1 Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad Límites al infinito Límites infinitos.
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Tema : Funciones. Límites y continuidad1
Funciones. Límites y continuidad.
Funciones,
límites y continuidad.
Problemas resueltos.
XB
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1. Sea . Hallar , ,
Comencemos por un pequeño gráfico de soporte
x = 2
Observamos "alrededor" de x = 2 dos expresiones distintas de la función, obtengamos para
x = 2 los límites laterales de la función.
[ Al ser los límites laterales distintos, no existe el límite ]
x = 0
"Alrededor" de x = 0 tenemos una única expresión de la función.
x = 4
Como en el caso anterior.
[ Fundamentos para decidir cuando es necesario hallar límites laterales y cuando no ]
2. Demostrar que
Según la definición de límite:
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Pero :
Por lo tanto bastará tomar
En efecto :
Podríamos visualizar gráficamente el resultado :
Por ejemplo, para = 0'1 Y el * asociado será cualquier * <
3. Demostrar que
Según la definición de límite:
Operemos sobre la expresión * x2 - 4 * < ] * (x + 2) A (x - 2 ) * < ]
* x + 2 *A * x - 2 * < cuya dificultad radica precisamente en acotar * x + 2 *.
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Puesto que nos movemos en valores de 'x' próximos a "2", vamos a exigir que * x - 2 * < 1
[Cualquier otro número positivo diferente de 1 también serviría]
* x - 2 * < 1 => *x* - *2* < * x - 2 * < 1 Y *x* - 2 < 1 Y *x* < 3, de donde * x + 2 *
*x* + 2 < 3 + 2 = 5
[ Sustituyendo en la demostración ]
Y 5 A * x - 2 * < ] * x - 2 * < , de forma que, tomando
si * x - 2 * < * Y * x2 - 4 * <
Y
4. Resolver los siguientes límites. ( Sin utilizar el teorema de L'Hôpital )
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k.
a)
Indeterminación.
Factoricemos numerador y denominador
x3 - 2x + 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x - 1 )
No es necesario seguir con más factores, en principio.
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x3 - 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x + 1 )
[ Observa que el hecho de obtener cuando x = 1 nos garantiza el factor x - 1 tanto en el
numerador como en el denominador .Si x 6 1 Y x … 1 lo cual nos permite simplificar los
factores (x-1) en numerador y denominador ]
b)
Indeterminación.
Operemos como en el problema anterior x2 + x - 2 = 0 Y
[Soluciones de la ecuación de segundo grado]
c)
Indeterminación.
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Ya que x6 0 parece más razonable sacar factor común en numerador y denominador :
Y
d)
Indeterminado.
Factoricemos :
x3 - 5x2 + 8x - 4 = ( x - 2 )2 A (x - 1)
x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )A( x - 2 ) = ( x - 2 )2
[ Bueno, también se veía enseguida ]
Y
e)
Indeterminado.
Ya que el cero del numerador lo obtenemos como diferencia de raíces cuadradas,
multipliquemos y dividamos por la expresión conjugada.
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f)
Indeterminado.
Operemos como en el problema anterior introduciendo una variante :
Como ( A - B ) A ( A + B ) = A2 - B2 Y
Tomando y B = 4 en el límite obtenemos :
= [ Sencilla factorización ]
=
[ Agilizando cálculos, generando recursos, ¡ahí estamos! ]
g)
Indeterminación.
De nuevo vamos a emplear la técnica del problema anterior
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[ Seguro que a más de uno le "suena" esta fórmula ]
h)
Indeterminación.
Dos formas de resolverlo :
1ª
Utilizando la expresión : An - Bn = ( A - B ) A ( An-1 + An-2 A B + ... + A A Bn-2 + Bn-1 )
Para n = 3 Y A3 - B3 = ( A - B ) A ( A2 + A A B + B2 )
Objetivo : Eliminar radicales si
2º Utilizando el Binomio de Newton.
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[ De nuevo generando recursos, éstos ya de cierto nivelín]
i)
Indeterminación.
Vamos a desarrollar el cubo, sin más.
[ Resultó sencillo ]
j) n 0000 N
Indeterminación.
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Vamos a aprovechar este límite para explicar de nuevo un cambio de variable.
Tomemos x - a = t Y x = a + t , si x Y a , entonces t Y 0
[ Desarrollando mediante el Binomio de
Newton ]
[ Realmente interesante el cambio de variable cuando la variable no tiende a cero. A tener en
cuenta ! ]
5. Estudiar la existencia de límites laterales, límite y CONTINUIDAD en los puntos x = 0,
x = 1 y x = 2, de la función cuya gráfica se da.
