donde , Sea
ambos tienen a como punto de acumulaci\on Supongamos que , por lo tanto
Pero , y por lo tanto
Por otra parte, y como ,entonces
As de donde , lo que contradice Lmites LateralesEl lmite lateral derecho de en se entiende como el lmite siguiente y se anota .(si es punto de acumulaci\on de ) Note_3 An\alogamente se define lmite lateral izquierdo como y se denota como .(si es punto de acumulaci\on de Por teorema anterior se tiene que: Si est\a definida en un intervalo abierto que contiene a (no necesariamente definida en ) entonces Si existe y es igual a , entonces ambos lmites laterales existen y son iguales. Por consiguiente usando la equivalencia tenemos: Si los lmite laterales no existen o son diferente entonces no existe. (insistimo en que siempre que est\a definida en un intervalo abierto que contiene a ) Sea
Calculemos los lmites laterales en . Notemos que est\a definida en .
Por a) y b) se tiene luego no existe. Consideremos la funci\on Hemos visto en un ejemplo anterior que existe y su valor es . Sin embargo no podemos afirmar que ambos lmites laterales existan. En este caso, del , luego no esta definida en todo un intervalo abierto que contenga a . Observamos la demostraci\on del ejemplo es claro que
Sobre el lmite lateral izquierdo se tiene que la proposici\on
es verdadera para todo ya que no existe en que cumple . De esta forma aparentamente para todo Pero no es un punto de acumulaci\on de . Por lo tanto el lmite lateral izquierdo en no se puede calcular (no tiene sentido la expresi\on). Observaci\on: En t\erminos de la definici\on de lmite lateral derecho y lateral izquierdo es:
Ahora, supongamos que existen y son iguales los lmites laterales de una funci\on en , es decir,
Entonces podemos afirmar que existe y . En efecto: Dado que existen los lmites laterales entonces se tiene y . Sea y consideremos entonces se tiene
de donde:
Hemos demostrado de esta forma el siguiente teorema. Si los lmites laterales en existen (se pueden calcular) y ambos son iguales a entonces se tiene que existe y . Sea
Determinemos si existe . Como y entonces . Luego, por teorema anterior . Sea , verifiquemos que no tiene l mite en . Como y adem\as , se tiene que no existe. Determinemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones . no existe. Si entonces el Solucin: Falso. Si entonces en una vecindad del cero, luego en por lo tanto
Falso. Por lo anterior, se tiene:
luego
Note que cambia de signo cerca del punto y al tomar tendiente a cero estamos tomando punto cerca de cero donde tiene el valor posivo. Verdadero. , luego . Verdadero. y luego los lmites laterales son iguales por lo tanto
Falso. . Calculando los lmites laterales tenemos y por la izquierda
Determine de modo que
Soluci\on: Notemos que si y si , luego calculemos los lmites laterales
Por otra parte
Luego existe si y s\olo si , es decir,
de donde . Por lo tanto, el lmite existe si y s\olo si . Calculemos
En este caso, notemos si `` tiende a cero'' el factor es positivo, luego para todo cerca de y
Luego . Algebra de LmitesSea y sean y tal que existan los lmites , entonces a) lmite de la suma tambi\en existe en y se tiene
b) lmite del producto existe en y se tiene
c) lmite del cuociente existe en cuando y se tiene
Demostraci\on: Usar resultado de algebra de lmites de sucesiones y teorema del enlace, que veremos posteriormente. Observaci\on: En particular de (b) se deduce que Si entonces . Observaci\on: Es importante enfatizar que para aplicar el algebra de lmites, debemos estar seguros de que se verifiquen las hip\otesis. Si no es as podemos obtener contradicciones como veremos a continuaci\on. Es claro que . Sin embargo, si escribimos
y aplicamos el algebra de lmites sin asegurarnos de que ambas l mites existan podemos decir equivocadamente que.
de donde lo que es una contradicci\on (y esto sucede porque no existe. Observaci\on: Si se tiene que
Tomando, en particular, se tiene que
Es decir, que f es acotada superiormente por en la vecindad y tambi\en acotada inferiormente por en el mismo conjunto. Acotamiento Sea . Sea una vecindad de tal que 1) se tiene: y adem\as 2) ,entonces
Demostracin: (ver figura anterior) Dado tenemos para y lo siguiente
pero ) y as,
se tiene
Por lo tanto,
Por lo tanto
Lo siguiente est relacionado con la figura . Cuando se define geomtricamente la funcin y se utiliza la circunferencia de radio como en la figura , es as que las coordenadas del punto son donde esta medido en radianes.
