Integral DefinidaEQUIPO 2

DADA UNA FUNCIÓN F(X) Y UN INTERVALO [A,B], LA INTEGRAL DEFINIDA ES IGUAL AL ÁREA LIMITADA ENTRE LA GRÁFICA DE F(X), EL EJE DE ABSCISAS, Y LAS RECTAS VERTICALES

X = A Y X = B.

LA INTEGRAL DEFINIDA SE REPRESENTA POR .

∫ ES EL SIGNO DE INTEGRACIÓN.

A LÍMITE INFERIOR DE LA INTEGRACIÓN.

B LÍMITE SUPERIOR DE LA INTEGRACIÓN.

F(X) ES EL INTEGRANDO O FUNCIÓN A INTEGRAR.

DX ES DIFERENCIAL DE X, E INDICA CUÁL ES LA VARIABLE DE LA FUNCIÓN QUE SE INTEGRA

Concepto y propiedades )()

Área = 2 A = A – A = 0

↑=

∫𝑎

𝑎

𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥=0

)()

+

a

aa c b

)()

- solo si a > b

k ( b – a )

Y = k

a b

+

)()

k

)() = f(b) – f(a)Donde f(x) es la primitiva de

f(x)

Ejemplo: Si tenemos la función f(x) = 2x cual será el área de esta, entre 0 y 3

+ C = + C

= - = 9

Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo

Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo

Teorema fundamental del cálculo

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas en el que se venía trabajando desde Arquímedes , era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Teorema fundamental del cálculo

Primer teorema fundamental

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre    por  . Si f es continua en  , entonces F es derivable en   y F'(c) = f(c).

Teorema fundamental del cálculo Segundo teorema fundamental

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces