LIBRO Mecánica fundamental · penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir,...

MECÁNICA FUNDAMENTAL

ColeCCión: ingeniería MeCániCa

Coordinador: enrique aMezua San Martín

MECÁNICA FUNDAMENTAL

Enrique Amezua San MartínÓscar Altuzarra Maestre

Francisco J. Campa Gómez

Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar

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de Editorial Síntesis, S. A.

© Enrique Amezua San MartínÓscar Altuzarra Maestre

Francisco J. Campa Gómez

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ISBN: 978-84-9171-445-3Depósito Legal: M. 1.846-2020

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ÍNDICE

PRÓLOGO ............................................................................................................................................ 13

Parte ICONCEPTOS PREVIOS

1. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA .................................................................................... 17Introducción .................................................................................................................................... 17Glosario ........................................................................................................................................... 181.1. Principios de la Mecánica Clásica ........................................................................................ 18

1.1.1. Primera ley de Newton ............................................................................................. 191.1.2. Segunda ley de Newton ............................................................................................ 191.1.3. Tercera ley de Newton .............................................................................................. 201.1.4. Ley de la Gravitación Universal ............................................................................. 201.1.5. Ley del paralelogramo .............................................................................................. 201.1.6. Principio de transmisibilidad ................................................................................... 21

1.2. Sistema Internacional de unidades ...................................................................................... 211.3. Ecuación dimensional de las magnitudes mecánicas ........................................................ 22Problemas propuestos ..................................................................................................................... 24

2. NOCIONES DE CÁLCULO VECTORIAL ............................................................................ 25Introducción .................................................................................................................................... 25Glosario ........................................................................................................................................... 262.1. Clasificación y representación de los vectores ................................................................... 26

2.1.1. Representación de vectores. ..................................................................................... 272.2. Operaciones con vectores ..................................................................................................... 27

2.2.1. Producto de un vector por un escalar ..................................................................... 272.2.2. Suma de vectores....................................................................................................... 272.2.3. Producto escalar de dos vectores ............................................................................ 282.2.4. Producto vectorial de dos vectores ......................................................................... 292.2.5. Producto mixto de tres vectores .............................................................................. 302.2.6. Doble producto vectorial de tres vectores ............................................................. 312.2.7. Momento de un vector respecto a un punto .......................................................... 32

6 Mecánica fundamental

2.2.8. Momento de un vector respecto a una recta .......................................................... 33 2.2.9. Virial de un vector respecto a un punto ................................................................. 34

2.3. Sistemas de vectores .............................................................................................................. 34 2.3.1. Propiedades ............................................................................................................... 35

2.4. Momento mínimo y eje central de un sistema de vectores ............................................... 36 2.5. Plano y punto central de un sistema .................................................................................... 38 2.6. Reducción de sistemas de vectores ..................................................................................... 39 2.7. Clasificación de los sistemas en función del segundo invariante ..................................... 40 2.8. Vector función de una variable escalar ............................................................................... 43 2.9. Derivación de vectores en bases dependientes de un escalar .......................................... 442.10. Triedro intrínseco .................................................................................................................. 46Problemas propuestos ..................................................................................................................... 50

3. CENTROS DE GRAVEDAD Y CENTROS DE MASAS ..................................................... 51Introducción .................................................................................................................................... 51Glosario ........................................................................................................................................... 52 3.1. Centro de gravedad ............................................................................................................... 52

3.1.1. Sistemas discretos de partículas materiales ........................................................... 53 3.1.2. Sistemas materiales continuos ................................................................................. 54 3.1.3. Figuras geométricas .................................................................................................. 55

3.2. Sistemas particulares de masas ............................................................................................ 58 3.2.1. Sistema simétrico respecto a un punto ................................................................... 58 3.2.2. Sistema simétrico respecto a una recta ................................................................... 58 3.2.3. Sistema simétrico respecto a un plano.................................................................... 61

3.3. Sistemas compuestos por otros de centro de masas conocido ......................................... 63 3.4. Teoremas de Pappus-Guldin ................................................................................................ 64

3.4.1. Centro de masas de líneas planas ............................................................................ 64 3.4.2. Centro de masas de superficies planas.................................................................... 65

3.5. Centroides de figuras geométricas ....................................................................................... 67Problemas propuestos ..................................................................................................................... 68

4. MOMENTOS DE INERCIA ....................................................................................................... 71Introducción .................................................................................................................................... 71Glosario ........................................................................................................................................... 72 4.1. Sistemas de partículas materiales ........................................................................................ 72 4.2. Relaciones fundamentales .................................................................................................... 75 4.3. Sistemas materiales continuos ............................................................................................. 76 4.4. Radios de giro de sistemas materiales ................................................................................ 81 4.5. Teoremas de Steiner .............................................................................................................. 81 4.6. Tensor planario de inercia en un punto .............................................................................. 85 4.7. Tensor axil de inercia en un punto ...................................................................................... 88 4.8. Elipsoides planario y axil de inercia .................................................................................... 88 4.9. Direcciones principales de inercia ....................................................................................... 904.10. Secciones planas .................................................................................................................... 93

4.10.1. Momentos y productos de inercia ........................................................................... 93

Índice 7

4.10.2. Elipse de inercia ........................................................................................................ 934.10.3. Direcciones principales ............................................................................................ 94

4.11. Momentos de inercia de figuras geométricas ..................................................................... 95Problemas propuestos ..................................................................................................................... 96

Parte IIESTÁTICA

5. ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ......................................................................................... 101Introducción .................................................................................................................................... 101Glosario ........................................................................................................................................... 102 5.1. Fuerzas actuantes sobre un punto material ........................................................................ 102

5.1.1. Fuerzas conservativas ............................................................................................... 102 5.2. Axioma fundamental de la Estática del punto material ................................................... 104 5.3. Punto libre .............................................................................................................................. 104 5.4. Punto ligado a una superficie sin rozamiento .................................................................... 105 5.5. Punto material ligado a una curva sin rozamiento ............................................................ 108 5.6. Fuerzas actuantes sobre un sólido rígido ............................................................................ 110 5.7. Principio de transmisibilidad ................................................................................................ 110 5.8. Ecuaciones de equilibrio en un sólido rígido ..................................................................... 111 5.9. Diagrama de sólido libre ...................................................................................................... 1115.10. Enlaces físicos entre sólidos sin rozamiento ...................................................................... 112

5.10.1. Contacto entre sólidos lisos ..................................................................................... 1125.10.2. Articulación o rótula plana ...................................................................................... 1135.10.3. Bisagra ........................................................................................................................ 1135.10.4. Articulación o rótula esférica .................................................................................. 1145.10.5. Apoyo simple ............................................................................................................. 1145.10.6. Apoyo articulado ...................................................................................................... 1155.10.7. Empotramiento ......................................................................................................... 1155.10.8. Sólido funicular ......................................................................................................... 1165.10.9. Polea ........................................................................................................................... 116

5.11. Rozamiento ............................................................................................................................ 1205.11.1. Leyes de Coulomb del rozamiento ......................................................................... 1215.11.2. Resistencia al deslizamiento .................................................................................... 122

Problemas propuestos ..................................................................................................................... 126

6. CELOSÍAS ..................................................................................................................................... 135Introducción .................................................................................................................................... 135Glosario ........................................................................................................................................... 136 6.1. Uniones con articulaciones .................................................................................................. 136 6.2. Celosías ................................................................................................................................... 142 6.3. Clasificación de las celosías .................................................................................................. 143 6.4. Cálculo de esfuerzos en celosías por el método de los nudos .......................................... 146 6.5. Cálculo de esfuerzos en celosías por el método de las secciones .................................... 148Problemas propuestos ..................................................................................................................... 150


7. SÓLIDOS FUNICULARES ........................................................................................................ 153Introducción .................................................................................................................................... 153Glosario ........................................................................................................................................... 154 7.1. Conceptos básicos ................................................................................................................. 154 7.2. Equilibrio de un cable sometido a una carga continua ..................................................... 154

7.2.1. Ecuaciones vectoriales ............................................................................................. 154 7.2.2. Ecuaciones intrínsecas .............................................................................................. 156 7.2.3. Ecuaciones cartesianas ............................................................................................. 157

7.3. Cable sometido a una carga vertical continua ................................................................... 157 7.3.1. Cable sometido a una carga uniformemente repartida por unidad de abscisa .. 161

