Integrales Impropias
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INTEGRALES IMPROPIAS
...debe haber propias
Integrales Propias
• El intervalo o dominio de integración [a, b] sea finito.
• El rango de integración sea finito en ese intervalo de integración.
Integrales Impropias
x
yxexy −= 4
∫∞
−
0
4 dxex x
Intervalo de integración infinito
Integrales Impropias
xy /1=
x
y
∫1
0
1dx
x
f tiene una discontinuidad infinita en [a,b]
Límites de integración infinitos
1.Determinar la primitiva de
2. Determinar la integral definida
3.Después determinamos el límite cuando b→ ∞
∫∞
−
0
4 dxex x
xexy −= 4=∫
− dxex x4
∫−
bx dxex
0
4
[ ]xx eex −− −−4
=∫−
bx dxex
0
4 4]1[4 ++− − be b
{ } 44]1[4lim =++− −
∞→be b
b
Integrales Impropias del tipo I1.Si f(x) es continua en [a,∞) entonces:
2. Si f(x) es continua en (-∞, b] entonces:
∫∫ ∞→
∞
=b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫ −∞→∞−
=b
aa
b
dxxfdxxf )(lim)(
Integrales Impropias del tipo I3.Si f(x) es continua en (-∞, ∞) entonces:
∫∫∫ ∞→−∞→
∞
∞−
+=b
cb
c
aa
dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(
en donde c es cualquier número real.
Convergencia y divergencia
En cada caso:
Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia.
Si el límite no existe, la integral impropia diverge.
EjemplosDeterminar la convergencia de las siguientes integrales impropias.
∫∞
∞− +dx
x 21
1
∫∞
1
1dx
x pa.
b.
Límites de integración infinitos
Integrando con asíntotas verticales
Otro tipo de integrales impropias se presenta cuando el integrando tiene una asíntota vertical-una discontinuidad infinita-en un límite de integración o en algún punto entre los límites de integración.
Integrales Impropias del tipo II1.Si f(x) es continua en (a,b] entonces:
2. Si f(x) es continua en [a,b) entonces:
∫∫ +→=
b
cac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫ −→=
c
abc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Integrales Impropias del tipo II3.Si f(x) es discontinua en c, donde a<c<b, y
continua en [a,c)Ụ(c, b] entonces:
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Convergencia y divergencia
En cada caso:
Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia.
Si el límite no existe, la integral impropia diverge.
Convergencia y divergencia
En el caso 3 de la definición, la integral del lado izquierdo de la ecuación converge si ambas integrales del lado derecho convergen, de otra forma, diverge.
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
EjemplosDeterminar la convergencia de las siguientes integrales impropias.
∫ −
1
0 1
1dx
x
( )∫−
1
0 32
1
1dx
x
a.
b.