8/17/2019 Lab 6. Pendulo Compuesto

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LABORATORIO DE EXPERIMENTACION DE FISICA III

Laboratorio Nº 

 6: Péndulo Físico Compuesto

Oviedo, K.1, Sánchez, A.2 , Espinal, C 3.

1kate_9363hot!ail.co!, C"d. 1#3$#93., 2 anac2%1hot!ail.co!, C"d. 1#32%6#.,3ces!a&io%6hot!ail.co!, C"d. 1#399#1..

Esc'ela de (n)enie&*a de +ate&iales, nive&sidad del -alle, Calle 13 1## / ##, A.A.

2$36# Santia)o de Cali Colo!0ia.

Ent&e)ado Oct'0&e 31 de 2#12

RESUMEN:

tilizando el siste!a de p4nd'lo co!p'esto con dos &e)las, 'na de ellas 5ia a 'n ee pa&a

7'e se p&od'e&a 'n !ovi!iento oscilato&io, se encont&" el valo& de la )&avedad en Cali a

 pa&ti& del !odelo te"&ico 7'e desc&i0e el !ovi!iento de 'n p4nd'lo co!p'esto 7'e

s'pone 'na va&iaci"n di&ecta ent&e el pe&iodo de la oscilaci"n del siste!a     T    8 la

sepa&aci"n de los et&e!os s'pe&io&es de las dos &e)las    h

 . Al p&ocesa& los datos, se

co!p&o0" 7'e la teo&*a conc'e&da con las tendencias de la )&á5ica 8 con el &es'ltado 8a

7'e se o0t'vo el valo& de la )&avedad el c'al 5'e g=9,78±3,431×10−14

m /s2  con 'n

e&&o& &elativo de 3.51×10−13

.

Palabras claves: Péndulo compuesto, movimiento oscilatorio, gravedad, periodo.

MARCO TEORICO En el estudio del movimiento periódico

de la materia y los eectos de oscilación

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!ue presentan algunos cuerpos en

movimiento, se descubrieron muc"as

aplicaciones directas para el desarrollo

de cosas m#s precisas, dado el caso de

los relo$es y las ma!uinarias !ue usan de

base ecuaciones !ue derivan del estudiodel péndulo ísico.%&'

(i se supone !ue la amplitud de las

oscilaciones son bastante pe!ue)as se

puede considerar !uesenθ≅θ , por 

tanto la ecuación de movimiento del

sistema toma la siguiente orma:

d2θ

d t 2 +

mg LCM 

 I 

  θ=0   *&+

onde I 

 es el momento de inercia del

péndulo,m

  su masa total,g

  la

aceleración de la gravedad y LCM    la

distancia del e$e de rotación al centro de

masa del sistema.

(olucionando la ecuación *&+ se observa

!ue la recuencia angular *   ω + de la

oscilación es:

ω2=

mg LCM 

 I    *-+

Por tanto el periodo *  T 

+  de la

oscilación del péndulo compuesto est#

dado por:

T =2π √  I 

mg LCM   *+

El centro de masa del sistema medido

con respecto al soporte i$o esta dado en

unción de la separación entre los

e/tremos superiores de las reglas *  h

+

y de la longitud de las reglas *  L

+ por 

la e/presión:

 LCM = L+h2   *0+

El momento de inercia para cada regla

es igual a:

 I 1= M 1

12  L12

+ M 1( L1

2 )2

  *1+

 I 2=

 M 2

12 L

2

2+ M 2( L22 +h)

2

  *6+

El momento de inercia del sistema ser#

la suma de estos dos momentos de

inercia. 2 al sustituir el momento de

inercia en el periodo se obtiene lo

siguiente. %-'

T 2=

4 π 2

3 g ( 3h2+3 Lh+2 L2

 L+h   )   *3+

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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Para la reali4ación de este laboratorio se

utili4ó un péndulo ísico compuesto de

dos reglas iguales unidas las cuales se

pegaron con cinta de enmascarar demodo !ue !uede una encima de la otra

*Figura &+.