7.4. Cable homogéneo sometido a su propio peso ................................................................... 162 7.4.1. Longitud de un arco de catenaria............................................................................ 163 7.4.2. Tensión en un punto de la catenaria ....................................................................... 164

Problemas propuestos ..................................................................................................................... 165

Parte IIICINEMÁTICA

8. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ........................................ 171Introducción .................................................................................................................................... 171Glosario ........................................................................................................................................... 172 8.1. El espacio y el tiempo en Cinemática ................................................................................. 172 8.2. Sistemas de referencia ........................................................................................................... 172 8.3. Sistemas de coordenadas ...................................................................................................... 173 8.4. Posición, trayectoria y ecuaciones del movimiento ........................................................... 173 8.5. Velocidad y aceleración ........................................................................................................ 174 8.6. Componentes intrínsecas de la aceleración ........................................................................ 176 8.7. Coordenadas independientes del sólido rígido .................................................................. 178 8.8. Estudio del movimiento ........................................................................................................ 178 8.9. Movimiento de un sólido con punto fijo ............................................................................. 179

8.9.1. Matriz de rotación ..................................................................................................... 180 8.9.2. Ángulos de Euler ...................................................................................................... 182

8.10. Movimiento general .............................................................................................................. 184Problemas propuestos ..................................................................................................................... 189

9. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ...................................................................................... 193Introducción .................................................................................................................................... 193Glosario ........................................................................................................................................... 194 9.1. Campo de velocidades .......................................................................................................... 194 9.2. Asimilación del campo de velocidades al de momentos................................................... 196 9.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. Axoides ...................................................... 197 9.4. Clasificación de los movimientos ......................................................................................... 197 9.5. Campo de aceleraciones ....................................................................................................... 198 9.6. Movimiento relativo del punto material ............................................................................. 198

Índice 9

9.6.1. Velocidades absoluta, de arrastre y relativa ........................................................... 199 9.6.2. Aceleraciones absoluta, de arrastre, relativa y complementaria ......................... 200

9.7. Movimiento relativo entre dos sólidos ................................................................................ 201 9.7.1. Campo de velocidades .............................................................................................. 201 9.7.2. Campo de aceleraciones ........................................................................................... 202

9.8. Movimiento relativo entre sólidos en contacto .................................................................. 206Problemas propuestos ..................................................................................................................... 211

10. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO PLANO ........................................................................ 217Introducción .................................................................................................................................... 217Glosario ........................................................................................................................................... 218 10.1. Condiciones geométricas del movimiento plano ............................................................ 218 10.2. Parametrización de la posición y trayectorias de puntos ............................................... 220 10.3. Particularización del campo de velocidades .................................................................... 222 10.4. Centro instantáneo de rotación. Base y ruleta ................................................................ 223 10.5. Cálculo gráfico de velocidades .......................................................................................... 225 10.6. Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación ............................................ 226 10.7. Campo de aceleraciones .................................................................................................... 229 10.8. Aceleración del centro instantáneo de rotación ............................................................. 230 10.9. Polo de aceleraciones ......................................................................................................... 23110.10. Estudio de las aceleraciones en el movimiento de rodadura ........................................ 233Problemas propuestos ..................................................................................................................... 234

Parte IVDINÁMICA

11. DINÁMICA CLÁSICA ................................................................................................................ 241Introducción .................................................................................................................................... 241Glosario ........................................................................................................................................... 24211.1. Magnitudes fundamentales .................................................................................................. 242

11.1.1. Sistema cinético ......................................................................................................... 24211.1.2. Sistema dinámico ...................................................................................................... 24411.1.3. Energía cinética ......................................................................................................... 24511.1.4. Trabajo de las fuerzas del sistema dinámico .......................................................... 246

11.2. Teoremas fundamentales de la Dinámica ........................................................................... 24711.2.1. Teorema de la cantidad de movimiento o del momento lineal............................ 24711.2.2. Teorema del momento cinético o angular .............................................................. 25011.2.3. Teorema de la energía .............................................................................................. 254

11.3. Principio de D’ Alembert ...................................................................................................... 255Problemas propuestos ..................................................................................................................... 257

