Integración de Redes Bayesianas con Programas

Lógicos para Música

Eduardo MoralesL.Enrique SucarRoberto Morales

Contenido• Introducción • Redes Bayesianas• Redes Bayesianas + nodos

“lógicos”• Ejemplo musical (1)• Redes Bayesianas dinámicas• Ejemplo musical (2)• Conclusiones

Introducción

Una representación en música debe de

incluir:

• Relaciones entre notas, voces, métricas, ...

• Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...

Introducción (2)

Una representación natural es:• Lógica de primer orden para

representar relaciones entre objetos musicales

• Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales

Propuesta:

Utilizar redes Bayesianas para expresar

preferencias musicales y extenderlas con

lógica de predicados para expresar

relaciones

Redes Bayesianas

• RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre

• Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias– Nodos: variables proposicionales

– Arcos: dependencias probabilísticas

Redes Bayesianas (2)

• RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}

Redes Bayesianas (3)

• Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas)

• Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional

Propuesta

• Extender redes Bayesianas con “nodos lógicos” (representados por cuadrados) en donde sea fácil expresar relaciones

• Los nodos lógicos pueden ser cláusulas de Horn arbitrarias

Ejemplo:

Z puede ser:• Binario (T ó F): relación(X,Y)• Multivaluado: relación(X,Y,Z)

Razonamiento

• La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores

x y

dxxdyPyPyxRzP )()(),()(

Razonamiento (2)

Considerando variables discretas:

Para obtener la distribución deprobabilidad de “z” tenemos queevaluar la relación para todos losposibles valores no instanciados de “x” y “y”

x y

yPxPyxRzP )()(),()(

Ejemplo (2)

Supongamos:

6.0)( 4.0)(

:1 Si

6.0)2( 3.0)3(

4.0)0( 7.0)1(

),(

falsezPtruezP

x

yPxP

yPxP

yxyxrelz

Ejemplo (3)

42.0)( 58.0)(

:asdesconocidson y Si

7.0)( 3.0)(

:2 Si

0.0)( 0.1)(

:0 ó 3 Si

falsezPtruezP

yx

falsezPtruezP

y

falsezPtruezP

yx

Razonamiento (3)

Alternativamente, podemos: (i) calcular fuera de línea la relación para

todos los posibles valores de las variables involucradas

z=true x=1 x=3

y=0 1 1

y=2 1 0

z=false x=1 x=3

y=0 0 0

y=2 0 1

Razonamiento (4)

(ii) Construir un nodo determinístico

(iii) incluirlo directamente en una RB

Razonamiento (5)

• La estrategia “en línea”:– Evalua solo las filas y columnas de las

variables desconocidas– Puede ser útil cuando el tamaño de la

tabla de probabilidad condicional es “muy grande”

– Se puede utilizar con variables continuas usando técnnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad

Razonamiento (6)

• La estrategia “fuera de línea”:– Está limitada a variables discretas con

tablas de probabilidades condicionales “pequeñas”

– Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB

Ejemplo musical (1)

Para aplicar esta representación a análisis de contrapunto, tenemos que tener:

1. Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre:

• Notas de cantus firmus

• Reglas de contrapunto

• Métricas

Ejemplo musical (2)

2. Relaciones entre notas (considerando

métricas) expresando las reglas de

contrapunto

3. Distribuciones de probabilidad sobre

las notas de contrapunto

Ejemplo Musical

(3)

Representación Temporal

• En música es importante representar relaciones temporales

• En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros

Representación Temporal (2)

Ejemplo Musical (4)

En nuestro ejemplo musical repetiríamos

la misma estructura N-1 veces, donde N

es el número de notas en el cantus firmus

Ejemplo Musical (5)

Ejemplo Musical (6)

Capacidades de la Representación

• La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables

• Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas

Capacidadesa de la Representación (2)

• La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella

• Se pueden “abstraer” redes en nodos sencillos

Capacidad de Abstracción

Conclusiones

• Relaciones y preferencias musicales pueden ser representadas extendiendo redes Bayesianas con nodos “lógicos”

• La representación puede servir para análisis y composición musical

Trabajo Futuro

• Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande”

• Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo

• Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio