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Adolfo Chapuz Benítez La Integral Definida www.comoaprendomatematicas.com

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INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA

1.- LA INTEGRAL DEFINIDA.

La integral definida de una función se representa por:

b

a

dxxf )(

nintegració de límitesllaman Se :by a

nintegració desuperior límite el Es :b

nintegració deinferior límite el Es :a

OBSERVACIONES IMPORTANTES:

1.-Cuando calculamos una integral indefinida el resultado obtenido es una

expresión “simbólica” (una fórmula).Igualmente aparece lo que se llama “La

constante de Integración”.

2.-Una integral definida se calcula sobre un intervalo (abierto o cerrado).

3.-El resultado de calcular una integral definida es un NÚMERO.

¡Hey! Cuidado Aquí desaparece la constante de integración.

4.- En general, la integral definida se interpreta como “El área entre la gráfica

de f(x) y el eje X, desde a hasta b”.



5.-Para calcular una integral definida usamos los métodos clásicos de

integración tal como los hemos aprendido y nos vamos a basar en el siguiente

resultado, conocido regularmente como el Segundo teorema Fundamental del

cálculo:

a b



Si dxxfxF )()( , entonces:

b

a

b

a

xF

aFbFdxxf

)(

)()()(

Es decir:

1. Primero calculamos la integral indefinida (que en este caso es la F) y

2. Lluego evaluamos en la expresión obtenida.

El símbolo representado por una línea vertical se lee:

“efe de x evaluada de a, a b”.

Primero sustituimos el valor de “arriba” luego el valor de “abajo”.

El signo “MENOS” siempre debemos escribirlo, si lo olvidamos es obvio que

tendremos errores en los resultados finales.



Ejemplos Del Cálculo De Integrales Definidas.

¡IMPORTANTE!

1.-En este punto ya hemos aprendido las técnicas básicas de integración:

Cambio de Variable, Integración por partes, trigonométricas, sustitución

trigonométrica, fracciones parciales, por lo que si no estás familiarizado con

estos métodos te sugiero que vuelvas a ver los videos que están en la sección

de métodos de integración.

2.- Voy a empezar con ejercicios de nivel básico, casi desde cero, y

progresivamente iré subiendo el nivel de dificultad. Así que no te pierdas, no te

desesperes, ni te confíes. Pon Mucha atención.

¿Necesitas de una explicación más detallada paso a paso? Visita ahora mismo

Como Aprendo Integrales Videos.

http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/





Ejemplo 1: 5

1

dx

Desarrollo:

4

)1()5(

5

1

5

1

xdx

Conclusión:

4

5

1

dx

Geométricamente:



Ejemplo 2:

3

2

3dxx

Desarrollo:

4

65

4

16

4

81

4

)2(

4

)3(

4

44

3

2

43

2

3

x

dxx

Conclusión:

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Área Bajo La Gráfica De f(x)=1 . De x=1 a x=5

Eje De Las Abscisas

Eje

De L

as O

rdenadas

Función constante f(x)=1

El área Bajo La Gráfica tiene un valor

de 4 unidades cuadradas.



4

653

2

3

dxx

Geométricamente:

Ejemplo 3:

dxxsen )(

Desarrollo:

00)11(

)1(1

)cos()cos(

)cos(

)cos()(

x

xdxxsen

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-100

-50

0

50

100

150Área entre La Gráfica De f(x)=x.3, de -2 a 3

área "negativa"

Área "positiva"

Área Total=65/4.



Conclusión:

0)(

dxxsen

Geométricamente:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Área Entre El Eje X y f(x)=sen(x) de -pi a pi.

Área Total=0.

Área "positiva"

área "negativa"



Ejemplo 4:

2

2

)cos(

dxx

Desarrollo:

2

11

)1(1

)2

()2

(

)()cos( 2

2

2

2

sensen

xsendxx

Conclusión:

2)cos(2

2

dxx



-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Área Entre La Gráfica de f(x)=cos(x) y el Eje X desde -pi/2 a pi/2.

Abscisas

Ord

enadas



Ejemplo 5:

3

3

dxex

Desarrollo:

20.0357

0.0498-20.0855

33

3

3

3

3

ee

edxe xx

Conclusión:

20.0357

3

3

dxex



Ejemplo 6:

3

3

dxe x

Desarrollo:

20.0357

33

33

)3(3

3

3

3

3

ee

ee

ee

edxe xx

Conclusión:



20.0357

3

3

dxe x

Ejemplo 7: 6

1.0

1dt

t

Desarrollo:

4.0943

(-2.3026)-1.7918

)1.0ln()6ln(

)ln(1 6

1.0

6

1.0

tdtt

Conclusión:

4.09431

6

1.0

dtt



Ejemplo 8: 10

01.0

)ln( dzz

Desarrollo:

13.0819

(-0.0561)-13.0259

01.0)01.0ln()01.0(10)10ln(10

)ln()ln(10

01.0

10

01.0

zzzdzz

Conclusión:

13.0819)ln(

10

01.0

dzz



Ejemplo 9:

4

2

3 )13( d

Desarrollo:

36

61860

)6()416(2

3464

)2(4)2()4(2

3

4

)2(

4

)4(

2

3

4

3)13(

2244

4

2

4

2

2

4

2

4

4

2

4

2

4

2

3

4

2

3

dddd

Conclusión:

36)13(

4

2

3

d



Ejemplo 10:

3

)()cos( dsen

Desarrollo:

2

21

2

1

2

11

2

1)1()

2

1(0

)4

cos()3cos()4

()3(

)cos()(

)()cos()()cos(

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

sensen

sen

dsenddsen

Conclusión:

2

21)()cos(

3

4

dsen



2.- Propiedades Importantes De La Integral Definida.

I. “ La integral de una función evaluada sobre un solo punto vale CERO”

0)( a

a

dxxf

II. “Si cambiamos el orden de los límites de integración, cambia el signo

de la integral original”.

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

III. Si c es un número dentro del intervalo, éste se puede tomar como

intermediario para calcular la integral.

“La integral sobre un intervalo se puede calcular usando algún punto

intermedio c, donde posiblemente haya una discontinuidad de salto”.

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(



IV.- Propiedad De Monotonía.

“La integral conserva el sentido de una desigualdad”.

b

a

b

a

g(x)dxf(x))dx entonces )()( xgxfSi

“Si una función es menor o igual que otra función, entonces la integral de la

primer función es menor o igual que la integral de la otra función”.

V.-“El valor Absoluto De Una Integral Es Menor o Igual a La Integral Del Valor

Absoluto”.

b

a

b

a

dxf(x)f(x))dx



PROPIEDADES DE LINEALIDAD.

Igualmente se cumplen propiedades análogas a las de la integral indefinida,

estas nos dicen (aunque no hablan) que podemos sacar constantes y separar

sumas. ¡Fácil!

i). “La Integral Definida De Una Constante Por Una Función, Es La Constante,

Por La Integral Definida De La función”.

b

a

b

a

dxxfcdxxcf )()(

ii).”La Integral Definida De Una Suma, Es La Suma De Las Integrales

Definidas”.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3.- LA INTEGRAL DEFINIDA EN LOS MÉTODOS DE

INTEGRACIÓN.

En esta sección quiero compartirte como se modifican ligeramente las

expresiones que usamos en los diferentes métodos de integración, ahora con la

integral definida. Lo primero que debemos observar es que la constante de

integración ya no debemos considerarla.

Debemos aplicar los métodos tal cual los aprendimos, lo único que tenemos que

agregar es la “evaluación” en los límites de integración.