12. MECÁNICA ANALÍTICA ......................................................................................................... 259Introducción .................................................................................................................................... 259


Glosario ........................................................................................................................................... 26012.1. Concepto de enlace mecánico .............................................................................................. 26012.2. Grados de libertad ................................................................................................................. 26212.3. Coordenadas generalizadas .................................................................................................. 26312.4. Desplazamiento virtual ......................................................................................................... 26412.5. Fuerzas de enlace y trabajo .................................................................................................. 26412.6. Principio de los Trabajos Virtuales ...................................................................................... 266

12.6.1. Ecuaciones de equilibrio estático de sistemas con enlaces holónomos .............. 27012.6.2. Estabilidad del equilibrio de sistemas conservativos ............................................ 271

12.7. Extensión del Principio de los Trabajos Virtuales a la Dinámica .................................... 27312.8. Ecuaciones de Lagrange ....................................................................................................... 274Problemas propuestos ..................................................................................................................... 280

13. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ....................................................................................... 283Introducción .................................................................................................................................... 283Glosario ........................................................................................................................................... 28413.1. Cálculo del momento cinético ............................................................................................. 284

13.1.1. Traslación ................................................................................................................... 28413.1.2. Sólido con punto fijo ................................................................................................. 28513.1.3. Rotación permanente ............................................................................................... 28713.1.4. Movimiento helicoidal .............................................................................................. 287

13.2. Cálculo de la energía cinética............................................................................................... 29013.2.1. Traslación ................................................................................................................... 29013.2.2. Sólido con punto fijo ................................................................................................. 29013.2.3. Rotación permanente ............................................................................................... 29113.2.4. Movimiento helicoidal .............................................................................................. 291

13.3. El problema dinámico en mecanismos ............................................................................... 292Problemas propuestos ..................................................................................................................... 294

14. DINÁMICA DEL SÓLIDO CON EJE FIJO ........................................................................... 299Introducción .................................................................................................................................... 299Glosario ........................................................................................................................................... 30014.1. Ecuaciones del problema dinámico ..................................................................................... 30014.2. Equilibrado de rotores .......................................................................................................... 305Problemas propuestos ..................................................................................................................... 307

15. DINÁMICA DEL SÓLIDO CON PUNTO FIJO .................................................................... 311Introducción .................................................................................................................................... 311Glosario ........................................................................................................................................... 31215.1. Ecuaciones de Euler .............................................................................................................. 31215.2. Coordenadas generalizadas para la rotación: ángulos de Euler ...................................... 31315.3. Giroscopio con movimiento por inercia o de Euler-Poinsot ............................................ 315

Índice 11

15.3.1. Giroscopio simétrico de Euler-Poinsot ................................................................... 31615.4. Giroscopio de Euler-Lagrange ............................................................................................. 31915.5. Aplicación al sólido libre ...................................................................................................... 323Problemas propuestos ..................................................................................................................... 324

16. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO PLANO ............................................................................ 329Introducción .................................................................................................................................... 329Glosario ........................................................................................................................................... 33016.1. Ecuaciones del movimiento ................................................................................................. 33016.2. Expresión particular del teorema del momento cinético ................................................. 33416.3. Aplicación del principio de D’ Alembert ............................................................................ 33716.4. Movimiento por inercia ........................................................................................................ 339Problemas propuestos ..................................................................................................................... 339

17. PERCUSIONES Y CHOQUES .................................................................................................. 343Introducción .................................................................................................................................... 343Glosario ........................................................................................................................................... 34417.1. Concepto de percusión ......................................................................................................... 34417.2. Partícula material sometida a una percusión ..................................................................... 34517.3. Sistema mecánico sometido a percusiones ......................................................................... 34617.4. Sólido rígido con eje fijo sometido a una percusión .......................................................... 34917.5. Teorema de Carnot ................................................................................................................ 35117.6. Concepto de choque .............................................................................................................. 35417.7. Choque sin rozamiento ......................................................................................................... 35517.8. Variación de la energía cinética en un choque sin rozamiento ........................................ 35717.9. Choque con rozamiento ........................................................................................................ 359Problemas propuestos ..................................................................................................................... 359

18. PEQUEÑAS OSCILACIONES .................................................................................................. 363Introducción .................................................................................................................................... 363Glosario ........................................................................................................................................... 36418.1. Formas reducidas de las energías potencial y cinética ...................................................... 364