Figura
Por otra parte, pensando en la definici\on de las funciones trigonom\etricas usando un tri\an-gu-lo rect\angulo, se tiene que Note_4
De esta forma, las coordenadas del punto son Por el hecho que la circunferencia tiene radio y el \angulo est\a dado en radianes, se tiene que el arco de circunferencia de a es la longitud . Nota: en la figura el \angulo satisface , pero claramente se puede ver que si es negativo y mayor que , s\olo hay que tener cuidado con el signo en las relaciones que a continuaci\on damos para , .
Por lo tanto, para se tiene la desigualdad
Por lo anterior se tiene que . En efecto: Como
y . entonces por teorema del acotamiento se tiene
Tambin usando la figura se puede ver que cuando tiende al ngulo cero, la hipotenusa del tringulo , tiende al cateto adyacente , del mismo tringulo, pero como es siempre igual a y se tiene que
lmite que justificaremos de otra forma mas adelamte. Probemos que
Para resolver esto utilizaremos una relacin existente entre dos reas de la figura
Calculando cada rea Note_5 se tiene
Multiplicando esta \ultima desigualdad a ambos lados por el n\umero positivo obtenemos
Utilizando el hecho que es una funci\on par () y como , podemos fabricar la siguiente cadena apropiada para utilizar el teorema del acotamiento
desigualdad v\alida para y ( ya que la funci\on y son funciones impares y su cuociente es par). De esta forma por teorema y utilizando que cuando obtenemos
Calcular
Soluci\on:
Como
y
entonces por algebra de lmites . Calculemos donde . Solucin: Sabemos que
Multiplicando por la ecuacin obtenemos
As,
Como y entonces por teorema del acotamiento se tiene Este \ultimo caso se puede generalizar a funciones acotadas. Recordemos que una funci\on se dice acotada en si existe tal que:
Cero Aniquila Sea una funci\on acotada en una vecindad de (no necesariamente definida en ). Si entonces Demostraci\on: Como se tiene
es decir,
y por teorema de acotamiento se obtiene lo requerido. Demostrar
En efecto y la funci\on es acotada, luego por teorema cero aniquila, se tiene . Calcular
Soluci\on: . Como y es acotada, entonces por teorema cero aniquila . Demostrar usando el teorema anterior que
Soluci\on: Basta demostrar que . Usando la identidad trigono-m\e-tri-ca
y el hecho que es acotado y donde . Se tiene por teorema cero aniquilador que:
En forma an\aloga se puede probar que
Sean , Demostrar que
Ayuda: Usar la siguiente propiedad de la parte entera
Soluci\on: Por propiedad anterior tenemos
multiplicando por con se tiene
o equivalentemente
puesto que entonces por teorema de acotamiento
Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. . 1. . 1. . 1. . 1. . 1. No existe . 1. no existe. 1. Si existe y existe entonces existe. 1. Si existe y no existe entonces existe. Soluci\on: 1. Falso. Como y y es acotada entonces por teorema cero aniquila. 1. Verdadero. La funci\on es acotada en una vecindad del , es decir,
y luego por teorema cero aniquila
1. Verdadero. . 1. Falso. 1. Verdadero. 1. Verdadero. Supondremos que existe y su valor es . Dado que existe por algebra de lmites debe existir pero
y por algebra de lmites
lo cual es una contradicci\on por la unicidad del lmite. Por lo tanto el valor no existe. 1. Verdadero. Note_6 Sabemos por (1) que; existe (y su valor es cero) y no existe por (6) Luego
ya que de existir tambi\en debera existir (por lmite de la suma)
y esto \ultimo es falso por (6). 1. Falso. Sean existe y su valor es , adem\as existe y su valor es cero, pero no existe. 1. Falso. Sean y luego existe y su valor es cero, pero no existe y no existe. Lmite de funciones - sucesionesEl siguiente teorema nos permite usar los resultados obtenidos en sucesiones Sea , la funci\on identidad en . Se sabe que . Usemos el teorema anterior para probar que : a) . b) donde y c) , donde Solucin: a) Como se tiene
As, b) Esta se har usando induccin en . Para es cierto ya que Supondremos ahora que es vlido para y demostraremos que es vlido para
c) La tercera tambin se har por induccin en Para , se tiene . As por algebra se cumple para . Supongamos que el lmites es vlido para demostraremos que es vlido para . Usando algebra de lmites se tiene:
La existencia de este lmite se garantiza por la hiptesis inductiva
adems por ejercicio anterior
luego
Por consiguiente
. Calcular
Solucin: Como y , entonces por algebra de lmites (c)
Observaci\on: Notar que no se tuede aplicar el algebra de lmites. Si tiende a . En los siguientes e jercicios tampoco podemos usar el algebra de l mites directamente, pero eso no significa que el lmites no existe, como se vera a continuaci\on. Sabiendo que , si . Calcular
Solucin:
Dado que y .
