La Integral
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![Page 1: La Integral](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022083011/5695d5021a28ab9b02a3aa87/html5/thumbnails/1.jpg)
ANTIDERIVADA
“Dada una función f ( x ), hallar una función F ( x ) tal que, F ' ( x )=f ( x )”
Llamamos a F ( x ) una antiderivada de f ( x )
Ejemplo
Si f ( x )=3 x2, entonces F ( x )=x3 ya que F ' ( x )= f (x)
DEFINICIÓN
Se dice que una función F es una antiderivada de una función f , si para todo x en el dominio f ,
F ´ ( x )=f ( x )
Por otro lado si: f ( x )=x3+8↔F ( x )=3 x2
f ( x )=x3+π↔F (x )=3x2
f ( x )=x3↔F ( x )=3 x2
Por lo tanto: F ( x )=3 x2→f ( x )=x3+C , donde C ϵ R
De lo anterior podemos concluir que la antiderivada de este tipo de expresiones se puede lograr por medio de la siguiente afirmación
Si F ( x )=xn entonces f ( x )= xn+1
n+1+C;n≠−1
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Algunas formulas para integrar
∫ xndx= xn+1
n+1+c ,n≠−1
∫ x−1dx=∫ 1x d x=∫1xdx=lnx+c
∫ exdx=ex+c
Reglas de integración
∫ a f ( x )dx=a∫ f ( x )dx ,donde aes constant e
∫ [ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫ f ( x )dx+∫ g (x )dx
Ejemplos
1¿∫ x 4dx= x4+1
4+1+C
¿ x5
5+C
2¿∫√x dx=∫ x1/2dx
¿x12+1
12+1
+C
¿ x3 /2
32
+C
¿ 2√ x3
3+C
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3¿∫ 3
x2dx=3∫ x−2dx
¿3( x−2+1
−2+1 )+C
¿3( x−1
−1 )+C¿ −3
x+C
4 ¿∫(3ex+4
x2 )dx=3∫ exdx+4∫ x
−2dx
¿3ex+4 ( x−1
−1 )+C¿3ex−4
x+C
NOTACIÓN SIGMA
La suma de n terminos a1 , a2 , a3 ,…,an se escribe
∑i=1
n
ai=a1+a2+a3+…+an
Donde: i es el indice de suma a i es el i-ésimo termino de la suma1 es el límite inferior de la suman es el límite superior de la suma
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Propiedades de la notación sigma
∑i=1
n
k ai=k∑i=1
n
ai
∑i=1
n
(ai±b i )=∑i=1
n
ai±∑i=1
n
b i
Formulas de la suma
∑i=1
n
c=cn
∑i=1
n
i=n (n+1)2
∑i=1
n
i2=n (n+1 ) (2n+1 )
6
∑i=1
n
i3=n2(n+1)2
4
Ejemplos
Cálcular∑i=1
ni+1n2
paran=10 ,n=100 , n=1.000 y n=10.000
Solución
∑i=1
ni+1n2
=1n∑i=1
n
( i+1 ) ya que 1nes unaconstante
¿ 1n (∑
i=1
n
i+∑i=1
n
1)aplicando propiedades
¿ 1n [n (n+1 )
2+n]reemplazando las formulas
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¿ n2+3n2n2
n ∑i=1
ni+1n2
=n2+3 n2n2
10 0.6500
100 0.51500
1.000 0.50150
10.000
0.50015
Por lo anterior se puede deducir que
limn→∞
n+32n
=12
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a, b] , el área de la región limitada es:
Área=limn→∞
∑i=1
n
f ( xi)∆ x ,donde ∆ x=b−an
y x i=a+i ∆ x
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Integral definida como área de una región plana
Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a, b] , el área de la región limitada es:
Área= limn→∞
∑i=1
n
f (x i )∆ x=∫a
b
f ( x )dx
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a)
F (x) es una antiderivada de f ( x ).
ACTIVIDAD PROPUESTA
Con el fin de fortalecer el tema se sugiere realizar la siguiente actividad.
1. Calcule la antiderivada general de las siguientes funciones.
a¿ f ´ (x )=x2+3 x+2b¿ f ´ ( x )=(x−2)3
c ¿ f ´ ( x )=e2x d¿ f ´ ( x )= 15 x
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2. Resuelva las siguientes integrales indefinidas.
a¿∫ (x3+2 )dx b¿∫ 3√x2dx
c ¿∫ x−8x2
dx d¿∫ (2 t 2−1 )dt
e ¿∫ y2√ y dy f ¿∫ (1+3 t )t 2dt
3. Usar notación sigma para expresar las siguientes sumas.
a¿ 13(1)
+ 13(2)
+ 13(3)
+…+ 13(9)
b¿ [2( 18 )+3]+[2( 28 )+3]+…+[2( 88 )+3]c ¿[1−( 14 )
2]+[1−( 24 )2]+…+[1−( 44 )
2]d ¿[( 2n )
3
−2n ]( 2n )+…+[( 2nn )
3
−2nn ]( 2n )
e ¿( 1n )√1+( 0n )2
+…+( 1n )√1+( n−1n )2
4. Usando las propiedades de notación sigma y formulas de suma, calcular el valor de las siguientes sumas.
a¿∑i=1
20
2 i b¿∑i=1
10
(i2−1 )c¿∑i=1
15
i ( i−1 )2
5. Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de
f ( x )= (x−1 )2+2, x=−1, x=2 y el eje x , mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann. (comparar con la integral definida)
6. Sombrear en la gráfica y calcular el área bajo la curva de las siguientes funciones por medio de la integral definida.
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∫1
3
(3x2+5 x−2 )dx∫0
π
senxdx
7. Hallar el área de la región limitada por la gráfica f ( x )=x3+x y el eje x, desde x=1 hasta x=4
Ejercicios propuestos
Con el fin de fortalecer este tema se recomienda calcular la antiderivada de las siguientes funciones y así poder avanzar a la siguiente fase.
a¿ f ´ (x )=x2+3 x+2b¿ f ´ ( x )=(x−2)3
c ¿ f ´ ( x )=e2x d¿ f ´ ( x )= 15 x