18.1.1. Energía potencial reducida ...................................................................................... 36418.1.2. Energía cinética reducida ......................................................................................... 365

18.2. Ecuaciones del movimiento ................................................................................................. 36618.3. Frecuencias naturales y modos de oscilación del sistema ................................................. 368Problemas propuestos ..................................................................................................................... 370

SOLUCIONARIO ................................................................................................................................ 373BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................. 389

2NOCIONES DE CÁLCULO

VECTORIAL

IntroduccIón

El carácter vectorial de un número importante de magnitudes físicas utilizadas en Me-cánica exige un conocimiento suficiente del Cálculo Vectorial, ya que las herramientas matemáticas que proporciona permiten un estudio sistemático y sencillo de los fenó-menos mecánicos. Algunos autores suelen utilizar la expresión Mecánica Vectorial para designar esta forma de tratar las cuestiones mecánicas. En este capítulo se recuerdan algunos de los conceptos y operaciones propias del Cálculo Vectorial que son necesarios para una adecuada aplicación de las leyes de la Mecánica. El lector que desee profundizar en el conocimiento de esta parte de la Mate-mática puede consultar la bibliografía recomendada al final de la obra.

26 Parte I: Conceptos previos

Campo. Región del espacio en la que se manifiesta una magnitud física.Curva indicatriz. Curva definida por los extremos de un vector cuyos distintos valores dependen de una variable escalar.Sistema de vectores. Conjunto cualquiera de N vectores.Vector. Magnitud física definida por su módulo, dirección y sentido.Versor. Vector de módulo unidad.

Glosario

2.1. Clasificación y representación de los vectores

Como es sabido, un vector queda definido mediante su módulo, dirección, sentido y pun-to de aplicación. Atendiendo a este último aspecto, los vectores se pueden clasificar en libres, deslizantes y ligados. Un vector es ligado cuando está aplicado en un punto fijo, como sucede con el peso de los cuerpos. Un vector es libre cuando su punto de aplicación puede ser uno cualquiera del espacio en el que está definida la magnitud que representa, un ejemplo puede ser el momento generado por un par de fuerzas. Por último, se dice que un vector es deslizante cuando su punto de aplicación es cualquiera situado sobre su línea de acción, como es el caso de fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido.

Se habla de igualdad entre vectores cuando tienen el mismo módulo, dirección, sen-tido y punto de aplicación. Esto supone que un vector solo es igual a sí mismo. Por ello, para comparar vectores tiene mayor interés el criterio de vectores equipolentes, que son aquellos que tienen igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación. Así, puede decirse que un vector es deslizante si es equivalente a cualquier equipolente situado sobre su línea de acción.

Finalmente, pueden clasificarse los vectores en polares cuando tienen un sentido in-equívoco, como la velocidad, y en axiales si su sentido es convencional, como la rotación.

En este libro se designan los vectores con una letra en negrita, v, o bien con dos ma-yúsculas, AB, cuando se hace referencia al punto de aplicación y al extremo del vector (figura 2.1).

Figura 2.1. Vector AB.

Para designar el módulo de un vector V se utilizará la notación V, reservando el sím-bolo V para sus componentes, o bien para los módulos afectados de signo.

Capítulo 2: Nociones de cálculo vectorial 27

2.1.1. Representación de vectores.

Si se define una base ortonormal i, j, k, un vector se puede representar en función de sus componentes cartesianas Vx, Vy, Vz:

OP =Vxi+Vy j+Vzk [2.1]

También puede representarse en función de un vector unitario o versor en la direc-ción de OP y el módulo afectado de signo:

OP =OP ⋅u [2.2]

Y el vector unitario u en función de los cosenos directores:

u =α i+β j+γ k [2.3]

Figura 2.2. Representación de vectores.

2.2. Operaciones con vectores

2.2.1. Producto de un vector por un escalar

Si se multiplica un vector por un escalar se obtiene otro vector de módulo igual al del primero multiplicado por el valor absoluto del escalar, de la misma dirección y punto de aplicación, y de igual sentido si el escalar es positivo o de sentido contrario si es negativo.