entonces por algebra de lmites se tiene
Observaci\on: Se probar\a en la secci\on de continuidad que si entonces
Calcular
Solucin: Recordemos que .
Dado que y , entonces por algebra de lmites se tiene
Determinar de modo que exista donde
Solucin: Dado que . El lmite existira si slo si
Como , entonces por algebra de lmite se tiene
Por otra parte , luego existe si y slo si , de donde . Demuestre que; Si existe y no existe entonces no existe. Solucin: Por mtodo del absurdo
Supongamos que existe, luego por algebra de lmites, dado que existe entonces existe, pero lo que contradice la no existencia de . Demuestre que los siguientes lmites no existe. 1. 1. . Solucin: 1. Supongamos que existe y su valor valor es . Dado que existe, entonces por algebra de lmites, existe el lmite del producto, es decir, existe
Por otra parte
luego por unicidad del lmites se tiene que lo que es una contradiccin. 1. Como existe y no existe, entonces por ejercicio se tiene
Observaci\on: En general, se puede demostrar por el m\etodo del absurdo que: Si y entonces no existe. En este caso se dice que el lmite ``es de la forma '' Los siguientes lmites son de la ``forma ''
luego los lmites no existe. Consideremos la funci\on
Determinemos para qu\e valor de , el lmite existe. Dado que , entonces puede existir si Note_7 (si entonces no existe). Ahora;
Si entonces . Si entonces . Por lo tanto existe si . Mostrar que , si . Solucin: Si basta probar que pero
y
y ya que por teorema cero Aniquila
Teorema de Sustituci\onSustituci\on Sean y , funciones tales que . Supongamos que y que existe una vecindad de tal que . para todo . Si entonces . es decir;
Calculemos
Solucin: Consideremos la sustitucin o cambio de variable . Es claro que , es decir, si entonces , de donde en , luego por teorema de sustitucin (dado que ), se tiene
Calculemos
Solucin: Sea . Si entonces , (adems para en una vecindad del cero sin tomar el cero) entonces,
por teorema de sustitucin, as
Sean y , y . Sea entonces Demostraci\on: Sea
Para una vecindad de , puesto que , existe una vecindad de , tal que . Por otra parte, como para la vecindad existe una vecindad de tal que . Por lo tanto . As, para una vecindad , existe una vecindad de tal que , es decir,
Este teorema se utiliza en lo que se suele llamar cambio de variable o sustituci\on
puesto que: Si tomamos y y dado que y , entonces por el corolario anterior se tiene Sabiendo que . Probemos que si existe entonces
Solucin: Sea como y puesto que , entonces . As tenemos por ejemplo:
En efecto. Sea . Si entonces y
Luego
Para aplicar el teorema anterior, debemos asegurarnos que se cumplan la hip\otesis. De no hacerlo podemos obtener contradicciones. Sea
En efecto; Sabemos que no existe pues los lmites laterales son distintos
Sin embargo; dado que , entonces se tiene . Observaci\on: Notemos que. Si entonces Probar que si entonces . Solucin: Supongamos que entonces ademas y por teorema de acotamiento tenemos que . Calcular los siguientes lmites
Soluci\on: a)
b) Sea . Si entonces luego,
c)
Es necesario recordar, para el c\alculo de lmite trigonom\etricos algunas identidades. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Demostrar usando el teorema anterior que
Soluci\on: Basta demostrar que . Pero usando la identidad trigono-m\e-tri-ca
y el hecho que es acotado y donde . Se tiene por teorema cero aniquilador que:
En forma an\aloga se puede probar que
Usando algebra de lmite y identidades trigonom\etricas calcular el lmite de la siguiente funci\on en
Soluci\on:
Calcular, usando el teorema de cambio de variable, que
Soluci\on: En una vecindad de se tiene la identidad
Tomando , cuando tiende a tiende a
ya que . Calcular
Soluci\on: Sea . Si entonces (donde en ). Luego por teorema de sustituci\on
de donde
