MATEMÁTICA I

Ecuaciones de Valor Absoluto y Desigualdades

Propiedades de Valor Absoluto• El valor absoluto de un número es su distancia

de cero en la recta numérica.• El valor absoluto de x, denotado , es definida

como sigue:x

0x x x

0x x x

Propiedades de Valor Absoluto

a) Para cualquier número a y b,

b)

ab a b

(El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.)

, 0aa siempre y cuando b

b b

(El valor absoluto de un cociente es el cociente de valores absolutos.)

Propiedades de Valor Absoluto

c) a a

(El valor absoluto del opuesto de un número es lo mismo que el valor absoluto del número.)

Propiedades de Valor Absoluto• Ejemplos:

5 5 5x x x 1.

3 3 3y y y 2.

2 2 2 27 7 7 7x x x x 3.

2

26 2 23xx x x x

4.

Debido a que x2 nunca es negativo para cualquier número x.

Distancia en la Recta Numérica

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 unidades

(La distancia entre -3 y 2 es 5.)

• Otra manera de encontrar la distancia entre dos números en la recta numérica es tomar el valor absoluto de la diferencia, como sigue:

5 5,3 2 2 3 5 5o

Distancia en la Recta Numérica

• Para cualquier número real a y b, la distancia entre ellos es .

• Debemos notar que la distancia es también , porque a – b y b – a son opuestos y por lo tanto tienen el mismo valor absoluto.

a b

b a

Distancia en la Recta Numérica

5. Encuentre la distancia entre -8 y -92 en una recta numérica.

6. Encuentre la distancia entre x y 0 en una recta numérica.

8 92 84 84 92 8 84 84o

0x x

Ecuaciones con Valor Absoluto

7. Resuelva: . Luego trace la grafica usando la recta numérica.

4x

Vemos que la distancia a 0 es 4; por lo tanto en la recta numérica hay dos números que su distancia a 0 es 4, estos son -4 y 4. Por lo tanto la solución es:

4,4

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 unidades 4 unidades

4x

Ecuaciones con Valor Absoluto

8. Resuelva: .

9. Resuelva: .

0x

0 El único numero que su valor absoluto es 0 es 0 mismo.

7x

No tiene solución. El valor absoluto de un numero es siempre positivo.

El Principio de Valor Absoluto

• Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X:

a) Las soluciones de son aquellos números que satisfacen .

b) La ecuación es equivalente a la ecuación .

c) La ecuación no tiene solución.

X pX p o X p

0X 0X

X p

Ecuaciones con Valor Absoluto

10.Resuelva: .2 5 9x

2 5 9

2 4

22 2

2,2

x

x

xx o x

Restando 5

Dividiendo por 2

Usando el principio de valor absoluto

Conjunto de Solución

Ecuaciones con Valor Absoluto

11.Resuelva: . 2 3x

2 3 2 31 5

1

3

,5

2

X p

x o xx o x

x

Principio de valor absoluto

Ecuaciones con Valor Absoluto

12.Resuelva: 2 5 13.x

2 5 13 2 5 132 18 2 8

2

9 49 4

5 3

,

1

X p

x o xx o

x

xx o x

Principio de valor absoluto

Ecuaciones con Valor Absoluto

13.Resuelva: 4 7 8.x

Nunca el valor absoluto es negativo, por lo tanto esta ecuación no tiene solución. El conjunto de solución es:

Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto

• Considere . Esto significa que a y b tienen la misma distancia de 0.

• Si a y b tienen la misma distancia de 0; entonces, o son el mismo número o son opuestos uno del otro.

a b

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-a a

a a

Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto

14.Resuelva: 2 3 5 .x x

2 3 5

2 3 5 2 3 53 5 2 3 5

8 3 3 58 3 2

283

28,3

x x

x x o x xx o x x

x o xx o x

x o x

Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto

15.Resuelva: 8 5 .x x

8 5

8 5 8 58 5 8 58 5 2 3

38 52

32

x x

x x o x xo x xo x

o x

La primera ecuación no tiene solución. Por lo tanto la solución es la segunda ecuación.

Desigualdades con Valor Absoluto

• Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X:

a) La solución de son aquellos números que satisfacen

b) La solución de son aquellos números que satisfacen

X p.p X p

X p.X p o X p

Desigualdades con Valor Absoluto16.Resuelva y trace la gráfica: 4.x

X Pp x p

44 4

4,4 4 4

xx

x x

Aplicamos la regla y resolvemos.

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )

Desigualdades con Valor Absoluto17.Resuelva y trace la gráfica:

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.x

44 4

, 4 4, 4 4

xx o x

x x o x

X pX p o X p

Aplicamos la regla y resolvemos.

] [

Desigualdades con Valor Absoluto18.Resuelva y trace: 3 2 4.x

4 3 2 42 3 62 232 2,2 2

2

3

3 4

3

X p

xx

x

x

x x

Sustituimos

Usamos esta regla

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )

23

Desigualdades con Valor Absoluto19.Resuelva: 8 4 5.x

5 8 4 513 4 3

13 34 4

3 13 13 3 3 13,4 4

8

4

5

4 4

4

4

x

X p

xx

x

x x o x x

Usamos esta regla.

Sustituimos

Dividimos por -4 e invertimos los símbolos de desigualdad

Desigualdades con Valor Absoluto20.Resuelva: 4 2 6.x

4 2 6 4 2 64 8 4 4

2 1

4 2

, 2 1, 2

6

1

X p

x o xx o x

xx

x

o xx o x

Utilizamos esta regla

Sustituimos