LFGI

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin

MANUAL DE LABORATORIO DE FSICA GENERAL

TINS Bsicos INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS,

INGENIERA ECONMICA, INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA, INGENIERA TEXTIL,

INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERA NAVAL, INGENIERA MARTIMA, INGENIERA AERONUTICA,

INGENIERA AUTOMOTRIZ, INGENIERA MECNICA, INGENIERA DE SOFTWARE, INGENIERA DE TRANSPORTE

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima Per

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MANUAL DE LABORATORIO DE FSICA GENERAL Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin Elaboracin del TINS : Lic. Jos SANTA CRUZ DELGADO Diseo y Diagramacin: Julia Saldaa Balandra Soporte acadmico : Instituto de Investigacin Produccin : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.

El presente material contiene una compilacin de obras de Fsica General publicadas lcitamente, resmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.

Presentacin

El presente Manual est diseado teniendo en cuenta la teora cognoscitiva de construccin del conocimiento, tomando como base los fundamentos tericos impartidos en aula, en el curso de Fsica General.

En este marco, es grato presentar a los estudiantes de Ingeniera el

presente documento acadmico denominado: MANUAL DE LABORATORIO DE FSICA GENERAL, en su primera edicin.

Documento en el cual estn diseados claramente las diversas prcticas

experimentales que facilitarn la comprensin de conocimientos; dominio y manejo de equipos e instrumentos; y uso de materiales en las prcticas relacionados con los diversos tpicos que se desarrollarn en el Curso de FSICA GENERAL.

La metodologa de desarrollo de Prcticas en los diferentes temas experimentales ha sido establecido, para estudiantes de Ingeniera; teniendo como base el aprendizaje previo de las ideas tericas bsicas.

As mismo, como soporte didctico se ha tomado en cuenta los textos

indicados en la referencia bibliogrfica de cada Prctica de Laboratorio; para facilitar la comprensin de los temas tericos impartidos en aulas, en interrelacin con las prcticas.

Al cerrar estas lneas el reconocimiento personal al profesor Jos Santa

Cruz Delgado, quien con constancia, empeo pertinaz y calidad acadmica ha propiciado y construido el presente Manual.

Finalmente, el reconocimiento al Licenciado Richard Medina Caldern

por su apoyo en la complementacin de algunos experimentos.

Lucio H. Huamn Ureta Vicerrector de Investigacin

"Todo debe hacerse lo ms sencillo posible, pero no ms simple" ALBERT EINSTEIN

ndice

EXPERIMENTOS

ANLISIS DE FUNCIONES 1. Graficas de Funciones ................................................................... 09 2. Ajuste de Curvas............................................................................ 31 TEORA DE MEDICIONES 3. Mediciones, Clculo de errores y su propagacin ......................... 47 MECNICA - CINEMTICA 4. Movimiento Rectilneo Uniforme .................................................... 65 5. Movimiento Rectilneo Uniforme Acelerado ................................... 75 6. Movimiento Compuesto Movimiento de un Proyectil .................. 87 7. Movimiento Circular Uniforme........................................................ 97 MECNICA - ESTTICA 8. Primera Condicin de Equilibrio..................................................... 107 9. Segunda Condicin de Equilibrio ................................................... 121 10. Centro de Gravedad de Figuras Planas......................................... 131 TRABAJO 11. Trabajo en un Plano Inclinado........................................................ 143

ANEXOS

1. Grficas y Anlisis de Funciones ................................................... 149 2. Mediciones, Clculo de Errores y su Propagacin......................... 169 3. Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado............................. 175 4. Fuerza Centrpeta .......................................................................... 181 5. Fuerza Normal y a lo largo de un Plano Inclinado ......................... 189

APNDICE

A: Formulario ...................................................................................... 195 B: Prefijos y Unidades ........................................................................ 203 C: Constantes Fsicas......................................................................... 211 D: Datos Grficos ............................................................................... 215 E: Uso del Software Logger Pro ......................................................... 223 F: Glosario.......................................................................................... 229

MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES............................................ 233 REGLAMENTO INTERNO DEL LABORATORIO DE FSICA.................... 235

Manual de Laboratorio de Fsica General

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ANLISIS DE FUNCIONES

GGrrffiiccaass ddee FFuunncciioonneess Prctica de Laboratorio N 01

Tpicos Relacionados Ecuacin de una recta, variable dependiente, variable independiente,

constante, pendiente de una recta, funcin, relacin, parbola, hiprbola. 1. Objetivos

1.1 Obtener correctamente grficas de un conjunto de datos

experimentales, realizar el anlisis correspondiente y descubrir el comportamiento de un fenmeno fsico a partir de estas grficas.

1.2 Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles grficos: milimetrado, logartmico y semilogartmico.

1.3 Aprender y practicar el uso de calculadoras cientficas y hojas de clculo.

2. Equipos y Materiales

- Tres (03) hojas de papeles grficos milimetrados. - Tres (03) hojas de papeles grficos semilogartmico. - Tres (03) hojas de papeles grficos logartmicos. - Una (01) calculadora cientfica (personal). - Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m.

3. Fundamento terico

3.1 Tabla de Datos.- Para investigar la relacin entre dos cantidades fsicas en el laboratorio, debemos realizar mediciones experimentales las cuales nos proporcionarn por lo menos dos listas de nmeros a los cuales les llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el nombre de Tabla de Datos Experimentales.

3.2 Grficas.- La funcin del experimentador es descubrir la

relacin que existe entre las dos columnas de una tabla de datos experimentales. Una forma conveniente de establecer


10

esta relacin es mediante una representacin grfica de tales datos. Para construir una grfica, debemos ayudarnos con un plano cartesiano donde la recta horizontal es denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las ordenadas.

A continuacin enunciaremos algunos conceptos que sern necesarios para familiarizarnos con una grfica:

Funcin: Una cantidad y (variable dependiente) es funcin de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se determina por el valor de la variable x. Una funcin se expresa matemticamente de la forma ( )y f x= , y nos dice y depende de x o y es una funcin de x . Como ejemplo, tomemos el mdulo de la velocidad en funcin del tiempo, cuya expresin sera ( )v f t= . Variables: Son las cantidades fsicas que intervienen en el experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar. Como se mencion arriba, estas pueden ser:

Variable Independiente: Es la variable que podemos

controlar, y que podemos variar en un proceso experimental. Dos ejemplos tpicos en Fsica son el tiempo y la masa.

Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor depende del que toma la variable independiente.

Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no cambian nunca durante el experimento ni en la formula o ecuacin planteada. Papel grfico milimetrado: Es un papel que en direccin horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm de longitud. Por su fcil uso se aplica a todas las funciones (Ver Anexo N1: Modelo de Papeles Comparacin Grfica). Papel semilogaritmico: Es un papel que en direccin vertical esta dividido en segmentos de escala logartmica y en direccin horizontal esta dividido en escala milimtrica (Ver Anexo N1: Modelo de Papeles Comparacin


11

Grfica). Este tipo de papel es til cuando x e y estn relacionados por una funcin de tipo Exponencial:

Papel logartmico: Es un papel que en direccin horizontal y vertical est dividido en segmentos en escala logartmica con la particularidad de que cada segmento esta en una proporcin de orden 10 con respecto al segmento anterior (Ver Anexo N1: Modelo de Papeles Comparacin Grfica). Este tipo de papel es til cuando x e y estn relacionados por una funcin de tipo Potencial:

3.3 Pasos a seguir para construir una grfica

3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y

coordenadas adecuadas Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y las variables independientes paralelos al eje X. Escogemos una escala de modo que un cuadro sea mltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera que la grfica se lea con facilidad. Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva resultante no este confinada a un rea pequea de la grafica. No es esencial que la grfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica. La divisin ms pequea de la grafica debe ser menor o igual al lmite de error de los puntos que se localice. Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 5 (cinco es recomendado).


12

T (C)

t (min)

Calor latente de fusinTemperatura en funcin del tiempo

1 mm = 2 s

Escalas

Eje Y:

Eje X:

R. Medina 13/06/06

40 + + + +

+

+

+

12108 14

+

1 mm = 2 C

5

10

64 16

+

+

++

+ +

02

30

35

15

20

25

Figura N 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusin

3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos en el papel grfico.