Observaci\on: En el c\alculo de lmites que involucre funciones tri-go-no-m\e-tri-cas, lo habitual es hacer el cambio de variable o . Calcular
Soluci\on:
Sea si entonces luego,
Calcular
Soluci\on: Sea si entonces luego,
Calcular (si existe) , . Si
Soluci\on: . Como est\a definida en una vecindad de , podemos calcular los lmites laterales. i)
Sea si entonces (pues )
ya que se tiene que lmite anterior es
ii) Por otra parte,
Por (i) y (ii) luego no existe . . est definida en una vecindad perforada del cero
Sea entonces Note_8 luego Si entonces As
Por lo tanto . Pruebe que
Solucin:
del Enlace Sea funci\on Entonces tenemos la siguiente equivalencia
Demostraci\on: () Sea sucesi\on con y . Por demostrar que . Basta tomar el conjunto . Como se tiene que y usando el teorema se tiene , es decir,
() Demostraci\on por el absurdo, es decir, supondremos que para todo que satisface la hip\otesis se tiene que y no se tiene . Por esto \ultimo, existe una vecindad de tal que para toda (esto es lo mismo que decir para todo ) se tiene que , es decir, para cada existe al menos un punto tal que . As, hemos fabricado una sucesi\on . Como , y adem\as (ya que est\a al menos lejos de puesto que ) lo que contradice el hecho ``toda sucesi\on" de las pedidas; luego . Calculemos
Consideremos y sea Si entonces y por teorema de enlace se tiene
Luego . Probar
Soluci\on:
Usando el hecho que . Calcular Soluci\on: Como y , usando teorema del enlace se tiene que donde Suponiendo que Calcule
Soluci\on: Si , usando teorema del enlace
Suponiendo que Calculemos
Soluci\on: Como obtenemos por teorema del enlace Del teorema anterior, se obtiene una herramienta muy \util para probar la no existencia de algunos lmites. Sea funci\on . Si existen dos sucesiones tales pero
o algunos de ellos no existe, entonces no existe. Demostraci\on: (aplicar ). Probemos que no existe. Consideremos . Claramente , donde . Sea Luego , y . Por lo tanto, por corolario anterior no existe. ContinuidadSea , diremos que es continua en el punto si para toda vecindad de existe una vecindad de tal que
Diremos que es continua en si f es continua en cada punto . es continua en puesto que: Una vecindad arbitraria de es del tipo :
Si para la vecindad anterior de , existiera una vecindad de esta debera cumplir
es decir,
pero como es creciente, tenemos
Por lo tanto, debe cumplir
Para dado, debe cumplir
es decir,
Por lo tanto, para la vecindad existe al menos una vecindad de ya que basta tomar (es decir, ) tal que . Ver figura anterior Sea
Determinar si es continua en . Soluci\on: Dada una vecindad de , debera existir una vecindad de , ( es decir, existe ) tal que Lo anterior es equivalente a
\o
As, debera ocurrir
pero para o menor es imposible obtener la inclusi\on anterior. Conclusi\on: Como para todo no es posible encontrar una vecindad de tal que se tiene que no es continua en . Se puede ver claramente que f es continua en los otros puntos Sea , (funci\on constante). Ella es continua en todos los reales. Soluci\on: Veamos la continuidad en un punto arbitrario . Notemos que:
As, ya que
Equivalencias de ContinuidadA continuaci\on daremos cuatro caracterizaciones de continuidad 1. Si es un punto de acumulaci\on de y . 1. Si es un punto de acumulaci\on de y contiene una vecindad de . 1. Si no es un punto de acumulaci\on y . 1. Caracterizaci\on por sucesiones. 1. Si es punto de acumulaci\on de y entonces es continua en si y s\olo si Esta \ultima igualdad dice que i) existe ii) El lmite anterior es igual a e implcitamente estamos diciendo que existe. 1. Si contiene una vecindad de (por lo tanto es un punto de acumulaci\on) tenemos lo siguiente: es continua en si y s\olo si a) existe
b) existe
c) los lmites anteriores son iguales a
