CONVOLUCION

ConvolucinJess Hideyo Fichamba Salazar.

ResumenLa Convolucin es el proceso matemtico que consiste en transformar una seal de entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t) en una salida y(t). Se determina la integral del producto de ambas seales despus de que una de ellas haya sido invertida y desplazada a cierta distancia (t).Es igual que cualquiera de las cuatro operaciones matemticas, donde se tienen dos nmeros y se busca el resultado en el caso de la Convolucin se busca una salida. Los lmites de la integral dependen de la interseccin de las dos seales las cuales se posicionan respecto al tiempo. El estudio de la integral de convolucin la define como una herramienta til para definir la salida LIT con una entrada arbitraria, si se conoce una respuesta determinada al impulso. (S. Soliman, 1999)Palabras clave: convolucin, frecuenciaAbstractConvolution is the mathematical process of transforming an input signal x (t) and the impulse response h (t) to an output y (t). The integral of the product of both signals after one of them has been reversed and moved a certain distance (t) is determined. It the same as any of the four mathematical operations, where there are two numbers, and finds the result in the case Convolution is sought out. Integral limits dependent intersection of the two signals which are positioned with respect to time. The study of the convolution integral is defined as a useful tool to define the output LIT with an arbitrary input, whether a given impulse response is known. (S. Soliman, 1999)Keywords: convolution, frequencyIntroduction La Convolucin es el mtodo de reflexin en el tiempo, y de desplazar a travs de la seal es la manera usual de explicar la Convolucin, ya que indica cmo se produce el resultado a travs del eje del tiempo. Los sistemas cuentan con varias propiedades como lo son causalidad, linealidad, invarianza en el tiempo, etc. Estas dos ltimas son de suma importancia para el anlisis de seales y sistemas, por 2 razones: la primera, muchos procesos fsicos cuentan con estas propiedades, por lo que los podemos modelar como sistemas lineales invariantes en el tiempo. Adems, podremos analizar los sistemas LTI para conocer mejor sus propiedades y otras herramientas importantes para el anlisis de seales y sistemas. (S. Soliman, 1999) Una de las caractersticas del impulso unitario tanto discreto como continuo es que las seales pueden ser representadas como una combinacin de impulsos retardados. Esto, junto con la superposicin e invarianza en el tiempo nos permitirn determinar la respuesta de un sistema LTI en relacin a un impulso unitario. (S. Soliman, 1999) Esta representacin es conocida como convolucin para las seales discretas, e integral de convolucin en el caso de las seales continuas. La convolucin y las operaciones relacionadas con la misma las podemos encontrar en muchos aspectos de la ingeniera y las matemticas: (Lathi., 2005) Como un promedio mvil ponderado en estadstica En teora de la probabilidad En ptica, si ponemos un objeto frente a una fuente de luz se creara una sombra que es la convolucin entre la forma que emite la fuente de luz y el objeto en s. En acstica, un eco va a ser la convolucin entre el sonido original y los objetos variados que lo reflejan. En ingeniera elctrica, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolucin de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso La convolucin transforma 2 funciones en una tercera funcin que hasta cierto punto va a representar la magnitud en la que se superponen la primera funcin y la segunda funcin trasladada e invertida. (Lathi., 2005) A continuacin, considrese un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) caracterizado por su respuesta al impulso h(t). Sea x(t), la entrada y y(t) salida del sistema. La respuesta al impulso, h(t), es la salida que se obtiene al aplicar un delta de rea unitaria en la entrada del sistema LTI. (Lathi., 2005) Debido a que el sistema en cuestin es invariante en el tiempo, un retraso de unidades de tiempo en la seal de entrada implica un retraso equivalente en la salida del sistema, como se representa en la Fig. 1c La integral de convolucin expresa la salida de un sistema LTI basado en una seal arbitraria de una manera matemtica ms fcil, x(t),y la respuesta al impulso,h(t). Laintegral de convolucines expresada como: (Lathi., 2005)

Fig.1 Integral de Convolucin

Tambin puede ser expresada como la sumatoria de los productos escalares de un sistema, esto quiere decir, la entrada y respuesta al impulso. (Lathi., 2005)

Fig.2 Integral de Convolucin Debe estar claro que el sistema LTI en reposo est determinado por la funcin h(n), es decir, es la respuesta al impulso unitario (n).Fig.2 da el resultado de y(n) del sistema LTI como funcin de la seal de entrada x(n) y del impulso h(n) a esto se lo determina convolucin. Es decir, la entrada del sistema x(n) se convoluciona con el impulso h(n) que genera la salida y(n). (Lathi., 2005)Mtodos de Clculos de la Convolucin El clculo de la convolucin entre x(t) y h(t) mediante el mtodo grafico depende del procedimiento de los siguientes pasos: (Lathi., 2005)Ejemplo: Antes de seguir los pasos procedemos a cambiar de variables a las seales

1. Reflexin: Se plasma h(t) con respecto a t para crear h( t).

2. Desplazamiento: Se desplaza h( t), n0 si es positivo hacia la derecha, para conseguir h(n0 t).

3. Multiplicacin: Se multiplica x(t) por h(n0 t) para conseguir el proceso v(k) = x(t) h(n0 t).

= , -t2