I. Método de Sustitución O Cambio De Variable.

En el método de cambio de variable recordemos que nosotros pasamos de

una variable original x a otra variable (o letra u) de modo tal que la integral

original se transforma en una de las que ya conocemos y podemos calcular

más fácilmente. La observación importante aquí es que si cambiamos la

variable entonces debemos cambiar los límites de integración simplemente

sustituyendo los valores originales a y b por los valores obtenidos al

sustituir a y b en la variable u: u(a) y u(b).

Así, el método de cambio de variable para la integral definida podemos

escribirlo como:

)(

)(

)())((

bu

au

b

a

duufdxdx

duxuf

Empezamos con la variable x, cambiamos a la variable u, pero cambiando los

límites de integración, según la sustitución que hemos realizado.



Ejemplo 1.

1

1

776 77 dxxx

Desarrollo:

dxxdu

xu

6

7

7

7

1887200

2099522097152

8

6

8

)8(

8

7777

88

8

6

8

8

6

7

1

1

677

1

1

776

u

duu

dxxxdxxx

Conclusión:

188720077

1

1

776

dxxx

7)( 7 xxu

671

7)1()1( 7

u

871

7)1()1( 7

u

Cambio de los límites

de integración



Ejemplo 2.-

2

0

854 2 dxxx

Desarrollo.

Hacemos:

dxxdu

xu

4

5

5

2

11

13

99

30

2

9

30

2

8

2

0

485

2

0

854

1037.4

)5121096.1(45

1

)2()30(45

1

95

1

5

1

525

12

x

x

u

duu

dxxxdxxx

Conclusión:

11

2

0

854 1037.42 xdxxx

2)( 5 xxu

2

2)0()0( 5

u

30

2)2()2( 5

u

Cambio de los límites

de integración



Ejemplo 3 (ejemplo 10 cambio de variable).-

1.2

1.1

23 7dxxx

Solución:

xdxdu

xu

2

72

, despejamos 2x de 72 xu ,

obteniendo 72 ux

72 xu

21.8721.17)1.1()1.1( 2 u

41.11741.47)1.2()1.2( 2 u



14.2846

)21.8()41.11(3

7)21.8()41.11(

5

1

3

7

10

2

6

14

252

1

232

7

2

1

2

7

2

1

2

7)(

2

1

)7(2

1

)7(2

1

272

1

77

3355

41.11

21.8

341.11

21.8

25

41.11

21.8

23

41.11

21.8

25

41.11

21.8

2

341.11

21.8

2

3

41.11

21.8

21

41.11

21.8

21

41.11

21.8

41.11

21.8

41.11

21.8

41.11

21.8

1.2

1.1

22

1.2

1.1

22

1.2

1.1

23

uu

uu

uduu

duuduuu

duuduuu

duuuu

duuu

xdxxx

dxxxxdxxx



Ejemplo 4.-

5

1.263

7

x

dx

Desarrollo:

dxdu

xu

3

63

9361.7

)3.0ln()9ln(3

7

)ln(3

7

3

7

63

3

3

7

63

7

9

3.0

9

3.0

5

1.2

5

1.2

u

u

du

x

dx

x

dx

Conclusión:

9361.763

75

1.2

x

dx

Cambio de los límites de integración:

63 xu

3.06)1.2(3)1.2( u

96)5(3)5( u



Ejemplo5.-

4

0

dxeexex

Desarrollo:

dxedu

eu

x

x

1.6998

)(

)(

10183.0

0183.0

1

0183.0

1

4

0

4

0

4

0

ee

e

due

dxee

dxeedxee

u

u

xe

xeex

x

xx

Conclusión:

1.6998

4

0

dxee

xex

Cambio de Variable y de lo límites

de integración:

xeu

1)0( 0 eu

0183.0)4( 4 eu



II. Método De Integración Por Partes.

El método de integración para integrales indefinidas es el siguiente:

vduuvudv

Este método. Para las integrales definidas queda definido de la

siguiente manera:

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Simplemente agregamos los límites de integración y por supuesto que tenemos

que evaluar sustituyendo los valores correspondientes de a y b.