Sea ?`Es continua en ? Soluci\on: Notemos que , y aqu viene naturalmente la equi-vo-ca-da conclusi\on `` no es continua en ya que no existe", como se exige en 2c. Observaci\on: No podemos usar la caracterizaci\on 2. pues no se cumple la hipot\esis de que contenga una vecindad de 1. En cambio, si podemos usar la caracterizaci\on 1, pues 1 es una punto de acumulaci\on de y , entonces dado que existe y . se tiene que es continua en . Probemos es continua en en t\erminos de vecindades. Tomemos una vecindad arbitraria de necesitamos encontrar una vecindad de , tal que ocurra:
Veamos qu\e condici\on debe cumplir para que esta \ultima inclusi\on sea v\alida. Como y f es creciente (ver figura)
se tiene que:
As, la inclusin en nos queda
Por lo tanto debe cumplir o equivalentemente . Resumiendo. Para toda vecindad existe una vecindad de (basta que sea menor que tal que
Luego es continua en . 1. Si no es un punto de acumulacin ( es un punto aislado) se tiene que f es continua en . Demostracin: Como no es un punto de acumulacin, existe una vecindad de (es decir, existe tal que
o equivalentemente
por lo tanto, La inclusi\on \ultima ocurre para todo ; de esta forma tenemos la siguiente afirmaci\on. Para toda vecindad de , existe una vecindad de (la tomada al inicio) tal que
Lo que quiere decir que es continua en . Todas las sucesiones son continuas, ya que todo punto de es punto de aislado. En la pr\actica, no se encuentran muchos dominios con puntos aislados, pero si aparecen en situaciones especiales y por ese motivo lo hemos desarrollado en detalle aqu, am\en que les facilitar\a el, entendimiento del concepto de continuidad en varias variables. 1. Definici\on tradicional. es continua en si
Note que y hablan de las vecindades de y respectivamente y la implicacion se refiere a la inclusi\on de conjuntos; la menci\on explcita de es para que tenga sentido la notaci\on . 1. Sea . es continua en si y s\olo si Para toda sucesi\on Note_10 , tal que converge a se tiene que la sucesi\on converge a . Este criterio es mas \util para probar la no continuidad en un punto que la conyinuidad. Lo anterior se puede escribir como
As, la negaci\on es: no es continua en si y s'olo si
Sea
?`Es continua en ? Soluci\on: Consideremos la sucesi\on con Claramente se ve que , pero
As, no converge a Conclusi\on: no es continua en ya que existe una sucesi\on con Tambi\en podemos decir que no es continua en pues no existe (ver ejemplo ). Comentarios1. Comentarios intuitivos Note_11 i) es continua en si las imagenes de puntos cercanos a est\an cercanos a y por muy exigente que se ponga para pedir estar cerca de , siempre hay un mont\on de puntos cerca de que est\an ``super cerca'' de . ii) Una funci\on continua en no puede tener un salto en , no puede estar cortada en . 1. Comentario Redundante i) Claramente no es continua en un punto si ii) De la frase ``Una funci\on es discontinua en un punto p" no se puede concluir que no tiene lmite ya que perfectamente la discontinuidad puede deberse a que a) o a que b) . , no existe pero . Esta funci\on constituye un ejemplo para el caso (a)
En esta funci\on se tiene .Esta funci\on constituye un ejemplo para el caso (b). iii) Si no existe, no es continua en . La no existencia del lmite se puede deber a varias casos, en el ejemplo tenemos el caso en que cada lmite lateral existe, pero
Como
Por lo tanto no es continua en 3 El siguiente teorema es el que sirve para mostrar con claridad las observaciones (co-men-ta-rios) anteriores i) Toda restricci\on de una funci\on continua es continua. Dicho de otra forma Sea continua en el punto . Si y entonces tambi\en es continua en ii) En el caso especial de que , con una vecindad de entonces la recproca se cumple. Dicho de otra forma. Sea continua en el punto (con entonces es continua en Esta \ultimo nos dice que la continuidad en el punto depende s\olo de los puntos que est\an cerca, y esto es lo que se suele llamar concepto local. As continuidad es un concepto ``local" al igual que lmite. Los siguientes teoremas son utiles por el hecho que nos sirven para fabricar nuevas funciones continuas o para visualizar que una funci\on es continua. Algebra de funciones continuas Sea continuas cada una en entonces i) son continuas en ii) Si entonces es continua en En el caso que sea un punto de acumulaci\on de , la demostraci\on se obtiene facilmente del algebra de lmites. En caso contrario es directa. Con este \ultimo teorema tenemos, por ejemplo, que los polinomios