 

Figura 1 5onta$e e/perimental

na de las reglas tenía su borde superior 

i$o en el punto de oscilación. La otra se

despla4aba con respecto a esta. (e

ubica el centro de masa del sistema,

luego se "i4o oscilar el sistema, el

tiempo se midió en la tercera oscilación

del sistema con el ob$eto de minimi4ar el

error. La amplitud angular con la !ue

oscilo el sistema compuesto ue de 6

grados, esta medida se selecciono para

!ue se pueda cumplir la relación de

senθ ≅θ   y el modelo teórico sea

valido. Luego la distancia del centro de

masa de las reglas se vario cada 7.71 mutili4ando la ecuación *8+, a reali4ar el

anterior procedimiento se se registraron

los datos en la 9abla &.

Lcm ±0,001

m

h ±0,001

m

T1 ±0,4s

T2 ±0,4s

T3 ±0,4s

0,500 0 1,45 1,62 1,60

0,525 0,05 1,75 1,72 1,69

0,550 0,10 1,79 1,70 1,71

0,575 0,15 1,86 1,77 1,94

0,600 0,20 2,13 2,04 2,12

0,625 0,25 2,33 2,28 2,34

0,650 0,30 2,34 2,38 2,43

0,675 0,35 2,45 2,47 2,44

0,700 0,40 2,51 2,53 2,56

0,725 0,45 2,63 2,72 2,64

Tabla 1 atos registrados en la pr#ctica

Luego los tres tiempos obtenido de cada

centro de masa se promediaron y

ueron divido par la cantidad de

oscilación las cuales ueron , por lo cual

se obtuvo la 9abla -.

Tprom ±0,23 s

T ± 0,08s

1,56 0,52

1,72 0,57

1,73 0,58

1,86 0,62

2,10 0,70

2,32 0,772,38 0,79

2,45 0,82

2,53 0,84

2,66 0,89

Tabla ! Periodo promedio y total

ANALISIS DE RESULTADOS

Para calcular la incertidumbre del periodo

promedio *   ∆ Τ  Prom +, registrado en la

9abla -, se reali4aron los siguientes

c#lculos dierenciales:

Τ  Prom=1

3∑i=1

3

Τ i

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∆ Τ  Prom=√∑i=13

(∂ Τ  Prom∂ Τ i ∆ Τ i)2

=√ 3

3∆Τ 

1

∆ Τ  Prom=0.23

e igual manera se calculó laincertidumbre para el periodo inal *

∆ T  +.

Τ =Τ  Prom

n  =

Τ  Prom

3

∆ Τ =√(  ∂ Τ 

∂ Τ  Prom∆ Τ  Prom)

2

=∆ Τ  Prom

3

∆ Τ =0.08

Por otro lado, en base a los datos

registrados en la tabla &, ue posible

calcular 9- y

(3h

2+3 Lh+2 L2

 L+h   ), el cual

se denominó como . Los datos

obtenidos se encuentran registrados en

la tabla .

B (m) T2 (s2)

2,00±

0,05

2,69±

0,07

2,05±

0,05

2,76±

0,08

2,12±

0,05

2,85±

0,08

2,19±

0,06

2,95±

0,08

2,27±

0,06

3,05±

0,08

2,35±

0,06

3,16±

0,08

2,44±

0,06

3,28±

0,08

2,53±

0,06

3,41±

0,09

2,63±

0,06

3,54±

0,09

2,73±0,06

3,67±0,09

Tabla " ;alores obtenidos para 9- y

Las respectivas incertidumbres para los

valores la tabla , ueron obtenidos a

partir de la ecuación *+ y *&7+,

para cada cantidad:

∆ z=√(∂ w

∂ x ∆ x )

2

+( ∂ w∂ y  ∆ y)2

  *+

∆ T 2=

√(∂ T 

2

∂ g  ∆ g)

2

+(∂T 

2

∂   ∆ )

2

*&7+

5ediante los valores obtenidos en la

9abla , al graicar 9- en unción de

( 3h2+3 Lh+2 L2

 L+h   ) , se obtiene la

siguiente graica:

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#ra$ica 1 Comportamiento de 9- en unción de