2.2.2. Suma de vectores

La suma de vectores ligados requiere que todos los vectores sumando tengan el mismo punto de aplicación; el resultado es el vector ligado al mismo punto obtenido mediante


la suma geométrica de los distintos sumandos. En el caso de que los vectores sean desli-zantes, todas las rectas de acción deben pertenecer al mismo haz, es decir, cortarse en un mismo punto; el resultado es un vector también deslizante cuya recta de acción pertene-ce al haz, y se obtiene sumando geométricamente los vectores equipolentes correspon-dientes a cada sumando aplicados en el punto de convergencia de las rectas de acción. Cuando los vectores son libres, el resultado de la operación es, asimismo, un vector libre, obtenido sumando los correspondientes equipolentes aplicados a un mismo punto del espacio. Se comprueba fácilmente que la suma vectorial tiene las propiedades asociativa y conmutativa.

2.2.3. Producto escalar de dos vectores

Se llama producto escalar de dos vectores libres V1 y V2 al escalar que resulta de mul-tiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman (figura 2.3):

V1 ⋅V2 = V1 V2 cosϕ [2.4]

Figura 2.3. Producto escalar de dos vectores.

La definición de producto escalar evidencia que este producto tiene la propiedad conmutativa:

V1 ⋅V2 =V2 ⋅V1 [2.5]

Por otra parte, el producto V1 cosϕ es la proyección del vector V1 sobre la recta de acción de V2 y V2 cosϕ representa la proyección de V2 sobre la recta de acción de V1 , (véase figura 2.3). Por tanto, el producto escalar puede expresarse, también, como el pro-ducto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él.

Así, la proyección de un vector V en una dirección definida por un versor u es el producto escalar de ambos vectores (figura. 2.4):

p = V cosϕ = V u cosϕ =V ⋅u [2.6]


Figura 2.4. Proyección de un vector V sobre la dirección definida por u.

Debido a esta propiedad, las componentes cartesianas de un vector se obtienen mul-tiplicando escalarmente el vector por los versores de la base:

Vx =V ⋅i , Vy =V ⋅ j, Vz =V ⋅k [2.7]

Expresando los vectores en función de sus componentes cartesianas, se tiene:

V1 ⋅ V2 = V1xi+V1y j+V1zk( ) ⋅ V2xi+V2y j+V2zk( ) [2.8]

Ahora bien, como se verifica que:

i ⋅i = j⋅ j= k ⋅k = 1 i ⋅ j= j⋅k = k ⋅i = 0 [2.9]

se llega a la siguiente expresión analítica del producto escalar:

V1 ⋅ V2 =V1xV2x +V1yV2y +V1zV2z [2.10]

2.2.4. Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores libres V1 y V2 es otro vector P perpendicular al plano definido por ambos, con sentido el de avance de un sacacorchos que gire de V1 a V2 por el camino más corto, y cuyo módulo es el producto de los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman, véase figura 2.5.

P =V1 ×V2 = V1 V2 senϕ u [2.11]

Figura 2.5. Producto vectorial de dos vectores V1 y V2.


De la definición anterior se deduce que el producto vectorial es anticonmutativo, ya que:

V1 ×V2 = −V2 ×V1 [2.12]

Además, de la figura 2.5 se deduce que el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo OACB:

Aparalelogramo = V2 AD= V2 V1 senϕ [2.13]

Se comprueba fácilmente que el producto vectorial V1 ×V2 puede expresarse de forma simbólica mediante el siguiente determinante:

P =V1 ×V2 =

i j k

V1x V1y V1z

V2x V2y V2z

[2.14]

Por último, obsérvese que, para el producto vectorial de los vectores unitarios de una base ortonormal, se verifica:

i× i = j× j= k×k = 0 i× j= k , j×k = i , k× i = j [2.15]

2.2.5. Producto mixto de tres vectores

Se conoce como producto mixto de tres vectores libres al escalar que se obtiene multipli-cando escalarmente uno de los vectores por el producto vectorial de los otros dos:

V1 ×V2( ) ⋅V3 =P ⋅V3 [2.16]

Figura 2.6. Producto mixto de tres vectores V1, V2 y V3.


