CLASIFICACIN DE EVENTOSEVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- son aquellos eventos que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Los no excluyentes es cuando la ocurrencia en uno de los eventos no impide que suceda el otro evento.EVENTOS INDEPENDIENTES.-Son aquellos eventos en los cuales la ocurrencia de uno NO influye en el resultado del otro evento. Por ejemplo si se lanzan dos dados el resultado del primer dado no influye en el resultado del segundo dado.EVENTOS DEPENDIENTES.-Son aquellos eventos en los cuales la ocurrencia de uno SI influye en el resultado del otro evento. Por ejemplo si se EXTRAE de una urna con bolas azules y rojas sin reposicin.

PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOSSe llaman eventos compuestos los que se forman combinando varios eventos simples.Ej. Al lanzar un dado cual es la probabilidad de obtener un nmero par o un nmero mayor que 4.Espacio muestral = S{1,2,3,4,5,6}P (Par o >4) = P ( par ) + P ( >4 ) P ( par y >4 ) = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6 = 0,666

REGLA GENERAL DE LA ADICION DE PROBABILIDADES

P (A U B) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) Eventos no mutuamente excluyentes

Ejemplo 1: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estndar de 52cartasy B sacar unacartaconcoraznrojo. Calcular laprobabilidadde sacar un As o un corazn rojo o ambos en una sola extraccin.Ejemplo: 2. Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas bien barajada. Cul es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)

Solucin: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventosHay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.Hay 6 figuras negras B = Que la carta sea una figura negra

P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) P( A B )P(A U B)= 4/52 + 6/52 2/52 = 8/52= 0.15Ejemplo: 3.- En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Qu probabilidad existe de sacar en una sola extraccin una bola enumerada con un nmero par o con un nmero primo?

REGLA ESPECIAL DE LA ADICIN DE PROBABILIDADESP (A U B) = P ( A ) + P ( B ) Eventos mutuamente excluyentes

Ejemplo: 2. Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas bien barajada. Cul es la probabilidad de extraer una espada o un trbol? (Eventos mutuamente excluyentes)Solucin: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesosHay 13 espadas. A = Que la carta sea espada.Hay 13 trboles. B = Que la carta sea trbol.

P(A U B)= P(A) + P (B)= 13/52 + 13/52 = 26/52P(A U B)= 0.50

Ejemplo: 3. Consideremos un juego el cual debe elegirse una carta de una baraja de 52 cartas. Ganaremos $ 10 si la carta es negra o es un rey. Cul es la probabilidad de ganar? (Evento no mutuamente excluyente)

Solucin: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventosHay 26 cartas negras. A = Que la carta sea un rey. Hay 4 reyes. B = Que la carta sea una negra

P ( N o R ) =P( N ) + P( R ) P( N y R )P(A U B)= 4/52 + 26/52 2/52 = 28/52 = 7/13 = 0,5384

Ejemplo: 4. Si A es el suceso extraccin de un as de una baraja y B, es el suceso extraccin de un rey. Cul es la probabilidad de extraccin de un as o un rey en una sola extraccin. (Eventos mutuamente excluyentes)Solucin:P(A U B)= P(A) + P (B)= 4/52 + 4/52 = 2/13 = 0,1538

Axiomas de Probabilidad

Los axiomas de la probabilidad son enunciados muy simples a partir de los cuales se construye la teora de la probabilidad.