son funciones continuas. Recordando los resultado de lmites tenemos que las siguientes funciones son continuas(en todo su dominio) 1. . 1. . 1. si . 1. . 1. . 1. . 1. . 1. . y muchas otras combinaciones de funciones trigonomtricas y polinomicas que sea operaciones algebraicas entre funciones bsicas como y . La compuesta de funciones continuas es continua Sean continua en , continua en tal que entonces es continua en Este teorema nos ayuda a mostrar que las siguientes funciones son continuas(en todo ). 1. ya que es la compuesta de y 1. ya que es la compuesta de y 1. compuesta de con 1. compuesta Consider la funci\on definida por
Estudie la continuidad de . Solucin: . Sea , entonces . Por composicin y producto de funciones continua, es continua en . . Sea , entonces por composicin y cuociente de funciones continua, es continua en . . Veamos la continuidad de en . Claramente y . Como es punto de acumulacin del , debemos ver si existe . Para esto, calculemos los lmites laterales
por cero aniquila.
es decir, existe adems
luego es continua en . Por consiguiente es continua en todo su dominio Funciones continuas sobre compactoSi es una funci\on continua en un intervalo cerrado y acotado (compacto) se debera tener que 1. En ningun punto de hay saltos, ya que si los hubiera salto los limites laterales son distintos figura de mas abajo
o bien el lmite de la funcin en el punto no coincide con el valor de la funcin en el punto ver la siguente figura
1. Tampoco la funcin puede ir a infinito en algn punto de , ver figura que sigue, ya que en ese caso lmite no existe
1. Tampoco puede oscilar en un punto (ver figura que sigue) ya que el lmite no existiria.
As tenemos (intuitivamente) que la gr\afica de una funci\on continua en un intervalo cerrado y acotado debe ser de tal forma que uno la puede graficar sin levantar el l\apiz empezando en y terminando en . En el fondo una funci\on continua en es s\olo una desformaci\on del intervalo , siendo su gr\afica solamente una cuerda no infinita que une los puntos y . Lo anterior nos permite creer los siguientes teoremas. del Valor Intermedio Sea continua. Si es un n\umero real que cumple entonces tiene al menos una preimagen en el intervalo . (es decir, tal que ) Como m\as se utiliza este teorema, es en la existencia de races de una funci\on. Existencia de Raices Sea tal que 1) (es decir, y tiene distintos signos) 2) f continua en un conjunto que incluya al intervalo entonces tiene una raiz en el intervalo (es decir, existe tal que ) La funci\on tiene una raz en el intervalo En efecto y luego . Adem\as es continua en luego por corolario anterior existe una raz en el intervalo . Pruebe que la ecuaci\on
tiene al menos una raz real en el intervalo . Soluci\on: Sea y luego Adem\as es una funci\on continua en en particular en , luego por el corolario anterior, existe tal que , es decir es una raz o soluci\on de la ecuaci\on. Sea f continua en un intervalo cerrado , entonces tambi\en es un intervalo cerrado. Sea continua en un intervalo cerrado y acotado , entonces es un intervalo cerrado y acotado, por lo tanto es acotada. Estudie la continuidad de a) b) Ayuda: Cuidado con los dominios. c) (parte entera) d) (parte entera) Estudie la continuidad de la funci\on en los puntos indicados. a) . b) y . c) y . Para qu\e valores de es continua en el punto indicado. a) b) c) Considere la siguiente funci\on
