La Integral Definida 1.

Mgtr. Julio César Moreno Descalzi

INGENIERÍA CIVILY AMBIENTAL



ANÁLISIS MATEMÁTICO IIINTEGRAL DEFINIDA 1


Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física.

INTRODUCCIÓN

Área


n: entero positivo

nabx

x3

x3 = a + 3Δx

f: continua en [a, b] y

xa b

x1 = a + Δxx1

x2 = a + 2Δx

x2x0 = a x0

xn = a + nΔx = b

xnx4 x5

iii xxx *

1

n

ii xxf

1

* )( Suma de Riemann

xi-1 xi

Δx

*ix

f(xi*)

LA INTEGRAL DEFINIDA


f: continua en [a, b]y

x

n: entero positivo

nabx

x0 = ax1 = a + Δx

x2 = a + 2Δxx3 = a + 3Δx

xn = a + nΔx = b

a bx1 x2 x3 xnx0

x4 x5

iii xxx *

1

n

ii xxf

1

* )( Suma de Riemann

n

iin

xxf1

* )(lim b

adxxf )(

Integral definida de f en [a, b]

LA INTEGRAL DEFINIDA


Aproximación bajo Sumas Inferiores

bxyaxentrefbajoÁreanfS n ),(inf

n

kkk xfxxfxxfxxfxxfxnfS

1321inf ........,


Aproximación bajo Sumas Superiores

bxyaxentrefbajoÁreanfS n ),(sup

n

kkk xfxxfxxfxxfxxfxnfS

1321sup ........,


Aproximación al Área bajo la curva


LA INTEGRAL DEFINIDADada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b. Se representa por:

∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la

función que se integra.

dxxfb

a


Propiedades de la Integral Definida

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

dxxfdxxfa

b

b

a

0 dxxfa

a



Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a )(



La integral definida del producto de un escalar por una función:

La integral definida de una constante:

dxxfcdxxcfb

a

b

a

abcdxcb

a


REGLA DE BARROW

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

)()()()( aGbGxGdxxf ba

b

a

(Teorema Fundamental del Cálculo Integral)


Ejercicios

381

21

31

431

21

31

43

2343)13(

13

1

1

2341

1

23

1

1

23

xxxxdxxxx

dxxxxEjemplo 3:


EjerciciosEjemplo 4:

3

0

1

0

3

1

2 dx)1x(dxxdx)x(f

Si

Hallar:

31 1 - 10 x

)(2

xxx

xf

3

0

dxxf


EjerciciosEjemplo 5: Calcular:

xx

xxxf

2- 22 2-x-

2 )(

dxx

3

32

Como el valor absoluto es:

dxxdxxdxx

3

2

2

3

3

3222

1323

3

dxx


EjerciciosEjemplo 6: Calcular:

2,3, 6)-xx(

,2[]3, , 6-xx 6 )(

2

22

x

xxxxf

dxxx 4

4

2 6

La variación de signos de es: )2)(3(62 xxxx

-3 2

+ +-

dxxxdxxxdxxxdxxx

4

2

22

3

23

4

24

4

2 )6()6()6(6

3109

338

6125

6176

4

4

2

dxxx


UN PROBLEMALa función costo marginal de un medicamento contra la diabetes a un nivel de producción x es:Calcule el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades del medicamento.

xC 01.05.23´

Solución:El incremento en el costo está dado por:

1500

1000

1500

1000)01.05.23()´( dxxdxxC

1500

1000

2

201.05.23

xx

)1000(005.0)1000(5.23)1500(005.0)1500(5.23 22

5005

El incremento en el costo es por consiguiente de: 5005$ Rpta.


Ejercicios para Resolver

1

2

3

Calcular el Valor de:

4

5

b

a

Rbmcondxbmx ,,

dxx

1

0 11

dxx

1

0 11

dyyy

4

1 2

1

dxsenxex

1.


Ejercicios para Resolver

6

7

8

9

10

11

12

13

dxx 6

22

dxx

3

0 3251

dxxx

e

e

2

)ln(1

dxxxsene

1

ln

dxee

x

x

1

0 21

dxxx20

cos

dxxe

1 )ln(

dxex x1

0

22


Valor promedio de una función

Sea f integrable en . Entonces el valor promedio de f en es

dxxfab

b

a1

ba,

ba,


01 Concentración de un medicamento en el cuerpo.La cantidad de cierto medicamento varía en el cuerpo de un paciente, t días después de su administración, es:

unidades. Determinar la cantidad promedio del medicamento presente en el cuerpo del paciente durante los primeros cuatro días posteriores a su administración.

02 Temperatura Promedio La variación de la temperatura (en grados Farenheit) en Boston durante un período de 12 horas cierto día de Diciembre está dada por:

Donde t se mide en horas, con t=0 correspondiente a las 6A.M. Determine la temperatura promedio de ese día durante el período de 12 horas, de las 6 A.M a las 6 P.M.

tetC 2.05)´(

)120(6.58.34.005.0´ 23 ttttT

PROBLEMAS

Rpta. 3.44


PROBLEMAS

03 Costo de Materia Prima.La tonelada de una materia prima utilizada para elaborar un medicamento cuesta US$ 46. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0,09 + 0,006 X2 US$/semana.¿Cuál fue el incremento del costo de la tonelada de esta materia prima de la segunda a la sexta semana?.


Información:La Integral Definida y sus Aplicaciones

(PARTE I)

Presentación realizada por:

Julio César Moreno Descalzi Univ. Santo Toribio de Mogrovejo

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

La Integral Definida 1.

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