2a !ue el comportamiento observado en

la gr#ica es lineal, es posible comparar 

su ecuación con la ecuación de una línea

recta *&&+. 2 mediante el valor obtenido

de su pendiente *

m=1,3455±4,72×10−15 + es posible

"allar el valor e/perimental de la

aceleración de la gravedad en Cali, a

partir de la ecuación *3+. (iendo4 π 

2

3g

la pendiente de la recta descrita por 

dic"a ecuación.

 y=mx+!  *&&+

?gualando la pendiente de la ecuación *3+

y la pendiente de la recta descrita por la

graica &, es posible despe$ar el valor de

la gravedad.

m=

4 π 2

3g   *&-+

g=4 π 

2

3m =

  4 π 2

3×(1,3455 s2/m )

g=9,78m/ s2

9eniendo el valor de la gravedad

obtenida por este método, se calculan

a"ora las incertidumbres absolutas yrelativas@ por medio de las derivadas

parciales de la ecuación *&-+ para las

incertidumbres absolutas obteniendo así

la ecuación *&+, y para las

incertidumbres relativas mediante la

ecuación *&0+.

|¿|=|−4 π 2

×3∆ m

9m2 |

∆ g¿

  *&+

∆  g|¿|

" #medido ×100

∆ gre$=¿  *&0+

Aempla4ando la incertidumbre de la

pendiente m obtenida anteriormente se

encuentra una incertidumbre absoluta

igual a:

1,3455 s2/m

¿¿

9׿

|¿|=4 π 

2×3 (4,72×10−15 s2/m )

¿∆ g¿

|¿|=3,431×10−14 m /s2

∆ g¿

9eniendo la incertidumbre absoluta, se

rempla4a para "allar el valor de la

incertidumbre relativa en el cual se

obtiene un valor de:

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∆ gre$=3,431×10

−14m/ s2

9,78m/s2  ×100

∆ gre$=3.51×10−13

Por otro lado, se calculó el valor de la

gravedad *g+ mediante la ormula

internacional de la gravedad al nivel del

mar, la cual esta e/presada por la

ecuación *&1+. Esto con el ob$etivo de

comparar el valor de g obtenido

e/perimentalmente con el aceptado.

g=978,0495 (1+0.005289 s en2 θ−0.000007

*&1+

ondeθ

 es la latitud de Cali, la cual

tiene un valor de .01B   %'. l rempla4ar 

dic"o valor en la ecuación anterior *&1+

se obtiene un valor de la gravedad

aceptada igual a 9.78m /s2

. Esto

muestra !ue el valor e/perimentalmente

obtenido mediante este método ese/actamente el aceptado.

 "ora, para obtener el momento de

inercia *   I  + del sistema oscilante en

unción de ", se toma como punto de

partida el periodo *   T  + de la oscilación

del péndulo compuesto@ mediante un

tratamiento matem#tico de la ecuación

*&6+, donde el termino  L%m= L+h2 .

T =2π √  I 

mg L%m   *&6+

T =2π 

√  I 

mg L+h

2

Elevando al cuadrado se tiene !ue

T 2=4 π 2[   2 I mg( L+h) ]

 l igualar la ecuación anterior con *3+ se

tiene !ue

[   2 I mg( L+h) ]=3h2+3 Lh+2 L2

3 g( L+h)

espe$ando de dic"a ecuación el

momento de inercia *?+, se tiene !ue ? en

unción de " es igual a:

 I =m

63 h

2+3 Lh+2 L2

Por otro lado, si se desea obtener el

momento de inercia de la regla !ue esta

i$a, es decir,  I 1   se debe tener en

cuenta !ue el momento de inercia total

del sistema es la suma de los momentos

de inercia individuales de las reglas

 I = I 1+ I 

2 , por lo tanto el momento de

inercia de la regla numero & esta dado

por:

 I 1= I − I 

2

Finalmente, respecto a si el método para

conocer el valor del momento de inercia

de cuerpos irregulares es Dtil o no, se

puede decir !ue si lo es pero ba$o ciertos

par#metros. ic"os par#metros

consisten en tener un cuerpo regular 

*orma geométrica sencilla+ como e$e

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