donde y son n\umeros reales 1) Calcule el lmite lateral derecho de en 2) Calcule el lmite lateral izquiedo de en 3) Encuetre los valores de y que hacen continua a en . 4) Determine para qu\e valor de existe el lmite lateral izquierdo de en Soluci\on: 1)
2)
3) ser\a continua en si luego , es decir,
As y 4.- Si entonces y Si entonces el limite no existe. En efecto; Supongamos que existe, es decir, entonces al calcular de dos formas distintas tenemos
luego esto es una contradicci\on. Determine si las siguiente afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. La funcin es discontinua slo en 1. La funcin es discontinua en
1. Si es continua en y es continua en entonces es continua en . 1. Sean funciones definidas en una vecindad de , tal que es discontinua entonces es discontinua en . 1. Si y son discontinuas en entonces es discontinua en . Soluci\on: 1. Falso: la funcin en es discontinua ya que y luego el lmite no existe. 1. Falso: es continua en pues adems luego . adems es claro por la grafica (ver figura siguiente)
que es discontinua en . 1. Verdadero: Por algebra de lmites tenemos. Si , son continuas en entonces es continua en , es decir es continua en . 1. Falso: Exiten y funciones definidas en una vecindad de tal que f es discontinua en sin embargo es continua en . 1. : El mismo ejemplo. Considere la funcin
Es continua en ? En caso de no serlo redefinir si es posible, de modo que sea continua. Soluci\on: es un punto de acumulaci\on del luego ser\a continua en si y s\olo si 1) 2) existe. 3) . As: 1) Es claro que pues 2) Calculemos
Puesto que la funci\on logaritmo es continua en y
luego existe 3) luego no es continua en . Sin embargo, dado que existe entonces es posible redefinir de modo que sea continua en , de la siguiente forma:
Sea la funci\on definida por
?`Qu\e valor (si existe) debe asignarse a la constante para que sea continua en ? Soluci\on: ser\a continua en si
i)
Sea si entonces i)
por otra parte;
adem\as
Luego por algebra de limite
ii) Por (i) y (ii) y por se tiene
por lo tanto tenemos . Sea
a) ?`Es continua en ? b) ?`Es continua en ? c) Existe d) Existe Soluci\on: a) Calculemos los lmite laterales
pues y es acotada.
Luego Por lo tanto es continua en b) Sea para como es producto de funciones continuas en entonces (por algebra de funciones continuas) es continua. Por suma y composici\on de funciones, se tiene que es continua en . Adem\as por (a) es continua en , luego es continua en . c)
Luego existe . d)
pues es acotada y . Luego existe . Determine en de modo que sea continua en
Solucin: . . . existe si y slo si .
por lo tanto , adems , luego sera continua en si
Determinar en de modo que sea continua en .
Solucin: ser continua en si
Este lmite podra existir si ( en caso contrario el lmite sera de la forma y no existira). Ahora
i) Si se tiene que
por otra parte,
Luego y por lo tanto es continua en si , pues ii) Si , se tiene que
pero
luego
de donde no existe y por lo tanto no es continua en si . Recta tangente a la CurvaLa noci\on de lmite es fundamental para el estudio de muchos conceptos de las matem\aticas, de la fsica y otras ciencias. Para ilustrar esto estudiaremos el problema de encontrar la recta tangente a una curva en un punto dado. En la geometra plana, la recta tangente en un punto sobre una circun-fe-ren-cia se puede definir como la recta que tiene solamente el punto en comn con tal circunferenccia, como se ilustra en la figura
. Esta definicin no se puede aplicar a cualquier grfica, ya que una recta tangente en un punto puede cortar a una grfica varias veces como se muestre en la figura, grfico izquierdo). en el caso de la grfica de funcin valor absoluto . Cul es la tangente en ?
Para identificar la recta tangente a la gr\afica de una funci\on en un punto , basta especificar la pendiente de L, ya que \esta y el punto determina completamente a la recta. Para encontrar , consideraremos las rectas , rectas secantes que pasa por . Sea la pendiente de . Cuando " tiende a " ( fijo) por la derecha figura que sigue
y por la izquierda figura
se observa que tiende a (pendiente de la recta ). Esto nos sugiere que si tiende a un valor fijo. cuando " tiende a " , entonces ese valor deberamos usar para definir la pendiente de la recta tangente en . Es claro que la pendiente de la recta secante es
ya que pasa por los puntos y . Con esta notaci\on podemos sustituir la frase `` tiende a " por `` tiende a ", as llegamos a la siguiente definici\on Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a . La pendiente de la recta tangente a la grfica de en el punto es
siempre y cuando el lmite exista.(Ver figura )
y en ese caso se dir que existe la recta tangente a la grfica de en el punto . Sea y un n\umero real. Encontraremos: a) La pendiente de la recta tangente a la gr\afica de en el punto . b) La ecuaci\on de la recta tangente a la gr\afica en el punto . c) La ecuaci\on de la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente) a la gr\afica en el punto . Soluci\on: a)
As, la pendiente es
b) Ya que la pendiente de la recta tangente en el punto la podemos obtener como el caso especial en que , tenemos que . En general la ecuaci\on de la recta que pasa por y con pendiente es
En nuestro caso
o
c) Si es la pendiente de la recta tangente y la pendiente de la recta normal a la gr\afica de entonces se debe cumplir
As, la ecuaci\on de la recta normal a la gr\afica de en es,
Observe que si para alg\un punto entonces la recta tangente es horizontal, cuya ecuaci\on es , y en este caso la ecuaci\on de la recta normal es . a) Demostraremos que
y b) Determinemos la ecuaci\on de la recta tangente a en . Soluci\on: Sea , si entonces , luego, usando sustituci\on,
Calculando por separado los lmite tenemos
y
Luego por algebra de lmites
b) Como la pendiente de la recta tangente a la grfica de en cualquier punto est dada por
y por (a) tenemos que , reemplazando obtenemos que y as la recta tangente es;
Observe que la ecuaci\on de la normal en es . Determine la pendiente de la recta tangente a la par\abola en el punto Soluci\on:
Un equipo de ingenieros de caminos disea un tramo de carretera que debe conectar una autopista horizontal con otra de pendiente . El enlace debe, realizarse sobre una distancia horizontal de pies usando una curva parablica para unir los puntos y . Obtenga una ecuacin del tipo para la parbola respectiva y determine las coordenadas de . Soluci\on: Las coordenadas de son y los de son donde , adem\as como tambi\en pertenece a la par\abola, debe satisfacer la ecuaci\on de ella, as, de donde . por ejercicio anterior, obtuvimos que la pendiente de en es , luego en es y en es . Adem\as para conectar la autopista de pendiente con la par\abola, debe ocurrir que
y para conectar la autopista horizontal (de pendiente ) con la par\abola;
As, de y tenemos
En consecuencia . Por otra parte pertenece a la par\abola, luego satisface su ecuaci\on, es decir
Por lo tanto las coordenadas de son . Dada la funci\on
a) ?`Es una funci\on continua en ? b) ?`Existe la recta tangente a la curva en el punto ? c) ?`Existe la recta tangente a la grafica de en los puntos (4,2) y (-1,-2)? Soluci\on: a) Dado que est\a definida en una vecindad de , y se debe cumplir que:
Como
y el otro lmite lateral es
y ambos son iguales a se tiene que
y por lo tanto es continua en b) Dado que est\a definida en una vecindad de . Veamos si existe
Para poder calcular este lmite, lo haremos calculando los lmites laterales
por otra parte
Dado que los lmites laterales son distintos tenemos que no existe
luego no existe recta tangente a la curva en el punto . c) est\a definida en una vecindad de pues para y ; adem\as pertenece a la curva , pues . Como la pendiente buscada es
existe la recta tangente a la curva en , y sea ecuaci\on es:
En el caso del punto tenemos que \el no pertenece a la curva pues
luego no existe recta tangente a la curva en el punto . Usando algebra de lmite y identidades trigonometricas calcular el lmite de las siguientes funciones en 1. 1. 1. 1. 1. 1. Sea fun-cio-nes tales que y con muestre que existe una vecindad de tal que
Ayuda: Como se puede tomar y encontrar para ese la vecindad Sea . Muestre que tal que Ayuda: Usar resultado anterior Sea . Muestre que Ayuda: Usar teorema del apret\on a Sea y supongamos que existe entonces y tal que
(es decir, es acotada en una vecindad de ) Sea
Mostrar que y no existe si Ayuda: Para la segunda parte usar ejercicio y para la primera parte usar This document created by Scientific WorkPlace 4.0.