INTRODUCCIÓN

Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control, se dan como especificaciones de comportamiento (una respuesta transitoria o estacionaria con unas características determinadas). Un primer paso para conseguir un comportamiento satisfactorio del sistema sería establecer su ganancia. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la ganancia, no se proporciona una alteración suficiente para que el sistema pueda cumplir las especificaciones dadas, además si incrementamos la ganancia en exceso, conseguiremos una mejora en el comportamiento estacionario del sistema pero al mismo tiempo reduciremos su estabilidad. Para que el sistema cumpla con las especificaciones deseadas, se introduce un nuevo elemento denominado compensador, que modifica el comportamiento deficiente del sistema original.

Normalmente los compensadores y controladores utilizados son los compensadores de adelanto, los de retardo, los de retardo-adelanto y los controladores PID. En esta práctica se analiza el método del lugar de las raíces para diseñar compensadores de adelanto, de retardo y de retardo-adelanto.

El método del lugar de las raíces es una técnica gráfica que permite determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las localizaciones de los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (generalmente la ganancia) varía de cero a infinito. En muchas ocasiones un ajuste de la ganancia es insuficiente para conseguir que nuestro sistema cumpla con unos requisitos determinados, siendo necesario añadir polos y/o ceros (efecto del compensador), sobre el lugar de las raíces original. La adición de un polo a una función de transferencia en lazo abierto, tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces hacia le derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. Al añadir un cero a la función de transferencia en lazo abierto, se consigue desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, consiguiendo de esta forma hacer el sistema más estable y acelerar el tiempo de asentamiento de la respuesta.

COMPENSADORES DE ADELANTO.

Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto, por ejemplo, redes electrónicas que utilizan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas amortiguadores mecánicos.

La F.T. de un compensador en adelanto sería:

COMPENSADOR DE ADELANTO

Consideremos el siguiente sistema de control en lazo abierto. Diseñar un compensador de modo que los polos dominantes de lazo cerrado estén ubicados en Sd = -0.75+i

G (s )= 1s (s+1)(s+2)

Solución:

Calculamos el ángulo en adelanto

<G(Sd) = -<(s) - <(s+1) - <(s+2)|S=Sd

<G(Sd) = -<(-0.75+i) - <[(-0.75+1)+i] - <[(-0.75+2)+i|S=Sd

<G(Sd) = -<(-0.75+i) - <(0.25+i) - <(1.25+i)|S=Sd =-126.869 - 75.963 - 38.659

<G(Sd) = -241.491

Para que el ángulo pertenezca al lugar de las raíces:

m = -180 – (-241.491) = 61.49

Seleccionar el compensador en adelanto: Primero se halla la ubicación del polo

Tan m = x/1 x = tan (61.49) = 1.841

Ubicación del Polo = -1.841 - 0.75 = -2.591

El Sistema Compensado sería:

G (s ) .Gc ( s )=( 1s (s+1 ) ( s+2 ) )( s+0.75s+2.591 ) .Kc

La Kc se obtiene con la condición de magnitud, como: |G(s).Gc(s)| = 1

| 1s (s+1 ) ( s+2 )

.s+0.75s+2.591|.Kc=1

Kc=|s||s+1||s+2|∨s+2.591∨ ¿¿ s+0.75∨¿∨s=sd ¿

¿

Kc = 4.322

El coeficiente estático de error de velocidad del sistema compensado sería de:

Kv=lims→ 0

sG ( s )Gc (s )= lim ¿¿

ANÁLISIS EN MATLAB:

Fig. 1: Lugar de las raíces sin la compensación

Fig. 2: Características del Sistema sin Compensar

Fig.3: Lugar de las Raíces del Sistema Compensado

Fig. 4: Características del Sistema Compensado

Se observa claramente las diferencias en las características de la gráfica del sistema sin compensar y el sistema compensado en adelanto.

El sistema sin compensar tenía un sobrepaso y ahora el sistema compensado en adelanto no lo tiene. La respuesta es críticamente amortiguada.

COMPENSADOR DE ATRASO:

Sea el sistema G(s); se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad hasta cerca de 5seg-1 sin modificar notablemente la ubicación de los polos en lazo cerrado

G (s )= 1s (s+1)(s+2)

Los polos en L.C. son:

Fig. 1: Lugares de las Raíces del sistema no compensado

S = 0.3376 +/- 0.5623i

Del cual se obtendría un factor de amortiguamiento de 0.5 y una frecuencia no amortiguada de 0.7 rad/s

La constante de error estático de velocidad de G(s) será:

Kv=lims→0

sG ( s )=0.53 seg-1

Para cumplir las especificaciones del ejercicio, insertamos un compensador de retardo, que debe de incrementar el error estático de velocidad en un factor de aproximadamente 10 (5/0.53), por tanto β=10.

Para determinar la función de transferencia del compensador, situamos el polo cerca del origen (s = 0.005), por lo tanto, para un β=10, el celo del compensador estaría en s = 0.05:

Gc ( s )=Kc s+0.05s+0.005

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado será:

G (s ) .Gc ( s )=( K (s+0.05)s (s+0.005) (s+1 ) (s+2 ) )

La ganancia del sistema en lazo abierto es:

K c=|s||s+1||s+2|∨s+0.005∨ ¿¿ s+0.05∨¿∨s=−0.31+0.54 i=1.02¿

¿

Por tanto, la función de transferencia del compensador diseñado será:

Gc ( s)=1.02 s+0.05s+0.005

Finalmente, la función de transferencia del sistema compensado en lazo abierto es:

G (s )= 1.02(s+0.05)s (s+0.005)(s+1)(s+2)

Fig. 2: Lugares de las Raíces del sistema compensado

Donde, si calculamos de nuevo Kv.

Kv=lims→ 0

sG 1 (s )=5.1 seg-1

Vemos que se ha conseguido el objetivo de diseño que es incrementar la constante de error estático hasta cerca de Kv = 5seg-1.