Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas y su Aplicación a Música Eduardo Morales...
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Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas
y su Aplicación a Música
Eduardo MoralesEnrique Sucar
Roberto Morales
Contenido• Introducción• Redes Bayesianas• Redes Bayesianas + nodos “lógicos”• Mecanismo de razonaminto• Ejemplo musical (1)• Redes Bayesianas dinámicas• Ejemplo musical (2)• Conclusiones y trabajo futuro
Introducción
Las dos áreas más utilizadas para representarconocimiento en una máquina son:
• Lógica: permite representar objetos, sus propiedades, y relaciones con otros objetos
• Probabilidad: permite representar y manejar información con incertidumbre
Propuesta
Este trabajo de investigación plantea comocombinar:
• Cláusulas de Horn: aprovechando su capacidad expresiva
con
• Redes Bayesianas: aprovechando su manejo eficiente de información con incertidumbre
Redes Bayesianas
• RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre
• Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias– Nodos: variables proposicionales
– Arcos: dependencias probabilísticas
Redes Bayesianas (2)
• RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}
Redes Bayesianas (3)
• Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas)
• Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional
Representación Musical
Una representación en música debe de
incluir:
• Relaciones entre notas, voces, métricas, ...
• Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...
Representación Musical (2)
Una representación natural es:• Lógica de primer orden para
representar relaciones entre objetos musicales
• Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales
Propuesta:
Utilizar redes Bayesianas para expresar
preferencias musicales y extenderlas con
lógica de predicados para expresar
relaciones
Propuesta (2):
Z puede ser:• Binario (T ó F): relación(X,Y)• Multivaluado: relación(X,Y,Z)
: Nodo lógico : Nodo con variable aleatoria
Razonamiento
• La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores
x y
dydxxPyPyxRzP )()(),()(
Razonamiento (2)
Considerando variables discretas:
Para obtener P(z) tenemos queevaluar la relación para todos losposibles valores no instanciados de “x” y “y”
x y
yPxPyxRzP )()(),()(
Ejemplo (2)Supongamos: x y
>
6.0)( 4.0)(
:1 Si
6.0)2( 3.0)3(
4.0)0( 7.0)1(
),(
falsezPtruezP
x
yPxP
yPxP
yxyxrelz
Ejemplo (3)
42.0)( 58.0)(
:asdesconocidson y Si
7.0)( 3.0)(
:2 Si
0.0)( 0.1)(
:0 ó 3 Si
falsezPtruezP
yx
falsezPtruezP
y
falsezPtruezP
yx
Razonamiento (3)
Alternativamente, podemos: (i) calcular “fuera de línea” la relación para
todos los posibles valores de las variables involucradas
z=true x=1 x=3
y=0 1 1
y=2 1 0
z=false x=1 x=3
y=0 0 0
y=2 0 1
Razonamiento (4)
(ii) Construir un nodo determinístico
(iii) incluirlo directamente en una RB
Razonamiento (5)
• La estrategia “en línea”:– Evalua solo las filas y columnas de las
variables desconocidas– Puede ser útil cuando el tamaño de la
tabla de probabilidad condicional es “muy grande”
– Se puede utilizar con variables continuas usando técnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad
Razonamiento (6)
• La estrategia “fuera de línea”:– Está limitada a variables discretas con
tablas de probabilidades condicionales “pequeñas”
– Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB
Aplicación a Música
Aplicación a Música (2)
Para aplicar la representación propuesta
a análisis de contrapunto, necesitamos:
1. Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre:
• Notas de cantus firmus
• Reglas de contrapunto
• Métricas
Aplicación a Música (2)
2. Relaciones entre notas (considerando
métricas) expresando las reglas de
contrapunto
3. Distribuciones de probabilidad sobre
las notas de contrapunto
Algunas Relaciones Musicales
• Consonancia perfecta: quinta, octava, unisono, docena_mayor.
• Consonancia imperfecta: tercera, sexta y decima (mayor y menor)
• Disonancia: el resto.
• Movimientos de pares de notas: contrario, oblicuo y paralelo.
Ejemplo de Mov. Contrario
Reglas de Contrapunto
• Primera: de consonancia perfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo
• Segunda: de consonancia perfecta a imperfecta en cualquier dirección
• Tercera: de consonancia imperfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo
• Cuarta: de consonancia imperfecta a imperfecta en cualquier dirección
Posible Pedazo de Nodo Lógico
regla(Int1, Int2, Mov1, Mov2, uno) :-
cons_dis(Int1,cons_perf),
cons_dis(Int2,cons_perf),
movimiento(Mov1,Mov2,Tipo),
member(Tipo,[contrario,oblicuo]).
Aplicación a Música (3)
Aplicación a Música (5)
Esta representación nos permite:• Sugerir las notas de contrapunto y/o de
cantus firmus más probables• Analizar qué regla de contrapunto se usa en
ciertas notas• Sugerir notas y reglas de contrapunto
siguiendo las distribuciones de probabilidad a priori
Representación Temporal
• En música es importante representar relaciones temporales
• En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros
Representación Temporal (2)
Ejemplo Musical Din.
En nuestro ejemplo musical necesitamos
ligar nodes de tiempos anteriores y
repetir la misma estructura N-2 veces,
donde N es el número de notas en el
cantus firmus
Ejemplo Musical Din. (2)
Ejemplo Musical Din. (3)
A partir de:
• do, mi (cf)
• sol (cp)
• r1, r2 y r4
Capacidades de la Representación
• La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables
• Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas
Capacidadesa de la Representación (2)
• La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella
Conclusiones
• La combinación de redes Bayesianas con lógica es un poderoso formalismo para representar conocimiento y razonar con él
• La representación puede servir para análisis y composición musical y en principio para otros dominios
Trabajo Futuro
• Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande” y en otros dominios
• Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo
• Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio