KALKULU NUMERIKOA:

KALKULU NUMERIKOA:

Funtsezko arazoa:

- Ez gara zenbaki erreal guztiak erabiltzen ari.

- Kalkulagailuan egindako eragiketak ez dira zeharo zehatzak:

c=a+b / ⇒ c−b=a

€

b >> a baldin bada, adibidez :b =1010, a = π

kalkulagailuan, c = a+ b ; c −b ≠ π

Interpolazio polinomikoa:

Bitez R2-ren n+1 puntu: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) non x0≠ x1≠... xn

n. mailako edo maila txikiagoko polinomio pn (x) aurkitu nahi dugu era honetakoa:

pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n

Egiazta dezagun halako polinomio bat existitzen dela eta bakarradela:

pn(x)=a0 +a1x+a2x2 +K +anx

n ,

ai ∈R , i =0,1,K ,n

pn(xi) =yi , i =0,1,K ,nBaina, hurrengo hauek bete behar dira:

a0 +a1x0 +a2x02 +K +anx0

n =y0

a0 +a1x1 +a2x12 +K +anx1

n =y1M

a0 +a1xn +a2xn2 +K +anxn

n =yn

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

1 x0 x02 L x0

n

1 x1 x12 L x1

n

M M M M

1 xn xn2 L xn

n

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

A1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

a0

a1

M

an

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

X{

=

y0

y1M

yn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

b{

€

( ∃ A−1 ⇔ det A ≠ 0) AX = b⇒ X = A−1b

det A=

1 x0 x02 L x0

n

1 x1 x12 L x1

n

M M M M

1 xn xn2 L xn

n

= (xi −xj)0≤j<i≤n∏

(Van der monde-ren determinantea)

Aurreko zutabea bider x0 kentzen diogu



...

det A=

1 0 0 L 0

1 x1 −x0 x12 −x1x0 L x1

n −x1n−1x0

M M M M

1 xn −x0 xn2 −xnx0 L xn

n −xnn−1x0

det A=

1 0 0 L 0

1 x1 −x0 x1 x1 −x0( ) L x1n−1 x1 −x0( )

M M M M

1 xn −x0 xn xn −x0( ) L xnn−1 xn −x0( )

det A=

x1 −x0 x1 x1 −x0( ) x12 x1 −x0( ) L x1

n−1 x1 −x0( )

x2 −x0 x2 x2 −x0( ) x22 x2 −x0( ) L x2

n−1 x2 −x0( )

M M M M

xn −x0 xn xn −x0( ) xn2 xn −x0( ) L xn

n−1 xn −x0( )

det A= x1 −x0( ) x2 −x0( )L xn −x0( )

1 x1 x12 L x1

n−1

1 x2 x22 L x2

n−1

M M M M

1 xn xn2 L xn

n−1{Aurreko zutabea bider x1

kentzen diogu

det A=

1 x0 x02 L x0

n

1 x1 x12 L x1

n

M M M M

1 xn xn2 L xn

n

= (xi −xj)0≤j<i≤n∏

€

Beraz :

det A = (x i − x j )0≤ j<i≤n

∏ ≠ 0 ( x i ≠ x j delako i ≠ j direnean)

€

Orduan :

det A ≠ 0 ⇔ ∃ A−1 ⇔ ∃ ai ⇔ ∃ pn (x) / pn (x i) = y i , i = 0,1, K ,n( )

Lagrange-ren interpolazio-polinomioa:

Hurrengo n. mailako polinomioa Lagrange-ren interpolazio-polinomioadeitzen da eta behar diren baldintzak betetzen ditu:

pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n:

pn(x)=y0

x−x1( ) x−x2( )K x−xn( )x0 −x1( ) x0 −x2( )K x0 −xn( )

+y1

x−x0( ) x−x2( )K x−xn( )x1 −x0( ) x1 −x2( )K x1 −xn( )