De la figura 2.6 se deduce que el módulo del producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo que se puede construir llevando los tres vectores a un origen común:

Vparalelepípedo = V2 ⋅AD ⋅OE = V2 V1 senϕ V3 cos P ,V3( ) [2.17]

Se llega también a esta conclusión si se expresa en función de las componentes car-tesianas de los vectores:

V1 ×V2( ) ⋅V3 =

i j k

V1x V1y V1z

V2x V2y V2z

⋅ V3xi+V3y j+V3zk( ) =

=

V3x V3y V3z

V1x V1y V1z

V2x V2y V2z

=

V1x V1y V1z

V2x V2y V2z

V3x V3y V3z

[2.18]

Como consecuencia de lo expuesto, es fácil comprobar que si se permutan dos facto-res el producto mixto cambia de signo. Así, se verifican las siguientes relaciones:

V1 ×V2( ) ⋅V3 = − V2 ×V1( ) ⋅V3 = V2 ×V3( ) ⋅V1 =V1 ⋅ V2 ×V3( ) [2.19]

2.2.6. Doble producto vectorial de tres vectores

Se denomina doble producto vectorial de tres vectores libres al vector obtenido multipli-cando vectorialmente uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos:

D =V1 × V2 ×V3( ) [2.20]

Como el vector D es perpendicular a V1 y al producto V2 ×V3 , se encuentra situado en el plano formado por los vectores V2 y V3 . Descomponiendo D en las direcciones de V2 y V3 , se puede expresar como:

D = aV2 +bV3 [2.21]

Para calcular las magnitudes escalares a y b, se multiplica escalarmente por V1 la igualdad anterior, y se obtiene:

V1 ⋅D =V1 ⋅ V1 × V2 ×V3( )[ ] = aV1 ⋅V2 +bV1 ⋅V3 [2.22]


El producto mixto V1 ⋅ V1 × V2 ×V3( )[ ] es nulo porque tiene dos factores iguales (el volumen del paralelepípedo es nulo), luego:

aV1 ⋅V2 +bV1 ⋅V3 = 0 ⇒a

V1 ⋅V3

=−b

V1 ⋅V2

= k [2.23]

Llevando a [2.21] estos valores de a y b, se puede escribir:

D = k V1 ⋅V3( )V2 − V1 ⋅V2( )V3[ ] [2.24]

Para determinar el valor de la constante k, se pueden igualar las expresiones [2.20] y [2.24]:

V1 × V2 ×V3( ) =

i j k

V1x V1y V1z

V2yV3z −V2zV3y V2zV3x −V2xV3z V2xV3y −V2yV3x

k V1 ⋅V3( )V2 − V1 ⋅V2( )V3[ ] = kV1xV3x +V1yV3y +V1zV3z( ) V2xi+V2y j+V2zk( )−− V1xV2x +V1yV2y +V1zV2z( ) V3xi+V3y j+V3zk( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

[2.25]

Se comprueba que k es igual a la unidad y se llega a la siguiente expresión del doble producto vectorial:

D = V1 ⋅V3( )V2 − V1 ⋅V2( )V3 [2.26]

2.2.7. Momento de un vector respecto a un punto

Sea V un vector ligado a un punto A y O otro punto cualquiera del espacio (figura 2.7). Se define el momento de V respecto al punto O como el vector ligado MO resultante del siguiente producto vectorial:

MO =OA×V [2.27]

En el supuesto de que V sea un vector deslizante, el punto A es uno cualquiera de la recta (r) que contiene al vector. En efecto, para otro punto B de esa recta se obtiene:

MOB =OB×V = OA+AB( )×V =OA×V+AB×V [2.28]

Dado que AB y V son colineales, su producto vectorial es nulo y, por tanto, se verifica:

MOB =OA×V =MO

A [2.29]


Figura 2.7. Momento del vector V respecto al punto O.

Un vector, ligado o deslizante, genera en el espacio un campo de momentos con la siguiente ley:

MP =PA×V = PO+OA( )×V =PO×V+MO =MO +PO×V [2.30]

Los momentos MP y MO son iguales si los vectores PO y V son paralelos, es decir, el momento no cambia cuando el punto O se desplaza a lo largo de una recta paralela al vector.

Obsérvese que carece de sentido hablar de momento de un vector libre, porque para estos vectores el punto de aplicación puede ser uno cualquiera del espacio.