Se deben localizar los puntos determinados experimentalmente usando lneas horizontales y verticales en la forma de un signo +, que permite considerar una coordenada cada vez. Si trazamos mas de una curva en un papel grfico, se deben usar diferentes smbolos (lneas +, puntos, etc.) para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes colores. Hacer una Leyenda respectiva.

GRAFICA N 1:


13

3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se ver en el siguiente laboratorio). (Ver Anexo N1: Modelo de Papeles Comparacin Grfica)

3.3.4 Preparar el ttulo y la descripcin del grfico. El titulo se debe colocar dentro del margen del papel grfico en una posicin que no interfiera con la curva. El titulo debe incluir una descripcin minuciosa del propsito de la grafica, adems deben estar enumeradas correlativamente. El contenido exacto de la descripcin depende de las polticas del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura N2)

3.4 Principales Funciones

3.4.1 Funcin Lineal: Una funcin es lineal cuando la variable independiente aparece elevada a la primera potencia, se representa en la forma:

y m x b= + (1)

ymx

= , es la pendiente de la recta (2) b es el intersecto de la recta con el eje y cuando 0x = 3.4.2 Funcin Cuadrtica: Una funcin es cuadrtica cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado, se representa de la siguiente manera:

2y a bx cx= + + (3)

, , a b c : Constantes.


14

Figura N 2: Funcin lineal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo (s)

espa

cio

(m)

e = 35 m

t = 10 s

GRAFICA N 2: Movimiento Rectilneo Uniforme

Escala: tiempo (s) : 1 cm < > 2 s espacio (m) : 1 cm < > 5 m

b

Donde: m = 3.5 b = 4.6


15

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

Figura N 3: Funcin Cuadrtica

Un ejemplo de Funcin Cuadrtica es el descrito por la trayectoria del movimiento de proyectiles En la Figura N 4 se muestra un caso especial de la ecuacin (3), cuando 0a = , 0b = y c es una

GRAFICA N 3: Curva Parablica (Funcin Cuadrtica)

Y = 2 X + 2 X2

Donde: a = 2 b = -1 c = 2

Escala: X (u1) : 1 cm < > 1 u1 Y (u2) : 1 cm < > 5 u2


16

constante, entonces la ecuacin (3) es equivalente a la funcin ny kx= , cuando n=2 y k c=

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30

tiempo ( s )

espa

cio

( cm

)

Figura N 4: Funcin Cuadrtica - Potencial

Un ejemplo de Funcin Cuadrtica - Potencial es el descrito por un mvil con Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado, cuando el mvil tiene una velocidad inicial igual a

GRAFICA N 4: Curva Parablica (Funcin Cuadrtica - Potencial)

e = 1.2 t2

Donde: a = 0 b = 0 c = 1.2

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm


17

cero y parte del origen de coordenadas, es decir : 2

2ay x= , donde a es la aceleracin del mvil.

3.4.3 Funcin Potencial: En este tipo de funcin x esta elevado a una exponente constante. Se representa de la siguiente manera:

ny kx= (4) Justificacin: Tomando logaritmos a ambos lados de

ny kx= obtenemos: ( )log log logy k n x= + (5)

Haciendo un cambio de variable logY y= , logX x= y logB k=

De (5) obtenemos una relacin lineal:

Y B n X= + (6)

Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la funcin, es de utilidad el papel grfico log-log (logartmico), donde al graficar all cualquier conjunto de datos o funcin de la forma ny kx= , obtendremos una lnea recta como curva trazada y calcularamos la pendiente y la interseccin como si estuvisemos trabajando con un papel grafico milimetrado. (Ver Figura N 4 y 5)


18

1

10

100

1000

1 10 100

tiempo (s)

espa

cio

(cm

)

Figura N 5 : Funcin Cuadrtica en papel grafico log-log (Logartmico)

Observacin: Para calcular la pendiente se escogen dos puntos sobre la recta y evaluando es:

12

12

loglogloglog

xxyyn

= (7)

GRAFICA N 5: Funcin Cuadrtica - Potencial


19

con (x1 , x2), (y1 , y2) ledos directamente sobre el papel logartmico. El intercepto de la recta es ( )logB k= se lee directamente sobre el papel logartmico 3.4.4 Funcin Exponencial: Una funcin es exponencial cuando la variable independiente aparece como exponente de algn numero:

0bxy y e= (8)

En la ecuacin (8) e es la base de los logaritmos neperianos y su valor es 2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente, b es una constante. Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la parbola depende del signo de x . Para la Figura N 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de x es negativo. Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad de la parbola depende del signo de la constante b. Para la Figura N 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de b es negativo. La funcin exponencial tiene la propiedad siguiente:

dy b ydx

= (9)

Cualquier mltiplo constante de la funcin exponencial bxe tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b

veces la funcin misma. Para intervalos x largos, la ecuacin (9) implica:

y b yx

= (10)


20

Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un decaimiento exponencial y la ecuacin (8) adopta la siguiente forma:

0b xy y e = (11)

Un tipo especial de papel hace que el anlisis de crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho ms simple (papel semilogaritmico).


21

Figura N 6 : Funcin Exponencial Decreciente (Papel milimetrado)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (horas)

Act

ivid

ad (%

)

GRAFICA N 6: Desintegracin Radiactiva del Cesio 137

A(t) = 100 e-0.5 t

Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h y = A (%) : 1 cm < > 10 %

Donde: yo = 100 b = -0.5


22

Justificacin: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuacin (8), obtendremos: ( ) ( ) ( )0log log logy y bx e= + (12) Haciendo un cambio de variables: logY y= , ( )0logB y= y ( ). logm b e= , la ecuacin (12) toma la siguiente forma: .Y B m x= + (13) El grafico de Y vs. x es una lnea recta con pendiente positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es negativa.


23

1

10

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (horas)

Act

ivid

ad (%

)

Figura N 7 : Funcin Exponencial Decreciente graficado en papel semilogaritmico, observar que el resultado es una funcin lineal.

GRAFICA N 7: Desintegracin Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico)

Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h


24

Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la cual, el eje vertical es graduado en forma logartmica (potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener que calcular ningn logaritmo a los datos. En dicho papel ya se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuacin (13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y b de la ecuacin (8) de la siguiente manera:

0 10By = y

logmbe

=

(14)

Observacin: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se grfica en papel semilogartmico, se localiza la pareja de puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo de "y" pues el papel semilogartmico lo hace de modo grfico y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una escala milimetrada y el eje vertical a una escala logartmica. Si la escala logartmica se repite el papel se llama de dos ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma que cada ciclo debe terminar en un nmero 10 veces mayor que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10, debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina en 1000. El nmero de ciclos necesario estar dado por el nmero de potencias de 10 que abarquen los valores de "y" El valor de la pendiente m en el papel semilogartmico se calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por donde pase la recta, y evaluando es:

12

12 loglogxx

yym

=

(15)

El intercepto de la recta es ( )0logB y= .


25

4. Procedimiento Se graficarn y analizarn los resultados de tres experimentos: 4.1 La posicin de un automvil que baja por la pendiente de

una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en metros) del espacio recorrido por un mvil que se mueve en lnea recta a velocidad constante en funcin del tiempo expresado en segundos.

Tabla N 1

4.2 Medida (en metros) del espacio recorrido por un mvil que se mueve en lnea recta con aceleracin constante en funcin del tiempo expresado en segundos.

Tabla N 2

t (s) e (m) 1,0 1,00 2,2 4,84 3,4 11,56 4,4 19,36 5,9 34,81 7,1 50,41

t ( s ) e ( m ) 1.1 8.45 2.9 14.75 4.1 18.95 6.6 27.70 8.0 32.60 9.8 38.90

10.5 41.35 12.1 46.95 13.9 53.25 15.5 58.85


26

4.3 Medida de la actividad radiactiva del radn, donde el da uno se detect una desintegracin de 4.3 x 1018 ncleos. Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para distintos das se muestran en la tabla N 3.

Tabla N 3

t (das) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15

A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas:

I. En papel milimetrado los valores de las Tablas N 1,

N2 y N3. II. En papel logartmico los valores de las Tablas N 1, N2

y N3. III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N

1, N2 y N3. 5. Cuestionario

5.1 Usando las grficas obtenidas en el paso 1 del procedimiento, halle la pendiente y el ngulo de inclinacin de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora cientfica para ello).