Ejemplo 1.- 3

01.0

)ln( dxx fórmula

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Desarrollo:

dxdv

xu

)ln(

xv

dxx

du

1

3519.0

01.033414.3

)01.0ln()01.0()3ln()3(

)ln(

1)ln()ln(

3

01.0

3

01.0

3

01.0

3

01.0

3

01.0

3

01.0

x

dxxx

dxx

xxxdxx

Conclusión:

3519.0)ln(

3

01.0

dxx



Ejemplo 2.- 5.4

01.0

)ln( dxxx fórmula

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Desarrollo: dxxdv

xu

)ln(

, xxxv

dxdu

)ln(

20.3330)ln(

2

)01.0(

2

)5.4()01.0ln()01.0()5.4ln()5.4()ln(2

2)ln()ln(2

2)ln()ln()ln(

)ln()ln(

)ln()ln()ln(

5.4

01.0

2222

5.4

01.0

5.4

01.0

25.4

01.0

2

5.4

01.0

5.4

01.0

25.4

01.0

25.4

01.0

2

5.4

01.0

5.4

01.0

5.4

01.0

5.4

01.0

5.4

01.0

22

5.4

01.0

5.4

01.0

5.4

01.0

dxxx

dxxx

xxxdxxx

xxxxdxxxdxxx

xdxdxxxxxx

dxxxxxxxxdxxx

Conclusión:

20.3330)ln(

5.4

01.0

dxxx



Ejemplo 3.-

3

2

dxxe x

.

Usamos la fórmula>

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Desarrollo:

dxedv

xu

x

, xev

dxdu

40.5771

32

23

23

)2(3

23

2233

2323

3

2

23

3

2

3

2

3

2

ee

eeee

eeee

eee

dxexedxxe

x

xxx

Conclusión:

40.5771

3

2

dxxe x



Ejemplo 4.-

8.3

1.2

2 dxex x

fórmula ==>>

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Desarrollo:

dxedv

xu

x

2

, xev

xdxdu

2



393.8592

44.5787)(2)2(170.1217-644.9451

2)1.2(8.32)1.2()8.3(

22

2

2

)2(

1.28.31.28.31.228.32

8.3

1.2

8.3

1.2

8.3

1.2

2

8.3

1.2

8.3

1.2

8.3

1.2

2

8.3

1.2

8.3

1.2

2

8.3

1.2

8.3

1.2

2

8.3

1.2

2

eeeeee

exeex

dxexeex

dxxeex

xdxeexdxex

xxx

xxx

xx

xxx

Conclusión: 393.8592

8.3

1.2

2

dxex x



Ejemplo5.-

2

)cos(

dxxeA x

fórmula>

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Desarrollo:

dxxdv

eu x

)cos(

, )(xsenv

dxedu x

2

2

22

2

)()()2

(

)()()cos(

dxexsensenesene

dxexsenxsenedxxeA

x

xxx

Evaluamos y aplicamos otra vez la misma fórmula, con:

dxxsendv

eu x

)(

, )cos(xv

dxedu x

Valores de “seno” conocidos:

1)2

( sen

0)( sen



2

4.8105

4.81052

)1(4.8105

)cos()cos()2

cos(4.8105

)cos()cos(-4.8105

)()cos(

2

2

22

2

2

2

eA

eA

AeA

dxxeee

dxexxe

dxxseneedxxeA

x

xx

xx

Conclusión:

2

8105.4

eA

Valores Conocidos de Coseno :

0)2

cos(

1)cos(



III. Integrales Trigonométricas, Sustitución trigonométrica y Fracciones

Parciales.

Por lo regular para calcular integrales trigonométricas, al aplicar los

métodos de sustitución trigonométrica y fracciones parciales es

necesario recurrir a un cambio de variable o a la integración por

partes. Por lo tanto es suficiente con dominar la integral definida en

estos métodos básicos.

¿Necesitas de una explicación más detallada paso a paso? Visita ahora mismo

Como Aprendo Integrales Videos.




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