2.2.8. Momento de un vector respecto a una recta

Se llama así al vector deslizante Mr que resulta de proyectar sobre la recta el momento MO generado por el vector respecto a un punto O cualquiera de esta (figura 2.8). Si u representa el vector director de la recta (r), se puede escribir:

Mr = MO ⋅u( )u [2.31]

Figura 2.8. Momento del vector V respecto a la recta r.


Para demostrar que el punto O puede ser cualquiera de la recta, considérese otro punto cualquiera P de la misma:

MrP = MP ⋅u( )u = PA×V( ) ⋅u[ ]u = PO×V( ) ⋅u[ ]u+ OA×V( ) ⋅u[ ]u [2.32]

Como los vectores PO y u son colineales, el producto mixto del primer sumando es nulo, por lo que se confirma que la definición dada tiene sentido:

MrP = OA×V( ) ⋅u[ ]u =Mr

O [2.33]

2.2.9. Virial de un vector respecto a un punto

Considérese un vector V ligado a un punto A y un punto O cualquiera del espacio. Se define el virial del vector V respecto a O como el escalar:

υO =OA ⋅V [2.34]

Además del campo de momentos, un vector ligado genera otro de viriales según:

υP =PA ⋅V = PO+OA( ) ⋅V =PO ⋅V+υO =υO +PO ⋅V [2.35]

Si los vectores PO y V son ortogonales, su producto escalar es nulo y, en consecuencia, los puntos situados en el plano perpendicular a V que pasa por O tienen el mismo virial. Si se considera el plano perpendicular a V que pasa por el punto de aplicación del vector, A, es obvio que el virial respecto a cualquier punto de ese plano es nulo. Así pues, este plano divide el espacio en dos, uno de virial positivo y otro de virial negativo.

2.3. Sistemas de vectores

Un sistema de vectores es simplemente un conjunto cualquiera de vectores V1 ,V2 ,… ,VN , siendo N el número de vectores del sistema. El vector libre R suma de sus equipolentes llevados a un mismo punto de aplicación recibe el nombre de resultante del sistema y, también, el de primer invariante:

R = Vii=1

N

∑ [2.36]

Cuando los vectores del sistema son deslizantes o ligados, se define el momento del sistema respecto a un punto O como el vector ligado en O que resulta de sumar los mo-mentos en O producidos por cada uno de los vectores que constituyen el sistema:

MO = OAi ×Vii=1

N

∑ [2.37]

donde Ai es el punto de aplicación del vector Vi.


Si se conoce la resultante y el momento de un sistema respecto a un punto O, es po-sible determinar el momento respecto a otro punto cualquiera P:

MP = PAi ×Vii=1

N

∑ [2.38]

En efecto, si se tiene en cuenta que:

PAi =PO+OAi [2.39]

se puede escribir la expresión del campo de momentos generado por el sistema:

MP = PO+OAi( )×Vi

i=1

N

∑ =PO× Vii=1

N

∑ + OAi ×Vii=1

N

∑ =PO×R+MO

=MO +PO×R =MO +R×OP

[2.40]

Si el sistema está formado por vectores ligados, se define el virial del sistema respec-to al punto O como el escalar resultante de la suma de los viriales producidos en O por cada uno de los vectores del sistema:

νO = OAi ⋅Vii=1

N

∑ [2.41]

Siguiendo el procedimiento utilizado para los momentos, se puede obtener la rela-ción que existe entre los viriales de dos puntos del sistema y su resultante:

υP = PAi ⋅Vii=1

N

∑ = PO+OAi( ) ⋅Vii=1

N

∑ =PO ⋅ Vii=1

N

∑ + OAi ⋅Vii=1

N

∑ + =υO +PO ⋅R [2.42]

2.3.1. Propiedades

a) El momento del sistema es el mismo en todos los puntos de una recta paralela a la resultante. En efecto, si O y P son dos puntos de la recta, el vector PO puede expresarse como el producto de la resultante R por un escalar λ , comprendido entre −∞ y +∞ . Aplicando la ecuación vectorial del campo de momentos se com-prueba la veracidad de esta propiedad:

MP =MO +PO×R =MO +λR×R =MO [2.43]

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