5.2 Segn la tabla N 3: Cuntos ncleos haban al inicio (da

cero)? y Cuntos ncleos quedarn por desintegrar el da N 7?

5.3 Calcule el valor de E paso a paso para cada factor;

Primero: realizar el clculo para cada factor con aproximacin a centsima (use las reglas de redondeo, Ver Anexo N2). Segundo: realizar el clculo para cada factor con todos los decimales que pueda dar la calculadora que esta usando.


27

( ) ( )( )

3 2ln 1000 log arcos 0.25 .( 37 )

.arctan 10

e senE

=

5.4 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una lnea recta y grafquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de fsica.

5.5 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una

curva parablica y grafquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de fsica.

5.6 Busque informacin sobre la existencia de otros papeles,

adems del milimetrado , logartmico y semilogaritmico 5.7 Cules son las caractersticas de una funcin?, explique. 5.8 como aplicara este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -

7. Conclusiones

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


28

8. Sugerencias

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias

9.1 Problemas y ejercicios de anlisis matemtico, B. Demidovich, Ed. MIR, Mosc, URSS, 1973, Cap. 1, Pg. 7 19.

9.2 Tpicos de Clculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. San Marcos,

Lima, Per, 1990 Cap. 2, pg. 47-100. 9.3 Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2

ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch. 2, Pg., 28-39.

"Una grfica puede decir ms que mil palabras."

ANONIMO


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Figura N 8: Formas de Relieve y Curvas de Nivel. Las Curvas de Nivel dan informacin de altitudes. Su configuracin nos da informacin muy precisa de su relieve. Se debe observar que: a) Las curvas de nivel mas prximas al centro significan declives mas elevados, mientras que las curvas de nivel ms alejadas significan zonas de pendientes ms suaves; b) Las curvas de nivel concntricos con las montaas ms altas en el centro representan colinas, si se esta mas alejado del centro, tenemos una zona deprimida. El ejemplo de la figura se tiene dos montaas con formas muy diferentes. La derecha tiene mayores altitudes; se seala en la parte superior, el aumento de pistas y cierta asimetra. La parte superior de la izquierda tiene una forma ms redondeada, menor altitud, pero an en presencia de un alivio asimtrico: hay una diferencia de pistas entre las dos montaas.


31

ANLISIS DE FUNCIONES

AAjjuussttee ddee ccuurrvvaass Prctica de Laboratorio N 02

Tpicos Relacionados

Mtodos de mnimos cuadrados, matrices y determinantes, asntotas,

interpolacin, extrapolacin, sumatorias.

1. Objetivos

1.1 Encontrar la funcin matemtica que relaciona a dos cantidades fsicas medidas experimentalmente.

1.2 Hacer uso de la tcnica de linealizacin por el mtodo de mnimos cuadrados.

1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones a la ecuacin de ajuste calculada.

2. Equipos y materiales

- Seis (06) hojas milimetradas. - Un (01) lpiz de carbn N2 - Una (01) regla de 30 cm. - Una (01) Calculadora Cientfica (personal).


En el estudio de los fenmenos fsicos nos encontramos con muchas variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo analizarlo simultneamente. Para facilitar el anlisis elegimos dos de estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la funcin que mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logartmicos, etc. Como se observa a continuacin:


32

Figura. N 1: Funcin Lineal

Figura. N 2: Funcin Parablica

Figura. N 3: Funcin Exponencial

3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relacin matemtica que mejor se aproxima a los resultados del fenmeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la funcin a la que se aproxime la distribucin de puntos graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:

a) Funcin Lineal : y b m x= + b) Funcin Parablica o cuadrtica : 2y a b x c x= + + c) Funcin Cbica : 2 3y a b x c x d x= + + + d) Funcin Polinomial : 20 1 2

nny a a x a x a x= + + + + "

e) Funcin exponencial : xy A B= f) Funcin Potencial : By A x= g) Funcin Elptica :

2 2

2 2 1x ya b

+ =

h) Funcin Hiperblica : 2 2

2 2 1x ya b

= i) Otras.

En todas estas expresiones x e y representan variables,

mientras que las otras letras denotan constantes o parmetros

a determinar.

X

Y

X

Y

X

Y


33

Una vez elegida la funcin se determina las constantes de tal

manera que particularicen la curva de los fenmenos observado.

3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas as formadas no informan acerca del tipo de relacin existente entre una magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados.

a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla. b) Se compara la distribucin de puntos obtenida con curvas

conocidas. Habiendo logrado identificar la forma de la distribucin de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas mediante el mtodo de mnimos cuadrados y para datos cuya tendencia sea una lnea recta se puede usar tambin el mtodo grafico. Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribucin de puntos (datos experimentales) mediante programas de cmputo como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el trabajo. En el Laboratorio de Fsica disponemos del software para el procesamiento de datos y graficas Logger Pro.

3.3 Mtodo de los mnimos cuadrados.-

Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . ,

(Xa , Ya) la idea es construir una funcin F(x) de manera que

minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver

Figura. N 4), es decir:

S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 sea un nmero mnimo.

Nota:

- Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se tendra que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.

- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los

valores medidos.


34

Figura N 4: Desviaciones en un ajuste de mnimos cuadrados

3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL

- Mtodo Geomtrico

Una funcin es lineal cuando las variables aparecen elevadas

solo a la primera potencia.

Una funcin lineal que relacione x con y se representa

algebraicamente como:

y b m x= + (1) Donde b y m son constantes.

Figura N 5: Funcin ajustada geomtricamente

X1 X2 X3 X4

Y2

Y1

Y3

Yn

D3

D2D1

Y

Y2

Y1

Y

X

X1 X2 X

b


35

En la figura N 5 se muestra una grfica de los valores de X e

Y que satisfacen la ecuacin. La constante b es la ordenada.

La constante m es la pendiente de la recta.

Donde: b resulta de la interseccin de la recta con la

ordenada

ymx

= (2) X = X2 X1 Y = Y2 Y1

- Recta Mnima Cuadrtica

La recta mnima cuadrtica que ajusta el conjunto de puntos:

(X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuacin:

y b m x= + (3)

Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

+= ii XmbNY , (4) += 2iiii XmXbYX (5)

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

( )

( )2 2i i i ii in x y x y

mn x x

=

(6)

( )2i i i i i

2 2i i

x y x x yb

n x x=

(7)

Para mayor comprensin se construye la siguiente tabla:


36

TABLA N 1: Tabla de datos

i ix iy i ix y 2ix 1 1x 1y 1 1x y 21x 2 2x 2y 2 2x y 22x

n

nx

ny

n nx y

2nx

n ix iy i ix y 2ix Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada columna de datos. Finalmente usaremos la ecuacin de ajuste (6) y (7) respectivamente.

Ejemplo N 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el

mtodo de mnimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6);

(8,7) y (12,9).

Solucin: Construyamos la siguiente tabla de datos:

TABLA N 2: Tabla de datos Experimentales X Y X . Y X2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Xi= 41 Yi= 37 YiXi = 269 Xi2 = 323


37

N (nmero de datos) = 7

Obteniendo :

==== 323 ,269 ,37 ,41 2iiiii XYXYX

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y

resolviendo el sistema se tiene:

a = 1,590 b = 0,631

Por lo tanto la recta tiene por ecuacin: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X

Al extrapolar (extender la grfica a ambos lados), es posible

determinar los valores de Y para X cercanos y externos al

intervalo de valores medidos (Ver Figura. N 6).

Figura N 6: Funcin ajustada por mnimos cuadrados

3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL

- Parbola Mnima Cuadrtica.- Para este caso el ajuste se har

a una funcin parablica.

F(x) = Y = a + b X + c X2 (8)

10 --9 --8 --7 --6 --5 --4 --3 --2 --1 --0 .

0 2 4 6 8 10 12 14X

Y


38

Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los

coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el

caso de la recta mnimo cuadrtico, tratando que:

S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 tome el valor mnimo.

As resulta:

++= 2 iii XcXbaNY (9)

++= 32 iiiii XcXbXaYX (10)

++= 4322 iiiii XcXbXaYX (11)

Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9,

10 y 11.

