LA CIRCUNFERENCIA
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UNIVERSIDAD PEDAGOGICA
DE EL SALVADOR
MATEMATICA II
Si C(h,k) es un punto del plano coordenado, se puede
definir a la circunferencia con centro C y radio > 0,
como el conjunto de todos los puntos que equidistan r
unidades de C.
Ecuación de una circunferencia con radio r y centro en
(h,k) o Ecuación Canónica:
P(x,y)
C(h,k)
r Un punto P(x,y) se encuentra
sobre la circunferencia si y solo
si d(P,C) = r
rkyhx 22
222rkyhx
Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
lugar geométrico de los puntos que equidistan 5
unidades del punto Q(4, 3).
4
3
5
Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar
geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de
este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5
De donde, 2534 22 yx
La forma canónica o estándar del círculo de
radio r y con centro en C(a, b) es:
222rbyax
Que se escribe como 534,22 yxQPd
Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior
Esta es la forma general de la
ecuación de la circunferencia.
2222 b2yb-ya2xa-x 2222 ba(-2b)y(-2a)xyx
Notamos que: 222 ba r
Si 222 baF ra2D b2E
0x 22 FEyDxy
Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo
cuya ecuación es
07740y12x-4y4x 22
770y)14(y3x)-4(x 22
4
770y)1(y3x)-(x 22
254
9
4
7725)0y1(y)
4
93x-(x 22
85)(y)2
3-(x 22
Por tanto
El centro es:
El radio es:
,-5
2
3
228
Ejercicio: Deducir una ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1).
Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la
forma siguiente:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del
círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=0
4+9-2D+3E+F=0
4+1+2D-E+F=0
Es decir, D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-13
2D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,
D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es:
5x2+5y2-9x-19y-26=0
Encontrando la pendiente del radio que une a P con
el centro que tiene coordenadas (3,12). La pendiente
buscada es m=3/4.
La pendiente de la recta tangente a la cincunferencia
en P es –4/3; por tanto su ecuación es
y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
6
-5 3
12
Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo(x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).
Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la
recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
El centro C(xo, yo) debe estar en la recta L que es
perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la
recta dada tiene pendiente ½ , la recta L tiene pendiente
m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
Por tanto las coordenadas de C satisfacen
2xo+yo-21=0 (1)
Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a la
distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que
Elevando al cuadrado y simplificando tenemos
xo+yo-17=0 (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por
(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro
C(4,13) y el radio r=80
Así la ecuación de la circunferencia es
(x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0
2
0
2
0
2
0
2
091258 yxyx
8
5
4
13