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Interpretando la GRÁFICA anterior obtenemos :
* x = 0
Y Y
f(0) = 1
Y f(x) es DISCONTINUA en x = 0 ( Discontinuidad de SALTO FINITO )
* x = 1
f(1) = 1'5
Y f(x) es CONTINUA en x = 1
* x = 2
f(2) = 1
Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad EVITABLE)
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6. Estudiar la continuidad de las funciones :
6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x )
6.2
6.3 h(x) = ****x2 - 4****
6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x )
[x] = { mayor entero menor o igual que x } cuya
gráfica es :
Analicemos diferentes situaciones (escenarios, que dicen los modernos) para la
variable:
i) Si a 0000 úúúú y a óóóó Z
Y f(x) es CONTINUA en x = a œ a 0 ú a ó Z
ii) Si a 0000 Z
Y Como a … a - 1 œ a 0 Z
Y Y f(x) es DISCONTINUA œ a 0 Z
6.2
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Definamos la función g :
Puesto que las funciones constantes son CONTINUAS, vamos a analizar la función en
x = 0.
Y
Y g(x) es DISCONTINUA en x = 0 y g(x) es CONTINUA en ú - {0}
6.3) h(x) = ****x2 - 4****
Definamos la función h apoyándonos en la definición de valor absoluto de una función.
( El estudio del signo de x2 - 4 lo hemos efectuado tal como explicamos en la parte de
DOMINIOS ). De todos modos ¡ Observa !
Y x2 - 4 = 0 Y x = ± 2
Su gráfica :
Estudiando la CONTINUIDAD :
] -4, -2 [ h(x) = x2 - 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA
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x = -2
h es CONTINUA en x = -2
] -2, 2 [ h(x) = -x2 + 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA
x = 2
h es CONTINUA en x = 2
] 2, +4 [ h(x) = x2 - 4 función POLINÓMICA Y CONTINUA.
Podemos concluir que h es una función CONTINUA en ú
[ Bonito y detallado estudio de continuidad de una función definida mediante intervalos.
¡Aplícalo! ]
h(x) es una función CONTINUA en R.
7. Estudiar según valores de a 0000 úúúú la CONTINUIDAD de la función
Pequeña representación de la función en la recta real :
Parece obvio afirmar que en x = 2 deberemos hallar los límites laterales.
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Para que exista Y 3 = 2a + 2 Y
6 f(2) = 11, así pues:
Si Y f(x) es CONTINUA en x = 2
Si Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad de
SALTO FINITO )
8. Estudiar según valores de a 0000 úúúú la CONTINUIDAD de la función
No es necesario considerar la idea de hallar límites laterales en x = 1, pues a ambos lados de
x = 1 tenemos la misma expresión de la función.
6
6 f(1) = a, por lo tanto:
si a = 2 y f(x) es CONTINUA en x = 1
si a … 2 y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 ( Discontinuidad
EVITABLE )
9. A partir de la función , define una función con una estructura similar que
sea continua en úúúú
Al ser f(x) un COCIENTE de funciones POLINÓMICAS Y f(x) es una función continua
excepto en los valores de x que anulan el denominador, es decir, x - 1 = 0, x = 1.
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Estudiemos pues, el comportamiento de la función en x = 1.
6
6 f(1) = que no existe
Al no estar definida la función en x = 1, para que ésta sea CONTINUA bastará con asignar
el valor del límite a la función en x = 1
Sea pues : , que será una función CONTINUA en ú
6 NOTA Al tener la indeterminación en
Y x = 1 es raíz del numerador y denominador
Y dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos la factorización deseada.
x3 - 1 Y x3 - 1 = ( x - 1 ) A ( x2 + x + 1 )
10. Sea estudiar la continuidad de f(x) en x = 1
según los diferentes valores de k
Hallemos
Encontramos en este límite una cierta duda a la hora de resolverlo pues la expresión
cos2 4 resulta novedosa. Para resolverlo vamos a utilizar una propiedad de los
límites funcionales, según la cual, si :
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Y
En este caso :
œ x 0 ] 1 - *, 1 + * [ - { 1}
Y . acotada = 0
6 f(1) = k
Y Si k = 0 f(x) es CONTINUA en x = 1
Y Si k … 0 f(x) es DISCONTINUA en x = 1
[ Anota el razonamiento de este problema para situaciones del estilo '0 A acotada'
exclusivamente ]
11. Dada la función . Definir f(0) y f(1) para que sea continua en úúúú .
Al ser f(x) un cociente de funciones CONTINUAS el único problema lo podemos
encontrar en los valores de x que anulan el denominador.
Si x2 - x = 0 Y x ( x - 1 ) = 0 . Obviamente, f(0) y f(1) no están definidas.