+K

K +ynx−x0( ) x−x1( )K x−xn−1( )xn −x0( ) xn −x1( )K xn −xn−1( )

pn(x)= yjL j(x)

j=0

n

∑ , Lj(x) =x−xk( )xj −xk( )j≠k=0

n

∏ , j =0,1,K ,n

€

(x ≠ 0 bada) y = a1x + a2x2 + a3x

3 ⇔ x−1y = a1 + a2x + a3x2

Kalkulatu interpolazio-polinomioa sin(x) funtziorako, zeinak hurrengo lau puntuetatik igarotzen baitu:

x0 =0→ y0 =0 , x1 =13

→ y1 =0.8660254 ,

x2 =23

→ y2 =0.8660254 , x3 =1→ y3 =0

Bilatzen ari garen polinomioa honelakoa izango da:

y(x) =a0 +a1x+a2x2 +a3x

3

y(x0 =0) =0⇒ a0 =0⇒ y(x)=a1x+a2x2 +a3x

3

2.5980762=a1 +a2

3+a3

9

1.2990381=a1 +2a2

3+

4a3

90=a1 +a2 +a3

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

−1.2990381=a2

3+a3

3

−1.2990381=a2

3−

5a3

9

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

a3 =0a2 =−3.8971143a1 =3.8971143

y=3.8971143(x−x2) =94

3(x−x2)

y'=94

3 1−2x( )⎫ ⎬ ⎭

→ y'(xmax)=0⇒ xmax=12y''=−

92

3(zuzena)

€

→ y(xmax ) =9

163 (ez zuzena: sin(/2)=1)

Integrala kalkulatuz gero:

y(x)dx0

1

∫ =94

3(x−x2)dx0

1

∫ =94

3 (x2

2−x3

3)

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

0

1

y(x)dx0

1

∫ =38

3 ≈0.649519

€

sin(πx)dx0

1

∫ =−cos(πx)

π

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

1

=2π

≈0.6366197

€

Errore absolutua = 0.649519 − 0.6366197 = 0.0128993

€

Errore erlatiboa =0.649519 − 0.6366197

0.6366197= 0.020262175

€

Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

9√3(x-x2)/4

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

9√3(x-x2)/4

sen( )x

Aurreko 4 puntuak erabili beharrean, hurrengo hiru erabiliz gero:

x0 =0→ y0 =0 , x1 =12

→ y1 =1 , x2 =1→ y2 =0

bilatutako interpolazio-polinomia orain honelakoa da:

y(x) =a0 +a1x+a2x2

y(x0 =0) =0=a0 +a1x0 +a2x02 ⇒ a0 =0

y(x) =a1x+a2x2

1=a1

2+a2

40=a1 +a2

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ → a2 =−a1

1=a1

4⇒ a1 =4=−a2

y(x) =4(x−x2)

y'=41−2x( )

y''=−8

⎫ ⎬ ⎭

→ y'(xmax)=0⇒ xmax=12

(zuzena)

y(xmax) =1 (zuzena)


y(x)dx0

1

∫ = 4(x−x2)dx0

1

∫ =4 (x2

2−x3

3)

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

0

1

y(x)dx

0

1

∫ =46

≈0.) 6

€

sin(πx)dx0

1

∫ =−cos(πx)

π

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

1

=2π

≈0.6366197

€

Errore absolutua = 0.6666666 − 0.6366197 = 0.0300463

€


0.6366197= 0.047196623

€

Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %4.7

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

9√3(x-x2)/4

sen( )x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

9√3(x-x2)/4

sen( )x

4( -x x2)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

9√3(x-x2)/4

sen( )x

4( -x x2)

Aurreko hiru puntu erabili beharrean, hurrengo hiru erabiliz gero:

x0 =0→ y0 =0 , x1 =14

→ y1 =2

2 , x2 =

12

→ y2 =1

funtzioak betezen duen simetriarekin (f(x) = f(1-x)) batera,

orduan 5 puntu eduki bezalakoa da, zeren, simetria-baldintzak bi puntugehigarri ematen baititu:

x3 =34

→ y3 =2

2 , x4 =1→ y4 =0

Eta orain bilatutako interpolazio-polinomiaren egitura honelakoa da :

y(x) =a0 +a1x+a2x2 +a3x

3 +a4x4

y(x0 =0) =0=a0 +a1x0 +a2x02 ⇒ a0 =0

y(x) =a1x+a2x2 +a3x

3 +a4x4

Baina, funtzioak betetzen duen simetria, f(x) = f(1-x), erabiliaz4.mailako polinomio hori beste era honetara idatz daiteke:

€

y(x) = a1x + a2x2 + a3x

3 + a4x4 = ax(1− x) + b x(1− x)[ ]