- Funcin Potencial: Una funcin potencial es de la forma:

BY A X= (12)

Podramos linealizar esta funcin aplicando logaritmos a ambos

lados y obtener:

log log logY A B X= + (13)

Y si reemplazamos:

logy Y= , b B= , logx X= y loga A= (14)

Obtenemos la ecuacin de la recta y a b x= + , la cual tratada como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:


39

( )( ) ( )

2

22

log log (log log ) log

log log

X Y X Y Xa

n X X

=

(15)

( ) ( )( ) ( )22

(log log ) log log

log log

n X Y X Yb

n X X

=

(16)

- Funcin Exponencial: Una funcin exponencial es de la forma:

Y = ABX Y = A eBX (17)

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.

A) Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales

log Y = log A + (log B) X (18)

Haciendo las equivalencias siguientes:

y = log Y a = log A b = log B x = X (19)

Teniendo la ecuacin y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)

B) Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural (*)

InY = InA + BX (20) Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = InY a = InA b = B x = X (21)

Teniendo la ecuacin y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)


40

Obs: El papel logartmico (escala en potencias de 10) esta

relacionado con las funciones logartmicas decimales, con

lo cual, en el item B) aplicando la funcin logartmico

natural a la ecuacin Y = A eBX para la linealizacion no

seria apropiada graficarla en papel logartmico.

Ejemplo N 2: Realizar el ajuste a una parbola por

mnimos cuadrados para los siguientes datos

experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12);

(7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los clculos

necesarios para expresar las ecuaciones normales se

disponen en la siguiente tabla:

TABLA N 3: Tratamiento de datos X Y XY X2 X2Y X3 X4

1,50 3,00 4,50 2,25 6,75 3,37 5,06

3,49 7,10 24,78 12,18 86,48 42,51 148,35

4,80 9,50 45,60 23,04 218,88 110,59 530,84

6,00 12,00 72,00 36,00 432,00 216,00 1296,00

7,14 11,80 84,25 50,98 601,56 363,99 2598,92

8,20 10,80 88,56 67,24 726,19 551,37 4521,22

9,10 10,30 93,73 82,81 852,94 753,57 6857,50

= iX 40,23

= iY 64,50

= iiYX 413,42

= 2iX 274,50

= ii YX 2 2924,80

= 3iX 2041,41

= 4iX 15957,89

Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene:

64,50 = a 7 + b 40,23 + c 274,50

413,42 = a 40,23 + b 274,50 + c 2041,41

2924,80 = a 274,50 + b 2041,41 + c 15957,89


41

Al resolver las ecuaciones obtenemos:

a = - 2,67 b = 3,96 c = - 0,28

Con estos valores, la ecuacin de la parbola mnima cuadrtica

ser:

F(x) = - 2,67 + 3,96 x 0,28 X2

Lo cual se muestra en la figura N 7

Figura N 7: Funcin cuadrtica ajustada

4. Procedimiento

Se analizarn los resultados de tres experimentos: 4.1 Medida de la magnitud Y en funcin de la magnitud X. 4.2 Medida de la magnitud Y en funcin de la magnitud X.

14 --

12 --

10 --

8 --

6 --

4 --

2 --

0 . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

X

Y


42

Tabla N 4 Tabla N 5

X Y X Y

1,0 2,5 -6,1 42,5 2,3 6,4 -5,4 31,3 3,6 9,0 -4,2 17,6 4,9 13,4 -2,8 6,4 6,2 18,0 -2,8 6,4 7,5 20,3 -1,7 3,0 8,8 22,0 -0,6 0,8

10,1 25,1 0,5 0,7 11,4 31,0 1,6 2,2 12,7 32,2 2,7 7,9

3,8 15,1 4,8 24,0 6,0 41,0

A partir de los datos anteriores realice lo siguiente: I. Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N 4 y de

la Tabla N 5. II. Usando el mtodo de mnimos cuadrados halle la funcin que

mejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N 4 y en la tabla N 5.

III. De la tabla N 3 del paso 4.3 del experimento N 1 titulado:

Grafica de funciones, ajuste la grafica trazada usando mnimos cuadrados (Ojo esta funcin es exponencial decreciente).

Obs: No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y las graduaciones.

5. Cuestionario.-

5.1 Qu entiende usted por desviacin en el ajuste de una curva? 5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.


43

5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, de algunos ejemplos

5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden ser

ajustados a una recta, una parbola y una exponencial, y hacer el respectivo ajuste por Mnimos Cuadrados.

5.5 como aplicara este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


44

9. Referencias bibliogrficas.-

9.1 Problemas y ejercicios de anlisis matemtico, B. Demidovich, Ed. MIR, Mosc, URSS, 1973, Cap. 1, Pg. 7 19.

9.2 Tpicos de Clculo I, Mximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima,

Per, 1990 Cap. 1 9.3 Teora y problemas de Estadstica, Murray R. Spiegel, McGraw

Hill, Mxico D.F., Mxico, 1982, Cap. 13, Pg. 217 - 240. "La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuacin entre el pasado y el futuro."

Jos Ingenieros


45

Figura N 8: Fractales; Son una categora de aproximacin a un cuerpo o evento para entender su naturaleza y dinmica. Los cuerpos fractales estn formados por copias ms o menos exactas de partes de s mismos. Su origen, latn "fractus, es reciente, lo propuso el matemtico francs Benoit Mandelbrot en 1975, pero el concepto era conocido dentro de teora de sistemas. Como aproximacin matemtica consiste en crear fragmentos irregulares representados en sistemas de ecuaciones parametrizados que poseen la propiedad de que cada pequea porcin del fractal puede ser visualizada como una rplica a escala reducida del todo, pero son curvas no derivables por ser infinitamente fracturadas. Desde la perspectiva geomtrica, un fractal es un objeto geomtrico cuya estructura bsica se repite en diferentes escalas.


47

MEDICIONES

MMeeddiicciioonneess,, ccaallccuulloo ddee eerrrroorreess yy ssuu pprrooppaaggaacciinn

Prctica de Laboratorio N 03

Tpicos relacionados

Aproximacin, incertidumbre, error, medicin, vernier, micrmetro, longitud,

tiempo, masa, calibracin, balanza de precisin, Precisin, Exactitud.

1. Objetivos

1.1 Comprender el proceso de medicin y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.

1.2 Reconocer los diferentes tipos de error que existen y evaluar el error sistemtico para cada tipo de medicin.

1.3 Desarrollar una conciencia del error como algo ineludible asociado a las mediciones hechas notando que los errores

siempre estarn presentes en los procesos de medicin.

1.4 Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una medicin indirecta.

2 Equipos y materiales

- Un (01) paraleleppedo de madera - Una (01) canica de vidrio o porcelana - Un (01) cilindro de aluminio - Una (01) regla graduada, 1m, 1/1000 m - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.05mm. - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.02mm. - Un (01) Modelo de Nonio (1/10 mm) de madera. - Un (01) Cronmetro, 11 h, 59 m, 59 s, 1/100 s - Un (01) Micrmetro, 25*1mm/0.5mm


48

3 Fundamento terico

La FISICA es una ciencia que se basa en la capacidad de observacin y experimentacin del mundo que nos rodea. La superacin de los detalles prcticos que hacan difcil la medicin precisa de alguna magnitud fsica, dio lugar a los avances en la historia de esta Ciencia.

Por ejemplo; cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termmetro, y cuando estn juntos, algo de energa o calor se intercambia entre el cuerpo y el termmetro, dando por resultado un pequeo cambio en la temperatura del cuerpo, afectando as, a la misma cantidad que deseamos medir. Adems todas las mediciones son afectadas en algn grado por errores experimentales debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida (errores sistemticos), o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores personales), que deben registrar la informacin o dato.

Por eso cuando un investigador tecnolgico y cientfico disea su tcnica de medicin procura que la perturbacin de la cantidad a medirse sea ms pequea que el error experimental. 3.1 MEDICIN

Tcnica que se utiliza para determinar el valor numrico de una propiedad fsica comparndola con una cantidad patrn que se ha adoptado como unidad. La mayora de las mediciones efectuadas en laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa, tiempo, ngulo o voltaje. En todo proceso de medicin se debe tener en cuenta lo siguiente:

a. El objeto o fenmeno cuyas dimensiones se requieren medir. b. El instrumento de medicin (ejm: regla milimtrica, cronmetro,

probeta). c. La unidad de medida, el cual est incluida en el instrumento de

medicin (mm, s, ml).

Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas magnitudes vectoriales y tensoriales.


49

EXPRESIN GENERAL DE LA MEDICIN:

- Cuando se realiza una sola medicin, el resultado lo podemos expresar:

XXX = 0 (1) - Donde X0 es el valor ledo en el instrumento y X es el error

absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura mnima que se puede hacer con el instrumento, aproximacin o precisin del instrumento).

2

lmX = (2) - Si se realiza varias veces la medicin, el resultado se puede

expresar

dXXX = (3)

- Donde X es el valor probable dado por la media aritmtica de las mediciones y dX es el promedio de las desviaciones o errores.

3.2 TIPO DE MEDICIONES

Medicin Directa: Es la que se obtiene directamente por observacin al hacer la comparacin del objeto con el instrumento de medicin o patrn. Ejemplo: La determinacin del volumen de un objeto, usaremos la probeta graduada; la evaluacin del tiempo de cada de una moneda al piso desde una altura dada, con el cronmetro; etc. Medicin Indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar frmulas matemticas y cantidades fsicas derivadas que son funcin de una serie de medidas directas. Ejemplo Para hallar la velocidad, mediante la frmula v = x / t donde x es el espacio o longitud recorrido por el mvil y t es el tiempo transcurrido.


50

Figura N 1: Calibrador Vernier o Pie de Rey

3.3 EXACTITUD Y PRECISION DE UNA MEDICION

Todo experimento debe planearse de manera que siempre d la informacin deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por lo tanto deber cuidarse de la exactitud y/o precisin aceptable de los datos. EXACTITUD: La exactitud indica el grado en que los datos experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o considerados verdaderos idealmente. La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental. Estrictamente hablando el nico tipo de medicin totalmente exacto es el contar objetos. Todas las dems mediciones contienen errores y expresan una aproximacin de la realidad. PRECISION: La precisin expresa el grado con que un valor experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir, cuan cerca esta del valor medio del conjunto de sus medidas. En los instrumentos la precisin se puede determinar por la mnima medida con que se puede llevar a cabo la medicin, es decir, es la aproximacin del mismo, y esto representa la calidad del instrumento, por cuanto la medicin que hagamos con dicho instrumento, poseer muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado una medicin de alta precisin.


51

3.4 TEORA DE ERRORES ERROR: Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medicin y el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal cualitativamente. Tambin se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de diversas maneras, siendo las ms usuales: la desviacin estndar, la desviacin promedio, etc. Clases de error Errores sistemticos: Estos son determinables y corregibles si se sabe bien la fsica del proceso. Los principales son:

1 Errores tericos: Son debido a las aproximaciones

concernientes a las ecuaciones o relaciones que podran ser muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la calibracin de los instrumentos o en la determinacin de mediciones indirectas.

Ejemplo: Determinacin del periodo de un pndulo para ngulos pequeos donde sen . Aqu en la solucin de la ecuacin diferencial se usa la aproximacin de la solucin en serie:

2 41 92 1 ...4 64 2

= + + + l

T sen seng

(4)

y que se calcula como 0 2= lT g (5)

Considerando algunos valores de y sen :


52

Tabla N 1: Error de en radianes y sen (usando la ecuacin N15) o

(Valor Exacto) (radianes) Sen

Error Relativo Porcentual

( % )

5 0.08727 0.08716 0.13

10 0.17453 0.17365 0.51

15 0.26180 0.25882 1.15

2 Errores instrumentales: Estos vienen especificados por el

fabricante del instrumento y son etiquetados como Lmite de precisin o Lmite de error. Es decir el error debido al instrumento ser igual a la cuenta mnima o la lectura ms pequea que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura ser igual a la medicin UNA DIVISION de la mnima escala del instrumento.

3 Errores ambientales: Estos errores no son tan fciles de evitar

debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los factores ambientales mas importantes que se deben de considerar son la temperatura, la presin y la humedad. Debido a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlar el ambiente (en una regin o tiempo limitado).

4 Errores de observacin: Tiene su origen en la postura que toma

el operador para la lectura de la medicin resultando en lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes. La posicin correcta, una atencin cuidadosa, la revisin del equipo y la comparacin de un observador con otro son comunes para reducir o eliminar este error.

Errores aleatorios: Escapan del control del experimentador. Son originados bsicamente por la interaccin del ambiente con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemticos hayan sido minimizados, balanceados o corregidos. Los errores aleatorios se cuantifican por mtodos estadsticos.

3.5 DESVIACION ESTNDAR

Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medicin consideramos que cuando hagamos una sola medicin el error


53

absoluto estar representado solamente por la mitad de la aproximacin (lectura mnima del instrumento).

1 ( . .)2

x lect mn = (6) Donde la aproximacin, sensibilidad o lectura mnima es la divisin ms fina del instrumento. En el caso de la regla milimetrada la mnima lectura ser 1/1000 m. Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa como ( )x , la incertidumbre en la medicin crece y el error absoluto estar en funcin del valor promedio de ( )x y de la siguiente variable:

n2

2 2 2 i1 2 n i 1

(x x )(x x ) (x x ) ... (x x )

n n =

+ + + = =

(7)

Aqu x es el valor promedio ledo con el instrumento de medicin y es la desviacin estndar. A veces aparece en el denominador (n-1) en vez de n, por que el valor resultante representa un mejor estimador de la desviacin tpica de una poblacin de la que se ha tomado una muestra. Para valores n > 30, prcticamente no hay diferencia entre las dos definiciones. El error absoluto se calcular con ayuda de la siguiente frmula:

20

1( )

( 1)

n

iiX

X XX

n nn =

= =

(8)

Finalmente la frmula de expresar el resultado de una medicin directa ser: X X X= (9)

Donde: X : Resultado de la medicin. X : Valor ms probable.

X : Error absoluto.


54

Adems se debe considerar que:

a) X llamado valor medio o promedio, se obtiene de la siguiente manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el valor medio o promedio se calcular por:

n

XX

n

ii

== 1 (10) b) Desviacin (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de

una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor absoluto.

d X = | Xi X | (11)

c) Desviacin media (dX0): n

XXdX

n

ii

=

= 1 (12) donde:

XXXXXXXX ni +++= .........21 y n es el nmero de mediciones.

3.6 El error relativo ( rE ):

Representa el error absoluto por unidad de medicin. Nos indica la fraccin del error absoluto respecto al valor promedio:

rXE

X= (13)

3.7 El error relativo porcentual ( (%)rE ):

Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador anterior dado en porcentaje:


55

(%) 100 %relXEX = (14)

Si tenemos un valor Xref considerado valor terico o valor de referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de mediciones directas o indirectas, podemos comparar nuestro resultado con la siguiente formula:

( )exp(%) 100 %refrelref

X XE

X= (15)

En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a menudo esta formula (15) para comparar diferentes cantidades fsicas (espacio, tiempo, masas, aceleraciones, coordenadas, densidades, etc.) y poder dar conclusiones en funcin a este resultado.

3.8 PROPAGACIN DEL ERROR O INCERTIDUMBRE Se presenta en caso de todas las mediciones indirectas. Por ejemplo, para calcular el rea total de un cilindro, se debe medir el dimetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones directas, evidentemente estas mediciones estn afectadas de errores. Al reemplazar los valores en la frmula para calcular el rea procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores que traen como consecuencia la propagacin de errores. Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido frmulas a travs de la matemtica superior, que se presentan ms adelante en forma prctica.


56

ERROR TOTAL EN UNA MEDICIN DIRECTA:

Si para determinar el valor de una magnitud es necesario realizar una adicin o sustraccin el ERROR ABSOLUTO TOTAL est dado por la SUMA de los errores absolutos de los trminos que intervienen en la operacin. Por ejemplo segn la figura N 2, para determinar la longitud total, se tendr

Figura N 2: Tarjeta recortada

L1 = L01 L01 L0t = L01 + L02

Lt = L0t L0t

L2 = L02 L02 L0t = L01 + L02

ERROR TOTAL EN UNA MEDICIN INDIRECTA: Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una frmula ya sea en forma de producto, cociente o una combinacin de ambos, el ERROR RELATIVO TOTAL est dado por la suma de los errores relativos de los trminos que intervienen en la frmula. Por ejemplo para determinar el volumen del objeto ilustrado en la figura N 3, se realizar el siguiente:

Vo = ao . bo . co a = ao ao b = bo bo c = co co

Figura N 3: Volumen de un Paraleleppedo

L2

L1

Lt

b

c a


57

V/V0 = a0/a0 + b0/b0 + c0/c0 (ver Anexo sobre mediciones y errores) Cuando se realiza una medicin indirecta (para lo cual se usa alguna formula matemtica) como por ejemplo hallar el volumen de un cono, se medirn el radio de la base y la altura, pero en estas mediciones se introducen errores, por lo que estos errores se propagaran, hasta en el volumen calculado.

Tabla N 2: Formulas para la propagacin de errores

Tipo de Calculo Ejemplo* Error Propagado en X

Suma o resta x p q r= + 2 2 2x p q r = + +

Multiplicacin o divisin x p*q / r=

2 2 2p qx r

x p q r = + +

Elevar a una potencia

yx p= px yx p =

*p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son p , q y r ; respectivamente, y es una constante.


58

3.9 INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Figura N 4: Partes del Micrmetro

Figura N 5: Forma de hacer mediciones con el Micrmetro


59

Figura N 6: Nonio del Calibrador Vernier o Pie de Rey

Figura N 7: La lectura es 32.85 mm en este Calibrador Vernier o Pie de Rey


60

4. Procedimiento

4.1 Haga un reconocimiento y describa cada uno de los instrumentos de medicin que el grupo recibe, anoten la lectura mnima as como el clculo del error asociado a los instrumentos en la tabla que se muestra ha continuacin:

Tabla N 3: Lectura mnima y el error asociado a cada instrumento

INSTRUMENTO APROXIMACIN ERROR ABSOLUTO

ASOCIADO

Regla de madera (uso del docente)

Regla milimtrica de metal

Wincha de 5 m

Modelo de nonio de madera

Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened)

Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A)

Micrmetro de Metal

Balanza de Tres barras

Cronmetro analgico

Cronmetro digital

Termmetro

CASO I:

4.2 Tome un paraleleppedo de madera y mida sus tres

dimensiones como se muestra en la Figura N 3 con: Una regla de metal graduada en milmetros Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso)

Y antelos en la tabla N 4: 4.3 De acuerdo a lo anterior, determine

El rea total El volumen total

Y antelos en la tabla N 4.


61

Tabla N 4: Datos experimentales para el paraleleppedo

Con la regla Con el Vernier

Mida : X X X= X X X= Largo a

Ancho b

Alto c

A (rea)

V (Volumen)

CASO II:

4.4 Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su

dimetro con: Un calibrador vernier (el mas Preciso) Un micrmetro

Y antelos en la tabla N 5: 4.5 Con los datos del dimetro medido llene la tabla N 5 y repita el

clculo del paso 4.3, para la canica

Tabla N 5: Datos experimentales para la canica

Con el Vernier Con el Micrmetro

Mida : X X X= X X X= Dimetro D

Radio r

A (rea)

V (Volumen)

Observacin: No se olvide de colocar las unidades en todos los clculos, as como hacer un correcto redondeo y usar los decimales apropiadamente.


62

5. Cuestionario

5.1 Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador Vernier hubiese tenido 100 divisiones Cul ser la aproximacin y el error absoluto que usted cometera al usar este Vernier?.

5.2 Si un cronmetro tiene una aproximacin de una centsima de segundo (0,01 s). Cul ser la medicin si registrara 32,54 s?

5.3 De cinco ejemplos de cantidades fsica que pueda determinarse en forma directa y tambin en forma indirecta.

5.4 Qu otros errores adems de los indicados puede usted asociar a las mediciones directas?

5.5 Medir la frecuencia de latidos del corazn o del pulso de cada uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronmetro digital. Expresar esta medicin con sus respectivos errores para cada uno.

5.6 Con qu instrumento usted medira el espesor de una hoja de cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera posible de cmo medira dicho espesor.


6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


63

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias bibliogrficas.-

9.1 Meiners - Eppenstein Moore: Experimentos de Fsica, John Wiley & Sons Inc, 2nd edition, March 1, 1987, N. Y., EEUU, Cap. 1, pg. 13 - 59.

9.2 Murray R. Spiegel; Estadstica, Editorial Andes, 1ra. Ed., 1982,

Bogot, Colombia, Cap. I, Pg. 1-11.

9.3 Fsica Vol. I, Mecnica, Radiacin y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1985, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. I.

9.4 Fsica Vol. I, Mecnica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley

Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 1, Pg. 15-27.

9.5 Fsica Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R.

A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edicin, 1998, Mxico D.F., Mxico, Cap. 1, pg. 1 -10.

"Un slo nmero no es suficiente para describir algunos conceptos fsicos. El darse cuenta de este hecho seal un avance indudable en la investigacin cientfica."

EINSTEIN e INFELD


64

Figura N 8: Esquema bsico de un microscopio de efecto tnel

Richard Feynman, premio Nobel de Fsica en 1965, durante una conferencia celebrada en el Instituto de Tecnologa de California (CalTech), en 1959, titulada "Hay mucho espacio ah abajo", pronostic que, tarde o temprano, se podran mover los tomos de manera individual, y construir configuraciones diferentes de las que existen en la naturaleza. En 1982, Heinrich Rohrer y Gerd Binnig, dos cientficos del laboratorio IBM de Zurich, idearon el microscopio de efecto tnel, y abrieron las puertas a este tipo de manipulacin. Debido a su invento, en 1986 fueron galardonados con el premio Nbel de Fsica. Este sistema basa su funcionamiento en un efecto cuntico que ocurre en distancias menores a la milmillonsima parte de un metro (10-9 m = 1 nm, un nanmetro). El control de este tipo de fenmeno es lo que nos permite hacer topografa de superficies a nivel atmico. De la Figura: En una instalacin cuyo fin es tomar medidas en escala atmica es necesario que el elemento que se usa como sonda de medida tenga una resolucin de esa misma escala. En un microscopio de efecto tnel la sonda es una punta conductora, p. ej. de Wolframio. La punta se trata para eliminar los xidos y para que sea lo ms afilada posible, idealmente que en el extremo aparezca un solo tomo. La instalacin consiste en un circuito elctrico en el que estn incluidas la muestra y la punta de medida.

Fuente: http://www.unizar.es/ina/equipos/microscopioSTM.htm


65

MECNICA

MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillnneeoo UUnniiffoorrmmee Prctica de Laboratorio N 04

Tpicos Relacionados

Trayectoria, Mvil, tiempo y velocidad, Movimiento de traslacin de una

masa puntual, Mediciones, graficas

1. OBJETIVOS

1.1 Reconocer el movimiento rectilneo uniforme. 1.2 Medicin del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una

trayectoria s dada. 1.3 Calcular el mdulo de la velocidad del cuerpo.

2. EQUIPOS Y MATERIALES

- Un (01) Mvil, 343 g - Una (01) pila de 1.5 V R6 AA - Un (01) Cronmetro digital, hh, mm, ss, cc. - Una (01) regla de metal de 100 cm. - Una (01) Calculadora Cientfica (personal). - Una (01) Cinta adhesiva

3. FUNDAMENTO TERICO

Cuando la trayectoria de un mvil es rectilnea y en ausencia de aceleracin, el movimiento se llama Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU). El desplazamiento puede, en principio relacionarse con el tiempo mediante

la relacin ( )x f t= . Aqu x puede ser negativa o positiva.


66

Figura N 1: Movimiento Rectilneo

Ahora supongamos que en un tiempo t , el objeto est en A , siendo OA x= , y que luego, ms tarde, en un tiempo t ' , se encuentra en B , siendo OB x '= . Entonces el valor de la velocidad1 media se define como:

mx ' x xvt ' t t = = (1)

Donde: x : Desplazamiento del mvil t : Tiempo transcurrido.

En general, si una masa puntual cubre distancias iguales s en intervalos iguales de tiempo t , entonces el valor de su velocidad ser:

svt

= (2)

y tiene un valor constante. Para determinar el valor de la velocidad, se

escoge un intervalo de tiempo arbitrario t en el cual medimos la distancia s .

1 En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el mdulo de la velocidad. Por

eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numrico la rapidez.


67

Grafica N 1: Grafica de la posicin en funcin del tiempo

En la grafica N 1 observamos que la velocidad se puede determinar a partir de la tangente del ngulo

xm tan vt

= = = (3)

Donde m es la pendiente de la recta a la cual se pueden ajustar datos experimentales por el mtodo de mnimos cuadrados:

x b m.t= + (4)

t t

x

x

x

t

X

t 0


68

Figura N 2: Mvil empleado en este laboratorio

En el experimento, se medir espacios y tiempos para el movimiento uniforme con un cronmetro para intervalos de distancias iguales.

Figura N 3: Sistema experimental para el Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Movimiento

Cronmetro

Mvil

cm

Inicio Final


69

4. PROCEDIMIENTO:

4.1 Alinear el carril horizontalmente y montar el equipo como se ve en la Figura N 3.

4.2 Para hacer las graduaciones de las longitudes puede usar la regla de

metal o pegar cinta adhesiva sobre la mesa. No se olvide definir el punto inicial y final.

4.3 Encienda el carrito (mvil) y colquelo sobre la marca inicial,

simultneamente encienda el cronometro; cuando el mvil haya recorrido 10 cm detener el reloj y hacer la anotacin respectiva en la tabla N 1.

4.4 Repita el procedimiento anterior dos veces ms y registre sus datos

en la tabla N 1. 4.5 Repita los pasos 4.3 al 4.4 incrementando el espacio recorrido en 10

cm desde el punto inicial de partida. Anote sus datos en la tabla N 1. (Obs: el profesor puede indicar espacios recorridos diferentes).

4.6 Calcule el valor de la velocidad del mvil para el recorrido y el

promedio del tiempo empleado, use la ecuacin (2). 4.7 Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla N 1 de espacio

recorrido y el promedio del tiempo, use una escala apropiada. 4.8 De la grafica anterior, calcule el valor de la velocidad del mvil por el

mtodo grafico, use la ecuacin (3). 4.9 Calcule la ecuacin de movimiento usando el mtodo de mnimos

cuadrados a la ecuacin (4) para los datos del espacio recorrido y el promedio del tiempo empleado.


70

Tabla N 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilneo uniforme (MRU)

Espacio recorrido (cm)

Tiempos (s)

Promedio Tiempo

(s)

Velocidad (m/s)

X 1t 2t 3t t v 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5. CUESTIONARIO

5.1 En el caso de movimiento rectilneo uniforme, la trayectoria recorrida y el tiempo son proporcionales? , explique.

5.2 Calcule el error relativo porcentual considerando la velocidad obtenida

por el mtodo de ajustes de mnimos cuadrados y las velocidades obtenidas en los pasos 4.6 y 4.8.

5.3 De tres ejemplos de movimiento rectilneo uniforme. Detalle. 5.4 Grafique los datos de la tabla N 1 y haga el ajuste respectivo usando

el software Logger Pro 5.5 Experimente usted (para cada integrante de su grupo), calculando la

velocidad promedio al caminar durante su vida cotidiana. Explique en detalle su experimento.


71

5.6 Calcular la velocidad del mvil empleando el mtodo grafico para la grafica N 2.


Grafica N 2: Espacio recorrido en funcin del tiempo

6. OBSERVACIONES

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. CONCLUSIONES

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


72

8. SUGERENCIAS

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. REFERENCIAS

9.1 Fsica, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986, pg. 87.

9.2 Fsica Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.

Freedman, Addison Wesley Longman, IX edicin, 1998, Mxico D.F., Mxico, Cap. 2, pg. 31 - 37.

Todo lo que se mueve es movido por otro.

Aristteles (384 AC-322 AC) Filsofo griego


73

Figura N 4: Se denomina tren de alta velocidad al medio de transporte que circula por una va diseada para l (lnea de alta velocidad) y que alcanza, de manera estndar, velocidades ms altas que un tren convencional. Actualmente se utilizan trenes con una velocidad superior a 250 km/h, y con velocidad promedio (o velocidad comercial) tambin elevada, que les permite competir con el transporte areo para distancias medias, del orden de los cientos de kilmetros. En todos los casos se trata de vehculos y vas frreas desarrolladas en forma unitaria, dado que las velocidades alcanzadas requieren de tcnicas especficas. Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren bala o Shinkansen en la dcada de 1960. Todo empez a mediados de los aos cincuenta, cuando pensaron en construir una nueva lnea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos principales ciudades del pas, para resolver el problema de la saturacin de la lnea existente con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki, Hitachi y Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran desde 1964 las principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300 kilmetros por hora. Hoy el pas, con 2.100 kilmetros cubiertos, tiene la mayor red de alta velocidad del mundo.


75

MECNICA

MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillnneeoo UUnniiffoorrmmee AAcceelleerraaddoo

Prctica de Laboratrio N 05

Tpicos relacionados

Trayectoria, distancia recorrida, desplazamiento, rapidez, velocidad,

aceleracin.

1. Objetivos

1.1 Determinar el valor de la velocidad1 media e instantnea de un

mvil con movimiento rectilneo uniforme variado. 1.2 Determinar la aceleracin de un mvil con movimiento rectilneo

uniforme variado. 1.3 Determinar las ecuaciones de movimiento de un mvil.

2. Equipos y materiales

- Un (01) mdulo para MRUV (Leybold) - Una (01) fuente de poder AC/DC - Un (01) riel de metal - Un (01) enchufe con cable de extensin - Un (01) calibrador Vernier (preedicin 0,02 mm) - Dos (02) trozos de cinta metlica (Aprox. 0.5 m c/u) - Tres (03) hojas de papel milimetrado.


Movimiento.- Es el cambio de posicin que experimenta un cuerpo al transcurrir el tiempo, respecto a un Sistema de Referencia. Consideremos que un mvil se desplaza en la direccin x+ de un sistema coordenadas cartesianas; entonces su posicin en cualquier instante, estar dado por una relacin funcional ( )x f t= .

1 En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el mdulo de la velocidad. Por eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numrico.


76

Figura N 1: Mvil desplazndose a lo largo de una lnea recta

Figura N 2: Grfica espacio recorrido en funcin del tiempo

-x x

O x1 t1

x2 t2

x

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30

tiempo ( s )

espa

cio

( cm

)

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm

GRAFICA N 1: Movimiento Rectilneo Uniforme Acelerado

(espacio como funcin del tiempo)


77

Velocidad media.- Se define como la razn del desplazamiento al

intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por 2 1x x x = , el desplazamiento desde la posicin inicial 1x hasta la posicin final

2x ; y por 2 1t t t = , el tiempo transcurrido, entonces la velocidad media es expresa por

2 1

2 1m

x x xt t t

= = (1) Velocidad instantnea.- Es la velocidad de un cuerpo en un determinado punto de su trayectoria y en un instante dado. Si el intervalo de tiempo en la ecuacin (1) se toma cada vez ms

pequeo, la posicin final 2x estar ms y ms prxima a la posicin inicial 1x , es decir x se ir acortando y la velocidad media tender a tomar la magnitud, direccin y sentido de la velocidad del cuerpo en

1x (tangente a la trayectoria). En la ecuacin (1) cuando t tiende a cero, la velocidad instantnea es:

d xd t

= (2)


78

Figura N 3: Grfica velocidad en funcin tiempo

Aceleracin media.- Se define como la razn de la variacin de la velocidad instantnea al intervalo de tiempo transcurrido. Si

denotamos por 2 1 = , la variacin de la velocidad instantnea desde la posicin inicial 1x hasta la posicin final 2x ; y por 2 1t t t = , el tiempo transcurrido, entonces la aceleracin media se expresa por

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo ( s )

velo

cida

d (

m/s

)

GRAFICA N 2: Movimiento Rectilneo Uniforme Acelerado

(Velocidad como funcin del tiempo)

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 1 s y = v (m/s) : 1 cm < > 5 m/s

(m/s) tv 4.3 +=


79

2 1

2 1ma t t t

= = (3) Aceleracin instantnea.- Es la tendencia al cambio de velocidad de un cuerpo en un instante dado y en un punto de su trayectoria.

dad t= (4)

Movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV) Es aquel movimiento en el cual un mvil describe como trayectoria una lnea recta, variando uniformemente la velocidad. Obs: En la Figura N 1 muestra que la aceleracin es constante, por lo tanto, la aceleracin media es igual a la aceleracin instantnea. Adems se observa que el incremento de la velocidad se da con el incremente del tiempo, este movimiento se denomina Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Algunas ecuaciones bsicas del movimiento rectilneo uniformemente variado en forma escalar:

21. .