Sea pues :
6 Si definimos f(0) = - B entonces f(x) será continua en x = 0
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Por otra parte :
Vamos dar una resolución elegante, mediante una técnica hasta cierto punto frecuente que
es el cambio de variable.
Sea x-1 = t Y x = 1 + t. Si x 6 1 Y t 6 0
6 Si definimos f(1) = - B, entonces f(x) será CONTINUA en x = 1
Por lo tanto, para que la función sea continua en ú la definiremos así :
NOTAS : y sin utilizar infinitésimos =
En el tema derivadas, daremos una nueva técnica para resolver el límite. (Regla de L'Hôpital)
12. Estudiar la continuidad en x = 1, x = 2, y en R de las siguientes funciones :
12.1 f(x) = x2 + x + 1
x = 1
Y f(x) es CONTINUA en x = 1
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x = 2
Y f(x) es CONTINUA en x = 2
x = x0 0000 úúúú
Y f(x) es CONTINUA en x = x0 œ x0 0 ú
Y f(x) es CONTINUA en ú
[ En los tres casos también podríamos haber razonado, f(x) es una función
POLINÓMICA, por tanto es CONTINUA en x = 1, x = 2 y en ú ]
12.2 f(x) =
x = 1
Y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 [ Discontinuidad EVITABLE ]
x = 2
Y f(x) es CONTINUA en x = 2
úúúú
f(x) es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto, CONTINUAS Y f(x)
es CONTINUA excepto para los valores que anulan el denominador.
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Como x - 1 = 0 Y x = 1
Y f(x) es DISCONTINUA en ú
Y f(x) es CONTINUA en ú-{1}
12.3 f(x) =
x = 1
Y f(x) es CONTINUA en x = 1
[ Observa las diferencias y similitudes con respecto al problema anterior]
x = 2
Y f(x) es CONTINUA en x = 2
úúúú
Dividamos el estudio en dos partes :
x … 1
es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto,
CONTINUAS. Como x - 1 … 0 œ x … 1 Y f(x) es CONTINUA œ x … 1
x = 1
Se ha estudiado en el primer caso de este problema siendo f(x) CONTINUA en x = 1
Por lo tanto, de ambos resultados, se deduce que f(x) es CONTINUA en ú .
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12.4 f(x) =
Sobre la recta real vamos a efectuar algunas indicaciones para una mejor comprensión del
problema :
x = 1
Y f(x) es CONTINUA en x = 1
x = 2
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Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2
úúúú
Al ser f(x) una función definida por intervalos el estudio de la continuidad en ú lo
efectuaremos en cada uno de ellos y en los puntos que los separan:
si x < 1 => f(x) = x + 1
Y f(x) es CONTINUA en ] -4, 1 [
si x = 1 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA.
si 1 < x < 2 => f(x) = x2 + 2x - 1
Y f(x) es CONTINUA en ] 1, 2 [
si x = 2 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA en x = 2
si x > 2 => f(x) = x + 2, función POLINOMICA, por tanto CONTINUA
Y f(x) es CONTINUA en ] 2, 4 [ .
Por lo tanto f(x) es una función DISCONTINUA en ú y es CONTINUA en
ú - {2}
[ Indicando diferentes maneras de justificar la continuidad ]
13. Demostrar que la función f(x) = x3 + x + 1 cumple el teorema de Bolzano en el intervalo
[ -1, 0]
En efecto:
Sea f(x) = x3 + x + 1 y el intervalo [ -1, 0 ]
* f(x) = x3 + x + 1 es una FUNCIÓN POLINÓMICA y por tanto, CONTINUA en [ -1, 0 ]
*
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Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -1, 0 ]
Y › c 0 ] -1, 0[ / f(c) = 0, es decir, c3 + c + 1 = 0 Y c es una raíz real de x3 + x + 1 = 0 ,
con c 0 ] -1, 0[
14. Probar que la ecuación x4 + 4x3 - x - 1 = 0 tiene al menos una raíz real negativa
Utilizaremos el teorema de Bolzano para demostrarlo
Sea f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 y un intervalo que vamos a determinar. Al ser f(x) una función
CONTINUA, si logramos un cambio de signo en sus imágenes, el teorema de Bolzano nos
garantizará la existencia de al menos una raíz real en el intervalo correspondiente.
Observando los términos de f(x) ( Sumandos ) vamos a ir tanteando valores negativos hasta
conseguir el cambio de signo deseado.
Veamos : f(0) = -1 f(-4) = 3 > 0 Ya tenemos el cambio de SIGNO
deseado
f(-1) = -3
f(-2) < 0
f(-3) < 0
Sea pues, la función f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 y el intervalo [ -4, 0 ] ( Podríamos haber
tomado [ -4, -1] , [ -4, -2] , ...)