1. Suma de Probabilidades igual a 12. Todos los posibles resultados estn entre cero y uno3.- Para 2 eventos E1 y E2 con E1E2 = 0 P(E1U E2) = P(E1) + P(E2)Si E evento independienteP(E') = 1 - P(E)

REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIN DE PROBABILIDADESSe utiliza cuando necesitamos determinar la probabilidad de la ocurrencia conjunta de 2 o ms eventos independientes.P(A y B ) = P( A B ) = P(A)P(B)1)De una baraja estndar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extraccin y B sacar un Rey en la segunda extraccin. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extrada.Solucin:A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicacin se obtiene:

2)Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un nio o una nia son iguales, calcular la probabilidad de xitoen tenerhombreen el primer nacimiento,mujeren el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.Solucin:M = mujerH = hombreElaborando un diagrama de rbol se tiene todas las probabilidades:

Entonces,

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIN DE PROBABILIDADESSi A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta laprobabilidadde ocurrencia de B, entonces, dichaprobabilidadde calcula empleando la siguiente regla:P(A y B) = P(A)*P(B/A)

Ejemplos ilustrativos1) De una baraja estndar de 52cartassea A el suceso de sacar un As en la primera extraccin y B sacar un As en la segunda extraccin. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolverla cartaextrada.Solucin:A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.La probabilidad de que la primeracartasea un As es:

Reemplazando los anterioresvaloresen la regla general de la multiplicacin de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

2) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estndar de 52 cartas y B sacar un Rey decoraznrojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazn rojo en dos extracciones sin devolver la carta extrada.

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicacin de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

3)En unaclasede 50 alumnos, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura deMatemtica, 15 prefieren solamenteEstadsticay 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por4.1) Matemtica y Estadstica.4.2) Estadstica y MatemticaSolucin:Realizando undiagramade Venn-Euler se obtiene:

Simbologa:S = espacio muestralA= MatemticaB = Estadsticaa = Solamente Matemticab = Solamente Estadsticac = Matemtica y Estadsticad = Ninguna de las dos asignaturasDatos y clculos:a = 10b = 15c = S - a - b - d = 50 - 10 - 15 - 5 = 20d = 5S = 504.1) Matemtica y Estadstica.

O tambin, observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:

La suposicin de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Matemtica significa que slo consideremos el conjunto A, de los 30 elementos de A, slo 20 tienen preferencia por Estadstica. Por lo tanto la probabilidad condicional P(B/A) = 20/30 = 2/3O tambin, observando el diagrama de Venn-Euler y aplicando la frmula de la probabilidad condicional se tiene:

Reemplazando valores en la regla de la multiplicacin para eventos dependientes se obtiene:

4.2) Estadstica y Matemtica.

O tambin observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:

La suposicin de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Estadstica significa que slo consideremos el conjunto B, de los 35 elementos de B, slo 20 tienen preferencia por Matemtica. Por lo tanto la probabilidad condicional P(A/B) = 20/35 = 4/7Reemplazando valores en la regla general de la multiplicacin:

De una tmbola que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, Mathas extrae tres bolas, sin volver a la tmbola la bola extrada, calcular la probabilidad de que las 3 bolas extradas sean:6.1) Rojas6.2) 2 rojas y una blanca6.3) Una roja y 2 blancas6.4) 3 blancasSolucin:6.1) RojasEn 3 sucesos la frmula de la regla general de probabilidades es:

Reemplazando valores en la regla general de de la multiplicacin se obtiene:

O tambin, elaborando un diagrama de rbol se tiene todas las probabilidades:

En el diagrama de rbol, la probabilidad correspondiente a cada rama del rbol corresponde a la probabilidad condicional de que ocurra el evento especfico, dado que han ocurrido los eventos de las ramas precedentes. Al describir un evento mediante una trayectoria a travs del diagrama de rbol, la probabilidad de que ocurra dicho evento es igual aproductode las probabilidades de las ramas que forman la trayectoria que representa al mencionado evento.La solucin empleando el diagrama de rbol paraes multiplicando las ramas RRR, es decir,

RECOMENDACIONES PRCTICAS: Cuando se aplica la regla de la adicin de probabilidades, determinar previamente si los eventos son excluyentes o no. Cuando se usa la regla de la multiplicacin, determinar si los eventos son dependientes o independientes. Siempre que sea posible, apoyar la interpretacin del problema mediante el empleo de diagramas de Venn. La probabilidad es un nmero que nunca puede tener valor negativo, ni ser mayor que 1.