2i ix x v t a t= + (5)

.f iv v a t= (6)

2 2 2 .f iv v a x= (7)

4. Procedimiento

4.1 Arme el equipo tal como se muestra en la Figura N 4 , 5 y 6


80

Figura N 4: Sistema experimental para el MRUA

4.2 Conectar la fuente de voltaje a 220 VAC . (no encienda la fuente,

espere la indicacin del profesor) 4.3 Conectar el cabezal (chispero) con la fuente de voltaje (en los

bornes de color negro de 12 VAC) (ver Figura N 4)

Figura N 5: Sistema experimental (Disposicin de la cinta metlica con el mvil)

4.4 Coloque el riel de metal a una altura de 3 cm, use el bloque escalonado para ello.

4.5 Doblar correctamente el papel metlico en los extremos de tal

manera que la parte metlica haga un contacto directo con el registrador de tiempo y con la pinza que sujeta al carrito.


81

Figura N 6: Sistema experimental (Disposicin de la cinta metlica con el cabezal)

4.6 Suelte el mvil desde la parte mas alta del riel, luego de haber encendido la fuente y el interruptor del chispero (registrador de tiempo a una frecuencia de 10 Hz), cuando el carrito llegue al extremo opuesto del riel debe apagar el interruptor del registrador de tiempo.

4.7 Observar que sobre la tira de papel metlico han quedado

registrados una serie de puntos a intervalos en el tiempo de 0,1 s (ver Figura N 7).

4.8 Asignar al instante t = 0 en el cual se produjo el primer punto de

la distancia recorrida como x = 0. La posicin de los otros puntos se medirn en mm con respecto a este primer punto (ver Figura N 7).

Figura N 7: Ejemplo del registro de datos sobre la Cinta Metlica


82

4.9 Llene los datos en la Tabla N 1

Tabla N 1: Datos experimentales para el MRUA

Altura del bloque escalonado h = 3 cm ; = Tiempo (s) 0xxd ii = (m)

1 0,1 01 xx = 2 0,2 02 xx = 3 0,3 03 xx = 4 0,4 04 xx = 5 0,5 05 xx = 6 0,6 06 xx = 7 0,7 07 xx = 8 0,8 08 xx = 9 0,9 09 xx =

10 1,0 010 xx =

4.10 Repita los procedimientos del 4.4 al 4.9 para diferentes alturas que indique el profesor construyendo las tablas que necesite.

Obs: No se olvide de aplicar la teora de mediciones, errores y su propagacin

5. Cuestionario

5.1 Grafique en papel milimetrado la distancia recorrida d vs. t , el mdulo de la velocidad ( ) vs. el tiempo (t) y la distancia recorrida d vs. 2t .


83

5.2 Haga un ajuste por el mtodo de mnimos cuadrados de los datos de la distancia d y t , y encuentre ( )d f t= .

5.3 Utilizando la funcin ajustada d vs. t , hallar el tiempo

necesario para que el mvil recorra 35 cm. a partir del punto inicial.

35t = ---------------------------------- s

5.4 A partir de la grfica de la funcin resultante del ajuste, halle las velocidades geomtricamente para cada promedio de tiempo. Para ello usted debe trazar una recta tangente a la curva y la pendiente de la recta le dar la velocidad instantnea en este punto. Registre sus clculos en una tabla.

5.5 Haga un ajuste por el mtodo de mnimos cuadrados de los

datos de vs. t , y encuentre ( )f t= . 5.6 Cul es el valor de la aceleracin? 5.7 como aplicara este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


84

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias bibliogrficas

9.1 Fsica Vol. I, Mecnica, Radiacin y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 8, Pg. 8-1 y 8-9.

9.2 Fsica Vol. I, Mecnica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley

Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 5, Pg. 87-93.

9.3 Teora y problemas de Fsica General, Frederick J. Bueche, Mc

Graw Hill, 1982, Mxico D.F., Mxico, Cap. 4, Pg. 27-38. 9.4 Fsica Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young,

R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edicin, 1998, Mxico D.F., Mxico, Cap. 2, pg. 31 -51.

"En la naturaleza nada hay ms antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filsofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de l

que hasta ahora han pasado inadvertido." GALILEO GALILEI


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Figura N 8: El Transbordador Discovery. La propulsin es un sistema capaz de imprimir velocidad creciente o aceleracin a un cuerpo, mediante un dispositivo que expele materia (denominado motor cohete). El concepto 'propulsin' puede ser usado con otros muchas palabras, tales como: chorro, de cohete o nave espacial, de esta forma se tiene 'propulsin a chorro', 'propulsin de cohetes', o 'propulsin de nave espacial' etc. La propulsin de las naves espaciales se usa para cambiar la velocidad de las naves espaciales y los satlites artificiales. Existen diferentes mtodos. Cada mtodo tiene sus propias ventajas y desventajas, de esta forma la propulsin de las naves espaciales es un rea de gran investigacin. La mayora de las naves se empujan mediante el calor de una reaccin en cadena que se expele por un orificio a muy alta velocidad. Este tipo de motor se denomina motor cohete. Todos las naves espaciales hoy en da emplean cohetes (tanto bipropelentes o de cohete de combustible slido) para la fase de lanzamiento, algunos tienen aberturas que mezclan el aire en una cmara (tales como el Cohete pegaso y el SpaceShipOne) en sus primeras etapas


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MECNICA

MMoovviimmiieennttoo CCoommppuueessttoo

MMoovviimmiieennttoo ddee uunn PPrrooyyeeccttiill Prctica de Laboratorio N 06

Tpicos Relacionados

Trayectoria, Mvil, Movimiento de Traslacin de una Masa Puntual, Trayectoria

parablica, Movimiento Rectilneo Uniforme, Movimiento de Cada Libre, Balstica.

1. OBJETIVOS

- Reconocer el movimiento parablico. - Determinar la ecuacin de movimiento de un proyectil. - Analizar el alcance mximo y la altura mxima en un movimiento

parablico.

2. EQUIPOS Y MATERIALES

- Un (01) Tablero blanco (60 x 50 cm) (Pizarra acrlica) - Una (01) Prensa (Clamp) - Un (01) Equipo de lanzamiento de proyectil - Una (01) regla metlica de 100 cm Wincha - Un (01) cinta adhesiva - Una (01) Hoja de papel blanco - Una (01) Hoja de papel carbn

3. FUNDAMENTO TERICO

Movimiento Parablico.- Cuando disparamos un proyectil desde el can de lanzamiento, este se ve obligado a caer por la accin de la gravedad pese a seguir yendo hacia delante, hasta tocar el suelo a cierta distancia del can. En general, un proyectil describe una trayectoria caracterstica llamada parablica, cuyos parmetros dependen del ngulo de lanzamiento, de la aceleracin debida a la gravedad en el lugar de la experiencia y de la velocidad inicial; con la que se lanza. Si el origen del sistema de coordenadas se ubica necesariamente en el punto central de la bola durante el disparo, se obtendrn las siguientes relaciones:


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0v

y

x 0

g

cos0vvx = (1) senvvy 0= (2)

tvx x .= (3) 2.

21. tgtvy y = (4)

A partir de la ecuacin (3) se sigue directamente que , con lo que se puede eliminar el tiempo de la ecuacin (4), resultando:

2

21

=

xxy v

xgvxvy (5)

Si, en la ecuacin obtenida, se eliminan aun las magnitudes xv y yv , empleando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

222

0

.cos2

.tan xv

gxy = (6)

Esta es la ecuacin de la trayectoria de un proyectil que es lanzado con una velocidad inicial V0 y bajo un ngulo . En esta ecuacin se desconoce la velocidad inicial 0v y el ngulo (en la parte experimental estos valores sern manejados a criterio del experimentador). Para los diferentes experimentos, se determina 0v (m/s).

Figura N 1: Grfica del Movimiento Parablico

h

R

xvxt /=


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La ecuacin (6) es vlida si: a) el alcance es suficientemente pequeo b) la altura es suficientemente pequea como para despreciar la

variacin de la gravedad con la altura c) la velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequea para

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