* f(x) = x4 + 4x3 - x - 1 es una función POLINÓMICA Y CONTINUA en [ -4, 0]
*
Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -4, 0 ] Y › c 0 ] -4, 0[ / f(c) = 0, es decir,
c4 + 4c3 - c- 1 =0 Y c es una raíz real negativa de x4 + 4x3 - x - 1 , pues c 0 ] -4, 0[
[¿Comprendida la construcción del problema para plantear y resolver situaciones similares?
]
15. Dadas las funciones f(x) = 1 - x, g(x) = ex-1. Probar que existe a 0000 úúúú / f(a) = g(a).
Queremos probar que › a 0 ú / f(a) = g(a), es decir, ] f(a) - g(a) = 0. Construyamos la
función auxiliar h(x) = f(x) - g(x) = 1 - x - ( ex -1 ) = 2 - x - ex y ya que vamos a aplicar
el teorema de Bolzano, busquemos un intervalo en el que la función h(x) cambie de signo.
Veamos :
h(0) = 1 > 0
h(1) = 1- e < 0. ¡ Pronto lo hemos encontrado !
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Sea pues h(x) = 2 - x - ex y el intervalo [0, 1]
* h(x) es una SUMA de funciones CONTINUAS Y es una función continua en [0, 1]
*
Y h(x) cumple el teorema de Bolzano en [0, 1]
Y › c 0 ]0, 1[ / h(c) = 0 Y 2 - c -ec = 0
] 1 - c - (ec - 1) = 0 ] 1 - c = ec - 1 ] f(c) = g(c)
Basta con llamar a = c para tener el problema resuelto.
[ Geométricamente, hemos demostrado que las gráficas de las funciones f(x) = 1 - x y g(x) =
ex - 1 se CORTAN al menos en un punto ]
16. Demostrar que ›››› a 0000 úúúú tal que sen a = a - 1
Revisando el enunciado, deducimos que se trata de encontrar una raíz real de la ecuación
sen x = x -1. Para ello, construyamos la función auxiliar f(x) = sen x - x + 1 y
consideremos el intervalo [ 0,B ]
f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, B ] Y › c 0 ] 0, B[ / f(c)= 0, es decir,
sen c - c + 1 = 0 y por lo tanto, sen c = c - 1.
Basta con llamar a = c para que sen a = a - 1 con a 0 ] 0, B [ y por tanto real, como
queríamos demostrar.
[ La elección del intervalo no es única. [ 0, B] lo hemos obtenido de manera similar que el
intervalo del problema anterior ]
17. Sea f : [ 0, 1] 6666 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que ›››› c 0000 [ 0, 1] / f(c) = c. [
También se le conoce como teorema del punto fijo. Nos indica que las gráficas de las
funciones y = f(x) e y = x CONTINUAS definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una
vez, siendo f CONTINUA ]
Para demostrarlo, nos vamos a apoyar en el teorema de Bolzano con una elegante
construcción.
i) Si f(0) = 0 ó f(1) = 1 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ]
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ii) Si f(0) ………… 0 y f(1) ………… 1
Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - x definida en el intervalo [ 0, 1] ,
6666 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es
por hipótesis del enunciado, y = x por ser polinómica ]
h(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) … 0 ]
h(1) = f(1) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) … 1 ]
6666 h(0) AAAA h(1) < 0
De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y › c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c)
- c = 0 Y f(c) = c.
de i) e ii) se sigue que › c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = c c.q.d.
Observa : La elección de la función auxiliar h(x), la hacemos pensando que resolver
f(c) = c es lo mismo que f(c) - c = 0 ]
18. Sea f : [ 0, 1] 6666 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que ›››› c 0000 [ 0, 1] / f(c) = 1 - c. [
Variante del problema anterior. Nos indica que las gráficas de las funciones y = f(x) e y = 1 -
x definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una vez ]
Para demostrarlo, operaremos como en el caso anterior.
i) Si f(0) = 1 ó f(1) = 0 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ]
ii) Si f(0) ………… 1 y f(1) ………… 0
Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - ( 1 - x ), definida en el intervalo [ 0, 1] ,
6666 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es
por hipótesis del enunciado, y = 1 - x por ser plinómica ]
h(0) = f(0) - ( 1 - 0 ) = f(0) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) … 1 ]
h(1) = f(1) - ( 1 - 1 ) = f(1) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) … 0 ]
6666 h(0) AAAA h(1) < 0
De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y › c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c)
- ( 1- c ) = 0 Y f(c) = 1 - c.
de i) e ii) se sigue que › c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = 1 - c c.q.d.