2

22

=a14

34

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +b

14

34

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

2

1=a12

12

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +b

12

12

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

2

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

163

22

=a+3

16b

4=a+14b

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

b=43

(3−2 2)

a=643

(8 2 −9)


y(x)dx0

1

∫ =a (x−x2)dx0

1

∫ +b (x2 +x4 −2x3)dx0

1

∫

y(x)dx0

1

∫ =a6

+b30

≈.6361648

€

sin(πx)dx0

1

∫ =−cos(πx)

π

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

1

=2π

≈0.6366197

€

Errore absolutua = 0.6361648 − 0.6366197 = −0.0004549

€


0.6366197= −0.0007145

€

Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %0.07

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sen( )x

€

sin(πx)

Kalkulatu hurrengo 3 puntuetatik igarotzen duen funtzioaren (f(x)=3x)interpolazio-polinomioa:

x0 =−1→ y0 =13

, x1 =0→ y1 =1 ,x2 =1→ y2 =3

Interpolazio-polinomioaren egitura honelakoa da :

y(x) =a0 +a1x+a2x2

13

=a0 −a1 +a2

1=a0

3=a0 +a1 +a2

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

23

=a1 −a2

2=a1 +a2

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

a1 =43

; a2 =23

y(x) =1+43x+

23x2

Interpolazio-polinomio hau alderatu daiteke Taylor-en (Mac Laurin-en kasu honetan, zeren x0 = 0) garapenarekin:

f (x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x−x0)+

f'' (x0)2

(x−x0)2 +K

direnez:f (x) =3x ; x0 =0

f (x)=3x (=ex ln(3)) ⇒ f(0) =1

f'(x) =3x ln(3) ⇒ f'(0)=ln(3)

f'(x) =3x ln2(3) ⇒ f''(0) =ln2(3)

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪ f (x) ≈1+ln(3)x+

ln2(3)2

x2

y(x) =1+

43x+

23x2 ≈1+1.

) 3 x+0.

) 6 x2

y2(x)=1+ln(3)x+ln2(3)

2x2 ≈1+1.0986123x+0.6034745x2

(interpolazio-polinomioa)

(seriearen garapena)

Legendre-ren polinomioen oinarri ortogonalaren garapenarekin erealderatu dezakegu:

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ; α j =1

Pj (x)2 3x

−1

1

∫ Pj (x)dx ; Pj(x)2=

22j+1

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ≈α0P0(x)+α1P1(x)+α2P2(x)

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ≈α01+α1x+α2

3x2 −12

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

α0 =1

P0(x)2 3x

−1

1

∫ P0(x)dx=12

3x

−1

1

∫ dx=12

ex ln3

−1

1

∫ dx=1

2ln3ex ln3

[ ]−1

1

α0 =1

2ln33−

13

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≈1.2136523

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ; α j =1

Pj (x)2 3x

−1

1


22j+1

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ≈α01+α1x+α2

3x2 −12

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

α0 =1

2ln33−

13

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≈1.2136523

α1 =1

P1(x)2 3x

−1

1

∫ P1(x)dx=32

x3x

−1

1

∫ dx=32

xex ln3

−1

1

∫ dx

α1 =32exln3 x

ln3−

1ln2 3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

−1

1

≈1.2370543


3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ; α j =1

Pj (x)2 3x

−1

1


22j+1

3x = α jPj(x)j=0

∞

∑ ≈α01+α1x+α2

3x2 −12

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

α0 ≈1.2136523

α2 =1

P2(x)2 3x

−1

1

∫ P2(x)dx=52

3x2 −12

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ 3

x

−1

1

∫ dx

; α1 ≈1.2370543

α2 =52

3xx2

ln3−

2xln2 3

+2

ln3 3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

−1

1⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ≈0.438184

; α2 ≈0.438184

y3(x) =1.21365+1.2370543x+0.4381843x2 −1

2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

y3(x) =0.99456+1.2370543x+0.6572769x2


y(x) =1+

43x+

23x2 ≈1+1.

) 3 x+0.

) 6 x2

(interpolazio-polinomioa)

y2(x)=1+ln(3)x+ln2(3)

2x2 ≈1+1.0986123x+0.6034745x2

(Mac Laurin-en seriearen garapena)

y3(x) =0.99456+1.2370543x+0.6572769x2

(Legendre-ren polinomioen oinarriaren garapena)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Interpolazio-polinomioa

Mac Laurin-en garapena

Legendre-ren polinomioenoinarriaren garapena

KALKULU NUMERIKOA:

Documents

Transcript of KALKULU NUMERIKOA: